Možete naručiti detaljno rješenje tvoj zadatak!!!

Jednakost koja sadrži nepoznanicu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinus:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
• riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.

Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.

Algebarska metoda.

Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje je potrebno riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prelazak na pola ugla

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda as pomoćni ugao uzmimo `\varphi=arcsin 4/5`. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`grijeh (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.

Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.

Rješavanje trigonometrijskih jednačina bilo kojeg nivoa složenosti na kraju se svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina. I u ovome se trigonometrijski krug opet ispostavlja kao najbolji asistent.

Prisjetimo se definicija kosinusa i sinusa.

Kosinus ugla je apscisa (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.

Sinus ugla je ordinata (tj. koordinata duž ose) tačke na jediničnom krugu koja odgovara rotaciji kroz dati ugao.

Pozitivan smjer kretanja na trigonometrijskom krugu je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Rotacija od 0 stepeni (ili 0 radijana) odgovara tački sa koordinatama (1;0)

Koristimo ove definicije za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.

1. Riješite jednačinu

Ovu jednačinu zadovoljavaju sve vrijednosti ugla rotacije koje odgovaraju tačkama na kružnici čija je ordinata jednaka .

Označimo tačku sa ordinatom na ordinatnoj osi:

Nacrtajte vodoravnu liniju paralelnu s x-osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobijamo dvije tačke koje leže na kružnici i imaju ordinatu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:

Ako, ostavljajući tačku koja odgovara kutu rotacije po radijanu, obiđemo puni krug, tada ćemo doći do točke koja odgovara kutu rotacije po radijanu i ima istu ordinatu. To jest, ovaj kut rotacije također zadovoljava našu jednačinu. Možemo napraviti onoliko „praznih“ okretaja koliko želimo, vraćajući se na istu tačku, a sve ove vrijednosti uglova će zadovoljiti našu jednadžbu. Broj obrtaja u praznom hodu će biti označen slovom (ili). Budući da možemo napraviti ove okrete iu pozitivnom iu negativnom smjeru, (ili) možemo poprimiti bilo koje cjelobrojne vrijednosti.

To jest, prva serija rješenja originalne jednadžbe ima oblik:

, , - skup cijelih brojeva (1)

Slično, druga serija rješenja ima oblik:

, Gdje , . (2)

Kao što ste mogli pretpostaviti, ova serija rješenja temelji se na tački na kružnici koja odgovara kutu rotacije za .

Ove dvije serije rješenja mogu se kombinirati u jedan unos:

Ako uzmemo (tj. čak) u ovom unosu, onda ćemo dobiti prvu seriju rješenja.

Ako uzmemo (tj. neparno) u ovom unosu, onda ćemo dobiti drugu seriju rješenja.

2. Sada riješimo jednačinu

Pošto je ovo apscisa tačke na jediničnom krugu dobijenom rotacijom kroz ugao, tačku označavamo apscisom na osi:

Nacrtajte okomitu liniju paralelnu osi dok se ne siječe s kružnicom. Dobićemo dve tačke koje leže na kružnici i imaju apscisu. Ove tačke odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima. Podsjetimo da kada se krećemo u smjeru kazaljke na satu dobivamo negativan kut rotacije:

Zapišimo dvije serije rješenja:

,

,

(Do željene tačke dolazimo tako što idemo iz glavnog punog kruga, tj.

Kombinirajmo ove dvije serije u jedan unos:

3. Riješite jednačinu

Tangentna linija prolazi kroz tačku sa koordinatama (1,0) jedinične kružnice paralelne sa OY osom

Označimo tačku na njoj ordinatom jednakom 1 (tražimo tangentu čiji su uglovi jednaki 1):

Povežimo ovu tačku sa ishodištem koordinata pravom linijom i označimo tačke preseka linije jediničnim krugom. Točke preseka prave linije i kružnice odgovaraju uglovima rotacije na i :

Budući da točke koje odgovaraju uglovima rotacije koje zadovoljavaju našu jednadžbu leže jedna od druge na udaljenosti od radijana, rješenje možemo napisati na sljedeći način:

4. Riješite jednačinu

Prava kotangensa prolazi kroz tačku sa koordinatama jedinične kružnice paralelne osi.

Označimo tačku sa apscisom -1 na liniji kotangensa:

Povežimo ovu tačku sa ishodištem prave linije i nastavimo je dok se ne ukrsti sa kružnicom. Ova ravna linija će presjeći krug u tačkama koje odgovaraju uglovima rotacije u i radijanima:

Budući da su ove točke odvojene jedna od druge razmakom jednakom , možemo zapisati općenito rješenje ove jednadžbe na sljedeći način:

U navedenim primjerima koji ilustruju rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi korištene su tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Međutim, ako desna strana jednadžbe sadrži vrijednost koja nije tabela, tada vrijednost zamjenjujemo u opšte rješenje jednadžbe:

POSEBNA RJEŠENJA:

Označimo tačke na kružnici čija je ordinata 0:

Označimo jednu tačku na kružnici čija je ordinata 1:

Označimo jednu tačku na krugu čija je ordinata jednaka -1:

Budući da je uobičajeno naznačiti vrijednosti najbliže nuli, rješenje pišemo na sljedeći način:

Označimo tačke na kružnici čija je apscisa jednaka 0:

5.
Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka 1:

Označimo jednu tačku na kružnici čija je apscisa jednaka -1:

I malo složeniji primjeri:

1.

Sinus je jednak jedan ako je argument jednak

Argument našeg sinusa je jednak, pa dobijamo:

Podijelimo obje strane jednakosti sa 3:

odgovor:

2.

Kosinus je nula ako je argument kosinusa jednak

Argument našeg kosinusa je jednak , pa dobijamo:

Izrazimo , da bismo to učinili prvo se pomaknemo udesno sa suprotnim predznakom:

Pojednostavimo desnu stranu:

Podijelite obje strane sa -2:

Imajte na umu da se predznak ispred pojma ne mijenja, jer k može poprimiti bilo koju cjelobrojnu vrijednost.

odgovor:

I na kraju, pogledajte video lekciju "Odabir korijena u trigonometrijskoj jednadžbi pomoću trigonometrijskog kruga"

Ovo završava naš razgovor o rješavanju jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. Sljedeći put ćemo razgovarati o tome kako odlučiti.

Trigonometrijske jednadžbe- tema nije najjednostavnija. Previše su raznoliki.) Na primjer, ovi:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = krevetac (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

itd...

Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obavezne osobine. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: pronađeni su svi izrazi s x u okviru ovih istih funkcija. I samo tamo! Ako se X pojavi negdje vani, Na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će već biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine zahtijevaju individualni pristup. Nećemo ih ovdje razmatrati.

Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednačine.) Ovdje ćemo se pozabaviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da jer rešenje bilo koji trigonometrijske jednadžbe se sastoje od dvije faze. U prvoj fazi, jednačina zla se svodi na jednostavnu kroz niz transformacija. Na drugom je riješena ova najjednostavnija jednačina. Nema drugog načina.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema mnogo smisla.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Evo A označava bilo koji broj. Bilo koji.

Usput, unutar funkcije možda ne postoji čisti X, već neka vrsta izraza, poput:

cos(3x+π /3) = 1/2

itd. Ovo komplicira život, ali ne utiče na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?

Trigonometrijske jednadžbe se mogu riješiti na dva načina. Prvi način: korištenje logike i trigonometrijskog kruga. Ovdje ćemo pogledati ovu stazu. O drugom načinu - korištenjem memorije i formula - bit će riječi u sljedećoj lekciji.

Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednačina, nejednačina i svih vrsta lukavih nestandardnih primjera. Logika je jača od pamćenja!)

Rješavanje jednadžbi pomoću trigonometrijskog kruga.

Uključujemo elementarnu logiku i mogućnost korištenja trigonometrijskog kruga. Zar ne znaš kako? Međutim... Biće vam teško u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug...... Šta je to?" i "Mjerenje uglova na trigonometrijskom krugu." Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)

Oh, znaš!? Pa čak i savladao “Praktični rad s trigonometrijskim krugom”!? Čestitam. Ova tema će vam biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno raduje je da trigonometrijskom krugu nije važno koju jednačinu rešavate. Sinus, kosinus, tangent, kotangens - sve mu je isto. Postoji samo jedan princip rješenja.

Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednačinu. barem ovo:

cosx = 0,5

Moramo pronaći X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate naći ugao (x) čiji je kosinus 0,5.

Kako smo ranije koristili krug? Nacrtali smo ugao na njemu. U stepenima ili radijanima. I to odmah vidio trigonometrijske funkcije ovog ugla. Sada uradimo suprotno. Nacrtajmo kosinus na kružnici jednak 0,5 i odmah vidit ćemo ugao. Ostaje samo da zapišete odgovor.) Da, da!

Nacrtajte krug i označite kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Volim ovo:

Sada nacrtajmo ugao koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i videćete baš ovaj kutak X.

Kosinus kojeg ugla je 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Neki će se skeptično nasmejati, da... Kao, da li je vredelo praviti krug kad je već sve jasno... Možete se, naravno, smejati...) Ali činjenica je da je ovo pogrešan odgovor. Ili bolje rečeno, nedovoljno. Poznavaoci krugova shvataju da ovde postoji čitava gomila drugih uglova koji takođe daju kosinus od 0,5.

Ako okrenete pokretnu stranu OA puni okret, tačka A će se vratiti u prvobitni položaj. Sa istim kosinusom jednakim 0,5. One. ugao će se promijeniti za 360° ili 2π radijana, i kosinus - ne. Novi ugao 60° + 360° = 420° takođe će biti rešenje naše jednačine, jer

Može se napraviti beskonačan broj takvih kompletnih okretaja... I svi ovi novi uglovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednačine. I sve ih treba nekako zapisati kao odgovor. Sve. Inače, odluka se ne računa, da...)

Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. Zapišite u jednom kratkom odgovoru beskonačan skup odluke. Evo kako to izgleda za našu jednačinu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja ću to dešifrovati. Još piši smisleno Prijatnije je nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)

π /3 - Ovo je isti kutak kao i mi vidio na krugu i odlučan prema kosinusnoj tabeli.

2π je jedna potpuna revolucija u radijanima.

n - ovo je broj kompletnih, tj. cijeli rpm To je jasno n može biti jednako 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kako je navedeno kratka napomena:

n ∈ Z

n pripada ( ∈ ) skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n slova se mogu koristiti k, m, t itd.

Ova notacija znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Šta god želiš. Ako ovaj broj zamijenite u odgovoru, dobit ćete određeni ugao, koji će definitivno biti rješenje naše oštre jednadžbe.)

Ili, drugim riječima, x = π /3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je dodati bilo koji broj punih okretaja na π /3 ( n ) u radijanima. One. 2πn radian.

Sve? br. Namerno produžavam zadovoljstvo. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednačinu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja ovako:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne samo jedan korijen, već čitav niz korijena, zapisanih u kratkom obliku.

Ali postoje i uglovi koji takođe daju kosinus od 0,5!

Vratimo se našoj slici sa koje smo zapisali odgovor. evo nje:

Zadržite pokazivač miša preko slike i vidimo drugi ugao koji također daje kosinus od 0,5.Šta mislite čemu je to jednako? Trouglovi su isti... Da! On je jednak uglu X , samo kasni u negativnom smjeru. Ovo je ugao -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga sa sigurnošću možemo napisati:

x 2 = - π /3

Pa, naravno, dodajemo sve uglove koji se dobiju kroz pune okrete:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je sada sve.) Na trigonometrijskom krugu mi vidio(ko razume, naravno)) Sve uglovi koji daju kosinus od 0,5. I zapisali smo ove uglove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor je rezultirao u dvije beskonačne serije korijena:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je tačan odgovor.

nada, opšti princip za rešavanje trigonometrijskih jednačina korištenje kruga je jasno. Na kružnici označavamo kosinus (sinus, tangent, kotangens). zadata jednačina, nacrtaj odgovarajuće uglove i zapiši odgovor. Naravno, moramo shvatiti koji smo uglovi vidio na krugu. Ponekad to nije tako očigledno. Pa, rekao sam da je ovdje potrebna logika.)

Na primjer, pogledajmo još jednu trigonometrijsku jednačinu:

Uzmite u obzir da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbi!) Samo mi je zgodnije da ga zapišem od korijena i razlomaka.

Radimo po opštem principu. Crtamo krug, označavamo (na osi sinusa, naravno!) 0,5. Crtamo sve uglove koji odgovaraju ovom sinusu odjednom. Dobijamo ovu sliku:

Prvo se pozabavimo uglom X u prvoj četvrtini. Prisjećamo se tablice sinusa i određujemo vrijednost ovog ugla. To je jednostavna stvar:

x = π /6

Pamtimo pune okrete i mirne savjesti zapisujemo prvu seriju odgovora:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pola posla je obavljeno. Ali sada moramo odrediti drugi ugao... To je teže nego koristiti kosinuse, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi ugao kroz x? Yes Easy! Trokuti na slici su isti, a crveni ugao X jednaka uglu X . Samo se broji od ugla π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban ugao, tačno izmeren, od pozitivne poluose OX, tj. iz ugla od 0 stepeni.

Prelazimo kursorom preko crteža i vidimo sve. Uklonio sam prvi ugao da ne bih komplikovao sliku. Ugao koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:

π - x

X znamo ovo π /6 . Dakle, drugi ugao će biti:

π - π /6 = 5π /6

Opet se prisjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugu seriju odgovora:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je sve. Potpuni odgovor sastoji se od dvije serije korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangentne i kotangensne jednačine se mogu lako riješiti korištenjem istog općeg principa za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Ako, naravno, znate nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu.

U gornjim primjerima koristio sam tabličnu vrijednost sinusa i kosinusa: 0,5. One. jedno od onih značenja koje učenik zna mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrednosti. Odluči, pa odluči!)

Dakle, recimo da moramo riješiti ovu trigonometrijsku jednačinu:

Takva vrijednost kosinusa u kratke tabele br. Hladno ignorišemo ovu strašnu činjenicu. Nacrtajte krug, označite 2/3 na osi kosinusa i nacrtajte odgovarajuće uglove. Dobili smo ovu sliku.

Pogledajmo, prvo, ugao u prvoj četvrtini. Kad bismo samo znali čemu je x jednako, odmah bismo zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Miran! Matematika ne ostavlja svoje ljude u nevolji! Ona je smislila lučni kosinus za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, mnogo je lakše nego što mislite. Na ovom linku nema nijedne škakljive čarolije o “inverznim trigonometrijskim funkcijama”... Ovo je suvišno u ovoj temi.

Ako znate, samo recite sebi: "X je ugao čiji je kosinus jednak 2/3." I odmah, čisto po definiciji ark kosinusa, možemo napisati:

Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvu seriju korijena naše trigonometrijske jednadžbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druga serija korijena za drugi ugao se gotovo automatski zapisuje. Sve je isto, samo će X (arccos 2/3) biti sa minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I to je to! Ovo je tačan odgovor. Čak i lakše nego sa tabličnim vrijednostima. Nema potrebe pamtiti ništa.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da ova slika prikazuje rješenje kroz arc kosinus u suštini, ne razlikuje se od slike za jednačinu cosx = 0,5.

Upravo! Opšti princip Zato je to uobičajeno! Namjerno sam nacrtao dvije skoro identične slike. Krug nam pokazuje ugao X svojim kosinusom. Svima je nepoznato da li je to tabelarni kosinus ili ne. Kakav je to ugao, π /3, ili koji je arc kosinus - na nama je da odlučimo.

Ista pjesma sa sinusom. Na primjer:

Ponovo nacrtajte krug, označite sinus jednak 1/3, nacrtajte uglove. Ovo je slika koju dobijamo:

I opet je slika skoro ista kao i za jednačinu sinx = 0,5. Ponovo krećemo iz kornera u prvoj četvrtini. Čemu je jednak X ako mu je sinus 1/3? Nema problema!

Sada je spreman prvi paket korijena:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hajde da se pozabavimo drugim uglom. U primjeru sa vrijednošću tablice od 0,5, bio je jednak:

π - x

I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa šta!? Možete sigurno zapisati drugi paket korijena:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je potpuno tačan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali jasno je, nadam se.)

Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kružnice. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama s odabirom korijena na datom intervalu, u trigonometrijskim nejednačinama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krug. Ukratko, u svim zadacima koji su malo teži od standardnih.

Primijenimo znanje u praksi?)

Riješite trigonometrijske jednadžbe:

Prvo, jednostavnije, direktno iz ove lekcije.

Sada je sve komplikovanije.

Savjet: ovdje ćete morati razmišljati o krugu. Lično.)

A sada su oni spolja jednostavni... Zovu se i specijalni slučajevi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Nagoveštaj: ovde treba da odgonetneš u krug gde su dve serije odgovora, a gde jedan... I kako napisati jedan umesto dva niza odgovora. Da, tako da se ni jedan korijen iz beskonačnog broja ne izgubi!)

Pa, vrlo jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Nagoveštaj: ovde treba da znate šta su arksinus i arkosinus? Šta je arktangens, arkkotangens? Najviše jednostavne definicije. Ali ne morate pamtiti nijednu vrijednost tablice!)

Odgovori su, naravno, nered):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nije sve u redu? Dešava se. Pročitajte lekciju ponovo. Samo zamišljeno(postoji takav zastarjela riječ...) I pratite linkove. Glavne veze se odnose na krug. Bez toga, trigonometrija je kao prelazak puta sa povezom preko očiju. Ponekad uspe.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Koncept rješavanja trigonometrijskih jednačina.

• Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite je u jednu ili više osnovnih trigonometrijskih jednačina. Rješavanje trigonometrijske jednadžbe na kraju se svodi na rješavanje četiri osnovne trigonometrijske jednačine.

Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednadžbi.

• Postoje 4 vrste osnovnih trigonometrijskih jednadžbi:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rješavanje osnovnih trigonometrijskih jednačina uključuje gledanje različitih x pozicija na jediničnom krugu, kao i korištenje tablice za konverziju (ili kalkulatora).
• Primjer 1. sin x = 0,866. Pomoću tabele konverzije (ili kalkulatora) dobićete odgovor: x = π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: 2π/3. Zapamtite: sve trigonometrijske funkcije su periodične, što znači da se njihove vrijednosti ponavljaju. Na primjer, periodičnost sin x i cos x je 2πn, a periodičnost tg x i ctg x je πn. Stoga je odgovor napisan ovako:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Primjer 2. cos x = -1/2. Pomoću tabele konverzije (ili kalkulatora) dobićete odgovor: x = 2π/3. Jedinični krug daje drugi odgovor: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Primjer 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odgovor: x = π/4 + πn.
• Primjer 4. ctg 2x = 1,732.
• Odgovor: x = π/12 + πn.

Transformacije koje se koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina.

• Za transformaciju trigonometrijskih jednadžbi koriste se algebarske transformacije (faktorizacija, redukcija homogeni članovi itd.) i trigonometrijski identiteti.
• Primjer 5: Koristeći trigonometrijske identitete, jednačina sin x + sin 2x + sin 3x = 0 se pretvara u jednačinu 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Dakle, sljedeće osnovne trigonometrijske jednačine treba riješiti: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Pronalaženje uglova po poznate vrednosti funkcije.

  • Prije nego naučite rješavati trigonometrijske jednadžbe, morate naučiti kako pronaći uglove koristeći poznate vrijednosti funkcije. To se može učiniti pomoću tablice konverzije ili kalkulatora.
  • Primjer: cos x = 0,732. Kalkulator će dati odgovor x = 42,95 stepeni. Jedinični krug će dati dodatne uglove, čiji je kosinus također 0,732.

• Ostavite rješenje na jediničnom krugu.

  • Možete nacrtati rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu. Rješenja trigonometrijske jednadžbe na jediničnom krugu su vrhovi pravilnog poligona.
  • Primjer: Rješenja x = π/3 + πn/2 na jediničnom krugu predstavljaju vrhove kvadrata.
  • Primjer: Rješenja x = π/4 + πn/3 na jediničnom krugu predstavljaju vrhove pravilnog šestougla.

• Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina.

  • Ako data trigonometrijska jednadžba sadrži samo jednu trigonometrijska funkcija, riješiti ovu jednačinu kao osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Ako data jednadžba uključuje dvije ili više trigonometrijskih funkcija, tada postoje 2 metode za rješavanje takve jednadžbe (u zavisnosti od mogućnosti njene transformacije).
    • Metoda 1.
  • Transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdje su f(x), g(x), h(x) osnovne trigonometrijske jednačine.
  • Primjer 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Rješenje. Koristeći formulu dvostrukog ugla sin 2x = 2*sin x*cos x, zamijenite sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
  • Primjer 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednačine: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
  • Primjer 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rješenje: Koristeći trigonometrijske identitete, transformirajte ovu jednačinu u jednačinu oblika: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sada riješite dvije osnovne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Pretvorite datu trigonometrijsku jednačinu u jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Zatim zamijenite ovu trigonometrijsku funkciju nekom nepoznatom, na primjer, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, itd.).
  • Primjer 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Rješenje. U ovoj jednačini zamijenite (cos^2 x) sa (1 - sin^2 x) (prema identitetu). Transformirana jednačina je:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamijenite sin x sa t. Sada jednačina izgleda ovako: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba koja ima dva korijena: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi korijen t2 ne zadovoljava raspon funkcije (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Primjer 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Rješenje. Zamijenite tg x sa t. Prepišite originalnu jednačinu na sljedeći način: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sada pronađite t, a zatim pronađite x za t = tan x.

Prilikom rješavanja mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed izvođenja radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednačine, linearne i kvadratne nejednačine, razlomke i jednačine koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je ustanoviti koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban slijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očigledno je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema uglavnom ovisi o tome koliko je točno određena vrsta jednačine koja se rješava, koliko je pravilno reproduciran redoslijed svih faza njenog rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i proračuna.

Situacija je drugačija sa trigonometrijske jednačine. Nije nimalo teško utvrditi činjenicu da je jednačina trigonometrijska. Poteškoće nastaju prilikom određivanja redosleda radnji koje bi dovele do tačnog odgovora.

By izgled jednačina, ponekad je teško odrediti njen tip. A bez poznavanja tipa jednadžbe, gotovo je nemoguće izabrati pravu od nekoliko desetina trigonometrijskih formula.

Da biste riješili trigonometrijsku jednačinu, trebate pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednačinu u „iste uglove“;
2. dovesti jednačinu na “identične funkcije”;
3. faktor lijevu stranu jednačine, itd.

Hajde da razmotrimo osnovne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

I. Redukcija na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Izrazite trigonometrijsku funkciju u terminima poznatih komponenti.

Korak 2. Pronađite argument funkcije koristeći formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.

Korak 3. Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rješenje.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, nÊ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Varijabilna zamjena

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti jednadžbu na algebarski oblik u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2. Rezultirajuću funkciju označiti promjenljivom t (ako je potrebno, uvesti ograničenja na t).

Korak 3. Zapišite i riješite rezultirajuću algebarsku jednačinu.

Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Rješenje.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5 sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uslov |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednačina

Dijagram rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednačinu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stepena:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2. Riješite rezultirajuću jednačinu koristeći metode I i II.

Primjer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Rješenje.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Svesti ovu jednačinu na oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednačina prvog stepena)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednačina drugog stepena).

Korak 2. Podijelite obje strane jednačine sa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijemo jednačinu za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Korak 3. Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Rješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Neka je onda tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, što znači

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednačine x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednačine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Dijagram rješenja

Korak 1. Koristeći sve vrste trigonometrijske formule, svesti ovu jednačinu na jednačinu riješenu metodama I, II, III, IV.

Korak 2. Rezultujuću jednadžbu rešite poznatim metodama.

Primjer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Rješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednačine 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednačine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednačina je vrlo važno, njihov razvoj zahteva značajan napor, kako od strane učenika, tako i od strane nastavnika.

Mnogi problemi iz stereometrije, fizike itd. povezani su sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina.

Trigonometrijske jednačine zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i ličnog razvoja općenito.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Za pomoć od tutora -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.