Yksi opiskelijoilta mahdollisimman paljon huomiota ja sinnikkyyttä vaativista aiheista on eriarvoisuuden ratkaiseminen. Niin samanlainen kuin yhtälöt ja samalla hyvin erilainen kuin ne. Koska heidän ratkaisunsa vaatii erityistä lähestymistapaa.

Vastauksen löytämiseen vaadittavat ominaisuudet

Niitä kaikkia käytetään korvaamaan olemassa oleva merkintä vastaavalla. Suurin osa niistä on samanlaisia ​​kuin yhtälöissä. Mutta on myös eroja.

• DPV:ssä määritetty funktio tai mikä tahansa luku voidaan lisätä alkuperäisen epäyhtälön molempiin osiin.
• Samalla tavalla kertominen on mahdollista, mutta vain positiivisella funktiolla tai luvulla.
• Jos tämä toiminto suoritetaan negatiivisella funktiolla tai numerolla, epäyhtälömerkki on käännettävä.
• Funktiot, jotka eivät ole negatiivisia, voidaan nostaa positiiviseen potenssiin.

Joskus eriarvoisuuksien ratkaisuun liittyy toimia, jotka antavat vieraita vastauksia. Ne on eliminoitava vertaamalla ODZ-aluetta ja ratkaisujoukkoa.

Välitysmenetelmää käyttämällä

Sen ydin on vähentää epäyhtälö yhtälöksi, jossa nolla on oikealla puolella.

1. Määritä alue, jolla muuttujien sallitut arvot ovat, eli ODZ.
2. Muunna epäyhtälö matemaattisilla operaatioilla siten, että sen oikea puoli on nolla.
3. Korvaa epäyhtälömerkki "=":lla ja ratkaise vastaava yhtälö.
4. Merkitse numeeriselle akselille kaikki ratkaisun aikana saadut vastaukset sekä ODZ:n välit. Jos epätasa-arvo on tiukka, pisteet on vedettävä rei'itetyinä. Jos on yhtäläisyysmerkki, ne on tarkoitus maalata päälle.
5. Määritä alkuperäisen funktion etumerkki kullekin ODZ:n pisteistä ja sen jakavista vastauksista tuloksena olevalle intervalleille. Jos funktion etumerkki ei muutu pisteen läpi kulkiessaan, se syöttää vastauksen. Muuten se on poissuljettu.
6. ODZ:n rajapisteet on tarkastettava lisäksi ja vasta sitten sisällytettävä tai ei vastauksena.
7. Saatu vastaus on kirjoitettava yhdistelmäjoukkojen muodossa.

Vähän kaksinkertaisesta eriarvoisuudesta

He käyttävät tietueessa kahta eriarvoisuusmerkkiä kerralla. Eli jotkin toiminnot ovat ehtojen rajoittamia kahdesti kerralla. Tällaiset epäyhtälöt ratkaistaan ​​kahden järjestelmänä, kun alkuperäinen jaetaan osiin. Ja intervallimenetelmässä on osoitettu molempien yhtälöiden ratkaisun vastaukset.

Niiden ratkaisemiseksi on myös sallittua käyttää yllä mainittuja ominaisuuksia. Heidän avullaan on kätevää vähentää epätasa-arvo nollaan.

Entä epäyhtälöt, joilla on moduuli?

Tässä tapauksessa epäyhtälöiden ratkaisu käyttää seuraavia ominaisuuksia, ja ne pätevät "a":n positiiviselle arvolle.

Jos "x" ottaa algebrallisen lausekkeen, seuraavat korvaukset ovat voimassa:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a x:llä< -a или х >a.

Jos epäyhtälöt eivät ole tiukkoja, niin kaavat ovat myös totta, vain niissä esiintyy suuremman tai pienemmän merkin lisäksi "=".

Miten epätasa-arvojärjestelmä ratkaistaan?

Tätä tietoa tarvitaan niissä tapauksissa, joissa tällainen tehtävä annetaan tai tietueessa on tietue kaksois-epäyhtälöstä tai tietueessa näkyy moduuli. Tällaisessa tilanteessa ratkaisuna ovat sellaiset muuttujien arvot, jotka täyttävät kaikki tietueen epäyhtälöt. Jos tällaisia ​​lukuja ei ole, järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Suunnitelma, jonka mukaan eriarvoisuusjärjestelmän ratkaisu suoritetaan:

• ratkaise jokainen niistä erikseen;
• kuvata kaikki intervallit numeerisella akselilla ja määrittää niiden leikkauspisteet;
• kirjoita ylös järjestelmän vastaus, joka on liitto toisessa kappaleessa tapahtuneesta.

Entä murto-epäyhtälöt?

Koska niiden ratkaisun aikana saattaa joutua muuttamaan eriarvoisuuden merkkiä, on suunnitelman kaikkia kohtia noudatettava erittäin huolellisesti ja huolellisesti. Muuten saatat saada päinvastaisen vastauksen.

Ratkaisu murto-epäyhtälöt käyttää myös intervallimenetelmää. Ja toimintasuunnitelma olisi seuraava:

• Anna murto kuvattujen ominaisuuksien avulla sellaiseksi, että merkin oikealle puolelle jää vain nolla.
• Korvaa epäyhtälö arvolla "=" ja määritä pisteet, joissa funktio on yhtä suuri kuin nolla.
• Merkitse ne koordinaattiakselille. Tässä tapauksessa nimittäjässä olevista laskelmista saadut luvut leimataan aina ulos. Kaikki muut perustuvat epätasa-arvoon.
• Määritä vakiovälit.
• Kirjoita vastauksena muistiin niiden intervallien liitto, joiden merkki vastaa sitä, joka oli alkuperäisessä epäyhtälössä.

Tilanteet, joissa irrationaalisuus ilmenee epätasa-arvossa

Toisin sanoen tietueessa on matemaattinen juuri. Koska sisään koulun kurssi algebra, suurin osa tehtävistä on neliöjuurelle, niin hän on se, joka otetaan huomioon.

Irrationaalisten epätasa-arvojen ratkaisu perustuu kahden tai kolmen järjestelmän saamiseen, joka vastaa alkuperäistä.

Alkuperäinen eriarvoisuus	kunto	vastaava järjestelmä
√ n(x)< m(х)	m(x) on pienempi tai yhtä suuri kuin 0	ei ratkaisuja
	m(x) on suurempi kuin 0	n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 m(x) on pienempi kuin 0
√n(х) ≤ m(х)	m(x) on pienempi kuin 0	ei ratkaisuja
	m(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0	n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(х) ≤ (m(х)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 m(x) on pienempi kuin 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) on suurempi tai yhtä suuri kuin 0 n(x) on pienempi kuin m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) on suurempi kuin 0 m(x) on pienempi kuin 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) on suurempi kuin 0 m(x) on suurempi kuin 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		n(x) on suurempi kuin 0
		n(x) on 0 m(x) - mikä tahansa
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) on suurempi kuin 0
		n(x) on 0 m(x) - mikä tahansa

Esimerkkejä erilaisten epätasa-arvojen ratkaisemisesta

Alla on esimerkkejä, jotta epätasa-arvojen ratkaisemista koskeva teoria selkeytyy.

Ensimmäinen esimerkki. 2x - 4 > 1 + x

Ratkaisu: DHS:n määrittämiseksi tarvitsee vain tarkastella tarkasti eriarvoisuutta. Se muodostuu lineaarisista funktioista, joten se on määritelty muuttujan kaikille arvoille.

Nyt sinun on vähennettävä epäyhtälön molemmilta puolilta (1 + x). Osoittautuu: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Kun sulut on avattu ja vastaavat ehdot on annettu, epäyhtälö saa seuraavan muodon: x - 5 > 0.

Kun se rinnastetaan nollaan, sen ratkaisu on helppo löytää: x = 5.

Nyt tämä piste numerolla 5 tulee merkitä koordinaattisäteeseen. Tarkista sitten alkuperäisen toiminnon merkit. Ensimmäisellä välillä miinus äärettömyydestä 5:een voit ottaa luvun 0 ja korvata sen muunnosten jälkeen saatuun epäyhtälöön. Laskelmien jälkeen tulee -7 >0. intervallin kaaren alle sinun on allekirjoitettava miinusmerkki.

Seuraavalla aikavälillä 5:stä äärettömään voit valita luvun 6. Sitten käy ilmi, että 1 > 0. Kaaren alle on merkitty “+”-merkki. Tämä toinen väli on vastaus epätasa-arvoon.

Vastaus: x on välissä (5; ∞).

Toinen esimerkki. On ratkaistava kahden yhtälön järjestelmä: 3x + 3 ≤ 2x + 1 ja 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Ratkaisu. Näiden epäyhtälöiden ODZ on myös minkä tahansa lukujen alueella, koska lineaarifunktiot on annettu.

Toinen epäyhtälö on seuraavan yhtälön muodossa: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Muunnoksen jälkeen: -x - 4 =0. Se tuottaa muuttujalle arvon, joka on yhtä suuri kuin -4.

Nämä kaksi numeroa tulee merkitä akselille, joka näyttää välit. Koska eriarvoisuus ei ole tiukka, kaikki kohdat on varjostettava. Ensimmäinen intervalli on miinus äärettömästä -4. Valitaan numero -5. Ensimmäinen epäyhtälö antaa arvon -3 ja toinen 1. Tämä väli ei siis sisälly vastaukseen.

Toinen väli on -4 - -2. Voit valita luvun -3 ja korvata sen molemmissa epäyhtälöissä. Ensimmäisessä ja toisessa saadaan arvo -1. Joten kaaren alla "-".

Viimeisellä välillä -2:sta äärettömyyteen nolla on paras luku. Sinun on korvattava se ja löydettävä eriarvoisuuksien arvot. Ensimmäisessä niistä saadaan positiivinen luku ja toisessa nolla. Tämä aikaväli tulisi myös jättää vastauksen ulkopuolelle.

Kolmesta intervallista vain yksi on ratkaisu epäyhtälöön.

Vastaus: x kuuluu [-4; -2].

Kolmas esimerkki. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Ratkaisu. Ensimmäinen askel on määrittää kohdat, joissa funktiot katoavat. Vasemmalla tämä luku on 2, oikealla - 1. Ne on merkittävä palkkiin ja määritettävä pysyvyysvälit.

Ensimmäisellä aikavälillä, miinus äärettömästä 1:een, epäyhtälön vasemmalta puolelta funktio ottaa positiivisia arvoja ja oikealta negatiivisia arvoja. Kaaren alle on kirjoitettava kaksi merkkiä "+" ja "-" vierekkäin.

Seuraava väli on 1 - 2. Siinä molemmat funktiot saavat positiivisia arvoja. Kaaren alla on siis kaksi plussaa.

Kolmas väli 2:sta äärettömään antaa seuraavan tuloksen: vasen funktio on negatiivinen, oikea on positiivinen.

Ottaen huomioon saadut merkit, on tarpeen laskea epäyhtälöarvot kaikille aikaväleille.

Ensimmäisessä saadaan seuraava epäyhtälö: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Miinus ennen kahta toisessa epäyhtälössä johtuu siitä, että tämä funktio on negatiivinen.

Muunnoksen jälkeen epäyhtälö näyttää tältä: x > 0. Se antaa heti muuttujan arvot. Toisin sanoen tältä väliltä vain väli 0 - 1 menee vastaukseksi.

Toisella: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Muunnokset antavat tällaisen epätasa-arvon: -3x + 4 on suurempi kuin nolla. Sen nolla on arvo x = 4/3. Epäyhtälömerkki huomioon ottaen käy ilmi, että x:n on oltava pienempi kuin tämä luku. Tämä tarkoittaa, että tämä intervalli pienenee väliin 1 - 4/3.

Jälkimmäinen antaa seuraavan tietueen epäyhtälöstä: - (2 - x) > 2 (x - 1). Sen muunnos johtaa tähän: -x > 0. Eli yhtälö pätee x:lle, joka on pienempi kuin nolla. Tämä tarkoittaa, että epäyhtälö ei anna ratkaisuja vaaditulla aikavälillä.

Kahdella ensimmäisellä aikavälillä rajanumero oli 1. Se on tarkistettava erikseen. Eli korvaa alkuperäisen epätasa-arvon. Osoittautuu: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Laskemalla saadaan, että 1 on suurempi kuin 0. Tämä on oikea väite, joten yksi sisältyy vastaukseen.

Vastaus: x on välissä (0; 4/3).

On helpompi sanoa, että nämä ovat epäyhtälöitä, joissa muuttuja on vain ensimmäisessä asteessa, eikä se ole murtoluvun nimittäjässä.

Esimerkkejä:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Esimerkit eivät ole lineaariset epätasa-arvot:

\(3>-2\) - tässä ei ole muuttujia, vain numeroita, joten tämä numeerinen epäyhtälö
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) on nimittäjässä oleva muuttuja, se on
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - toisessa asteessa on muuttuja, tämä

Lineaaristen epäyhtälöiden ratkaiseminen

Epätasa-arvoratkaisu on mikä tahansa luku, jonka muuttujan korvaaminen tekee epäyhtälöstä totta. Ratkaise epätasa-arvo tarkoittaa kaikkien sellaisten numeroiden löytämistä.

Esimerkiksi epäyhtälölle \(x-2>0\) luku \(5\) on ratkaisu, koska kun korvataan viisi x:n sijaan, saadaan oikea numero: \(3>0\). Mutta luku \(1\) ei ole ratkaisu, koska korvaus johtaa väärään numeeriseen epäyhtälöön: \(-1>0\) . Mutta ratkaisu epäyhtälöön ei ole vain viisi, vaan myös \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) ja ääretön määrä lukuja: mikä tahansa luku, joka on suurempi kuin kaksi.

Siksi lineaarisia epäyhtälöitä ei ratkaista arvojen numeroinnin ja korvaamisen avulla. Sen sijaan käyttää niitä johtaa johonkin seuraavista:

\(x c\), \(x\leqc\), \(x\geqc\), missä \(c\) on mikä tahansa luku

Tämän jälkeen vastaus merkitään numeeriselle akselille ja kirjataan muotoon (kutsutaan myös väliksi).

Yleensä, jos osaat ratkaista, niin lineaariset epäyhtälöt ovat voimassasi, koska ratkaisuprosessi on hyvin samanlainen. On vain yksi tärkeä lisäys:

Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö \(2(x+1)-1<7+8x\)
Ratkaisu:

Vastaus: \(x\in(-1;\infty)\)

Erikoistapaus #1: Epäyhtälön ratkaisu on mikä tahansa luku

Lineaarisissa epäyhtälöissä on mahdollista tilanne, jossa ehdottoman mikä tahansa luku menee ratkaisuksi - kokonaisluku, murtoluku, negatiivinen, positiivinen, nolla ... Esimerkiksi tällainen epäyhtälö \ (x + 2> x \) pätee mille tahansa x:n arvo. No, miten se voisi olla toisin, sillä vasemmalla olevaan X:ään lisättiin kakkonen, mutta ei oikealla. Luonnollisesti vasemmalla saadaan suurempi numero riippumatta siitä, minkä x:n otamme.

Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Ratkaisu:

Vastaus: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Erikoistapaus 2: epätasa-arvolla ei ole ratkaisuja

Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun lineaarisella epäyhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan, eli mikään x ei tee sitä todeksi. Esimerkiksi \(x-2>x\) ei koskaan ole totta, koska kaksi vähennetään x:stä vasemmalla, mutta ei oikealla. Tämä tarkoittaa, että vasemmisto on aina vähemmän, ei enemmän.

Esimerkki. Ratkaise epäyhtälö \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Ratkaisu:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		Meitä häiritsevät nimittäjät. Pääsemme niistä heti eroon kertomalla koko epätasa-arvo kaikkien yhteisellä nimittäjällä eli 6:lla
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)		Avataan sulut
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		Vähennä sitä, mitä voidaan vähentää
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		Vasemmalla avaamme hakasulkeen, ja oikealla esitämme samanlaisia ​​termejä
\(3x-15>3x-4\)		Siirretään \(3x\) vasemmalle ja \(-15\) oikealle vaihtaen merkkejä
\(3x-3x>-4+15\)		Tuomme taas samanlaiset ehdot
		Meillä on väärä numeerinen epäyhtälö. Ja se on väärin mille tahansa x:lle, koska se ei vaikuta tuloksena olevaan epäyhtälöön millään tavalla. Siten mikä tahansa x:n arvo ei ole ratkaisu.

Vastaus: \(x\in\varnothing\)

Tässä artikkelissa vastaan ​​toiseen tilaajieni kysymykseen. Kysymykset ovat erilaisia. Kaikkia niistä ei ole muotoiltu oikein. Ja osa niistä on muotoiltu niin, ettei heti ole mahdollista ymmärtää, mitä kirjoittaja haluaa kysyä. Siksi minun on valittava valtavan määrän lähetettyjä kysymyksiä joukosta todella mielenkiintoisia, sellaisia ​​"helmiä", joiden vastaukset eivät ole vain jännittäviä, vaan myös hyödyllisiä, kuten minusta näyttää, muille lukijoilleni. Tänään vastaan ​​yhteen näistä kysymyksistä. Kuinka esittää ratkaisujoukko epätasa-arvojärjestelmälle?


Se on todella hyvä kysymys. Koska menetelmä graafinen ratkaisu matematiikan ongelmat on erittäin tehokas menetelmä. Henkilö on järjestetty siten, että hänen on helpompi havaita tietoa erilaisten visuaalisten materiaalien avulla. Siksi, jos hallitset tämän menetelmän, usko minua, se on sinulle välttämätön sekä ratkaiseessasi tehtäviä yhtenäisestä valtionkokeesta, erityisesti toisesta osasta, muista kokeista, että ratkaistessasi optimointiongelmia ja niin edelleen.

Niin. Kuinka voimme vastata tähän kysymykseen. Aloitetaan yksinkertaisesta. Olkoon epäyhtälöjärjestelmässä vain yksi muuttuja.

Esimerkki 1. Piirrä ratkaisujoukko epäyhtälöllisyysjärjestelmään: Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Yksinkertaistetaan tätä järjestelmää. Tätä varten lisäämme 7 ensimmäisen epäyhtälön molempiin osiin ja jaamme molemmat osat 2:lla muuttamatta epäyhtälön etumerkkiä, koska 2 on positiivinen luku. Lisäämme toisen epäyhtälön molempiin osiin 4. Tuloksena saadaan seuraava epäyhtälöjärjestelmä:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Yleensä tällaista ongelmaa kutsutaan yksiulotteiseksi. Miksi? Kyllä, koska sen ratkaisujoukon kuvaamiseen riittää suora viiva. Numeroviiva, tarkalleen ottaen. Huomaa tämän numeroviivan kohdat 6 ja 8. On selvää, että piste 8 on oikealla puolella kuin piste 6, koska numerorivillä suuret luvut ovat pienempien oikealla puolella. Lisäksi kohta 8 varjostetaan, koska ensimmäisen epäyhtälön merkinnän mukaan se sisältyy ratkaisuunsa. Päinvastoin, kohta 6 jää maalaamatta, koska se ei sisälly toisen epäyhtälön ratkaisuun:

Merkitään nyt nuolella yläpuolelle arvot, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin 8, kuten järjestelmän ensimmäinen epäyhtälö vaatii, ja nuolella alhaalta arvot, jotka ovat suurempia kuin 6, tarpeen mukaan järjestelmän toisella epätasa-arvolla:

Jäljelle jää vastata kysymykseen, missä numeroviivalla ovat epäyhtälöjärjestelmän ratkaisut. Muista kerta kaikkiaan. Järjestelmän merkki - kihara hakasulke - matematiikassa korvaa liiton "Ja". Toisin sanoen kääntämällä kaavojen kielen ihmisten kielelle voimme sanoa, että meidän on ilmoitettava arvot, jotka ovat suurempia kuin 6 JA pienempiä tai yhtä suuria kuin 8. Eli vaadittu väli on leikkauspisteessä merkityistä intervalleista:

Joten olemme kuvanneet joukon ratkaisuja epäyhtälöjärjestelmälle reaaliviivalla, jos epäyhtälöjärjestelmä sisältää vain yhden muuttujan. Tämä varjostettu väli sisältää kaikki arvot, joille kaikki järjestelmään kirjoitetut epäyhtälöt täyttyvät.

Tarkastellaan nyt monimutkaisempaa tapausta. Olkoon järjestelmämme sisällä epäyhtälöitä kahdella muuttujalla ja . Tässä tapauksessa ei ole mahdollista hallita vain suoraa viivaa edustamaan tällaisen järjestelmän ratkaisuja. Menemme yksiulotteisen maailman pidemmälle ja lisäämme siihen uuden ulottuvuuden. Täällä tarvitaan koko kone. Mieti tilannetta tietyllä esimerkillä.

Joten kuinka voidaan kuvata tietyn epäyhtälöjärjestelmän ratkaisujoukko kahdella muuttujalla suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa? Aloitetaan yksinkertaisimmasta. Kysytään itseltämme, minkä tämän tason alueen epäyhtälö määrittelee. Yhtälö määrittelee suoran, joka kulkee kohtisuorassa akseliin nähden HÄRKÄ pisteen läpi (0;0). Eli itse asiassa tämä viiva osuu yhteen akselin kanssa OY. No, koska olemme kiinnostuneita arvoista, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin 0, niin koko suoran oikealla puolella oleva puolitaso tekee:

Lisäksi kaikki pisteet, jotka sijaitsevat akselilla OY, sopivat myös meille, koska epätasa-arvo ei ole tiukka.

Ymmärtääksesi, mikä alue koordinaattitasolla määrittää kolmannen epäyhtälön, sinun on piirrettävä funktio. Tämä on origon ja esimerkiksi pisteen (1;1) kautta kulkeva suora. Eli itse asiassa se on suora viiva, joka sisältää ensimmäisen koordinaattineljänneksen muodostavan kulman puolittajan.

Katsotaan nyt järjestelmän kolmatta epätasa-arvoa ja mietitään sitä. Mikä alue meidän pitää löytää? Katsotaan: . Suurempi tai yhtäläisyysmerkki. Eli tilanne on samanlainen kuin edellisessä esimerkissä. Vain tässä "enemmän" ei tarkoita "enemmän oikealle", vaan "korkeammaksi". Koska OY Tämä on pystyakselimme. Eli kolmannen epäyhtälön tasossa määrittelemä alue on rivin yläpuolella tai rivillä olevien pisteiden joukko:

Järjestelmän ensimmäisellä epätasa-arvolla se on hieman vähemmän kätevä. Mutta kun olemme pystyneet määrittelemään kolmannen epätasa-arvon laajuuden, mielestäni on selvää, miten edetä.

Tämä epäyhtälö on esitettävä siten, että vain muuttuja on vasemmalla ja vain muuttuja oikealla. Tätä varten vähennämme epäyhtälön molemmilta puolilta ja jaamme molemmat puolet 2:lla muuttamatta epäyhtälön etumerkkiä, koska 2 on positiivinen luku. Tuloksena saamme seuraavan epätasa-arvon:

Jää vain piirtää koordinaattitasolle suora, joka leikkaa akselin OY pisteessä A(0;4) ja suora pisteessä . Jälkimmäisen opin tasaamalla suorien yhtälöiden oikeat osat ja hankkimalla yhtälön. Tästä yhtälöstä löydetään leikkauspisteen koordinaatti ja koordinaatti, luulen, että arvasit sen, on yhtä suuri kuin koordinaatti. Niille, jotka eivät vieläkään arvannut, tämä johtuu siitä, että meillä on yhtälö yhdestä leikkaavasta viivasta:.

Heti kun olemme vetäneet tämän suoran, voimme välittömästi merkitä etsimämme alueen. Epätasa-arvomerkki tässä on "pienempi tai yhtä suuri". Tämä tarkoittaa, että haluttu alue sijaitsee kuvatun viivan alla tai suoraan sen päällä:

No, viimeinen kysymys. Missä sitten on se haluttu alue, joka tyydyttää järjestelmän kaikki kolme eriarvoisuutta? Ilmeisesti se sijaitsee kaikkien kolmen merkityn alueen risteyksessä. Taas ylitys! Muista: järjestelmän merkki matematiikassa tarkoittaa leikkauspistettä. Tässä se on, tämä alue:

No, viimeinen esimerkki. Vielä yleisemmin. Oletetaan nyt, että järjestelmässä ei ole yhtä muuttujaa eikä kahta, vaan jopa kolme!

Koska muuttujia on kolme, kuvaamaan tällaisen epäyhtälöjärjestelmän ratkaisujoukkoa, tarvitsemme kolmannen ulottuvuuden niiden kahden lisäksi, joiden kanssa työskentelimme edellisessä esimerkissä. Eli pääsemme tasosta avaruuteen ja kuvaamme jo kolmiulotteisen spatiaalisen koordinaattijärjestelmän: X, Y Ja Z. Joka vastaa pituutta, leveyttä ja korkeutta.

Aloitetaan kuvaamalla tässä koordinaattijärjestelmässä yhtälön antama pinta. Muodossa se on hyvin samanlainen kuin ympyrän yhtälö tasossa, vain yksi termi, jossa on muuttuja, lisätään. On helppo arvata, että tämä on yhtälö pisteeseen (1; 3; 2) keskitetystä pallosta, jonka säteen neliö on 4. Eli itse säde on 2.

Sitten kysymys. Ja mikä sitten asettaa epätasa-arvon itse? Niille, jotka ovat ymmällään tästä kysymyksestä, ehdotan seuraavaa järkeä. Käännettäessä kaavojen kieli ihmiseksi voidaan sanoa, että vaaditaan osoittamaan kaikki pisteessä (1;3;2) olevat pallot, joiden säteet ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin 2. Mutta silloin kaikki nämä pallot ovat pisteen sisällä. kuvattu pallo! Eli itse asiassa tämä epäyhtälö määrittelee kuvatun pallon koko sisäalueen. Halutessasi annetaan pallo, jota rajoittaa kuvattu pallo:

Yhtälön x+y+z=4 antama pinta on taso, joka leikkaa koordinaattiakselit pisteissä (0;0;4), (0;4;0) ja (4;0;0). No, on selvää, että mitä suurempi numero on yhtäläisyysmerkin oikealla puolella, sitä kauempana koordinaattien keskustasta ovat tämän tason leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Toisin sanoen toinen epäyhtälö määrittelee puoliavaruuden, joka sijaitsee annetun tason "yläpuolella". Ehdollista termiä "korkeampi" käyttäen tarkoitan edelleen suuntaan, jossa koordinaattien arvoja kasvatetaan akseleita pitkin.

Tämä taso leikkaa kuvatun pallon. Tässä tapauksessa poikkileikkaus on ympyrä. Voit jopa laskea kuinka kaukana koordinaattijärjestelmän keskipisteestä on tämän ympyrän keskipiste. Muuten, kuka tahansa arvaa kuinka tämä tehdään, kirjoita ratkaisusi ja vastauksesi kommentteihin. Alkuperäinen epäyhtälöjärjestelmä määrittää siis avaruuden alueen, joka on kauempana tästä tasosta kasvavien koordinaattien suunnassa, mutta on kuvatun pallon sisällä:

Näin kuvataan eriarvoisuusjärjestelmän ratkaisujoukkoa. Jos järjestelmässä on enemmän kuin 3 muuttujaa (esimerkiksi 4), ratkaisujoukkoa ei voida enää visuaalisesti kuvata. Koska se vaatisi 4-ulotteisen koordinaattijärjestelmän. Mutta normaali ihminen ei pysty kuvittelemaan, kuinka 4 keskenään kohtisuoraa koordinaattiakselia voitaisiin sijoittaa. Vaikka minulla on ystävä, joka väittää pystyvänsä tekemään sen ja helposti. En tiedä, puhuuko hän totta, ehkä totta. Mutta silti normaali ihmisen mielikuvitus ei salli tätä.

Toivottavasti tämän päivän oppitunnista oli sinulle hyötyä. Voit tarkistaa, kuinka hyvin opit sen, suorittamalla alla olevat kotitehtävät.

Piirrä joukko ratkaisuja epätasa-arvojärjestelmään:

ql-right-eqno"> title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Valmisteli Sergei Valerievich

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit sisään Erityinen pykälä 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mitä on tapahtunut "neliö epätasa-arvo"? Ei kysymys!) Jos otat minkä tahansa toisen asteen yhtälö ja vaihda merkki siinä "=" (yhtä) mihin tahansa epätasa-arvokuvakkeeseen ( > ≥ < ≤ ≠ ), saadaan neliöllinen epäyhtälö. Esimerkiksi:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

No ymmärrät idean...)

Linkitin tietoisesti yhtälöitä ja epäyhtälöitä tähän. Tosiasia on, että ensimmäinen askel ratkaisussa minkä tahansa neliö epätasa-arvo - ratkaise yhtälö, josta tämä epäyhtälö on tehty. Tästä syystä kyvyttömyys päättää toisen asteen yhtälöt johtaa automaattisesti epätasa-arvon täydelliseen epäonnistumiseen. Onko vihje selkeä?) Jos jotain, katso kuinka ratkaista mikä tahansa toisen asteen yhtälö. Siellä kerrotaan kaikki yksityiskohtaisesti. Ja tällä oppitunnilla käsittelemme eriarvoisuutta.

Ratkaisuvalmiilla epäyhtälöllä on muoto: vasen - neliötrinomi ax 2 +bx+c, oikealla - nolla. Epätasa-arvomerkki voi olla mitä tahansa. Kaksi ensimmäistä esimerkkiä ovat tässä ovat valmiita päätökseen. Kolmas esimerkki on vielä valmisteltavana.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.