Olkoon niiden todennäköisyydet ja niitä vastaavat ehdolliset todennäköisyydet tiedossa. Sitten tapahtuman todennäköisyys on:

Tätä kaavaa kutsutaan kokonaistodennäköisyyskaavat. Oppikirjoissa se on muotoiltu lauseella, jonka todiste on alkeellinen: mukaan tapahtumaalgebra, (tapahtuma tapahtui Ja tai tapahtui tapahtuma Ja sen jälkeen tapahtui tai tapahtui tapahtuma Ja sen jälkeen tapahtui tai …. tai tapahtui tapahtuma Ja seurannut tapahtuma). Hypoteesien jälkeen ovat yhteensopimattomia, ja tapahtuma on riippuvainen, niin sen mukaan yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien summauslause (Ensimmäinen askel) Ja riippuvien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause (toinen vaihe):

Luultavasti monet odottavat ensimmäisen esimerkin sisältöä =)

Missä tahansa syljet - kaikkialla uurna:

Tehtävä 1

On kolme identtistä urnaa. Ensimmäinen uurna sisältää 4 valkoista ja 7 mustaa palloa, toinen uurna sisältää vain valkoisia palloja ja kolmas uurna vain mustia palloja. Yksi uurna valitaan sattumanvaraisesti ja siitä vedetään satunnaisesti pallo. Millä todennäköisyydellä tämä pallo on musta?

Ratkaisu: harkitse tapahtumaa - satunnaisesti valitusta uurnasta arvotaan musta pallo. Tämä tapahtuma voi johtua jonkin seuraavista hypoteeseista:
– 1. uurna valitaan;
– 2. uurna valitaan;
– 3. urna valitaan.

Koska uurna valitaan sattumanvaraisesti, valitaan mikä tahansa kolmesta uurnasta yhtä mahdollista, siis:

Huomaa, että yllä olevat hypoteesit muodostuvat koko joukko tapahtumia, eli ehdon mukaan musta pallo voi ilmestyä vain näistä uurneista, eikä esimerkiksi lentää biljardipöydästä. Tehdään yksinkertainen välitarkistus:
OK, jatketaan:

Ensimmäinen uurna sisältää 4 valkoista + 7 mustaa = 11 palloa, kumpikin klassinen määritelmä:
on todennäköisyys piirtää musta pallo olettaen että että 1. urna valitaan.

Toinen uurna sisältää vain valkoisia palloja, joten jos valitaan tulee mustan pallon ulkonäkö mahdotonta: .

Ja lopuksi, kolmannessa uurnassa on vain mustia palloja, mikä tarkoittaa, että vastaavat ehdollinen todennäköisyys mustan pallon poistaminen tulee olemaan (tapahtuma on varma).

on todennäköisyys, että satunnaisesti valitusta uurnasta vedetään musta pallo.

Vastaus:

Analysoitu esimerkki osoittaa jälleen, kuinka tärkeää on YMMÄRTÄ TILANNE. Otetaan samat ongelmat uurnojen ja pallojen kanssa - niiden ulkoisen samankaltaisuuden vuoksi ratkaisumenetelmät voivat olla täysin erilaisia: jonnekin on sovellettava vain klassinen todennäköisyyden määritelmä, jossain tapahtumia riippumaton, jossain riippuvainen, ja jossain puhumme hypoteeseista. Samaan aikaan ratkaisupolun valinnassa ei ole selkeää muodollista kriteeriä - sitä on melkein aina mietittävä. Kuinka parantaa taitojasi? Ratkaisemme, ratkaisemme ja ratkaisemme uudelleen!

Tehtävä 2

Ampumaradalla on 5 erilaista kivääriä. Tietyn ampujan maaliin osumisen todennäköisyys on vastaavasti 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 ja 0,4. Mikä on todennäköisyys osua maaliin, jos ampuja ampuu yhden laukauksen satunnaisesti valitusta kivääristä?

Nopea Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Suurin osa temaattisia tehtäviä Hypoteesit eivät tietenkään ole yhtä todennäköisiä:

Tehtävä 3

Pyramidissa on 5 kivääriä, joista kolme on varustettu optisella tähtäimellä. Todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin teleskooppitähtäimellä varustetusta kivääristä ammuttaessa, on 0,95; kiväärille ilman teleskooppitähtäintä tämä todennäköisyys on 0,7. Laske todennäköisyys, että maali osuu, jos ampuja ampuu yhden laukauksen satunnaisesti otetusta kivääristä.

Ratkaisu: tässä tehtävässä kiväärien määrä on täsmälleen sama kuin edellisessä, mutta hypoteesia on vain kaksi:
- ampuja valitsee optisella tähtäimellä varustetun kiväärin;
- ampuja valitsee kiväärin ilman teleskooppitähtäintä.
Tekijä: klassinen todennäköisyyden määritelmä: .
Ohjaus:

Harkitse tapahtumaa: - Ampuja osuu maaliin satunnaisesti valitulla kiväärillä.
Ehdon mukaan: .

Kokonaistodennäköisyyskaavan mukaan:

Vastaus: 0,85

Käytännössä sinullekin tuttu lyhennetty tehtävän suunnittelutapa on varsin hyväksyttävä:

Ratkaisu: klassisen määritelmän mukaan: ovat todennäköisyydet valita kivääri optisella tähtäimellä ja ilman.

Ehdolla, – todennäköisyydet osua kohteeseen vastaavilla kiväärityypeillä.

Kokonaistodennäköisyyskaavan mukaan:
on todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin satunnaisesti valitulla kiväärillä.

Vastaus: 0,85

Seuraava tehtävä itsenäiselle ratkaisulle:

Tehtävä 4

Moottori toimii kolmessa tilassa: normaali, pakko ja joutokäynti. Lepotilassa sen epäonnistumisen todennäköisyys on 0,05, normaalitilassa - 0,1 ja pakotetussa tilassa - 0,7. 70 % ajasta moottori käy normaalitilassa ja 20 % pakotetussa tilassa. Mikä on moottorivian todennäköisyys käytön aikana?

Varmuudeksi, muistutan teitä - jotta saadaan todennäköisyydet, prosenttiosuudet on jaettava 100:lla. Ole erittäin varovainen! Havaintojeni mukaan kokonaistodennäköisyyskaavan ongelmien ehdot yritetään usein sekoittaa; ja valitsin nimenomaan tällaisen esimerkin. Kerron sinulle salaisuuden - itsekin melkein hämmentyin =)

Ratkaisu oppitunnin lopussa (lyhyesti muotoiltu)

Ongelmia Bayesin kaavoille

Aineisto liittyy läheisesti edellisen kappaleen sisältöön. Anna tapahtuman tapahtua jonkin hypoteesin toteuttamisen seurauksena . Kuinka määrittää todennäköisyys, että tietty hypoteesi toteutui?

Olettaen että tuo tapahtuma jo tapahtunut, hypoteesien todennäköisyydet yliarvioitu kaavojen mukaan, jotka saivat englantilaisen papin Thomas Bayesin nimen:

- hypoteesin toteutumisen todennäköisyys;
- hypoteesin toteutumisen todennäköisyys;
…
on todennäköisyys, että hypoteesi oli totta.

Ensi silmäyksellä se näyttää täydelliseltä absurdilta - miksi laskea hypoteesien todennäköisyydet uudelleen, jos ne ovat jo tiedossa? Mutta itse asiassa on ero:

- Tämä a priori(arvioitu ennen testit) todennäköisyydet.

- Tämä a posteriori(arvioitu jälkeen testit) samojen hypoteesien todennäköisyydet, jotka on laskettu uudelleen "äskettäin havaittujen olosuhteiden" yhteydessä - ottaen huomioon, että tapahtuma tapahtui.

Katsotaanpa tätä eroa konkreettinen esimerkki:

Tehtävä 5

Varastoon saapui 2 erää tuotteita: ensimmäinen - 4000 kappaletta, toinen - 6000 kappaletta. Epästandardien tuotteiden keskimääräinen prosenttiosuus ensimmäisessä erässä on 20%, ja toisessa - 10%. Satunnaisesti varastosta otettu tuote osoittautui vakioksi. Laske todennäköisyys, että se on: a) ensimmäisestä erästä, b) toisesta erästä.

Ensimmäinen osa ratkaisuja koostuu kokonaistodennäköisyyskaavan käytöstä. Toisin sanoen laskelmat suoritetaan olettaen, että testi ei vielä tuotettu ja tapahtuma "tuote osoittautui vakioksi" kunnes se tulee.

Tarkastellaan kahta hypoteesia:
- satunnaisesti otettu tuote on 1. erästä;
- satunnaisesti otettu tuote on toisesta erästä.

Yhteensä: 4000 + 6000 = 10000 tuotetta varastossa. Klassisen määritelmän mukaan:
.

Ohjaus:

Harkitse riippuvaista tapahtumaa: – varastosta satunnaisesti otettu tuote tahtoa standardi.

Ensimmäisessä erässä 100% - 20% = 80% vakiotuotteita, joten: olettaen että että se kuuluu ensimmäiselle osapuolelle.

Vastaavasti toisessa erässä 100% - 10% = 90% vakiotuotteita ja on todennäköisyys, että varastosta satunnaisesti valittu nimike on vakiotuote olettaen että että se kuuluu toiselle osapuolelle.

Kokonaistodennäköisyyskaavan mukaan:
on todennäköisyys, että varastosta satunnaisesti valittu tuote on vakiotuote.

Osa kaksi. Oletetaan, että varastosta satunnaisesti otettu tuote osoittautui vakiotuotteeksi. Tämä lause on kirjoitettu suoraan ehdossa, ja se ilmaisee tosiasian, että tapahtuma tapahtui.

Bayesin kaavojen mukaan:

a) - todennäköisyys, että valittu standardituote kuuluu 1. erään;

b) - todennäköisyys, että valittu vakiotuote kuuluu 2. erään.

Jälkeen uudelleenarvostus hypoteeseja on tietysti edelleen olemassa täysi ryhmä:
(koe ;-))

Vastaus:

Ivan Vasilyevich, joka vaihtoi ammattiaan uudelleen ja tuli tehtaan johtajaksi, auttaa meitä ymmärtämään hypoteesien uudelleenarvioinnin merkityksen. Hän tietää, että tänään 1. myymälä toimitti varastoon 4000 tuotetta ja 2. myymälä 6000 tuotetta, ja hän tulee varmistamaan tämän. Oletetaan, että kaikki tuotteet ovat samaa tyyppiä ja ovat samassa astiassa. Luonnollisesti Ivan Vasilyevich laski aiemmin, että tuote, jonka hän nyt poistaisi varmennusta varten, olisi todennäköisesti 1. työpajan ja todennäköisyydellä toisen valmistama. Mutta kun valittu esine osoittautuu vakioksi, hän huudahtaa: ”Mikä siisti pultti! - sen julkaisi pikemminkin 2. työpaja. Siten toisen hypoteesin todennäköisyys on yliarvioitu parempi puoli, ja ensimmäisen hypoteesin todennäköisyys on aliarvioitu: . Ja tämä yliarviointi ei ole kohtuutonta - loppujen lopuksi toinen työpaja ei vain tuottanut enemmän tuotteita, vaan toimii myös 2 kertaa paremmin!

Sanotko puhdasta subjektivismia? Osittain - kyllä, lisäksi Bayes itse tulkitsi a posteriori todennäköisyydet kuten luottamustaso. Kaikki ei kuitenkaan ole niin yksinkertaista - bayesialaisessa lähestymistavassa on objektiivinen jyvä. Loppujen lopuksi todennäköisyys, että tuote on vakio (0,8 ja 0,9 1. ja 2. kaupalle, vastaavasti) Tämä alustava(a priori) ja keskikokoinen arvioita. Mutta filosofisesti puhuen kaikki virtaa, kaikki muuttuu, myös todennäköisyydet. Se on täysin mahdollista tutkimuksen aikaan menestyneempi 2. kauppa lisäsi vakiotuotteiden prosenttiosuutta (ja/tai 1. kauppa alennettu), ja jos tarkistat enemmän tai kaikki 10 tuhatta tuotetta varastossa, yliarvioidut arvot ovat paljon lähempänä totuutta.

Muuten, jos Ivan Vasilyevich poimii epätyypillisen osan, niin päinvastoin - hän "epäilee" ensimmäistä kauppaa enemmän ja vähemmän - toista. Suosittelen, että tarkistat sen itse:

Tehtävä 6

Varastoon saapui 2 erää tuotteita: ensimmäinen - 4000 kappaletta, toinen - 6000 kappaletta. Epästandardien tuotteiden keskimääräinen prosenttiosuus ensimmäisessä erässä on 20%, toisessa - 10%. Satunnaisesti varastosta otettu tuote osoittautui Ei standardi. Laske todennäköisyys, että se on: a) ensimmäisestä erästä, b) toisesta erästä.

Ehto erotetaan kahdesta kirjaimesta, jotka olen korostanut lihavoidulla. Ongelma voidaan ratkaista tyhjästä tai voit käyttää aikaisempien laskelmien tuloksia. Näytteessä tein kokonaisratkaisun, mutta välttääkseni muodollisen päällekkäisyyden tehtävän nro 5 kanssa, tapahtuma "Satunnaisesti varastosta otettu tuote on epästandardi" merkitty .

Bayesilaista todennäköisyyksien uudelleenarvioinnin mallia löytyy kaikkialta, ja sitä käyttävät myös aktiivisesti hyväkseen erilaiset huijarit. Harkitse kotinimeksi muodostunutta kolmikirjaimista osakeyhtiötä, joka houkuttelee väestöltä talletuksia, väitetysti sijoittaa ne jonnekin, maksaa säännöllisesti osinkoja jne. Mitä tapahtuu? Päivä toisensa jälkeen, kuukausi toisensa jälkeen ja yhä useammat uudet tosiasiat, jotka välitetään mainonnan ja suusta suuhun, vain lisäävät luottamusta rahoituspyramidiin (jälkimmäinen Bayesin uudelleenarviointi menneistä tapahtumista johtuen!). Eli tallettajien silmissä sen todennäköisyys kasvaa jatkuvasti "Tämä on vakava toimisto"; kun taas päinvastaisen hypoteesin todennäköisyys ("nämä ovat tavallisia huijareita") tietysti vähenee ja vähenee. Loput on mielestäni selvää. On huomionarvoista, että ansaittu maine antaa järjestäjille aikaa piiloutua onnistuneesti Ivan Vasilyevichiltä, ​​joka jäi paitsi ilman pultteja myös ilman housuja.

Palaamme yhtä mielenkiintoisiin esimerkkeihin hieman myöhemmin, mutta toistaiseksi ehkä yleisin tapaus, jossa on kolme hypoteesia, on seuraava:

Tehtävä 7

Sähkölamppuja valmistetaan kolmessa tehtaassa. Ensimmäinen tehdas tuottaa 30% lamppujen kokonaismäärästä, toinen - 55% ja kolmas - loput. Ensimmäisen tehtaan tuotteet sisältävät 1 % viallisia lamppuja, 2. - 1,5 %, 3. - 2 %. Kauppa vastaanottaa tuotteita kaikilta kolmelta tehtaalta. Ostamani lamppu oli viallinen. Millä todennäköisyydellä sen on tuottanut laitos 2?

Huomaa, että Bayes-kaavojen ongelmissa ehdossa Välttämättä jonkin verran mitä tapahtui tapahtuma, tässä tapauksessa lampun osto.

Tapahtumat ovat lisääntyneet ja ratkaisu on kätevämpää järjestää "nopeaan" tyyliin.

Algoritmi on täsmälleen sama: ensimmäisessä vaiheessa löydämme todennäköisyyden, että ostettu lamppu toimii tulee olemaan viallinen.

Alkutietojen avulla muunnamme prosenttiosuudet todennäköisyyksiksi:
ovat todennäköisyydet, että lamppu on valmistettu 1., 2. ja 3. tehtaalla.
Ohjaus:

Vastaavasti: - viallisen lampun valmistustodennäköisyydet vastaaville tehtaille.

Kokonaistodennäköisyyskaavan mukaan:

- todennäköisyys, että ostettu lamppu on viallinen.

Vaihe kaksi. Anna ostetun lampun olla viallinen (tapahtuma tapahtui)

Bayesin kaavan mukaan:
- todennäköisyys, että ostettu viallinen lamppu on toisen tehtaan valmistama

Vastaus:

Miksi 2. hypoteesin alkuperäinen todennäköisyys nousi uudelleenarvioinnin jälkeen? Loppujen lopuksi toinen tehdas tuottaa keskilaatuisia lamppuja (ensimmäinen on parempi, kolmas huonompi). Joten miksi se kasvoi a posteriori todennäköisyys, että viallinen lamppu on toisesta tehtaasta? Tämä ei johdu enää "maineesta", vaan koosta. Koska tehdas numero 2 tuotti eniten suuri määrä lamput, sitten he syyttävät häntä (ainakin subjektiivisesti): "todennäköisimmin tämä viallinen lamppu on sieltä".

On mielenkiintoista huomata, että 1. ja 3. hypoteesin todennäköisyydet yliarvioivat odotetuissa suunnissa ja tulivat yhtä suureksi:

Ohjaus: , joka oli tarkistettava.

Muuten ali- ja yliarvioinnista:

Tehtävä 8

Opiskelijaryhmässä on 3 henkilöä korkeatasoinen koulutus, 19 henkilöä - keskitaso ja 3 - matala. Näiden opiskelijoiden todennäköisyydet kokeen läpäisemisestä ovat: 0,95; 0,7 ja 0,4. Tiedetään, että jotkut opiskelijat läpäisivät kokeen. Mikä on todennäköisyys, että:

a) hän oli erittäin hyvin valmistautunut;
b) oli kohtuullisesti valmistettu;
c) oli huonosti valmisteltu.

Suorita laskelmia ja analysoi hypoteesien uudelleenarvioinnin tuloksia.

Tehtävä on lähellä todellisuutta ja on erityisen uskottava osa-aikaisten opiskelijoiden ryhmälle, jossa opettaja ei käytännössä tunne tämän tai toisen opiskelijan kykyjä. Tässä tapauksessa tulos voi aiheuttaa melko odottamattomia seurauksia. (erityisesti 1. lukukauden kokeisiin). Jos huonosti valmistautunut oppilas on onnekas saamaan lipun, opettaja todennäköisesti pitää häntä hyvänä opiskelijana tai jopa vahvana opiskelijana, mikä tuo hyvää tulosta tulevaisuudessa (Tietenkin sinun on nostettava rimaa ja ylläpidettävä imagoasi). Jos opiskelija opiskeli, ahtautui, toisti 7 päivää ja 7 yötä, mutta hän oli yksinkertaisesti epäonninen, niin jatkotapahtumat voivat kehittyä pahimmalla mahdollisella tavalla - lukuisilla uusinnoilla ja tasapainoilla lähdön partaalla.

Sanomattakin on selvää, että maine on tärkein pääoma, ei ole sattumaa, että monet yritykset kantavat perustajiensa nimiä ja sukunimiä, jotka johtivat liiketoimintaa 100-200 vuotta sitten ja tulivat kuuluisiksi moitteettomasta maineestaan.

Kyllä, bayesilainen lähestymistapa on jossain määrin subjektiivinen, mutta ... näin elämä toimii!

Yhdistetään materiaalia lopullisella teollisella esimerkillä, jossa puhun ratkaisun teknisistä hienouksista, joita ei ole vielä kohdattu:

Tehtävä 9

Tehtaan kolme konepajaa valmistavat samantyyppisiä osia, jotka kootaan yhteiseen säiliöön kokoonpanoa varten. Tiedetään, että ensimmäinen myymälä tuottaa 2 kertaa enemmän osia kuin toinen myymälä ja 4 kertaa enemmän kuin kolmas myymälä. Ensimmäisessä työpajassa vika on 12%, toisessa - 8%, kolmannessa - 4%. Ohjausta varten yksi osa otetaan säiliöstä. Mikä on todennäköisyys, että se on viallinen? Millä todennäköisyydellä purettu viallinen osa on valmistettu 3. myymälässä?

Taki Ivan Vasilyevich on taas hevosen selässä =) Elokuvalla täytyy olla onnellinen loppu =)

Ratkaisu: toisin kuin tehtävissä nro 5-8, tässä esitetään yksiselitteisesti kysymys, joka ratkaistaan ​​kokonaistodennäköisyyskaavalla. Mutta toisaalta ehto on hieman "salattu", ja koulun taito muodostaa yksinkertaisimmat yhtälöt auttaa meitä ratkaisemaan tämän rebussin. "x":lle on kätevää ottaa pienin arvo:

Olkoon kolmannen työpajan tuottamien osien osuus.

Ehdon mukaan ensimmäinen konepaja tuottaa 4 kertaa enemmän kuin kolmas, joten 1. työpajan osuus on .

Lisäksi ensimmäinen konepaja tuottaa 2 kertaa enemmän tuotteita kuin toinen, mikä tarkoittaa, että jälkimmäisen osuus: .

Tehdään ja ratkaistaan ​​yhtälö:

Siten: - todennäköisyydet, että säiliöstä poistettu osa vapautui 1., 2. ja 3. työpajan toimesta.

Ohjaus: . Lisäksi ei ole tarpeetonta tarkastella lausetta uudelleen ”Tiedetään, että ensimmäinen työpaja tuottaa tuotteita 2 kertaa enemmän kuin sekunti kauppa ja 4 kertaa enemmän kuin kolmas kauppa" ja varmista, että saadut todennäköisyydet todella vastaavat tätä ehtoa.

"X":lle oli alun perin mahdollista ottaa osuus 1. tai 2. kaupasta - todennäköisyydet tulevat samat. Mutta tavalla tai toisella, vaikein osa on ohitettu, ja ratkaisu on oikeilla jäljillä:

Ehdosta löydämme:
- viallisen osan valmistuksen todennäköisyys vastaaville korjaamoille.

Kokonaistodennäköisyyskaavan mukaan:
on todennäköisyys, että säiliöstä satunnaisesti otettu osa on epästandardi.

Kysymys kaksi: millä todennäköisyydellä purettu viallinen osa on valmistettu 3. liikkeessä? Tämä kysymys olettaa, että osa on jo poistettu ja että se on viallinen. Arvioimme hypoteesin uudelleen Bayesin kaavalla:
on haluttu todennäköisyys. Melko odotettua - loppujen lopuksi kolmas työpaja ei tuota vain pienintä osaa osista, vaan myös johtaa laadussa!

Tässä tapauksessa minun oli pakko yksinkertaistaa nelikerroksista murto-osaa, joka Bayesin kaavojen tehtävissä on tehtävä melko usein. Mutta tälle oppitunnille otin jotenkin vahingossa esimerkkejä, joissa monet laskelmat voidaan tehdä ilman tavallisia murtolukuja.

Koska ehdossa ei ole "a"- ja "be"-pisteitä, on parempi antaa vastaus tekstikommenteilla:

Vastaus: - todennäköisyys, että säiliöstä poistettu osa on viallinen; - todennäköisyys, että purettu viallinen osa vapautui 3. korjaamossa.

Kuten näette, kokonaistodennäköisyyskaavan ja Bayesin kaavojen ongelmat ovat melko yksinkertaisia, ja luultavasti tästä syystä ne yrittävät niin usein monimutkaistaa ehtoa, jonka mainitsin jo artikkelin alussa.

Lisää esimerkkejä on tiedostossa valmiita ratkaisuja F.P.V. ja Bayesin kaavat, lisäksi on luultavasti niitä, jotka haluavat tutustua tähän aiheeseen tarkemmin muista lähteistä. Ja aihe on todella mielenkiintoinen - minkä arvoinen se yksin on Bayesin paradoksi, joka oikeuttaa arjen neuvon, että jos henkilöllä on diagnosoitu harvinainen sairaus, hänen on järkevää tehdä toinen ja jopa kaksi toistettua riippumatonta tutkimusta. Vaikuttaa siltä, ​​​​että he tekevät sen vain epätoivosta ... - mutta ei! Mutta älkäämme puhuko surullisista asioista.

on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu opiskelija läpäisee kokeen.
Anna opiskelijan läpäistä koe. Bayesin kaavojen mukaan:
A) - todennäköisyys, että kokeen läpäissyt opiskelija oli valmistautunut erittäin hyvin. Objektiivinen alkutodennäköisyys on yliarvioitu, koska lähes aina jotkut "keskiarvoiset" ovat onnekkaita kysymyksissä ja vastaavat erittäin vahvasti, mikä antaa virheellisen vaikutelman moitteettomasta valmistautumisesta.
b) on todennäköisyys, että kokeen läpäissyt opiskelija oli valmistautunut kohtalaisesti. Alkutodennäköisyys osoittautuu hieman yliarvioituksi, koska Keskimäärin valmistautuneita oppilaita on yleensä enemmistö, lisäksi opettaja ottaa tähän mukaan epäonnistuneesti vastatut "erinomaiset opiskelijat" ja joskus huonosti suoriutuneen opiskelijan, jolla oli erittäin hyvä tuuri lipun kanssa.
V) - todennäköisyys, että kokeen läpäissyt opiskelija oli huonosti valmistautunut. Alkuperäinen todennäköisyys oli yliarvioitu huonompaan suuntaan. Ei yllättävää.
Tutkimus:
Vastaus :

Kokonaistodennäköisyyskaavaa johdettaessa oletettiin, että hypoteesien todennäköisyydet ovat tiedossa ennen koetta. Bayesin kaava mahdollistaa alkuperäisten hypoteesien uudelleenarvioinnin tapahtuman uuden tiedon valossa tapahtui. Siksi Bayesin kaavaa kutsutaan hypoteesin tarkennuskaavaksi.

Lause (Bayesin kaava). Jos tapahtuma voi tapahtua vain yhdellä hypoteeseista
, mikä muoto täysi ryhmä tapahtumat, sitten hypoteesien todennäköisyys edellyttäen, että tapahtuma tapahtui, lasketaan kaavalla

,
.

Todiste.

Bayesin kaava tai Bayesin lähestymistapa hypoteesien arviointiin pelaa tärkeä rooli taloudessa, koska mahdollistaa esimiespäätösten korjaamisen, tilastollisen analyysin tutkittujen piirteiden jakautumisen tuntemattomien parametrien arvioiden jne.

Esimerkki. Sähkölamppuja valmistetaan kahdessa tehtaassa. Ensimmäinen tehdas tuottaa 60% sähkölamppujen kokonaismäärästä, toinen - 40%. Ensimmäisen tehtaan tuotteet sisältävät 70% vakiolamppuja, toisen - 80%. Myymälä vastaanottaa tuotteita molemmilta tehtailta. Kaupasta ostettu hehkulamppu osoittautui vakioksi. Laske todennäköisyys, että lamppu on valmistettu ensimmäisessä tehtaassa.

Kirjataan ylös tehtävän tila ja esitellään sopiva merkintä.

Annettu: tapahtuma että lamppu on vakio.

Hypoteesi
että lamppu valmistetaan ensimmäisessä tehtaassa

Hypoteesi
että lamppu valmistetaan toisessa tehtaassa

löytö
.

Ratkaisu.

5. Toistetut riippumattomat testit. Bernoullin kaava

Harkitse piiriä riippumattomat testit tai Bernoullin kaava, jolla on tärkeää tieteellistä arvoa ja erilaisia ​​käytännön sovelluksia.

Anna sen tuottaa riippumattomat testit, joissa jokaisessa voi tapahtua jokin tapahtuma .

Määritelmä. Testit nimeltäänriippumaton , jos jokaisessa niistä on tapahtuma

, riippumatta siitä, ilmestyikö tapahtuma vai ei
muissa kokeissa.

Esimerkki. Testipenkkiin laitettiin 20 hehkulamppua, joita testataan kuormitettuna 1000 tuntia. Todennäköisyys, että lamppu läpäisee testin, on 0,8, eikä se riipu siitä, mitä muille lampuille tapahtui.

Tässä esimerkissä testi tarkoittaa lampun kyvyn tarkastaa sen kyky kestää kuormitusta 1000 tuntia. Joten kokeiden määrä on
. Jokaisessa yksittäisessä kokeessa vain kaksi tulosta on mahdollista:

Määritelmä. Sarja toistuvia riippumattomia testejä, joista jokaisessa on tapahtuma
tapahtuu samalla todennäköisyydellä
, testinumerosta riippumatta, kutsutaanBernoullin kaava.

Päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys nimetä
ja, kuten yllä esitettiin,

Lause. Bernoullin kaavion olosuhteissa todennäköisyys, että klo riippumaton testitapahtuma ilmestyy
kertaa, määritetään kaavalla

Missä
suoritettujen riippumattomien testien määrä;

tapahtuman esiintymisten määrä
;

tapahtuman todennäköisyys
erillisessä kokeessa;

todennäköisyys, että tapahtuma ei toteudu
erillisessä kokeessa;

Kokonaistodennäköisyyskaavaa johdettaessa oletettiin, että tapahtuma A, jonka todennäköisyys oli määritettävä, voi tapahtua jollekin tapahtumasta H 1 , N 2 , ... , h n muodostaen täydellisen ryhmän pareittain yhteensopimattomia tapahtumia. Näiden tapahtumien todennäköisyydet (hypoteesit) tiedettiin etukäteen. Oletetaan, että on suoritettu koe, jonka tuloksena tapahtuma A on tullut. Tämä lisäinformaatio voit arvioida uudelleen hypoteesien todennäköisyydet Hei , laskettuaan P(Hi/A).

tai kokonaistodennäköisyyskaavaa käyttäen saamme

Tätä kaavaa kutsutaan Bayesin kaavaksi tai hypoteesilauseeksi. Bayesin kaavan avulla voit "tarkistaa" hypoteesien todennäköisyyksiä sen jälkeen, kun se on syntynyt tiedossa oleva tulos kokemus, joka johti tapahtumaan A.

Todennäköisyydet Р(Н i) ovat hypoteesien a priori todennäköisyydet (ne laskettiin ennen koetta). Todennäköisyydet P(H i /A) ovat hypoteesien a posteriori todennäköisyydet (ne lasketaan kokeen jälkeen). Bayesin kaavan avulla voit laskea posterioritodennäköisyydet niiden aiemmista todennäköisyyksistä ja tapahtuman ehdollisista todennäköisyyksistä A.

Esimerkki. Tiedetään, että 5 % kaikista miehistä ja 0,25 % naisista on värisokeita. Satunnaisesti lääketieteellisen kortin numeron mukaan valittu henkilö kärsii värisokeudesta. Millä todennäköisyydellä se on mies?

Ratkaisu. Tapahtuma A Ihminen on värisokea. Kokeen alkeistapahtumien tila - henkilö valitaan lääketieteellisen kortin numerolla - Ω = ( H 1 , N 2 ) koostuu kahdesta tapahtumasta:

H 1 - mies on valittu,

H 2 - nainen valitaan.

Nämä tapahtumat voidaan valita hypoteesiksi.

Ongelman ehdon mukaan (satunnainen valinta) näiden tapahtumien todennäköisyydet ovat samat ja yhtä suuret P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

Tässä tapauksessa ehdolliset todennäköisyydet, että henkilö kärsii värisokeudesta, ovat samat:

PANOROIDA 1 ) = 0.05 = 1/20; PANOROIDA 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Koska tiedetään, että valittu henkilö on värisokea, eli tapahtuma on tapahtunut, arvioimme ensimmäisen hypoteesin uudelleen Bayesin kaavan avulla:

Esimerkki. Siinä on kolme samanlaista laatikkoa. Ensimmäinen laatikko sisältää 20 valkoista palloa, toinen laatikko sisältää 10 valkoista ja 10 mustaa palloa ja kolmas laatikko sisältää 20 mustaa palloa. Valkoinen pallo vedetään satunnaisesti valitusta laatikosta. Laske todennäköisyys, että pallo vedetään ensimmäisestä laatikosta.

Ratkaisu. Merkitse A tapahtuma - valkoisen pallon ilmestyminen. Laatikon valinnasta voidaan tehdä kolme oletusta (hypoteesia): H 1 ,H 2 , H 3 - ensimmäisen, toisen ja kolmannen laatikon valinta.

Koska minkä tahansa laatikon valinta on yhtä mahdollista, hypoteesien todennäköisyydet ovat samat:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

Ongelman tilanteen mukaan todennäköisyys vetää valkoinen pallo ensimmäisestä laatikosta

Todennäköisyys vetää valkoinen pallo toisesta laatikosta

Todennäköisyys vetää valkoinen pallo kolmannesta laatikosta

Löydämme halutun todennäköisyyden Bayesin kaavalla:

Testien toistaminen. Bernoullin kaava.

Kokeita on n, joissa kussakin tapahtuma A voi tapahtua tai ei, ja tapahtuman A todennäköisyys kussakin yksittäisessä kokeessa on vakio, ts. ei muutu kokemuksesta kokemukseen. Tiedämme jo kuinka löytää tapahtuman A todennäköisyys yhdessä kokeessa.

Erityisen kiinnostava on tapahtuman A tietyn määrän (m kertaa) esiintymistodennäköisyys n kokeessa. Tällaiset ongelmat ovat helposti ratkaistavissa, jos testit ovat riippumattomia.

Def. Useita testejä kutsutaan riippumaton tapahtumasta A jos tapahtuman A todennäköisyys kussakin niistä ei riipu muiden kokeiden tuloksista.

Todennäköisyys P n (m), että tapahtuma A tapahtuu täsmälleen m kertaa (ei-tapahtuminen n-m kertaa, tapahtuma ) näissä n kokeilussa. Tapahtuma A esiintyy useissa sarjoissa m kertaa).

- Bernoullin kaava.

Seuraavat kaavat ovat ilmeisiä:

P n (m Vähemmän k kertaa n kokeessa.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - tapahtuman A esiintymistodennäköisyys lisää k kertaa n kokeessa.