Termi (moduuli) latinasta käännettynä tarkoittaa "mitta". Tämän käsitteen otti matematiikkaan englantilainen tiedemies R. Cotes. Ja saksalainen matemaatikko K. Weierstrass esitteli moduulimerkin - symbolin, jolla tämä käsite merkitään kirjoitettaessa.

Ensimmäistä kertaa tätä käsitettä tutkitaan matematiikassa kuudennen luokan ohjelmassa. lukio. Erään määritelmän mukaan moduuli on reaaliluvun itseisarvo. Toisin sanoen, saadaksesi selville reaaliluvun moduulin, sinun on hylättävä sen etumerkki.

Graafinen absoluuttinen arvo A merkitty nimellä |a|.

Main erottava piirre Tämän käsitteen merkitys on siinä, että se on aina ei-negatiivinen suure.

Lukuja, jotka eroavat toisistaan ​​vain etumerkillä, kutsutaan vastakkaisiksi luvuiksi. Jos arvo on positiivinen, sen vastakohta on negatiivinen ja nolla on sen oma vastakohta.

geometrinen arvo

Jos tarkastellaan moduulin käsitettä geometrian näkökulmasta, niin se tarkoittaa etäisyyttä, joka mitataan yksikkösegmenteinä origosta tiettyyn pisteeseen. Tämä määritelmä paljastaa täysin tutkittavan termin geometrisen merkityksen.

Graafisesti tämä voidaan ilmaista seuraavasti: |a| = O.A.

Absoluuttisen arvon ominaisuudet

Alla tarkastelemme kaikkia tämän käsitteen matemaattisia ominaisuuksia ja kirjoitustapoja kirjaimellisten ilmaisujen muodossa:

Yhtälöiden ratkaisemisen ominaisuudet moduulilla

Jos puhumme moduulin sisältävien matemaattisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisesta, sinun on muistettava, että niiden ratkaisemiseksi sinun on avattava tämä merkki.

Esimerkiksi jos absoluuttisen arvon etumerkki sisältää jonkin matemaattisen lausekkeen, niin ennen moduulin avaamista on otettava huomioon nykyiset matemaattiset määritelmät.

|A + 5| = A + 5 jos A on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.

5-A jos A on pienempi kuin nolla.

Joissakin tapauksissa etumerkkiä voidaan yksiselitteisesti laajentaa mille tahansa muuttujan arvolle.

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä. Muodostetaan koordinaattiviiva, johon merkitään kaikki numeeriset arvot, joiden itseisarvo on 5.

Ensin sinun on piirrettävä koordinaattiviiva, määritettävä koordinaattien alkuperä ja asetettava yksittäisen segmentin koko. Lisäksi viivalla on oltava suunta. Nyt tälle suoralle on tarpeen tehdä merkinnät, jotka ovat yhtä suuria kuin yhden segmentin arvo.

Näin ollen voimme nähdä, että tällä koordinaattiviivalla on kaksi kiinnostavaa pistettä meille arvoilla 5 ja -5.

Yksi opiskelijoiden vaikeimmista aiheista on moduulimerkin alla muuttujan sisältävien yhtälöiden ratkaiseminen. Katsotaanpa aluksi, mihin se liittyy? Miksi esimerkiksi toisen asteen yhtälöt useimmat lapset napsauttavat kuin pähkinät, mutta niin kaukana monimutkaisimmista käsitteistä kuin moduulilla on niin paljon ongelmia?

Mielestäni kaikki nämä vaikeudet liittyvät selkeästi muotoiltujen sääntöjen puuttumiseen yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla. Kyllä, päättää toisen asteen yhtälö, opiskelija tietää varmasti, että hänen täytyy ensin soveltaa erottelukaavaa ja sitten kaavat toisen asteen yhtälön juurille. Mutta entä jos yhtälössä kohdataan moduuli? Yritämme kuvata selkeästi tarvittavan toimintasuunnitelman siinä tapauksessa, että yhtälö sisältää tuntemattoman moduulimerkin alla. Annamme useita esimerkkejä jokaisesta tapauksesta.

Mutta ensin muistetaan moduulin määritelmä. Eli luvun moduuli a itse numeroa kutsutaan jos a ei-negatiivinen ja -a jos numero a alle nolla. Voit kirjoittaa sen näin:

|a| = a jos a ≥ 0 ja |a| = -a jos a< 0

Puheen ollen geometrinen tunne moduulissa, on muistettava, että jokainen reaaliluku vastaa tiettyä pistettä numeroakselilla - sen on koordinoida. Joten moduuli tai luvun itseisarvo on etäisyys tästä pisteestä numeerisen akselin alkupisteeseen. Etäisyys annetaan aina positiivisena lukuna. Siten minkä tahansa negatiivisen luvun moduuli on positiivinen luku. Muuten, jopa tässä vaiheessa monet opiskelijat alkavat hämmentyä. Moduulissa voi olla mikä tahansa luku, mutta moduulin soveltamisen tulos on aina positiivinen luku.

Siirrytään nyt yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Tarkastellaan yhtälöä muotoa |x| = c, missä c on reaaliluku. Tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä moduulin määritelmää.

Jaamme kaikki reaaliluvut kolmeen ryhmään: nollaa suuremmat, nollaa pienemmät ja kolmas ryhmä on luku 0. Kirjoitamme ratkaisun kaavion muotoon:

(±c jos c > 0

Jos |x| = c, sitten x = (0 jos c = 0

(ei juuria, jos kanssa< 0

1) |x| = 5, koska 5 > 0, sitten x = ±5;

2) |x| = -5, koska -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, sitten x = 0.

2. Yhtälö muotoa |f(x)| = b, missä b > 0. Tämän yhtälön ratkaisemiseksi on tarpeen päästä eroon moduulista. Teemme sen näin: f(x) = b tai f(x) = -b. Nyt on tarpeen ratkaista jokainen saatu yhtälö erikseen. Jos alkuperäisessä yhtälössä b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, koska 4 > 0 siis

x + 2 = 4 tai x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, koska 11 > 0 siis

x 2 - 5 = 11 tai x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ei juuria

3) |x 2 – 5x| = -8, koska -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Yhtälö muotoa |f(x)| = g(x). Moduulin merkityksen mukaan tällaisella yhtälöllä on ratkaisuja, jos sen oikea puoli on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. g(x) ≥ 0. Sitten meillä on:

f(x) = g(x) tai f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Tällä yhtälöllä on juuret, jos 5x - 10 ≥ 0. Tästä tällaisten yhtälöiden ratkaisu alkaa.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Ratkaisu:

2x - 1 = 5x - 10 tai 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Yhdistä O.D.Z. ja ratkaisu, saamme:

Juuri x \u003d 11/7 ei sovi O.D.Z.:n mukaan, se on pienempi kuin 2 ja x \u003d 3 täyttää tämän ehdon.

Vastaus: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Ratkaistaan ​​tämä epäyhtälö intervallimenetelmällä:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Ratkaisu:

x - 1 \u003d 1 - x 2 tai x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 tai x = 1 x = 0 tai x = 1

3. Yhdistä liuos ja O.D.Z.:

Vain juuret x = 1 ja x = 0 ovat sopivia.

Vastaus: x = 0, x = 1.

4. Yhtälö muotoa |f(x)| = |g(x)|. Tällainen yhtälö vastaa kahta seuraavaa yhtälöä f(x) = g(x) tai f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Tämä yhtälö vastaa kahta seuraavaa:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 tai x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 tai x = 4 x = 2 tai x = 1

Vastaus: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Korvausmenetelmällä ratkaistu yhtälöt (muuttujan muutos). Tämä ratkaisumenetelmä on helpoin selittää konkreettinen esimerkki. Joten, olkoon neliöyhtälö, jolla on moduuli:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Moduulin ominaisuuden mukaan x 2 = |x| 2, joten yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Tehdään muutos |x| = t ≥ 0, niin meillä on:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme, että t \u003d 1 tai t \u003d 5. Palataan korvaukseen:

|x| = 1 tai |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Vastaus: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Katsotaanpa toista esimerkkiä:

x 2 + |x| – 2 = 0. Moduulin ominaisuuden mukaan x 2 = |x| 2, niin

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Tehdään muutos |x| = t ≥ 0, sitten:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme t \u003d -2 tai t \u003d 1. Palataan korvaukseen:

|x| = -2 tai |x| = 1

Ei juuria x = ± 1

Vastaus: x = -1, x = 1.

6. Toinen yhtälötyyppi on yhtälöt, joilla on "monimutkainen" moduuli. Tällaiset yhtälöt sisältävät yhtälöt, joissa on "moduulit moduulissa". Tämän tyyppiset yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä moduulin ominaisuuksia.

1) |3 – |x|| = 4. Toimimme samalla tavalla kuin toisen tyypin yhtälöissä. Koska 4 > 0, niin saadaan kaksi yhtälöä:

3 – |x| = 4 tai 3 – |x| = -4.

Esitetään nyt kunkin yhtälön moduuli x, sitten |x| = -1 tai |x| = 7.

Ratkaisemme jokaisen tuloksena olevan yhtälön. Ensimmäisessä yhtälössä ei ole juuria, koska -1< 0, а во втором x = ±7.

Vastaus x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ratkaisemme tämän yhtälön samalla tavalla:

3 + |x + 1| = 5 tai 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 tai x + 1 = -2. Ei ole juuria.

Vastaus: x = -3, x = 1.

On olemassa myös yleinen menetelmä yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla. Tämä on välitysmenetelmä. Mutta harkitsemme sitä edelleen.

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Yksi opiskelijoiden vaikeimmista aiheista on moduulimerkin alla muuttujan sisältävien yhtälöiden ratkaiseminen. Katsotaanpa aluksi, mihin se liittyy? Miksi esimerkiksi toisen asteen yhtälöt useimmat lapset napsauttavat kuin pähkinät, mutta niin kaukana monimutkaisimmista käsitteistä kuin moduulilla on niin paljon ongelmia?

Mielestäni kaikki nämä vaikeudet liittyvät selkeästi muotoiltujen sääntöjen puuttumiseen yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla. Joten, kun hän ratkaisee toisen asteen yhtälön, opiskelija tietää varmasti, että hänen on ensin sovellettava erottelukaavaa ja sitten kaavat toisen asteen yhtälön juurille. Mutta entä jos yhtälössä kohdataan moduuli? Yritämme kuvata selkeästi tarvittavan toimintasuunnitelman siinä tapauksessa, että yhtälö sisältää tuntemattoman moduulimerkin alla. Annamme useita esimerkkejä jokaisesta tapauksesta.

Mutta ensin muistetaan moduulin määritelmä. Eli luvun moduuli a itse numeroa kutsutaan jos a ei-negatiivinen ja -a jos numero a alle nolla. Voit kirjoittaa sen näin:

|a| = a jos a ≥ 0 ja |a| = -a jos a< 0

Moduulin geometrisestä merkityksestä puhuttaessa on muistettava, että jokainen reaaliluku vastaa tiettyä pistettä numeroakselilla - sen koordinoida. Joten moduuli tai luvun itseisarvo on etäisyys tästä pisteestä numeerisen akselin alkupisteeseen. Etäisyys annetaan aina positiivisena lukuna. Siten minkä tahansa negatiivisen luvun moduuli on positiivinen luku. Muuten, jopa tässä vaiheessa monet opiskelijat alkavat hämmentyä. Moduulissa voi olla mikä tahansa luku, mutta moduulin soveltamisen tulos on aina positiivinen luku.

Siirrytään nyt yhtälöiden ratkaisemiseen.

1. Tarkastellaan yhtälöä muotoa |x| = c, missä c on reaaliluku. Tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä moduulin määritelmää.

Jaamme kaikki reaaliluvut kolmeen ryhmään: nollaa suuremmat, nollaa pienemmät ja kolmas ryhmä on luku 0. Kirjoitamme ratkaisun kaavion muotoon:

(±c jos c > 0

Jos |x| = c, sitten x = (0 jos c = 0

(ei juuria, jos kanssa< 0

1) |x| = 5, koska 5 > 0, sitten x = ±5;

2) |x| = -5, koska -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, sitten x = 0.

2. Yhtälö muotoa |f(x)| = b, missä b > 0. Tämän yhtälön ratkaisemiseksi on tarpeen päästä eroon moduulista. Teemme sen näin: f(x) = b tai f(x) = -b. Nyt on tarpeen ratkaista jokainen saatu yhtälö erikseen. Jos alkuperäisessä yhtälössä b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, koska 4 > 0 siis

x + 2 = 4 tai x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, koska 11 > 0 siis

x 2 - 5 = 11 tai x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ei juuria

3) |x 2 – 5x| = -8, koska -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Yhtälö muotoa |f(x)| = g(x). Moduulin merkityksen mukaan tällaisella yhtälöllä on ratkaisuja, jos sen oikea puoli on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ts. g(x) ≥ 0. Sitten meillä on:

f(x) = g(x) tai f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Tällä yhtälöllä on juuret, jos 5x - 10 ≥ 0. Tästä tällaisten yhtälöiden ratkaisu alkaa.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Ratkaisu:

2x - 1 = 5x - 10 tai 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Yhdistä O.D.Z. ja ratkaisu, saamme:

Juuri x \u003d 11/7 ei sovi O.D.Z.:n mukaan, se on pienempi kuin 2 ja x \u003d 3 täyttää tämän ehdon.

Vastaus: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Ratkaistaan ​​tämä epäyhtälö intervallimenetelmällä:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Ratkaisu:

x - 1 \u003d 1 - x 2 tai x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 tai x = 1 x = 0 tai x = 1

3. Yhdistä liuos ja O.D.Z.:

Vain juuret x = 1 ja x = 0 ovat sopivia.

Vastaus: x = 0, x = 1.

4. Yhtälö muotoa |f(x)| = |g(x)|. Tällainen yhtälö vastaa kahta seuraavaa yhtälöä f(x) = g(x) tai f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Tämä yhtälö vastaa kahta seuraavaa:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 tai x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 tai x = 4 x = 2 tai x = 1

Vastaus: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Korvausmenetelmällä ratkaistu yhtälöt (muuttujan muutos). Tämä ratkaisutapa on helpoin selittää tietyllä esimerkillä. Joten, olkoon neliöyhtälö, jolla on moduuli:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Moduulin ominaisuuden mukaan x 2 = |x| 2, joten yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Tehdään muutos |x| = t ≥ 0, niin meillä on:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme, että t \u003d 1 tai t \u003d 5. Palataan korvaukseen:

|x| = 1 tai |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Vastaus: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Katsotaanpa toista esimerkkiä:

x 2 + |x| – 2 = 0. Moduulin ominaisuuden mukaan x 2 = |x| 2, niin

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Tehdään muutos |x| = t ≥ 0, sitten:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme t \u003d -2 tai t \u003d 1. Palataan korvaukseen:

|x| = -2 tai |x| = 1

Ei juuria x = ± 1

Vastaus: x = -1, x = 1.

6. Toinen yhtälötyyppi on yhtälöt, joilla on "monimutkainen" moduuli. Tällaiset yhtälöt sisältävät yhtälöt, joissa on "moduulit moduulissa". Tämän tyyppiset yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä moduulin ominaisuuksia.

1) |3 – |x|| = 4. Toimimme samalla tavalla kuin toisen tyypin yhtälöissä. Koska 4 > 0, niin saadaan kaksi yhtälöä:

3 – |x| = 4 tai 3 – |x| = -4.

Esitetään nyt kunkin yhtälön moduuli x, sitten |x| = -1 tai |x| = 7.

Ratkaisemme jokaisen tuloksena olevan yhtälön. Ensimmäisessä yhtälössä ei ole juuria, koska -1< 0, а во втором x = ±7.

Vastaus x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ratkaisemme tämän yhtälön samalla tavalla:

3 + |x + 1| = 5 tai 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 tai x + 1 = -2. Ei ole juuria.

Vastaus: x = -3, x = 1.

On olemassa myös yleinen menetelmä yhtälöiden ratkaisemiseksi moduulilla. Tämä on välitysmenetelmä. Mutta harkitsemme sitä edelleen.

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Joukossa esimerkkejä per moduuli usein on yhtälöitä, joista sinun täytyy löytää moduulin juuret moduulissa, eli muodon yhtälö
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Jos k=0 eli oikea puoli on yhtä suuri kuin vakio (m), on helpompi etsiä ratkaisua yhtälöt moduuleilla graafisesti. Alla on metodologia kaksoismoduulien käyttöönotto yleisten käytäntöjen esimerkeissä. Ymmärrä hyvin moduulien yhtälöiden laskenta-algoritmi, jotta ei tule ongelmia ohjauksessa, testeissä ja vain tiedossa.

Esimerkki 1 Ratkaise yhtälömoduuli moduulissa |3|x|-5|=-2x-2.
Ratkaisu: Aloita yhtälöiden laajentaminen aina sisäisestä moduulista
|x|=0 <->x=0.
Pisteessä x=0 moduuliyhtälö jaetaan 2:lla.
x:lle< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Jos x>0 tai yhtä suuri, laajennamme saatua moduulia
|3x-5|=-2x-2 .
Ratkaistaan ​​yhtälö negatiivisille muuttujille (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan, että ratkaisu ei saa ylittää (-1) , ts.

Tämä rajoitus kuuluu kokonaan sille alueelle, jota ratkaisemme. Siirretään muuttujia ja vakioita tasa-arvon vastakkaisille puolille ensimmäisessä ja toisessa järjestelmässä

ja löytää ratkaisu


Molemmat arvot kuuluvat tarkasteltavaan väliin, eli ne ovat juuria.
Tarkastellaan yhtälöä positiivisten muuttujien moduuleilla
|3x-5|=-2x-2.
Laajentamalla moduulia saamme kaksi yhtälöjärjestelmää

Ensimmäisestä yhtälöstä, joka on yhteinen kahdelle järjestelmälle, saadaan tuttu ehto

joka leikkauksessa sen joukon kanssa, josta etsimme ratkaisua, antaa tyhjän joukon (ei leikkauspisteitä). Joten ainoat moduulin juuret ovat arvot
x = -3; x = -1,4.

Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö modulo ||x-1|-2|=3x-4.
Ratkaisu: Aloitetaan laajentamalla sisämoduulia
|x-1|=0 <=>x=1.
Alimoduulifunktio vaihtaa etumerkkiä yhdellä. Pienemmillä arvoilla se on negatiivinen, suuremmilla arvoilla positiivinen. Tämän mukaisesti sisäistä moduulia laajennettaessa saadaan kaksi yhtälöä moduulin kanssa
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Muista tarkistaa yhtälön oikea puoli moduulilla, sen on oltava suurempi kuin nolla.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Tämä tarkoittaa, että ensimmäistä yhtälöä ei tarvitse ratkaista, koska se on kirjoitettu x:lle< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3 = 3x-4 tai x-3 = 4-3x;
4-3=3x-x tai x+3x=4+3;
2x = 1 tai 4x = 7;
x=1/2 tai x=7/4.
Saimme kaksi arvoa, joista ensimmäinen hylätään, koska se ei kuulu haluttuun väliin. Lopullisessa yhtälössä on yksi ratkaisu x=7/4.

Esimerkki 3 Ratkaise yhtälö: modulo ||2x-5|-1|=x+3.
Ratkaisu: Avataan sisäinen moduuli
|2x-5|=0 <=>x = 5/2 = 2,5.
Piste x=2,5 jakaa numeerisen akselin kahdeksi väliksi. Vastaavasti, alimoduulitoiminto vaihtaa merkkiä ohittaessaan 2.5. Kirjoitetaan ehto ratkaisun oikealle puolelle moduulilla.
x+3>=0 -> x>=-3.
Joten ratkaisu voi olla arvoja, jotka eivät ole pienempiä kuin (-3) . Laajennamme moduulia varten negatiivinen arvo sisämoduuli
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Tämä moduuli antaa myös laajennettuna 2 yhtälöä
-2x+4=x+3 tai 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 tai 2x-x=3+4;
3x = 1; x=1/3 tai x=7 .
Arvo x=7 hylätään, koska etsimme ratkaisua väliltä [-3;2.5]. Laajenna nyt sisämoduuli x>2.5 . Saamme yhtälön yhdellä moduulilla
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Moduulia laajennettaessa saamme seuraavan lineaariset yhtälöt
-2x+6=x+3 tai 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 tai 2x-x=3+6;
3x = 3; x=1 tai x=9.
Ensimmäinen arvo x=1 ei täytä ehtoa x>2.5. Tällä välillä meillä on siis yksi yhtälön juuri, jonka moduuli on x=9, ja niitä on vain kaksi (x=1/3) Korvaamalla voit tarkistaa suoritettujen laskelmien oikeellisuuden
Vastaus: x=1/3; x=9.

Esimerkki 4 Etsi ratkaisuja kaksoismoduulille ||3x-1|-5|=2x-3.
Ratkaisu: Laajenna yhtälön sisämoduulia
|3x-1|=0 <=>x = 1/3.
Piste x=2.5 jakaa numeerisen akselin kahteen väliin ja annettu yhtälö kahteen tapaukseen. Kirjoitamme ratkaisun ehdon oikeanpuoleisen yhtälön tyypin perusteella
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Tästä seuraa, että olemme kiinnostuneita arvoista>=1,5 . Täten modulaarinen yhtälö katso kahdelta väliltä
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Tuloksena oleva moduuli, kun se laajennetaan, jaetaan 2 yhtälöön
-3x-4=2x-3 tai 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 tai 3x-2x=-3-4;
5x = -1; x = -1/5 tai x = -7.
Molemmat arvot eivät kuulu väliin, eli ne eivät ole ratkaisuja yhtälöön moduuleilla. Laajenna seuraavaksi moduuli x>2,5 . Saamme seuraavan yhtälön
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Moduulia laajentamalla saadaan 2 lineaarista yhtälöä
3x-6=2x-3 tai –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 tai 2x+3x=6+3;
x = 3 tai 5x = 9; x = 9/5 = 1,8.
Toinen löydetty arvo ei täytä ehtoa x>2.5, hylkäämme sen.
Lopuksi saamme yhtälön juuren moduuleilla x=3 .
Suoritamme tarkastuksen
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
Yhtälön juuri ja moduuli on laskettu oikein.
Vastaus: x=1/3; x=9.

Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen moduulilla aiheuttaa usein ongelmia. Jos kuitenkin ymmärrät hyvin, mikä on luvun itseisarvo, Ja kuinka modulo-merkin sisältäviä lausekkeita laajennetaan oikein, sitten läsnäolo yhtälössä lauseke moduulimerkin alla lakkaa olemasta este sen ratkaisulle.

Vähän teoriaa. Jokaisella numerolla on kaksi ominaisuutta: luvun itseisarvo ja sen etumerkki.

Esimerkiksi numerolla +5 tai vain 5 on "+"-merkki ja absoluuttinen arvo 5.

Numerolla -5 on "-"-merkki ja absoluuttinen arvo 5.

Numeroiden 5 ja -5 absoluuttiset arvot ovat 5.

Luvun x itseisarvoa kutsutaan luvun moduuliksi ja sitä merkitään |x|.

Kuten näemme, luvun moduuli on yhtä suuri kuin itse luku, jos tämä luku on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, ja tämä luku, jonka etumerkki on päinvastainen, jos tämä luku on negatiivinen.

Sama koskee kaikkia lausekkeita, jotka ovat moduulimerkin alla.

Moduulin laajennussääntö näyttää tältä:

|f(x)|= f(x), jos f(x) ≥ 0, ja

|f(x)|= - f(x), jos f(x)< 0

Esimerkiksi |x-3|=x-3, jos x-3≥0 ja |x-3|=-(x-3)=3-x, jos x-3<0.

Jotta voit ratkaista yhtälön, joka sisältää lausekkeen moduulimerkin alla, sinun on ensin laajenna moduuli moduulin laajennussäännöltä.

Sitten yhtälömme tai epäyhtälömme muunnetaan kahdeksi eri yhtälöksi kahdella eri numeerisella aikavälillä.

Numeerisella välillä on yksi yhtälö, jolla moduulimerkin alla oleva lauseke on ei-negatiivinen.

Ja toinen yhtälö on olemassa välissä, jolla moduulimerkin alla oleva lauseke on negatiivinen.

Tarkastellaanpa yksinkertaista esimerkkiä.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Avataan moduuli.

|x-3|=x-3, jos x-3≥0, ts. jos x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, jos x-3<0, т.е. если х<3

2. Saimme kaksi numeerista väliä: x≥3 ja x<3.

Mieti, mihin yhtälöihin alkuperäinen yhtälö muunnetaan kullakin välillä:

A) Jos x≥3 |x-3|=x-3, ja yhtälömme näyttää tältä:

Huomio! Tämä yhtälö on olemassa vain välillä x≥3!

Avataan sulut, annetaan samanlaiset jäsenet:

ja ratkaise tämä yhtälö.

Tällä yhtälöllä on juuret:

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3

Huomio! koska yhtälö x-3=-x 2 +4x-3 on olemassa vain välillä x≥3, olemme kiinnostuneita vain niistä juurista, jotka kuuluvat tähän väliin. Tämä ehto täyttää vain x 2 =3.

B) Kohdassa x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Huomio! Tämä yhtälö on olemassa vain välillä x<3!

Avataan sulut ja annetaan samanlaiset ehdot. Saamme yhtälön:

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3

Huomio! koska yhtälö 3-x \u003d -x 2 + 4x-3 on olemassa vain välillä x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Joten: ensimmäisestä intervallista otamme vain juuren x=3, toisesta juuren x=2.