Suorakulmainen kolmio löytyy todellisuudessa melkein joka kulmasta. Tämän hahmon ominaisuuksien tuntemus sekä kyky laskea sen pinta-ala ovat epäilemättä hyödyllisiä sinulle geometrian ongelmien ratkaisemisen lisäksi myös elämäntilanteissa.

kolmion geometria

Alkeisgeometriassa suorakulmainen kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta toisiinsa yhdistetystä segmentistä, jotka muodostavat kolme kulmaa (kaksi terävää ja yksi suora). Suorakulmainen kolmio on alkuperäinen kuvio, jolle on tunnusomaista useita tärkeitä ominaisuuksia, jotka muodostavat trigonometrian perustan. Toisin kuin tavallisessa kolmiossa, suorakaiteen muotoisen hahmon sivuilla on omat nimensä:

• Hypotenuusa on kolmion pisin sivu, joka on oikeaa kulmaa vastapäätä.
• Jalat - segmentit, jotka muodostavat suoran kulman. Harkittavasta kulmasta riippuen jalka voi olla sen vieressä (muodostaa tämän kulman hypotenuusan kanssa) tai vastapäätä (makaa kulmaa vastapäätä). Ei-suorakulmaisille kolmioille ei ole jalkoja.

Jalkojen ja hypotenuusan suhde muodostaa trigonometrian perustan: sinit, tangentit ja sekantit määritellään sivujen suhteeksi suorakulmainen kolmio.

Oikea kolmio todellisuudessa

Tätä lukua käytetään laajalti todellisuudessa. Kolmioita käytetään suunnittelussa ja tekniikassa, joten insinöörien, arkkitehtien ja suunnittelijoiden on tehtävä hahmon pinta-alan laskeminen. Tetraedrien tai prismien pohjat ovat kolmion muotoisia - kolmiulotteisia hahmoja, jotka on helppo tavata jokapäiväisessä elämässä. Lisäksi neliö on "litteän" suorakulmaisen kolmion yksinkertaisin esitys todellisuudessa. Neliö on lukkosepän, ​​piirustus-, rakennus- ja puusepän työkalu, jota käyttävät sekä koululaiset että insinöörit rakentamaan kulmia.

Kolmion pinta-ala

Geometrisen kuvion pinta-ala on kvantitatiivinen arvio siitä, kuinka suuri osa tasosta on kolmion sivujen rajaama. Tavallisen kolmion pinta-ala voidaan löytää viidellä tavalla, käyttämällä Heronin kaavaa tai toimimalla laskelmissa sellaisilla muuttujilla kuin piirretyn tai rajatun ympyrän kanta, sivu, kulma ja säde. Eniten yksinkertainen kaava alue ilmaistaan ​​seuraavasti:

missä a on kolmion sivu, h on sen korkeus.

Suorakulmaisen kolmion pinta-alan laskentakaava on vielä yksinkertaisempi:

missä a ja b ovat jalkoja.

Työskentelemällä online-laskimellamme voit laskea kolmion alueen kolmella parametriparilla:

• kaksi jalkaa;
• jalka ja viereinen kulma;
• jalka ja vastakkainen kulma.

Tehtävissä tai jokapäiväisissä tilanteissa sinulle annetaan erilaisia ​​muuttujien yhdistelmiä, joten tämän muodon laskimen avulla voit laskea kolmion pinta-alan useilla tavoilla. Katsotaanpa pari esimerkkiä.

Esimerkkejä tosielämästä

Keraaminen tiili

Oletetaan, että haluat vuorata keittiön seinät keraamisilla laatoilla, jotka ovat suorakulmaisen kolmion muotoisia. Laattojen kulutuksen määrittämiseksi sinun on selvitettävä päällysteen yhden elementin pinta-ala ja käsiteltävän pinnan kokonaispinta-ala. Sinun on käsiteltävä 7 neliömetriä. Yhden elementin jalkojen pituus on 19 cm, jolloin laatan pinta-ala on yhtä suuri:

Tämä tarkoittaa, että yhden elementin pinta-ala on 24,5 neliösenttimetriä tai 0,01805 neliömetriä. Kun tiedät nämä parametrit, voit laskea, että 7 neliömetrin seinän viimeistelyyn tarvitset 7 / 0,01805 = 387 pintalaatta.

koulutehtävä

Oletetaan, että koulun geometriatehtävässä on löydettävä suorakulmaisen kolmion pinta-ala, kun tiedetään vain, että yhden jalan sivu on 5 cm ja vastakkaisen kulman arvo on 30 astetta. Verkkolaskimemme mukana on kuva, joka näyttää suorakulmaisen kolmion sivut ja kulmat. Jos sivu a = 5 cm, niin sen vastakkainen kulma on kulma alfa, joka on 30 astetta. Syötä nämä tiedot laskurilomakkeeseen ja saat tuloksen:

Näin ollen laskin ei vain laske tietyn kolmion pinta-alaa, vaan määrittää myös viereisen jalan ja hypotenuusan pituuden sekä toisen kulman arvon.

Johtopäätös

Suorakaiteen muotoisia kolmioita löytyy elämässämme kirjaimellisesti joka kulmasta. Tällaisten lukujen pinta-alan määrittäminen on hyödyllistä sinulle paitsi ratkaisemisen yhteydessä koulutehtävät geometriaa, mutta myös jokapäiväistä ja ammatillista toimintaa.

Suorakulmainen kolmio on kolmio, jonka yksi kulmista on 90°. Sen pinta-ala löytyy, jos tunnetaan kaksi jalkaa. Voit tietysti mennä pitkälle – löytää hypotenuusa ja laskea pinta-ala alkaen, mutta useimmissa tapauksissa se vie vain ylimääräistä aikaa. Siksi suorakulmaisen kolmion pinta-alan kaava näyttää tältä:

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on puolet jalkojen tulosta.

Esimerkki suorakulmaisen kolmion alueen laskemisesta.
Annettu suorakulmainen kolmio jaloilla a= 8 cm, b= 6 cm.
Laskemme alueen:
Pinta-ala: 24 cm2

Myös suorakulmaisessa kolmiossa sovelletaan Pythagoraan lausetta. - kahden haaran neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö.
Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion pinta-alan kaava lasketaan samalla tavalla kuin tavalliselle suorakulmaiselle kolmiolle.

Esimerkki tasakylkisen suorakulmaisen kolmion pinta-alan laskemisesta:
Annettu kolmio jaloilla a= 4 cm, b\u003d 4 cm. Laske pinta-ala:
Laskemme alueen: \u003d 8 cm 2

Kaavaa suorakulmaisen kolmion pinta-alalle hypotenuusan suhteen voidaan käyttää, jos ehdossa on yksi jalka. Pythagoraan lauseesta löydämme tuntemattoman jalan pituuden. Esimerkiksi hypotenuusa huomioon ottaen c ja jalka a, jalka b on yhtä suuri kuin:
Seuraavaksi laskemme alueen tavallisella kaavalla. Esimerkki suorakulmaisen kolmion alueen kaavan laskemisesta hypotenuusan avulla on identtinen edellä kuvatun kanssa.

Tarkastellaan mielenkiintoista tehtävää, joka auttaa vahvistamaan tietoa kolmion ratkaisemisen kaavoista.
Tehtävä: Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on 180 neliömetriä. katso etsi kolmion pienempi jalka, jos se on 31 cm pienempi kuin toinen.
Ratkaisu: tarkoittaa jalkoja a ja b. Korvataan nyt tiedot pinta-alakaavaan: tiedämme myös, että toinen jalka on pienempi kuin toinen a – b= 31 cm
Ensimmäisestä ehdosta saamme sen
Korvaava tämä ehto toiseen yhtälöön:

Koska löysimme sivut, poistamme miinusmerkin.
Osoittautuu, että jalka a= 40 cm ja b= 9 cm.

Kolmio on tasainen geometrinen kuvio, jonka yksi kulma on 90 °. Samanaikaisesti geometriassa on usein tarpeen laskea tällaisen kuvan pinta-ala. Kuinka tämä tehdään, kerromme lisää.

Yksinkertaisin kaava suorakulmaisen kolmion alueen määrittämiseksi

Alkutiedot, jossa: a ja b ovat kolmion sivut, jotka tulevat ulos oikeasta kulmasta.

Toisin sanoen pinta-ala on puolet niiden kahden sivun tulosta, jotka tulevat ulos oikeasta kulmasta. Tietenkin on olemassa Heronin kaava, jota käytetään laskemaan tavallisen kolmion pinta-ala, mutta arvon määrittämiseksi sinun on tiedettävä kolmen sivun pituus. Näin ollen sinun on laskettava hypotenuusa, ja tämä on ylimääräistä aikaa.

Etsi suorakulmaisen kolmion pinta-ala Heronin kaavalla

Tämä on hyvin tunnettu ja alkuperäinen kaava, mutta tätä varten sinun on laskettava hypotenuusa kahta jalkaa pitkin Pythagoraan lauseen avulla.

Tässä kaavassa: a, b, c ovat kolmion sivut ja p on puolikehä.

Etsi oikean kolmion pinta-ala annettu hypotenuusa ja kulma

Jos ongelmassasi ei tunneta yhtään jalkaa, käytä eniten yksinkertaisella tavalla et voi. Arvon määrittämiseksi sinun on laskettava jalkojen pituus. Tämä tehdään yksinkertaisesti sisällytetyn kulman hypotenuusan ja kosinin avulla.

b = c × cos (α)

Kun tiedät yhden jalan pituuden, Pythagoraan lauseen avulla voit laskea toisen sivun, joka tulee ulos oikeasta kulmasta.

b 2 \u003d c 2 -a 2

Tässä kaavassa c ja a ovat hypotenuusa ja jalka, vastaavasti. Nyt voit laskea alueen käyttämällä ensimmäistä kaavaa. Samalla tavalla voidaan laskea yksi jaloista, kun otetaan huomioon toinen ja kulma. Tässä tapauksessa yksi halutuista sivuista on yhtä suuri kuin jalan ja kulman tangentin tulo. Pinta-alan laskemiseen on muitakin tapoja, mutta peruslauseet ja -säännöt tuntemalla voit helposti löytää halutun arvon.

Jos sinulla ei ole mitään kolmion sivuista, vaan vain mediaani ja yksi kulmista, voit laskea sivujen pituuden. Voit tehdä tämän käyttämällä mediaanin ominaisuuksia jakamaan suorakulmainen kolmio kahdella. Näin ollen se voi toimia hypotenuusana, jos se tulee ulos terävästä kulmasta. Käytä Pythagoraan lausetta löytääksesi kolmion suorasta kulmasta lähtevien sivujen pituus.

Kuten näet, peruskaavat ja Pythagoraan lauseen tuntemalla voit laskea suorakulmaisen kolmion alueen, jolla on vain yksi kulmista ja yhden sivun pituus.

Geometrian tunneilla lukio Meille kaikille on kerrottu kolmiosta. Kuitenkin sisällä koulun opetussuunnitelma saamme vain parasta tarpeellista tietoa ja oppia yleisimmät ja tavallisimmat laskentatavat. Onko olemassa epätavallisia tapoja löytää tämä arvo?

Muistutetaan johdannona, mikä kolmio katsotaan suorakulmaiseksi kolmioksi, ja se tarkoittaa myös pinta-alan käsitettä.

Suorakulmainen kolmio on suljettu geometrinen kuvio, jonka yksi kulmista on 90 0 . Määritelmän kokonaiskäsitteet ovat jalat ja hypotenuusa. Jalat ovat kaksi sivua, jotka muodostavat suoran kulman liitoskohdassa. Hypotenuusa on vastakkainen puoli oikea kulma. Suorakulmainen kolmio voi olla tasakylkinen (sen kaksi sivua ovat samankokoisia), mutta ei koskaan tasasivuisia (kaikki sivut ovat saman pituisia). Korkeuden, mediaanin, vektorien ja muiden matemaattisten termien määritelmiä ei analysoida yksityiskohtaisesti. Ne löytyvät helposti hakuteoksista.

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala. Toisin kuin suorakulmiot, sääntö noin

osapuolten tuote määritelmässä ei ole pätevä. Kun termien kuivalla kielellä puhutaan, kolmion pinta-ala ymmärretään tämän hahmon ominaisuutena miehittää osa tasosta, ilmaistuna numerolla. Aika vaikea ymmärtää. Emme yritä syventyä määritelmään, tavoitteemme ei ole tämä. Siirrytään pääasiaan - kuinka löytää suorakulmaisen kolmion pinta-ala? Emme suorita itse laskelmia, ilmoitamme vain kaavat. Tätä varten määritellään merkintä: A, B, C - kolmion sivut, jalat - AB, BC. Kulma ACB on suora. S on kolmion pinta-ala, h n n on kolmion korkeus, missä nn on sivu, jolle se on laskettu.

Menetelmä 1. Kuinka löytää suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jos sen jalkojen koko on tiedossa

Menetelmä 2. Etsi tasakylkisen suorakulmaisen kolmion pinta-ala

Menetelmä 3. Laske pinta-ala suorakulmion läpi

Täydennämme suorakulmaisen kolmion neliöiksi (jos kolmio

tasakylkinen) tai suorakulmio. Saamme yksinkertaisen nelikulmion, joka koostuu kahdesta identtisestä suorakulmaisesta kolmiosta. Tässä tapauksessa yhden niistä alueen arvo on yhtä suuri kuin puolet tuloksena olevan luvun pinta-alasta. Suorakulmion S lasketaan sivujen tulolla. Merkitsemme tätä arvoa M:llä. Alueen haluttu arvo on yhtä suuri kuin puolet M:stä.

Menetelmä 4. "Pytagoraan housut." Kuuluisa Pythagoraan lause

Me kaikki muistamme hänen sanamuotonsa: "jalkojen neliöiden summa ...". Mutta kaikki eivät voi

sano, ja tässä muutama "housu". Tosiasia on, että Pythagoras tutki alun perin suorakulmaisen kolmion sivuille rakennettua suhdetta. Tunnistattuaan kuviot neliöiden sivujen suhteesta hän pystyi johtamaan meille kaikille tutun kaavan. Sitä voidaan käyttää, kun yhden puolen arvoa ei tunneta.

Menetelmä 5. Kuinka löytää suorakulmaisen kolmion pinta-ala Heronin kaavalla

Se on myös melko yksinkertainen laskelma. Kaava sisältää kolmion pinta-alan ilmaisemisen sen sivujen numeeristen arvojen perusteella. Laskelmia varten sinun on tiedettävä kolmion kaikkien sivujen suuruus.

S = (p-AC)*(p-BC), missä p = (AB+BC+AC)*0,5

Yllämainittujen lisäksi on monia muita tapoja löytää niiden arvo mystinen hahmo kuin kolmio. Niistä: laskenta piirretyn tai rajatun ympyrän menetelmällä, laskenta käyttäen kärkien koordinaatteja, vektorien, absoluuttisten arvojen, sinien, tangenttien käyttö.

Kuten ehkä muistat geometrian koulun opetussuunnitelmasta, kolmio on kuvio, joka muodostuu kolmesta segmentistä, joita yhdistää kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Kolmio muodostaa kolme kulmaa, mistä tulee kuvan nimi. Määritelmä voi olla erilainen. Kolmiota voidaan kutsua myös monikulmioksi, jossa on kolme kulmaa, vastaus on yhtä totta. Kolmiot jaetaan kuvien yhtäläisten sivujen lukumäärän ja kulmien koon mukaan. Joten erottele sellaiset kolmiot, kuten tasakyliset, tasasivuiset ja mittakaavaiset, sekä vastaavasti suorakaiteen muotoiset, teräväkulmaiset ja tylppäkulmaiset.

Kolmion pinta-alan laskemiseen on monia kaavoja. Valitse, kuinka etsit kolmion pinta-alan, ts. mitä kaavaa käyttää, vain sinä. Mutta on syytä huomata vain osa merkinnöistä, joita käytetään monissa kaavoissa kolmion pinta-alan laskemiseen. Muista siis:

S on kolmion pinta-ala,

a, b, c ovat kolmion sivut,

h on kolmion korkeus,

R on rajatun ympyrän säde,

p on puolikehä.

Tässä on perusmerkinnät, joista voi olla hyötyä, jos olet unohtanut geometrian kurssin kokonaan. Ymmärrettävimmät ja ei monimutkaisimmat vaihtoehdot kolmion tuntemattoman ja salaperäisen alueen laskemiseksi annetaan alla. Se ei ole vaikeaa ja on hyödyllinen sekä kotitalouden tarpeisiin että lasten auttamiseen. Muistetaan kuinka laskea kolmion pinta-ala yhtä helposti kuin päärynöiden kuoriminen:

Meidän tapauksessamme kolmion pinta-ala on: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 neliöcm. Muista, että pinta-ala mitataan neliösenttimetrinä (sqcm).

Suorakulmainen kolmio ja sen pinta-ala.

Suorakulmainen kolmio on kolmio, jonka yksi kulma on 90 astetta (tämän vuoksi sitä kutsutaan suorakulmaiseksi kolmioksi). Suorakulma muodostuu kahdesta kohtisuorasta suorasta (kolmion tapauksessa kahdesta kohtisuorasta janasta). Suorakulmaisessa kolmiossa voi olla vain yksi suora kulma, koska minkä tahansa kolmion kaikkien kulmien summa on 180 astetta. Osoittautuu, että 2 muun kulman tulisi jakaa loput 90 astetta keskenään, esimerkiksi 70 ja 20, 45 ja 45 jne. Joten, muistit pääasia, on vielä opittava löytämään suorakulmaisen kolmion pinta-ala. Kuvittele, että edessämme on tällainen suorakulmainen kolmio ja meidän on löydettävä sen alue S.

1. Helpoin tapa määrittää suorakulmaisen kolmion pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:

Meidän tapauksessamme suorakulmaisen kolmion pinta-ala on: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 neliöcm.

Periaatteessa ei ole enää tarpeen tarkistaa kolmion pinta-alaa muilla tavoilla, koska jokapäiväisessä elämässä se on hyödyllinen ja vain tämä auttaa. Mutta on myös vaihtoehtoja mitata kolmion pinta-ala terävien kulmien kautta.

2. Muissa laskentamenetelmissä sinulla on oltava kosinit, sinit ja tangentit. Arvioi itse, tässä on joitain vaihtoehtoja suorakulmaisen kolmion pinta-alojen laskemiseen, joita voit edelleen käyttää:

Päätimme käyttää ensimmäistä kaavaa ja pienillä täplillä (piirroimme vihkoon ja käytimme vanhaa viivainta ja astetta), mutta saimme oikean laskelman:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Saimme tällaiset tulokset 3,6=3,7, mutta kun otetaan huomioon solusiirtymä, voimme antaa tämän vivahteen anteeksi.

Tasakylkinen kolmio ja sen pinta-ala.

Jos edessäsi on tasakylkisen kolmion kaavan laskeminen, helpoin tapa on käyttää pääkaavaa ja, kuten pidetään klassisena kolmion alueen kaavana.

Mutta ensin, ennen kuin löydämme tasakylkisen kolmion alueen, selvitämme, millainen kuva se on. Tasakylkinen kolmio on kolmio, jonka kaksi sivua ovat yhtä pitkiä. Näitä kahta puolta kutsutaan sivuiksi, kolmatta puolta kutsutaan pohjaksi. Älä sekoita tasakylkistä kolmiota tasasivuiseen, ts. tasasivuinen kolmio, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret. Tällaisessa kolmiossa ei ole erityisiä taipumuksia kulmiin tai pikemminkin niiden kokoon. Tasakylkisen kolmion pohjan kulmat ovat kuitenkin yhtä suuret, mutta eroavat yhtäläisten sivujen välisestä kulmasta. Joten, tiedät jo ensimmäisen ja pääkaavan, on vielä selvitettävä, mitä muita kaavoja tasakylkisen kolmion alueen määrittämiseksi tunnetaan: