Geometriassa oleva kolmio edustaa yhtä perusmuodoista. Edellisistä oppitunneista tiedät, että kolmio on monikulmio, jossa on kolme kulmaa ja kolme sivua.

Kolmio kutsui suorakulmainen jos sen suora kulma on 90 astetta.
Suorakulmaisella kolmiolla on kaksi keskenään kohtisuoraa sivua, joita kutsutaan jalat ; kolmatta puolta kutsutaan hypotenuusa . Hypotenuusa on tämän kolmion suurin sivu.

• Pystysuoran ja vinon hypotenuusan ominaisuuksien mukaan jokainen jalka on pidempi (mutta pienempi kuin niiden summa).
• Kahden terävän kulman summa suorakulmainen kolmio yhtä suuri kuin suora kulma.
• Suorakulmaisen kolmion kaksi korkeutta osuvat yhteen sen jalkojen kanssa. Siksi yksi neljästä merkittävästä pisteestä putoaa kärkipisteisiin oikea kulma kolmio.
• Suorakulmaisen kolmion rajatun ympyrän keskipiste on hypotenuusan keskipisteessä.
• Oikean kulman kärjestä hypotenuusaan vedetyn suorakulmaisen kolmion mediaani on tämän kolmion ympärille rajatun ympyrän säde.

Suorakulmaisten kolmioiden ominaisuudet ja piirteet

Minä - omaisuus. Suorakulmaisessa kolmiossa sen terävien kulmien summa on 90°. Kolmion suurempi sivu on suurempaa kulmaa vastapäätä ja suurempi sivu on suurempaa kulmaa vastapäätä. Suorakulmaisessa kolmiossa suurin kulma on oikea kulma. Jos kolmion suurimmalla kulmalla on yli 90 °, tällainen kolmio lakkaa olemasta suorakulmainen, koska kaikkien kulmien summa ylittää 180 astetta. Kaikesta tästä seuraa, että hypotenuusa on kolmion suurin sivu.

II - e omaisuus. Suorakulmaisen kolmion jalka, joka sijaitsee vastapäätä 30 asteen kulmaa, on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.

III - e omaisuus. Jos suorakulmaisessa kolmiossa jalka on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta, niin tätä jalkaa vastapäätä oleva kulma on 30 astetta.

Geometristen ongelmien ratkaiseminen vaatii valtavasti tietoa. Yksi tämän tieteen perusmääritelmistä on suorakulmainen kolmio.

Tämä käsite tarkoittaa, että se koostuu kolmesta kulmasta ja

sivuilla, ja yhden kulman arvo on 90 astetta. Suoran kulman muodostavia sivuja kutsutaan jaloiksi, kun taas kolmatta sivua, joka on sitä vastapäätä, kutsutaan hypotenuusaksi.

Jos tällaisen kuvion jalat ovat yhtä suuret, sitä kutsutaan tasakylkiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Tässä tapauksessa on olemassa kuuluminen kahteen, mikä tarkoittaa, että molempien ryhmien ominaisuuksia havaitaan. Muista, että tasakylkisen kolmion pohjan kulmat ovat ehdottomasti aina yhtä suuret, joten tällaisen kuvan terävät kulmat sisältävät 45 astetta.

Jos jokin seuraavista ominaisuuksista on olemassa, voimme väittää, että yksi suorakulmainen kolmio on yhtä suuri kuin toinen:

1. kahden kolmion jalat ovat yhtä suuret;
2. hahmoilla on sama hypotenuusa ja yksi jalka;
3. hypotenuusa ja mikä tahansa terävistä kulmista ovat yhtä suuret;
4. havaitaan jalan tasa-arvo ja terävä kulma.

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala voidaan laskea helposti sekä vakiokaavojen avulla että arvona, joka on yhtä suuri kuin puolet sen jalkojen tulosta.

Suorakulmaisessa kolmiossa havaitaan seuraavat suhteet:

1. jalka on vain keskiarvo, joka on verrannollinen hypotenuusaan ja sen projektioon siinä;
2. jos kuvaat ympyrää suorakulmaisen kolmion ympärillä, sen keskipiste on hypotenuusan keskellä;
3. oikeasta kulmasta vedetty korkeus on keskiarvo, joka on verrannollinen kolmion jalkojen projektioihin sen hypotenuusaan.

On mielenkiintoista, että riippumatta siitä, mikä suorakulmainen kolmio on, nämä ominaisuudet huomioidaan aina.

Pythagoraan lause

Yllä olevien ominaisuuksien lisäksi suorakulmaisille kolmioille on ominaista seuraava ehto:

Tämä lause on nimetty sen perustajan mukaan - Pythagoraan lause. Hän havaitsi tämän suhteen, kun hän tutki neliöiden ominaisuuksia

Lauseen todistamiseksi rakennamme kolmion ABC, jonka jalat merkitsemme a ja b sekä hypotenuusa c. Seuraavaksi rakennamme kaksi neliötä. Toinen puoli on hypotenuusa, toinen kahden jalan summa.

Sitten ensimmäisen neliön pinta-ala voidaan löytää kahdella tavalla: neljän kolmion ABC ja toisen neliön pinta-alojen summana tai sivun neliönä, luonnollisesti nämä suhteet ovat yhtä suuret. Tuo on:

kun 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , muunnamme tuloksena olevan lausekkeen:

c 2 + 2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

Tuloksena saamme: c 2 \u003d a 2 + b 2

Täten, geometrinen kuvio suorakulmainen kolmio ei vastaa vain kaikkia kolmioille ominaisia ​​ominaisuuksia. Suoran kulman läsnäolo johtaa siihen, että hahmolla on muita ainutlaatuisia suhteita. Heidän tutkimuksensa on hyödyllinen paitsi tieteessä, myös tieteessä Jokapäiväinen elämä, koska sellainen kuvio kuin suorakulmainen kolmio löytyy kaikkialta.

Suorakulmainen kolmio - kolmio, jonka yksi kulma on suora (yhtä kuin 90 0). Siksi kaksi muuta kulmaa laskevat yhteen 90 0 .

Suorakulmaisen kolmion sivut

Yhdeksänkymmenen asteen kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi. Kahta muuta puolta kutsutaan jaloiksi. Hypotenuusa on aina pidempi kuin jalat, mutta lyhyempi kuin niiden summa.

Suorakulmainen kolmio. Kolmion ominaisuudet

Jos jalka on kolmenkymmenen asteen kulmaa vastapäätä, sen pituus vastaa puolta hypotenuusan pituudesta. Tästä seuraa, että jalkaa vastapäätä oleva kulma, jonka pituus vastaa puolta hypotenuusasta, on kolmekymmentä astetta. Jalka on yhtä suuri kuin hypotenuusaan verrannollinen keskiarvo ja projektio, jonka jalka antaa hypotenuusalle.

Pythagoraan lause

Mikä tahansa suorakulmainen kolmio noudattaa Pythagoraan lausetta. Tämä lause sanoo, että jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. Jos oletetaan, että jalat ovat yhtä suuret a ja b ja hypotenuusa on c, kirjoitamme: a 2 + b 2 \u003d c 2. Pythagoraan lausetta käytetään ratkaisemaan kaikki geometriset ongelmat, joissa esiintyy suorakulmaisia ​​kolmioita. Se auttaa myös piirtämään oikean kulman, jos tarvittavia työkaluja ei ole.

Korkeus ja mediaani

Suorakulmaiselle kolmiolle on ominaista se, että sen kaksi korkeutta on yhdistetty jalkoihin. Kolmannen puolen löytämiseksi sinun on löydettävä hypotenuusan jalkojen projektioiden summa ja jaettava se kahdella. Jos piirrät mediaanin suoran kulman kärjestä, se osoittautuu kolmion ympärille kuvatun ympyrän säteeksi. Tämän ympyrän keskipiste on hypotenuusan keskipiste.

Suorakulmainen kolmio. Pinta-ala ja sen laskenta

Suorakulmaisten kolmioiden pinta-ala lasketaan millä tahansa kaavalla kolmion alueen löytämiseksi. Lisäksi voit käyttää toista kaavaa: S \u003d a * b / 2, joka sanoo, että alueen löytämiseksi sinun on jaettava jalkojen pituuden tulo kahdella.

Kosini, sini ja tangentti suorakulmainen kolmio

Terävän kulman kosini on kulman vieressä olevan jalan suhde hypotenuusaan. Se on aina vähemmän kuin yksi. Sini on kulmaa vastapäätä olevan jalan suhde hypotenuusaan. Tangentti on kulmaa vastapäätä olevan jalan suhde tämän kulman viereiseen jalkaan. Kotangentti on kulman vieressä olevan jalan suhde kulman vastakkaiseen jalkaan. Kosini, sini, tangentti ja kotangentti eivät ole riippuvaisia ​​kolmion koosta. Niiden arvoon vaikuttaa vain kulman astemitta.

Kolmion ratkaisu

Kulmaa vastakkaisen jalan arvon laskemiseksi sinun on kerrottava hypotenuusan pituus tämän kulman sinillä tai toisen haaran koko kulman tangentilla. Kulman vieressä olevan jalan löytämiseksi on tarpeen laskea hypotenuusan ja kulman kosinin tulo.

Tasakylkinen suorakulmainen kolmio

Jos kolmiolla on suora kulma ja yhtä suuret jalat, niin sitä kutsutaan tasakylkiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Tällaisen kolmion terävät kulmat ovat myös yhtä suuret - kukin 45 0. Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion suorasta kulmasta piirretty mediaani, puolittaja ja korkeus ovat samat.

Ensimmäiset ovat segmenttejä, jotka ovat oikean kulman vieressä, ja hypotenuusa on kuvan pisin osa ja on vastapäätä 90 asteen kulmaa. Pythagoraan kolmio on kolmio, jonka sivut ovat yhtä suuret luonnolliset luvut; niiden pituuksia kutsutaan tässä tapauksessa "Pythagoran kolmioksi".

egyptin kolmio

Jotta nykyinen sukupolvi voisi oppia geometrian siinä muodossa, jossa sitä nyt opetetaan koulussa, sitä on kehitetty useita vuosisatoja. Peruskohta on Pythagoraan lause. Suorakulmion sivut ovat koko maailman tiedossa) ovat 3, 4, 5.

Harvat ihmiset eivät tunne lausetta "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin." Itse asiassa lause kuulostaa kuitenkin tältä: c 2 (hypotenuusan neliö) \u003d a 2 + b 2 (jalkojen neliöiden summa).

Matemaatikoiden keskuudessa kolmiota, jonka sivut ovat 3, 4, 5 (cm, m jne.), kutsutaan "egyptiläiseksi". On mielenkiintoista, että kuvioon kirjoitettu on yhtä suuri kuin yksi. Nimi syntyi noin 500-luvulla eKr., kun kreikkalaiset filosofit matkustivat Egyptiin.

Pyramideja rakentaessaan arkkitehdit ja katsastajat käyttivät suhdetta 3:4:5. Tällaiset rakenteet osoittautuivat suhteellisiksi, miellyttäviksi katsottaviksi ja tilaviksi, ja myös harvoin romahtaneet.

Suorakulman rakentamiseksi rakentajat käyttivät köyttä, johon oli sidottu 12 solmua. Tässä tapauksessa suorakulmaisen kolmion rakentamisen todennäköisyys nousi 95 prosenttiin.

Merkkejä lukujen tasa-arvosta

• Suorakulmaisen kolmion terävä kulma ja suuri sivu, jotka ovat yhtä suuria kuin samat elementit toisessa kolmiossa, on kiistaton merkki kuvioiden yhtäläisyydestä. Kulmien summa huomioon ottaen on helppo todistaa, että myös toiset terävät kulmat ovat yhtä suuret. Siten kolmiot ovat identtisiä toisessa kriteerissä.
• Kun kaksi hahmoa asetetaan päällekkäin, käännämme niitä siten, että yhdistettynä niistä tulee yksi tasakylkinen kolmio. Ominaisuutensa mukaan sivut tai pikemminkin hypotenukset ovat yhtä suuret, samoin kuin kulmat pohjassa, mikä tarkoittaa, että nämä luvut ovat samat.

Ensimmäisellä merkillä on erittäin helppo todistaa, että kolmiot ovat todella yhtä suuret, pääasia, että kaksi pienempää sivua (eli jalat) ovat keskenään yhtä suuret.

Kolmiot ovat samat II-merkin mukaan, jonka ydin on jalan ja terävän kulman yhtäläisyys.

Suorakulmaisen kolmion ominaisuudet

Suorasta kulmasta laskettu korkeus jakaa hahmon kahteen yhtä suureen osaan.

Suorakulmaisen kolmion sivut ja sen mediaani on helppo tunnistaa säännöllä: hypotenuusaan laskettu mediaani on puolet siitä. voidaan löytää sekä Heronin kaavalla että väittämällä, että se on yhtä suuri kuin puolet jalkojen tulosta.

Suorakulmaisessa kolmiossa pätevät kulmien ominaisuudet 30 o, 45 o ja 60 o.

• Kulmassa, joka on 30 °, on muistettava, että vastakkainen jalka on yhtä suuri kuin 1/2 suurimmasta sivusta.
• Jos kulma on 45o, niin toinen terävä kulma on myös 45o. Tämä viittaa siihen, että kolmio on tasakylkinen ja sen jalat ovat samat.
• 60 asteen kulman ominaisuus on se, että kolmas kulma on asteen mitta klo 30.

Alue on helppo löytää jollakin kolmesta kaavasta:

1. korkeuden ja sen puolen läpi, jolle se laskeutuu;
2. Heronin kaavan mukaan;
3. sivuilla ja niiden välisessä kulmassa.

Suorakulmaisen kolmion sivut tai pikemminkin jalat yhtyvät kahteen korkeuteen. Kolmannen löytämiseksi on otettava huomioon tuloksena oleva kolmio ja laskettava sitten Pythagoraan lauseen avulla tarvittava pituus. Tämän kaavan lisäksi on olemassa myös hypotenuusan pinta-alan ja pituuden kaksinkertainen suhde. Opiskelijoiden keskuudessa yleisin ilmaus on ensimmäinen, koska se vaatii vähemmän laskelmia.

Lauseet, jotka pätevät suorakulmaiseen kolmioon

Suorakulmaisen kolmion geometriaan sisältyy lauseiden käyttö, kuten:

Suorakulmainen kolmio on kolmio, jossa yksi kulmista on suora, eli yhtä suuri kuin 90 astetta.

• Oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi. c tai AB)
• Oikean kulman vieressä olevaa puolta kutsutaan jalaksi. Jokaisella suorakulmaisella kolmiolla on kaksi jalkaa (merkitty muodossa a ja b tai AC ja BC)

Suorakulmaisen kolmion kaavat ja ominaisuudet

Kaavan nimitykset:

(katso kuva yllä)

a, b- suorakulmaisen kolmion jalat

c- hypotenuusa

α, β - kolmion terävät kulmat

S- neliö

h- korkeus putosi oikean kulman kärjestä hypotenuusaan

m a a vastakkaisesta kulmasta ( α )

m b- sivulle vedetty mediaani b vastakkaisesta kulmasta ( β )

mc- sivulle vedetty mediaani c vastakkaisesta kulmasta ( γ )

SISÄÄN suorakulmainen kolmio kumpikin jalka on pienempi kuin hypotenuusa(Formula 1 ja 2). Tämä ominaisuus on seuraus Pythagoraan lauseesta.

Minkä tahansa terävän kulman kosini vähemmän kuin yksi (Formula 3 ja 4). Tämä ominaisuus on seurausta edellisestä. Koska mikä tahansa jaloista on pienempi kuin hypotenuusa, jalan suhde hypotenuusaan on aina pienempi kuin yksi.

Hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa (Pythagoraan lause). (Formula 5). Tätä ominaisuutta käytetään jatkuvasti ongelmien ratkaisemisessa.

Suorakulmaisen kolmion pinta-ala yhtä suuri kuin puolet jalkojen tulosta (Formula 6)

Mediaanien neliösumma jalkoihin on yhtä suuri kuin viisi hypotenuusan mediaanin neliötä ja viisi hypotenuusan neliötä jaettuna neljällä (kaava 7). Edellä mainittujen lisäksi siellä 5 muuta kaavaa, joten on suositeltavaa tutustua myös oppituntiin " Suorakulmaisen kolmion mediaani", joka kuvaa mediaanin ominaisuuksia tarkemmin.

Korkeus suorakulmainen kolmio on yhtä suuri kuin jalkojen tulo jaettuna hypotenuusalla (kaava 8)

Jalkojen neliöt ovat kääntäen verrannollisia hypotenuusaan pudonneen korkeuden neliöön (kaava 9). Tämä identiteetti on myös yksi Pythagoraan lauseen seurauksista.

Hypotenuusan pituus yhtä suuri kuin rajatun ympyrän halkaisija (kaksi sädettä) (kaava 10). Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on rajatun ympyrän halkaisija. Tätä ominaisuutta käytetään usein ongelmanratkaisussa.

Kirjattu säde V suorakulmainen kolmio ympyrät löytyy puolikkaana lausekkeesta, joka sisältää tämän kolmion haarojen summan miinus hypotenuusan pituus. Tai jalkojen tulona jaettuna tietyn kolmion kaikkien sivujen (kehän) summalla. (Formula 11)
Kulman sini vastapäätä tämä nurkka jalka hypotenuusaan(sinin määritelmän mukaan). (Formula 12). Tätä ominaisuutta käytetään ongelmien ratkaisemiseen. Kun tiedät sivujen mitat, voit löytää kulman, jonka ne muodostavat.

Kulman A (α, alfa) kosini suorakulmaisessa kolmiossa on yhtä suuri kuin suhde vieressä tämä nurkka jalka hypotenuusaan(sinin määritelmän mukaan). (Formula 13)