Rezumatul lecției pentru clasele 10-11

Subiectul 1 : Metoda de introducere a argumentelor auxiliare. Derivarea formulelor.

Obiective:

Formarea cunoașterii unei noi metode de rezolvare a sarcinilor în trigonometrie, în care aplicarea acesteia este posibilă sau necesară;

Formarea abilităților de a analiza starea problemei, de a compara și de a găsi diferențe;

Dezvoltarea gândirii, logica și validitatea afirmațiilor, capacitatea de a trage concluzii și de a generaliza;

Dezvoltarea vorbirii, îmbogățirea și complicația vocabular, însuşirea proprietăţilor expresive ale limbajului de către elevi;

Formarea atitudinii față de subiect, entuziasm pentru cunoaștere, crearea condițiilor pentru o abordare creativă non-standard a stăpânirii cunoștințelor.

Cunoștințe necesare, aptitudini și abilități:

să poată scoate formule trigonometriceși să le folosească în lucrările viitoare;

Să fii capabil să rezolvi sau să ai o idee despre cum să rezolvi sarcini trigonometrice;

Cunoașteți formulele trigonometrice de bază.

Nivelul de pregătire al elevilor pentru percepția conștientă:

Echipament: AWP, prezentare cu condiții de sarcină, soluții și formule necesare, carduri cu sarcini și răspunsuri.

Structura lecției:

1. Stabilirea scopului lecției (2

Pregătirea pentru studiul de material nou (12 min).

Cunoașterea materialului nou (15 min).

Înțelegerea și aplicarea primară a ceea ce s-a învățat (10 min).

Stabilirea temelor (3 min).

Rezumatul lecției (3 min).

În timpul orelor.

1. Stabilirea scopului lecției.

Verificați pregătirea elevilor și a echipamentului pentru lecție. Este indicat să vă pregătiți din timp teme pentru acasă la bord pentru a discuta soluția. Rețineți că scopul lecției este de a extinde cunoștințele despre metodele de rezolvare a unor sarcini din trigonometrie și de a încerca să le stăpânească.

2. Pregătirea pentru studiul de material nou.

Discutați temele: amintiți-vă formulele trigonometrice de bază, valorile funcții trigonometrice pentru argumente simple. Revedeți temele pentru acasă.

Formule:

; ;

; ;

O sarcină: Exprimați expresia ca un produs.

Este posibil ca elevii să vină cu următoarea soluție:

pentru că cunosc formulele de conversie a sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs.

Propunem o alta solutie la problema: . Aici, la rezolvare, a fost folosită formula pentru cosinusul diferenței a două argumente, unde este auxiliară. Rețineți că în fiecare dintre aceste metode pot fi utilizate și alte formule similare.

3. Cunoașterea materialului nou.

Se pune întrebarea, de unde a venit argumentul auxiliar?

Pentru a obține un răspuns, luați în considerare decizie comună problema, transformăm expresia într-un produs, unde și sunt numere arbitrare diferite de zero.

introducem un unghi suplimentar (argument auxiliar), unde , , atunci expresia noastră va lua forma:

Astfel, avem formula: .

Dacă unghiul este introdus conform formulelor, atunci expresia va lua forma și vom obține o formă diferită a formulei: .

Am derivat formule pentru unghiul suplimentar, care sunt numite formule ale argumentului auxiliar:

Formulele pot avea, de asemenea, o formă diferită (este necesar să acordați atenție acestui lucru Atentie specialași arată cu exemple).

Rețineți că în cele mai simple cazuri, metoda de introducere a unui argument auxiliar se reduce la înlocuirea numerelor; ; ; ; unu; funcţiile trigonometrice ale unghiurilor corespunzătoare.

4. Înțelegerea și aplicarea primară a ceea ce s-a învățat .

Pentru a consolida materialul, se propune să luăm în considerare câteva exemple de sarcini suplimentare:

Exprimați ca produs al expresiei:

Este indicat să analizați sarcinile 3 și 4 în clasă (analiza sarcinilor este prezentă în materialele pentru ore). Sarcinile 1, 2 și 5 pot fi luate pentru rezolvare independentă (se oferă răspunsuri).

Pentru a analiza caracteristicile condițiilor sarcinilor tipice în care poate fi utilizată metoda de soluție considerată, pot fi utilizate diverse metode. Rețineți că sarcina 1. poate fi îndeplinită căi diferite, iar pentru a finaliza sarcinile 2 - 5 este mai convenabil să se aplice metoda introducerii unui unghi auxiliar

În cursul unei conversații frontale, trebuie discutat cum aceste sarcini sunt similare cu exemplul luat în considerare la începutul lecției, care sunt diferențele, dacă metoda propusă poate fi aplicată pentru a le rezolva și de ce este mai convenabilă utilizarea acesteia. .

Similaritate: în toate exemplele propuse, este posibil să se aplice metoda introducerii unui argument auxiliar, iar aceasta este o metodă mai convenabilă care duce imediat la rezultat.

Diferență: în primul exemplu, este posibilă o abordare diferită, iar în toate celelalte, este posibilă o metodă de aplicare a unui argument auxiliar folosind nu una, ci mai multe formule.

După ce discutați sarcinile, îi puteți invita pe băieți să rezolve singuri restul acasă.

5. Declarație de teme.

Acasă, ești invitat să studiezi cu atenție rezumatul lecției și să încerci să rezolvi următoarele exerciții.

Ecuațiile trigonometrice elementare sunt ecuații de forma, unde este una dintre funcțiile trigonometrice: , .

Ecuațiile trigonometrice elementare au infinit de rădăcini. De exemplu, următoarele valori satisfac ecuația: , etc. Formula generală prin care se găsesc toate rădăcinile ecuației, unde, este:

Aici poate lua orice valori întregi, fiecare dintre ele corespunde unei anumite rădăcini a ecuației; în această formulă (precum și în alte formule prin care se rezolvă ecuații trigonometrice elementare) se numește parametru. De obicei, îl notează, subliniind astfel că parametrul poate lua orice valoare întreagă.

Soluțiile ecuației, unde, se găsesc prin formula

Ecuația se rezolvă prin aplicarea formulei

iar ecuația --- conform formulei

Să notăm în special câteva cazuri particulare de elementar ecuații trigonometrice, când soluția poate fi scrisă fără a aplica formulele generale:

La rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice rol important joacă perioada funcțiilor trigonometrice. Prin urmare, prezentăm două teoreme utile:

Teorema Dacă --- perioada principală a funcției, atunci numărul este perioada principală a funcției.

Se spune că perioadele funcțiilor și sunt proporționale dacă există numere întregi si ce.

Teorema În cazul în care un funcții periodiceși, au proporțional și, apoi au o perioadă comună, care este perioada funcțiilor, .

Teorema spune care este perioada funcției și nu neapărat perioada principală. De exemplu, perioada principală a funcțiilor și este --- , iar perioada principală a produsului lor este --- .

Introducerea unui argument auxiliar

Modul standard de a transforma expresii ale formei este următorul truc: let --- colț, dat de egalităţi, . Pentru orice și astfel de unghi există. În acest fel. Dacă, sau, în alte cazuri.

Schema de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice

Schema principală după care ne vom ghida atunci când rezolvăm ecuațiile trigonometrice este următoarea:

soluţie ecuația dată reduce la rezolvarea ecuaţiilor elementare. Instrumente de soluție --- transformări, factorizări, schimbare de necunoscute. Principiul călăuzitor este de a nu pierde rădăcinile. Aceasta înseamnă că atunci când trecem la următoarea ecuație (ecuații), nu ne este frică de apariția unor rădăcini suplimentare (străine), ci ne pasă doar ca fiecare ecuație ulterioară a „lanțului” nostru (sau un set de ecuații în cazul ramificare) este o consecinţă a precedentului. Unul dintre metode posibile selectarea rădăcinilor este o verificare. Observăm imediat că, în cazul ecuațiilor trigonometrice, dificultățile asociate cu selecția rădăcinilor, cu verificare, de regulă, cresc brusc în comparație cu ecuațiile algebrice. La urma urmei, trebuie să verificați seria, formată dintr-un număr infinit de membri.

Mențiune specială trebuie făcută asupra schimbării necunoscutelor în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. În cele mai multe cazuri, după înlocuirea necesară, se obține o ecuație algebrică. Mai mult decât atât, nu este neobișnuit pentru ecuații care, deși sunt trigonometrice în aspect, de fapt, nu sunt, pentru că deja după primul pas --- înlocuiri variabilele --- se transformă în algebrice, iar revenirea la trigonometrie are loc numai în stadiul rezolvării ecuațiilor trigonometrice elementare.

Amintiți-vă încă o dată: înlocuirea necunoscutului ar trebui să fie făcută cât mai curând posibil, ecuația rezultată după înlocuire trebuie rezolvată până la sfârșit, inclusiv etapa de selectare a rădăcinilor și abia atunci se va întoarce la necunoscutul inițial.

Una dintre caracteristicile ecuațiilor trigonometrice este că răspunsul în multe cazuri poate fi scris în diferite moduri. Chiar și pentru rezolvarea ecuației, răspunsul poate fi scris astfel:

1) sub forma a doua serii: , ;

2) în formă standard, care este o unire a seriei de mai sus: , ;

3) întrucât, atunci răspunsul poate fi scris sub forma, . (În continuare, prezența unui parametru sau în înregistrarea răspunsului înseamnă automat că acest parametru preia toate valorile întregi posibile. Vor fi specificate excepții.)

Evident, cele trei cazuri enumerate nu epuizează toate posibilitățile de scriere a răspunsului la ecuația luată în considerare (există la infinit de multe).

De exemplu, când egalitatea este adevărată. Prin urmare, în primele două cazuri, dacă, putem înlocui cu.

De obicei, răspunsul este scris pe baza paragrafului 2. Este util să ne amintim următoarea recomandare: dacă munca nu se termină cu rezolvarea ecuației, este încă necesar să se efectueze un studiu, selectarea rădăcinilor, atunci cea mai convenabilă formă de înregistrare este indicată în paragraful 1. (O recomandare similară ar trebui dată pentru ecuație.)

Să luăm în considerare un exemplu care ilustrează ceea ce s-a spus.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Cel mai evident este următorul mod. Această ecuație se împarte în două: i. Rezolvând fiecare dintre ele și combinând răspunsurile obținute, găsim.

Altă cale. Din moment ce, atunci, înlocuirea și prin formulele de scădere a gradului. După mici transformări, ajungem unde.

La prima vedere, a doua formulă nu are avantaje deosebite față de prima. Totuși, dacă luăm, de exemplu, se dovedește că, i.e. ecuația are o soluție, în timp ce prima cale ne conduce la răspuns. „A vedea” și a dovedi egalitatea nu este atât de ușor.

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Rezolvarea ecuației trigonometrice constă în două etape: transformarea ecuației să fie simplu tip (vezi mai sus) și soluţieobtinut cel mai simplu ecuație trigonometrică. Sunt șapte metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

1. Metoda algebrică.

(metoda de substituție și substituție variabilă).

2. Factorizarea.

EXEMPLU 1. Rezolvați ecuația: păcat X+ cos X = 1 .

Soluție. Mută ​​toți termenii ecuației la stânga:

Păcat X+ cos X – 1 = 0 ,

Să transformăm și să factorizăm expresia în

Partea stângă a ecuației:

Exemplul 2. Rezolvați ecuația: cos 2 X+ păcat X cos X = 1.

SOLUȚIA cos 2 X+ păcat X cos X– păcatul 2 X– cos 2 X = 0 ,

Păcat X cos X– păcatul 2 X = 0 ,

Păcat X(cos X– păcat X ) = 0 ,

Exemplul 3. Rezolvați ecuația: cos 2 X– cos 8 X+ cos 6 X = 1.

SOLUȚIA cos 2 X+ cos 6 X= 1 + cos8 X,

2 cos 4 X cos 2 X= 2 cos² 4 X ,

Cos 4 X · (cos 2 X– cos 4 X) = 0 ,

Cos 4 X 2 păcatul 3 X păcat X = 0 ,

unu). cos 4 X= 0, 2). păcatul 3 X= 0, 3). păcat X = 0 ,

3. Aducerea la ecuație uniformă. Ecuația numit omogen din relativ păcatși cos , dacă totul termeni de acelaşi grad cu privire la păcatși cos acelasi unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, aveți nevoie de: A) mutați toți membrii săi în partea stângă; b) scoateți toți factorii comuni dintre paranteze; în) egalează toți factorii și parantezele cu zero; G) parantezele puse la zero dau ecuație omogenă de grad mai mic, care ar trebui împărțită la cos(sau păcat) în gradul superior; d) rezolvați ecuația algebrică rezultată în raport cubronzat . păcat 2 X+ 4 păcat X cos X+ 5 cos 2 X = 2. Rezolvare: 3sin 2 X+ 4 păcat X cos X+ 5 cos 2 X= 2 sin 2 X+ 2 cos 2 X , Păcatul 2 X+ 4 păcat X cos X+ 3 cos 2 X = 0 , bronzat 2 X+ 4tan X + 3 = 0 , de aici y 2 + 4y +3 = 0 , Rădăcinile acestei ecuații sunt:y 1 = - 1, y 2 = - 3, prin urmare 1) bronzat X= –1, 2) tan X = –3,

4. Tranziție la jumătatea colțului.

Să ne uităm la această metodă cu un exemplu:

EXEMPLU Rezolvați ecuația: 3 păcat X– 5cos X = 7.

Rezolvare: 6 sin ( X/ 2) cos ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 sin² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 sin² ( X/ 2) – 6 sin ( X/ 2) cos ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

bronz² ( X/ 2) – 3 bronz ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Introducerea unui unghi auxiliar.

Luați în considerare o ecuație de formă:

A păcat X + b cos X = c ,

Unde A, b, c– coeficienți;X- necunoscut.

Acum coeficienții ecuației au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume: modul (valoare absolută) al fiecăruia din care nu mai mult de 1 iar suma pătratelor lor este 1. Atunci se poate desemna ei respectiv Cum cos și păcat (aici - așa-zisul unghi auxiliar), șiecuația noastră este

Tema lecției: O metodă pentru introducerea unui unghi auxiliar în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Actualizare.

Profesor.

Baieti! Ne-am familiarizat cu diverse tipuri de ecuații trigonometrice și am învățat cum să le rezolvăm. Astăzi vom generaliza cunoștințele metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice diferite feluri. Pentru aceasta, vă rog să lucrați la clasificarea ecuațiilor care vi se propun (vezi ecuațiile nr. 1-10 din Anexă - la sfârșitul rezumatului în format PDF)

Completați tabelul: indicați tipul de ecuație, metoda de rezolvare a acesteia și potriviți numerele ecuațiilor cu tipul căruia îi aparțin.

Elevi. Completați tabelul.

Tip de ecuație	Metoda de rezolvare	Ecuații
Protozoare	Formule de rădăcină	№1
Reductibil la pătrat	Metoda de înlocuire variabilă	№2,3
Vedere trigonometrică complexă	Simplificați la forma cunoscută folosind formule de trigonometrie	№4,5
Gradul I omogen	Împărțiți termenul ecuației cu termen la cosinusul variabilei	№6
Gradul II omogen	Împărțiți termenul ecuației cu termen la pătratul cosinusului variabilei	№7

Problematizare.

Completând tabelul, elevii se confruntă cu o problemă. Ei nu pot determina tipul și metoda de rezolvare a trei ecuații: Nr. 8,9,10.

Profesor. Ați reușit să clasificați toate ecuațiile după forma și metoda de soluție?

Răspunsul elevilor. Nu, trei ecuații nu au putut fi plasate în tabel.

Profesor. De ce?

Răspunsul elevilor. Nu arată ca specii cunoscute. Metoda de rezolvare nu este clară.

Stabilirea obiectivelor.

Profesor. Cum, atunci, vom formula scopul lecției noastre?

Răspunde elevilor. Definiți Descoperit tip nou ecuații și găsiți o metodă de rezolvare a acestora.

Profesor. Se poate formula tema lecției dacă nu cunoaștem tipul ecuațiilor descoperite și metoda de rezolvare a acestora?

Răspunsul elevului. Nu, dar o putem face mai târziu, când ne dăm seama cu ce avem de-a face.

Planificarea activității.

Profesor. Să ne planificăm activitățile. De obicei definim tipul și apoi căutăm o metodă de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. În situația noastră actuală, este posibil să dăm un nume specific tipului de ecuații descoperite? Și, în general, aparțin aceleiași specii?

Răspunsul elevilor. Este greu de făcut.

Profesor. Atunci gândește-te, poate ceva îi unește sau sunt asemănătoare cu un anumit tip?

Răspunsul elevilor. Partea stângă a acestor ecuații este aceeași cu cele omogene, dar partea dreaptă a acestora nu este egală cu zero. Deci, împărțirea la cosinus nu va face decât să complice soluția.

Profesor. Poate că vom începe prin a căuta o metodă de soluție și apoi vom determina tipul ecuației? Care dintre cele 3 ecuații crezi că este cea mai simplă?

Elevii răspund dar nu există un consens. Poate cineva va ghici că coeficienții din ecuația nr. 8 ar trebui să fie exprimați ca sinus și cosinus al unghiului tabelului. Și apoi clasa va determina ecuația care poate fi rezolvată mai întâi. Dacă nu, atunci profesorul sugerează să se ia în considerare o ecuație suplimentară (vezi ecuația nr. 11 din Anexă - la sfârșitul rezumatului în format PDF). În ea, coeficienții sunt egali cu sinusul și cosinusul unui unghi cunoscut, iar elevii ar trebui să observe acest lucru.

Profesorul dă ordinea activităților. ( Vedea ecuații din apendice - în format PDF la sfârșitul rezumatului).

1. Rezolvați prima ecuație (№11), prin înlocuirea coeficienților cu valorile sinusului și cosinusului unghiului cunoscut și aplicând formula pentru sinusul sumei.
2. Încercați să convertiți alte ecuații în forma primei și aplicați aceeași metodă. ( vezi ecuația #8,9,12)
3. Generalizați și extindeți metoda la orice coeficienți și construiți un algoritm general de acțiuni (vezi ecuația #10).
4. Aplicați metoda pentru a rezolva alte ecuații de același tip. (vezi ecuațiile nr. 12, 13, 14).

Implementarea planului.

Profesor. Ei bine, ne-am făcut un plan. Să începem să o implementăm.

La tablă, elevul rezolvă ecuația nr. 11.

Al doilea elev rezolvă următoarea ecuație nr. 8, după ce a împărțit-o la un număr constant și, prin urmare, reduce situația la soluția deja găsită.

Profesorul sugerează rezolvarea singur a ecuațiilor nr. 9.12. Verifică corectitudinea transformărilor și a setului de soluții.

Profesor. Băieți, cum puteți numi unghiul care apare în locul coeficienților ecuației și ne ajută să ajungem la o soluție?

Răspunsul elevilor. Adiţional. (Opțiune: auxiliară).

Profesor. Nu este întotdeauna ușor să găsești un astfel de unghi auxiliar. Poate fi găsit dacă coeficienții nu sunt sinusul și cosinusul unghiurilor cunoscute? Ce identitate trebuie să satisfacă astfel de coeficienți dacă vrem să-i reprezentăm ca sinus și cosinus al unghiului auxiliar?

Răspuns. Identitatea trigonometrică de bază.

Profesor. Bine făcut! Corect! Deci sarcina noastră este să obținem coeficienți astfel încât suma pătratelor lor să fie egală cu unu! Încercați să găsiți un număr cu care trebuie să împărțiți ecuația, astfel încât condiția pe care am indicat-o să fie îndeplinită.

Elevii se gândesc și, poate, se oferă să împartă totul la rădăcina pătrată a sumei pătratelor coeficienților ecuației. Dacă nu, profesorul îi conduce la acest gând.

Profesor. Rămâne să alegem pe care dintre noii coeficienți să desemnăm ca sinus al unghiului auxiliar și care ca cosinus. Există două opțiuni. Trecerea la cea mai simplă ecuație cu un sinus sau un cosinus depinde de alegere.

Elevi oferă o soluție, iar profesorul o completează, acordând atenție formei de înregistrare a raționamentului și a răspunsului. Rezolvați ecuația 10.

Profesor. Am descoperit o metodă de rezolvare a unui nou tip de ecuație? Cum numim acest tip?

Răspuns. Am lucrat prin metoda găsirii unui unghi auxiliar. Poate că ecuațiile ar trebui să fie numite ecuații care sunt rezolvate folosind unghiuri auxiliare?

Profesor. Da, cu siguranță poți. Vă puteți gândi la o formulă pentru ei? Va fi mai scurt.

Răspuns. Da. Ecuații cu coeficienții A, B și C.

Profesor. Să generalizăm metoda pentru coeficienți arbitrari.

Profesorul discută și scrie pe tablă formulele pentru sinusul și cosinusul unghiului auxiliar pentru coeficienți generalizați. Apoi, cu ajutorul lor, rezolvă ecuațiile nr. 13 și 14.

Profesor. Am stăpânit suficient de bine metoda?

Răspuns. Nu. Este necesar să se rezolve astfel de ecuații și să se consolideze capacitatea de a utiliza metoda unghiului auxiliar.

Profesor. De unde știm că metoda a fost stăpânită?

Răspuns. Dacă rezolvăm noi înșine mai multe ecuații.

Profesor. Să stabilim o scară calitativă pentru stăpânirea metodei.

Familiarizați-vă cu caracteristicile nivelurilor și plasați-le pe o scară care reflectă nivelul de stăpânire a acestei abilități. Corelați caracteristica nivelului și scorul (de la 0 la 3)

• Pot rezolva ecuații cu coeficienți diferiți
• Nu pot rezolva ecuații
• Pot rezolva ecuații complexe
• Pot rezolva ecuații cu coeficienți tabulari

Profesor.(După ce elevii răspund) Deci, scala noastră de evaluare este următoarea:

După același principiu, estimăm muncă independentă subiect din lecția următoare.

Și acum, vă rugăm să rezolvați ecuațiile nr. 1148 g, 1149 g, 1150 g și să determinați nivelul dvs. de asimilare a subiectului.

Nu uitați să completați intrările din tabel și să denumiți subiectul: „Introducerea unui unghi auxiliar la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice”.

Reflectarea modului de atingere a scopului.

Profesor. Băieți, am atins scopul lecției?

Răspunsurile elevilor. Da, am învățat să recunoaștem un nou tip de ecuație.

Am găsit o metodă de rezolvare a acestora folosind un unghi auxiliar.

A învățat să aplice metoda în practică.

Profesor. Cum ne-am comportat? Cum am ajuns să înțelegem ce trebuie să facem?

Răspuns. Am luat în considerare câteva cazuri speciale de ecuații cu coeficienți „recognoscibili” și am extins această logică la orice valori ale lui A, B și C.

Profesor. Acesta este un mod inductiv de gândire: am derivat o metodă din mai multe cazuri și am aplicat-o în cazuri similare.

Perspectivă. Unde putem aplica mod similar reflexii? (răspunde elevul)

Ai făcut o treabă bună azi la clasă. Acasă, citiți descrierea metodei unghiului auxiliar din manual și rezolvați nr. 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Sper că în lecția următoare veți fi cu toții grozavi la utilizarea acestei metode atunci când rezolvați ecuații trigonometrice.

Mulțumesc pentru lecție!