Tutorial video „Simplificare expresii trigonometrice» este conceput pentru a dezvolta abilitățile elevilor în rezolvarea problemelor trigonometrice folosind identitățile trigonometrice de bază. În timpul lecției video, sunt discutate tipuri de identități trigonometrice și exemple de rezolvare a problemelor folosindu-le. Prin utilizarea mijloacelor vizuale, profesorului este mai ușor să atingă obiectivele lecției. Prezentarea vie a materialului promovează memorarea Puncte importante. Utilizarea efectelor de animație și a vocii vă permite să înlocuiți complet profesorul în etapa de explicare a materialului. Astfel, prin utilizarea acestui ajutor vizual în lecțiile de matematică, profesorul poate crește eficiența predării.

La începutul lecției video se anunță subiectul acesteia. Apoi ne amintim identitățile trigonometrice studiate mai devreme. Ecranul afișează egalitățile sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, unde t≠π/2+πk pentru kϵZ, ctg t=cos t/sin t, corect pentru t≠πk, unde kϵZ, tg t· ctg t=1, pentru t≠πk/2, unde kϵZ, numite identități trigonometrice de bază. Se observă că aceste identități sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor în care este necesar să se dovedească egalitatea sau să se simplifice o expresie.

Mai jos luăm în considerare exemple de aplicare a acestor identități în rezolvarea problemelor. În primul rând, se propune să se ia în considerare rezolvarea problemelor de simplificare a expresiilor. În exemplul 1, este necesară simplificarea expresiei cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Pentru a rezolva exemplul, scoateți mai întâi factorul comun cos 2 t din paranteze. Ca urmare a acestei transformări în paranteze se obține expresia 1- cos 2 t, a cărei valoare din identitatea principală a trigonometriei este egală cu sin 2 t. După transformarea expresiei, este evident că încă un factor comun sin 2 t poate fi scos din paranteze, după care expresia ia forma sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Din aceeași identitate de bază derivăm valoarea expresiei dintre paranteze egală cu 1. Ca urmare a simplificării, obținem cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

În exemplul 2, expresia cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) trebuie simplificată. Deoarece numărătorii ambelor fracții conțin expresia cost, acesta poate fi scos din paranteze ca factor comun. Apoi fracțiile dintre paranteze sunt reduse la un numitor comun prin înmulțirea (1- sint)(1+ sint). După aducerea unor termeni similari, numărătorul rămâne 2, iar numitorul 1 - sin 2 t. În partea dreaptă a ecranului, se reamintește identitatea trigonometrică de bază sin 2 t+cos 2 t=1. Folosind-o găsim numitorul fracției cos 2 t. După reducerea fracției, obținem o formă simplificată a expresiei cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

În continuare, luăm în considerare exemple de dovezi de identități care folosesc cunoștințele dobândite despre identitățile de bază ale trigonometriei. În exemplul 3, este necesar să se dovedească identitatea (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Partea dreaptă a ecranului afișează trei identități care vor fi necesare pentru demonstrație - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t și tg t=sin t/cos t cu restricții. Pentru a demonstra identitatea, se deschid mai întâi parantezele, după care se formează un produs care reflectă expresia identității trigonometrice principale tg t·ctg t=1. Apoi, conform identității din definiția cotangentei, se transformă ctg 2 t. Ca urmare a transformărilor se obţine expresia 1-cos 2 t. Folosind identitatea principală, găsim sensul expresiei. Astfel, s-a dovedit că (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

În exemplul 4, trebuie să găsiți valoarea expresiei tg 2 t+ctg 2 t dacă tg t+ctg t=6. Pentru a calcula expresia, mai întâi pătrați laturile drepte și stângi ale egalității (tg t+ctg t) 2 =6 2. Formula de înmulțire abreviată este reamintită în partea dreaptă a ecranului. După deschiderea parantezelor din partea stângă a expresiei, se formează suma tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, pentru a transforma căreia se poate aplica una dintre identitățile trigonometrice tg t·ctg t=1 , a cărui formă este amintită în partea dreaptă a ecranului. După transformare se obţine egalitatea tg 2 t+ctg 2 t=34. Partea stângă a egalității coincide cu condiția problemei, deci răspunsul este 34. Problema este rezolvată.

Lecția video „Simplificarea expresiilor trigonometrice” este recomandată pentru utilizare într-o lecție de matematică școlară tradițională. Materialul va fi util și profesorilor care oferă învățământ la distanță. În vederea dezvoltării deprinderilor de rezolvare a problemelor trigonometrice.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

„Simplificarea expresiilor trigonometrice”.

Egalități

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus pătrat te plus cosinus pătrat te este egal cu unu)

2)tgt =, pentru t ≠ + πk, kϵZ (tangenta te este egală cu raportul dintre sinus te și cosinus te cu te nu este egal cu pi cu doi plus pi ka, ka aparține zet)

3)ctgt = , pentru t ≠ πk, kϵZ (cotangenta te este egală cu raportul dintre cosinus te și sinus te cu te nu este egal cu pi ka, ka aparține zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 pentru t ≠ , kϵZ (produsul tangentei te cu cotangentei te este egal cu unu când te nu este egal cu vârful ka, împărțit la doi, ka aparține zet)

se numesc identități trigonometrice de bază.

Ele sunt adesea folosite în simplificarea și demonstrarea expresiilor trigonometrice.

Să ne uităm la exemple de utilizare a acestor formule pentru a simplifica expresiile trigonometrice.

EXEMPLU 1. Simplificați expresia: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expresie a cosinus la pătrat te minus cosinus de gradul IV te plus sinus de gradul IV te).

Soluţie. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(se scoate factorul comun cosinus te pătrat, între paranteze obținem diferența dintre unitate și cosinus te pătrat, care este egal cu sinus te pătrat de la prima identitate. Obținem suma celei de-a patra puteri sine te a produs cosinus pătrat te și sinus pătrat te Scoatem factorul comun sinus pătrat te în afara parantezei, între paranteze obținem suma pătratelor cosinusului și sinusului, care, conform identității trigonometrice de bază, este egală cu unu. . Ca rezultat, obținem pătratul sine te).

EXEMPLU 2. Simplificați expresia: + .

(expresia be este suma a două fracții la numărătorul primului cosinus te la numitorul unu minus sine te, la numărătorul celui de-al doilea cosinus te la numitorul celui de-al doilea plus sinus te).

(Să scoatem factorul comun cosinus te din paranteze, iar între paranteze îl aducem la un numitor comun, care este produsul dintre unu minus sine te cu unu plus sinus te.

La numărător obținem: unu plus sine te plus unu minus sine te, dăm similare, numărătorul este egal cu doi după ce aducem altele asemănătoare.

La numitor, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate) și puteți obține diferența dintre unitate și pătratul sine te, care, conform identității trigonometrice de bază

egal cu pătratul cosinusului te. După reducerea cu cosinus te obținem răspunsul final: doi împărțiți la cosinus te).

Să ne uităm la exemple de utilizare a acestor formule atunci când demonstrăm expresii trigonometrice.

EXEMPLU 3. Demonstrați identitatea (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (produsul diferenței dintre pătratele tangentei te și sine te cu pătratul cotangentei te este egal cu pătratul lui sine te).

Dovada.

Să transformăm partea stângă a egalității:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Să deschidem parantezele; din relația obținută anterior se știe că produsul dintre pătratele tangentei te cu cotangente te este egal cu unu. Să reamintim că cotangente te este egal cu raportul cosinus te cu sinus te, care înseamnă că pătratul cotangentei este raportul dintre pătratul cosinus te și pătratul sinusului te.

După reducerea cu pătratul sinus te obținem diferența dintre unitate și pătratul cosinus te, care este egal cu pătratul sinus te). Q.E.D.

EXEMPLU 4. Aflați valoarea expresiei tg 2 t + ctg 2 t dacă tgt + ctgt = 6.

(suma pătratelor tangentei te și cotangentei te, dacă suma tangentei și cotangentei este șase).

Soluţie. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Să punem la pătrat ambele părți ale egalității inițiale:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (pătratul sumei tangentei te și cotangentei te este egal cu șase pătrate). Să ne amintim formula pentru înmulțirea prescurtată: Pătratul sumei a două cantități este egal cu pătratul primei plus de două ori produsul primei cu a doua plus pătratul celei de-a doua. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Se obține tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangenta la pătrat te plus dublul produsului tangentei te la cotangente te plus cotangenta la pătrat te este egal treizeci și șase) .

Deoarece produsul tangentei te și cotangentei te este egal cu unu, atunci tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (suma pătratelor tangentei te și cotangentei te și două este egală cu treizeci și șase),

Lectia 1

Subiect: Clasa a XI-a (pregătire pentru examenul de stat unificat)

Simplificarea expresiilor trigonometrice.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple. (2 ore)

Obiective:

• Sistematizați, generalizați, extindeți cunoștințele și abilitățile elevilor legate de utilizarea formulelor de trigonometrie și rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.

Echipament pentru lecție:

Structura lecției:

1. Moment organizatoric
2. Testare pe laptopuri. Discuția rezultatelor.
3. Simplificarea expresiilor trigonometrice
4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple
5. Muncă independentă.
6. Rezumatul lecției. Explicația temei pentru acasă.

1. Moment organizatoric. (2 minute.)

Profesorul salută publicul, anunță subiectul lecției, le reamintește că anterior li s-a dat sarcina de a repeta formulele de trigonometrie și pregătește elevii pentru testare.

2. Testare. (15 min + 3 min discuție)

Scopul este de a testa cunoștințele formulelor trigonometrice și capacitatea de a le aplica. Fiecare elev are pe birou un laptop cu o versiune a testului.

Pot exista orice număr de opțiuni, voi da un exemplu pentru una dintre ele:

eu optiunea.

Simplificați expresiile:

a) identități trigonometrice de bază

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule de adunare

3. sin5x - sin3x;

c) transformarea unui produs într-o sumă

6. 2sin8y cos3y;

d) formule cu unghi dublu

7. 2sin5x cos5x;

e) formule pentru semiunghiuri

f) formule cu unghiuri triple

g) substituţie universală

h) reducerea gradului

16. cos 2 (3x/7);

Elevii își văd răspunsurile pe laptop lângă fiecare formulă.

Lucrarea este verificată instantaneu de computer. Rezultatele sunt afișate pe un ecran mare pentru ca toată lumea să le vadă.

De asemenea, după terminarea lucrării, răspunsurile corecte sunt afișate pe laptopurile elevilor. Fiecare elev vede unde a fost greșeala și ce formule trebuie să repete.

3. Simplificarea expresiilor trigonometrice. (25 min.)

Scopul este de a repeta, exersa și consolida utilizarea formulelor de trigonometrie de bază. Rezolvarea problemelor B7 de la Examenul Unificat de Stat.

În această etapă, este recomandabil să împărțiți clasa în grupuri de elevi puternici (lucrați independent cu teste ulterioare) și elevi slabi care lucrează cu profesorul.

Temă pentru studenți puternici (pregătită în prealabil pe o bază tipărită). Accentul principal este pus pe formulele de reducere și unghi dublu, conform Unified State Exam 2011.

Simplificați expresiile (pentru elevii puternici):

În același timp, profesorul lucrează cu elevi slabi, discutând și rezolvând sarcini pe ecran sub dictarea elevilor.

Calculati:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Simplifica:

Era timpul să discutăm rezultatele muncii grupului puternic.

Răspunsurile apar pe ecran și, de asemenea, folosind o cameră video, este afișată munca a 5 elevi diferiți (câte o sarcină pentru fiecare).

Grupul slab vede starea și metoda de soluție. Discuțiile și analizele sunt în curs. Folosind mijloace tehnice se întâmplă repede.

4. Rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice simple. (30 minute.)

Scopul este de a repeta, sistematiza și generaliza soluția celor mai simple ecuații trigonometrice și de a scrie rădăcinile acestora. Rezolvarea problemei B3.

Orice ecuație trigonometrică, indiferent cum o rezolvăm, duce la cea mai simplă.

La finalizarea sarcinii, elevii ar trebui să acorde atenție notării rădăcinilor ecuațiilor cazurilor speciale și vedere generalași asupra selecției rădăcinilor din ultima ecuație.

Rezolvarea ecuațiilor:

Notați cea mai mică rădăcină pozitivă ca răspuns.

5. Munca independentă (10 min.)

Scopul este de a testa abilitățile dobândite, de a identifica probleme, erori și modalități de a le elimina.

Lucrarea pe mai multe niveluri este oferită la alegerea elevului.

Opțiunea „3”

1) Aflați valoarea expresiei

2) Simplificați expresia 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rezolvați ecuația

Opțiune pentru „4”

1) Aflați valoarea expresiei

2) Rezolvați ecuația Notează cea mai mică rădăcină pozitivă din răspunsul tău.

Opțiunea „5”

1) Aflați tanα dacă

2) Găsiți rădăcina ecuației Notați cea mai mică rădăcină pozitivă ca răspuns.

6. Rezumatul lecției (5 min.)

Profesorul rezumă faptul că în timpul lecției au repetat și întărit formule trigonometrice și au rezolvat cele mai simple ecuații trigonometrice.

Temele sunt atribuite (pregătite pe o bază tipărită în prealabil) cu o verificare aleatorie la următoarea lecție.

Rezolvarea ecuațiilor:

9)

10) În răspunsul dvs., indicați cea mai mică rădăcină pozitivă.

Lectia 2

Subiect: Clasa a XI-a (pregătire pentru examenul de stat unificat)

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Selectarea rădăcinilor. (2 ore)

Obiective:

• Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor privind rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de diferite tipuri.
• Pentru a promova dezvoltarea gândirii matematice a elevilor, capacitatea de a observa, compara, generaliza și clasifica.
• Încurajează elevii să depășească dificultățile în procesul de activitate mentală, să se autocontroleze și să introspecție activitățile lor.

Echipament pentru lecție: KRMu, laptopuri pentru fiecare student.

Structura lecției:

1. Moment organizatoric
2. Discuție despre d/z și despre sine. munca de la ultima lectie
3. Trecerea în revistă a metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice
5. Selectarea rădăcinilor în ecuații trigonometrice.
6. Muncă independentă.
7. Rezumatul lecției. Teme pentru acasă.

1. Moment organizatoric (2 min.)

Profesorul salută publicul, anunță tema lecției și planul de lucru.

2. a) Analiză teme pentru acasă(5 minute.)

Scopul este de a verifica execuția. O lucrare este afișată pe ecran cu ajutorul unei camere video, restul sunt colectate selectiv pentru verificarea profesorului.

b) Analiza muncă independentă(3 min.)

Scopul este de a analiza greșelile și de a indica modalități de a le depăși.

Răspunsurile și soluțiile sunt afișate elevilor în avans. Analiza decurge rapid.

3. Trecere în revistă a metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice (5 min.)

Scopul este de a reaminti metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Întrebați elevii ce metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice cunosc. Subliniați că există așa-numitele metode de bază (utilizate frecvent):

• înlocuire variabilă,
• factorizare,
• ecuații omogene,

și există metode aplicate:

• folosind formulele de conversie a unei sume într-un produs și a unui produs într-o sumă,
• conform formulelor de reducere a gradului,
• substituție trigonometrică universală
• introducere unghi auxiliar,
• inmultirea cu unii functie trigonometrica.

De asemenea, trebuie amintit că o ecuație poate fi rezolvată în moduri diferite.

4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice (30 min.)

Scopul este de a generaliza și consolida cunoștințele și abilitățile pe această temă, pentru a pregăti soluția C1 de la Unified State Exam.

Consider că este recomandabil să rezolvăm ecuații pentru fiecare metodă împreună cu elevii.

Elevul dictează soluția, profesorul o notează pe tabletă, iar întregul proces este afișat pe ecran. Acest lucru vă va permite să vă amintiți rapid și eficient materialul acoperit anterior în memorie.

Rezolvarea ecuațiilor:

1) înlocuirea variabilei 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorizare 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ecuații omogene sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertirea sumei într-un produs cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertirea produsului în suma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) reducerea gradului sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) substituție trigonometrică universală sinx + 5cosx + 5 = 0.

La rezolvarea acestei ecuații, trebuie remarcat faptul că utilizarea acestei metode duce la o restrângere a domeniului de definiție, deoarece sinusul și cosinusul sunt înlocuite cu tg(x/2). Prin urmare, înainte de a scrie răspunsul, trebuie să verificați dacă numerele din mulțimea π + 2πn, n Z sunt cai ai acestei ecuații.

8) introducerea unui unghi auxiliar √3sinx + cosx - √2 = 0

9) înmulțirea cu o funcție trigonometrică cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Selectarea rădăcinilor ecuațiilor trigonometrice (20 min.)

Întrucât în ​​condiții de concurență acerbă la intrarea în universități, rezolvarea primei părți a examenului nu este suficientă, majoritatea studenților ar trebui să acorde atenție sarcinilor din partea a doua (C1, C2, C3).

Prin urmare, scopul acestei etape a lecției este de a reține materialul studiat anterior și de a se pregăti pentru rezolvarea problemei C1 de la Unified State Exam 2011.

Exista ecuații trigonometrice, în care este necesar să selectați rădăcinile atunci când scrieți răspunsul. Acest lucru se datorează unor restricții, de exemplu: numitorul fracției nu este egal cu zero, expresia de sub rădăcina pare este nenegativă, expresia de sub semnul logaritmului este pozitivă etc.

Astfel de ecuații sunt considerate ecuații de complexitate crescută și în versiunea examenului de stat unificat sunt în partea a doua, și anume C1.

Rezolvați ecuația:

O fracție este egală cu zero dacă atunci folosind cercul unitar vom selecta rădăcinile (vezi Figura 1)

Poza 1.

obținem x = π + 2πn, n Z

Răspuns: π + 2πn, n Z

Pe ecran, selecția rădăcinilor este afișată pe un cerc într-o imagine color.

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar arcul nu își pierde sensul. Apoi

Folosind cercul unitar, selectăm rădăcinile (vezi Figura 2)

La cererea Dumneavoastră.

6. Simplificați expresia:

Deoarece cofuncțiile unghiurilor complementare între ele până la 90° sunt egale, apoi înlocuim sin50° în numărătorul fracției cu cos40° și aplicăm formula pentru sinusul unui argument dublu numărătorului. Obținem 5sin80° la numărător. Să înlocuim sin80° cu cos10°, ceea ce ne va permite să reducem fracția.

Formule aplicate: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. ÎN progresie aritmetică, a cărui diferență este 12, iar al optulea termen este 54, găsiți numărul de termeni negativi.

Plan de rezolvare. Să creăm o formulă pentru termenul general al acestei progresii și să aflăm la ce valori se vor obține n termeni negativi. Pentru a face acest lucru, va trebui să găsim primul termen al progresiei.

Avem d=12, a 8 =54. Folosind formula a n =a 1 +(n-1)∙d scriem:

a 8 =a 1 +7d. Să înlocuim datele disponibile. 54=a 1 +7∙12;

a 1 =-30. Înlocuiți această valoare în formula a n =a 1 +(n-1)∙d

a n =-30+(n-1)∙12 sau a n =-30+12n-12. Să simplificăm: a n =12n-42.

Căutăm numărul de termeni negativi, așa că trebuie să rezolvăm inegalitatea:

un n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Găsiți intervalul de valori ale următoarei funcții: y=x-|x|.

Să deschidem parantezele modulare. Dacă x≥0, atunci y=x-x ⇒ y=0. Graficul va fi axa Ox din dreapta originii. Dacă x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Aflați aria suprafeței laterale a unui con circular drept dacă generatoarea acestuia este de 18 cm și aria bazei sale este de 36 cm2.

Este dat un con cu o secțiune axială MAV. Generator VM=18, S principal. =36π. Calculăm aria suprafeței laterale a conului folosind formula: partea S. =πRl, unde l este generatorul și conform condiției este egal cu 18 cm, R este raza bazei, îl vom găsi folosind formula: S cr. = πR 2 . Avem S cr. = S de bază = 36π. Prin urmare πR 2 =36π ⇒ R=6.

Apoi partea S. =π∙6∙18 ⇒ latura S. =108π cm 2.

12. Rezolvarea unei ecuații logaritmice. O fractie este egala cu 1 daca numaratorul ei este egal cu numitorul ei, i.e.

log(x 2 +5x+4)=2logx pentru logx≠0. Aplicăm în partea dreaptă a egalității proprietatea puterii unui număr sub semnul logaritmului: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. Acești logaritmi zecimali sunt egali, prin urmare numerele de sub semnele logaritmului sunt egale. , prin urmare:

x 2 +5x+4=x 2, deci 5x=-4; obținem x=-0,8. Cu toate acestea, această valoare nu poate fi luată, deoarece numai numerele pozitive pot fi sub semnul logaritmului, prin urmare această ecuație nu are soluții. Notă. Nu ar trebui să găsiți ODZ la începutul deciziei (pierdeți-vă timpul!), este mai bine să verificați (cum facem acum) la sfârșit.

13. Aflați valoarea expresiei (x o – y o), unde (x o; y o) este soluția sistemului de ecuații:

14. Rezolvați ecuația:

Dacă împărțiți la 2 și numărătorul și numitorul fracției, veți învăța formula pentru tangentei unui unghi dublu. Rezultatul este o ecuație simplă: tg4x=1.

15. Aflați derivata funcției: f(x)=(6x 2 -4x) 5.

Ni se oferă o funcție complexă. Îl definim într-un singur cuvânt - acesta este gradul. Prin urmare, conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, găsim derivata gradului și o înmulțim cu derivata bazei acestui grad după formula:

(u n)’ = n ∙ u n -1 ∙ u'.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)’ = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Este necesar să se găsească f ‘(1) dacă funcția

17. Într-un triunghi echilateral, suma tuturor bisectoarelor este de 33√3 cm Aflați aria triunghiului.

Bisectoarea unui triunghi echilateral este atât mediana, cât și altitudinea. Astfel, lungimea altitudinii BD a acestui triunghi este egală cu

Să găsim latura AB din dreptunghiul Δ ABD. Deoarece sin60° = BD : AB, apoi AB = BD : păcat60°.

18. Un cerc este înscris într-un triunghi echilateral a cărui înălțime este de 12 cm Aflați aria cercului.

Cercul (O; OD) este înscris în echilateralul Δ ABC. Altitudinea BD este, de asemenea, o bisectoare și o mediană, iar centrul cercului, punctul O, se află pe BD.

O – punctul de intersecție al înălțimilor, bisectoarelor și medianelor împarte mediana BD în raport de 2:1, numărând de la vârf. Prin urmare, OD=(1/3)BD=12:3=4. Raza cercului R=OD=4 cm Aria cercului S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Marginile laterale ale unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt de 9 cm, iar latura bazei este de 8 cm. Aflați înălțimea piramidei.

Baza unei piramide patruunghiulare obișnuite este pătratul ABCD, baza înălțimii MO este centrul pătratului.

20. Simplifica:

La numărător, pătratul diferenței este pliat.

Factorizăm numitorul folosind metoda grupării termenilor.

21. Calculati:

Pentru a putea extrage o rădăcină pătrată aritmetică, expresia radicală trebuie să fie un pătrat perfect. Să reprezentăm expresia sub semnul rădăcinii sub forma diferenței pătrate a două expresii folosind formula:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, presupunând că a 2 +b 2 =10.

22. Rezolvați inegalitatea:

Să reprezentăm partea stângă a inegalității ca produs. Suma sinusurilor a două unghiuri este egală cu dublul produsului dintre sinusul semisumei acestor unghiuri și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri:

Primim:

Să rezolvăm această inegalitate grafic. Selectăm acele puncte ale graficului y=cost care se află deasupra liniei drepte și determinăm abscisele acestor puncte (indicate prin umbrire).

23. Găsiți toate antiderivatele pentru funcția: h(x)=cos 2 x.

Să transformăm această funcție prin scăderea gradului ei folosind formula:

1+cos2α=2cos 2α. Obtinem functia:

24. Aflați coordonatele vectorului

25. Introduceți semne aritmetice în loc de asteriscuri, astfel încât să obțineți egalitatea corectă: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.

Raționăm: numărul trebuie să fie 25 (31 – 6 = 25). Cum să obțineți acest număr de la doi „trei” și doi „patru” folosind semne de acțiune?

Desigur, este: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25. Răspuns E).