proprietăți principale.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

temeiuri identice

Log6 4 + log6 9.

Acum să complicăm puțin sarcina.

Exemple de rezolvare a logaritmilor

Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ a logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x >

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Trecerea la o nouă fundație

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Vezi si:

Proprietățile de bază ale logaritmului

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este egal cu 2,7 și de două ori anul nașterii lui Leo Nikolaevici Tolstoi.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Exemple de logaritmi

Expresii logaritmice

Exemplul 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Folosind proprietățile 3.5 calculăm

2.

3.

4. Unde .

Exemplul 2. Aflați x dacă

Exemplul 3. Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt numărate (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe sunt construite pe acest fapt hârtii de test. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Este ușor de observat asta ultima regula urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers. , adică Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul.

Formule logaritmice. Exemple de logaritmi soluții.

Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă setăm c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: .

De fapt, ce se întâmplă dacă numărul b este ridicat la o astfel de putere încât numărul b la această putere dă numărul a? Așa este: rezultatul este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a a acelei baze în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Vezi si:

Logaritmul lui b la baza a denotă expresia. A calcula logaritmul înseamnă a găsi o putere x () la care egalitatea este satisfăcută

Proprietățile de bază ale logaritmului

Este necesar să se cunoască proprietățile de mai sus, deoarece aproape toate problemele și exemplele legate de logaritmi sunt rezolvate pe baza lor. Restul proprietăților exotice pot fi derivate prin manipulări matematice cu aceste formule

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Când calculați formula pentru suma și diferența de logaritmi (3.4) întâlniți destul de des. Restul sunt oarecum complexe, dar într-o serie de sarcini sunt indispensabile pentru simplificarea expresiilor complexe și calcularea valorilor acestora.

Cazuri comune de logaritmi

Unii dintre logaritmii obișnuiți sunt cei în care baza este chiar zece, exponențială sau două.
Logaritmul la baza zece este de obicei numit logaritm zecimal și este pur și simplu notat cu lg(x).

Din înregistrare reiese clar că elementele de bază nu sunt scrise în înregistrare. De exemplu

Un logaritm natural este un logaritm a cărui bază este un exponent (notat cu ln(x)).

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este egal cu 2,7 și de două ori anul nașterii lui Leo Nikolaevici Tolstoi. Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Și un alt logaritm important pentru baza doi este notat cu

Derivata logaritmului unei funcții este egală cu una împărțită la variabilă

Logaritmul integral sau antiderivat este determinat de relație

Materialul dat este suficient pentru a rezolva o clasă largă de probleme legate de logaritmi și logaritmi. Pentru a vă ajuta să înțelegeți materialul, voi da doar câteva exemple comune din curiculumul scolarși universități.

Exemple de logaritmi

Expresii logaritmice

Exemplul 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Folosind proprietățile 3.5 calculăm

2.
Prin proprietatea diferenței logaritmilor avem

3.
Folosind proprietățile 3.5 găsim

4. Unde .

O expresie aparent complexă este simplificată pentru a se forma folosind o serie de reguli

Găsirea valorilor logaritmului

Exemplul 2. Aflați x dacă

Soluţie. Pentru calcul, aplicăm la ultimul termen 5 și 13 proprietăți

O consemnăm și plângem

Deoarece bazele sunt egale, echivalăm expresiile

Logaritmi. Primul nivel.

Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Soluție: Să luăm un logaritm al variabilei pentru a scrie logaritmul prin suma termenilor săi

Acesta este doar începutul cunoașterii noastre cu logaritmii și proprietățile lor. Exersați calculele, îmbogățiți-vă abilitățile practice - veți avea nevoie în curând de cunoștințele acumulate pentru a rezolva ecuații logaritmice. După ce am studiat metodele de bază pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, vă vom extinde cunoștințele la un alt subiect la fel de important - inegalitățile logaritmice...

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log6 4 + log6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers. , adică Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă setăm c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, deoarece este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: .

De fapt, ce se întâmplă dacă numărul b este ridicat la o astfel de putere încât numărul b la această putere dă numărul a? Așa este: rezultatul este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a a acelei baze în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: log A Xși log A y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. Buturuga A X+ jurnal A y=log A (X · y);
2. Buturuga A X− jurnal A y=log A (X : y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Letină pentru imagine]

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:

[Letină pentru imagine]

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor aritmeticii, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat jurnalul de logaritm A X. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:

[Letină pentru imagine]

În special, dacă punem c = X, primim:

[Letină pentru imagine]

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

[Letină pentru imagine]

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

[Letină pentru imagine]

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

[Letină pentru imagine]

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine un indicator al gradului aflat în argument. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.

De fapt, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la o asemenea putere încât numărul b acestei puteri dă numărul A? Așa este: obțineți același număr A. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Letină pentru imagine]

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

[Letină pentru imagine]

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

1. Buturuga A A= 1 este o unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritm la orice bază A chiar din această bază este egal cu unu.
2. Buturuga A 1 = 0 este zero logaritmic. Baza A poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece A 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Cu acest videoclip încep o serie lungă de lecții despre ecuații logaritmice. Acum aveți trei exemple în fața dvs., pe baza cărora vom învăța să rezolvăm cele mai simple probleme, care se numesc - protozoare.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Permiteți-mi să vă reamintesc că cea mai simplă ecuație logaritmică este următoarea:

log a f (x) = b

În acest caz, este important ca variabila x să fie prezentă doar în interiorul argumentului, adică doar în funcția f (x). Și numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz nu sunt funcții care conțin variabila x.

Metode de bază de rezolvare

Există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. De exemplu, majoritatea profesorilor de la școală oferă această metodă: Exprimați imediat funcția f (x) folosind formula f ( x) = a b . Adică, atunci când dai peste cea mai simplă construcție, poți trece imediat la soluție fără acțiuni și construcții suplimentare.

Da, desigur, decizia va fi corectă. Cu toate acestea, problema cu această formulă este că majoritatea studenților Nu înțeleg, de unde vine și de ce ridicăm litera a la litera b.

Drept urmare, văd adesea greșeli foarte enervante când, de exemplu, aceste litere sunt schimbate. Această formulă trebuie fie să înțelegi, fie să te înghesui, iar a doua metodă duce la greșeli în momentele cele mai inoportune și cruciale: la examene, teste etc.

De aceea le sugerez tuturor elevilor mei să renunțe la formula școlară standard și să folosească a doua abordare pentru a rezolva ecuații logaritmice, care, după cum probabil ați ghicit din nume, se numește formă canonică.

Ideea formei canonice este simplă. Să ne uităm din nou la problema noastră: în stânga avem log a, iar prin litera a înțelegem un număr și în niciun caz o funcție care conține variabila x. În consecință, această scrisoare este supusă tuturor restricțiilor care sunt impuse pe baza logaritmului. și anume:

1 ≠ a > 0

Pe de altă parte, din aceeași ecuație vedem că logaritmul trebuie să fie egal cu numărul b și nu sunt impuse restricții asupra acestei litere, deoarece poate lua orice valoare - atât pozitivă, cât și negativă. Totul depinde de ce valori ia funcția f(x).

Și aici ne amintim minunata noastră regulă că orice număr b poate fi reprezentat ca un logaritm la baza a lui a la puterea lui b:

b = log a a b

Cum să-ți amintești această formulă? Da, foarte simplu. Să scriem următoarea construcție:

b = b 1 = b log a a

Desigur, în acest caz apar toate restricțiile pe care le-am notat la început. Acum să folosim proprietatea de bază a logaritmului și să introducem multiplicatorul b ca putere a lui a. Primim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Ca rezultat, ecuația inițială va fi rescrisă după cum urmează:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Asta e tot. Noua funcție nu mai conține un logaritm și poate fi rezolvată folosind tehnici algebrice standard.

Desigur, cineva va obiecta acum: de ce a fost necesar să se vină cu un fel de formulă canonică, de ce să se efectueze doi pași suplimentari inutile dacă a fost posibil să se treacă imediat de la designul original la formula finală? Da, fie doar pentru că majoritatea studenților nu înțeleg de unde vine această formulă și, ca urmare, greșesc în mod regulat atunci când o aplică.

Dar această secvență de acțiuni, constând din trei pași, vă permite să rezolvați ecuația logaritmică inițială, chiar dacă nu înțelegeți de unde vine formula finală. Apropo, această intrare se numește formula canonică:

log a f (x) = log a a b

Comoditatea formei canonice constă și în faptul că poate fi folosită pentru a rezolva o clasă foarte largă de ecuații logaritmice, și nu doar pe cele mai simple pe care le luăm în considerare astăzi.

Exemple de soluții

Acum să ne uităm la exemple reale. Deci, hai să decidem:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Să-l rescriem astfel:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mulți studenți se grăbesc și încearcă să ridice imediat numărul 0,5 la puterea care ne-a venit din problema inițială. Într-adevăr, atunci când ești deja bine pregătit în rezolvarea unor astfel de probleme, poți face imediat acest pas.

Cu toate acestea, dacă acum abia începeți să studiați acest subiect, este mai bine să nu vă grăbiți nicăieri pentru a evita greșelile jignitoare. Deci, avem forma canonică. Avem:

3x − 1 = 0,5 −3

Aceasta nu mai este o ecuație logaritmică, ci liniară în raport cu variabila x. Pentru a o rezolva, să ne uităm mai întâi la numărul 0,5 la puterea lui -3. Rețineți că 0,5 este 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convertiți toate fracțiile zecimale în fracții comune atunci când rezolvați o ecuație logaritmică.

Rescriem și obținem:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Asta e, am primit răspunsul. Prima problemă a fost rezolvată.

A doua sarcină

Să trecem la a doua sarcină:

După cum vedem, această ecuație nu mai este cea mai simplă. Numai pentru că există o diferență în stânga și nu un singur logaritm la o bază.

Prin urmare, trebuie să scăpăm cumva de această diferență. În acest caz, totul este foarte simplu. Să aruncăm o privire mai atentă la baze: în stânga este numărul de sub rădăcină:

Recomandare generală: în toate ecuațiile logaritmice, încercați să scăpați de radicali, adică de la intrările cu rădăcini și treceți la funcții de putere, pur și simplu pentru că exponenții acestor puteri sunt ușor scoși din semnul logaritmului și, în cele din urmă, o astfel de notație simplifică și accelerează semnificativ calculele. Să o scriem astfel:

Acum să ne amintim de proprietatea remarcabilă a logaritmului: puterile pot fi derivate din argument, precum și din bază. În cazul motivelor, se întâmplă următoarele:

log a k b = 1/k loga b

Cu alte cuvinte, numărul care era în puterea de bază este adus înainte și în același timp inversat, adică devine un număr reciproc. În cazul nostru, gradul de bază a fost 1/2. Prin urmare, îl putem scoate ca 2/1. Primim:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să scăpați de logaritmi la acest pas. Amintiți-vă matematica de clasa a 4-a-5 și ordinea operațiilor: se face mai întâi înmulțirea, și abia apoi adunarea și scăderea. În acest caz, scădem unul dintre aceleași elemente din 10 elemente:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Acum, ecuația noastră arată așa cum ar trebui. Aceasta este cea mai simplă construcție și o rezolvăm folosind forma canonică:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Asta e tot. A doua problemă a fost rezolvată.

Al treilea exemplu

Să trecem la a treia sarcină:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Permiteți-mi să vă reamintesc următoarea formulă:

log b = log 10 b

Dacă dintr-un motiv oarecare sunteți confuz de notația log b , atunci când efectuați toate calculele puteți scrie pur și simplu log 10 b . Puteți lucra cu logaritmi zecimali în același mod ca și cu alții: luați puteri, adăugați și reprezentați orice numere sub forma lg 10.

Aceste proprietăți le vom folosi acum pentru a rezolva problema, deoarece nu este cea mai simplă pe care am notat-o ​​chiar la începutul lecției noastre.

În primul rând, rețineți că factorul 2 în fața lg 5 poate fi adăugat și devine o putere a bazei 5. În plus, termenul liber 3 poate fi reprezentat și ca logaritm - acest lucru este foarte ușor de observat din notația noastră.

Judecă singur: orice număr poate fi reprezentat ca log la baza 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Să rescriem problema inițială ținând cont de modificările obținute:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

În fața noastră este din nou forma canonică și am obținut-o fără a trece prin etapa de transformare, adică cea mai simplă ecuație logaritmică nu a apărut nicăieri.

Exact despre asta am vorbit chiar la începutul lecției. Forma canonică vă permite să rezolvați o clasă mai largă de probleme decât formula școlară standard pe care o dau majoritatea profesorilor de școală.

Ei bine, asta este, scăpăm de semnul logaritmului zecimal și obținem o construcție liniară simplă:

x + 3 = 25.000
x = 24.997

Toate! Problema este rezolvată.

O notă despre domeniul de aplicare

Aici aș dori să fac o remarcă importantă cu privire la sfera definiției. Cu siguranță acum vor exista elevi și profesori care vor spune: „Când rezolvăm expresii cu logaritmi, trebuie să ne amintim că argumentul f (x) trebuie să fie mai mare decât zero!” În acest sens, se ridică o întrebare logică: de ce nu am cerut ca această inegalitate să fie satisfăcută în vreuna dintre problemele luate în considerare?

Nu vă faceți griji. În aceste cazuri, nu vor apărea rădăcini suplimentare. Și acesta este un alt truc grozav care vă permite să accelerați soluția. Doar să știți că dacă în problemă variabila x apare doar într-un singur loc (sau mai degrabă, într-un singur argument al unui singur logaritm), și nicăieri în cazul nostru nu apare variabila x, atunci scrieți domeniul de definiție nu este nevoie, deoarece va fi executat automat.

Judecă singur: în prima ecuație am obținut că 3x - 1, adică argumentul ar trebui să fie egal cu 8. Aceasta înseamnă automat că 3x - 1 va fi mai mare decât zero.

Cu același succes putem scrie că în al doilea caz x ar trebui să fie egal cu 5 2, adică este cu siguranță mai mare decât zero. Și în al treilea caz, unde x + 3 = 25.000, adică din nou, evident mai mare decât zero. Cu alte cuvinte, domeniul de aplicare este satisfăcut automat, dar numai dacă x apare doar în argumentul unui singur logaritm.

Este tot ce trebuie să știi pentru a rezolva cele mai simple probleme. Această regulă singură, împreună cu regulile de transformare, vă vor permite să rezolvați o clasă foarte largă de probleme.

Dar să fim sinceri: pentru a înțelege în sfârșit această tehnică, pentru a învăța cum să aplicați forma canonică a ecuației logaritmice, nu este suficient să vizionați doar o lecție video. Prin urmare, chiar acum, descărcați opțiunile pentru soluții independente care sunt atașate acestei lecții video și începeți să rezolvați cel puțin una dintre aceste două lucrări independente.

Îți va lua literalmente câteva minute. Dar efectul unui astfel de antrenament va fi mult mai mare decât dacă ați viziona pur și simplu această lecție video.

Sper că această lecție vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile logaritmice. Utilizați forma canonică, simplificați expresiile folosind regulile de lucru cu logaritmi - și nu vă va teme de probleme. Asta e tot ce am pentru azi.

Ținând cont de domeniul definiției

Acum să vorbim despre domeniul de definire al funcției logaritmice și despre modul în care aceasta afectează soluția ecuațiilor logaritmice. Luați în considerare o construcție a formei

log a f (x) = b

O astfel de expresie se numește cea mai simplă - conține o singură funcție, iar numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz o funcție care depinde de variabila x. Se poate rezolva foarte simplu. Trebuie doar să utilizați formula:

b = log a a b

Această formulă este una dintre proprietățile cheie ale logaritmului, iar atunci când o înlocuim în expresia noastră originală, obținem următoarele:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Aceasta este o formulă familiară din manualele școlare. Mulți elevi vor avea probabil o întrebare: deoarece în expresia originală funcția f (x) se află sub semnul log, i se impun următoarele restricții:

f(x) > 0

Această limitare se aplică deoarece logaritmul numerelor negative nu există. Deci, poate, ca urmare a acestei limitări, ar trebui introdusă o verificare a răspunsurilor? Poate că trebuie introduse în sursă?

Nu, în cele mai simple ecuații logaritmice nu este necesară verificarea suplimentară. Si de aceea. Aruncă o privire la formula noastră finală:

f (x) = a b

Faptul este că numărul a este în orice caz mai mare decât 0 - această cerință este impusă și de logaritm. Numărul a este baza. În acest caz, nu se impun restricții asupra numărului b. Dar acest lucru nu contează, deoarece indiferent de puterea la care ridicăm un număr pozitiv, vom obține totuși un număr pozitiv la ieșire. Astfel, cerința f (x) > 0 este satisfăcută automat.

Ceea ce merită verificat este domeniul funcției de sub semnul jurnalului. Pot exista structuri destul de complexe și cu siguranță trebuie să fii cu ochii pe ele în timpul procesului de soluționare. Să aruncăm o privire.

Prima sarcină:

Primul pas: convertiți fracția din dreapta. Primim:

Scăpăm de semnul logaritmului și obținem ecuația irațională obișnuită:

Dintre rădăcinile obținute, doar prima ni se potrivește, deoarece a doua rădăcină este mai mică decât zero. Singurul răspuns va fi numărul 9. Gata, problema este rezolvată. Nu sunt necesare verificări suplimentare pentru a se asigura că expresia de sub semnul logaritmului este mai mare decât 0, deoarece nu este doar mai mare decât 0, ci, în funcție de condiția ecuației, este egală cu 2. Prin urmare, cerința „mai mare decât zero ” este satisfăcut automat.

Să trecem la a doua sarcină:

Totul este la fel aici. Rescriem construcția, înlocuind triplul:

Scăpăm de semnele logaritmului și obținem o ecuație irațională:

Patram ambele laturi tinand cont de restrictii si obtinem:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Rezolvăm ecuația rezultată prin discriminantul:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Dar x = −6 nu ne convine, deoarece dacă substituim acest număr în inegalitatea noastră, obținem:

−6 + 4 = −2 < 0

În cazul nostru, se cere ca acesta să fie mai mare decât 0 sau, în cazuri extreme, egal. Dar x = −1 ni se potrivește:

−1 + 4 = 3 > 0

Singurul răspuns în cazul nostru va fi x = −1. Asta e soluția. Să ne întoarcem la începutul calculelor noastre.

Principala concluzie din această lecție este că nu trebuie să verificați constrângerile unei funcții în ecuații logaritmice simple. Deoarece în timpul procesului de rezolvare toate constrângerile sunt satisfăcute automat.

Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă în niciun caz că puteți uita cu totul de verificare. În procesul de lucru la o ecuație logaritmică, se poate transforma într-una irațională, care va avea propriile restricții și cerințe pentru partea dreaptă, pe care le-am văzut astăzi în două exemple diferite.

Simțiți-vă liber să rezolvați astfel de probleme și fiți deosebit de atenți dacă există o rădăcină în argument.

Ecuații logaritmice cu baze diferite

Continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și să ne uităm la încă două tehnici destul de interesante cu care este la modă să rezolvăm construcții mai complexe. Dar mai întâi, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme:

log a f (x) = b

În această intrare, a și b sunt numere, iar în funcția f (x) variabila x trebuie să fie prezentă și numai acolo, adică x trebuie să fie doar în argument. Vom transforma astfel de ecuații logaritmice folosind forma canonică. Pentru a face acest lucru, rețineți că

b = log a a b

Mai mult, a b este tocmai un argument. Să rescriem această expresie după cum urmează:

log a f (x) = log a a b

Este exact ceea ce încercăm să realizăm, astfel încât să existe un logaritm care să bazeze a atât pe stânga, cât și pe dreapta. În acest caz, putem, la figurat vorbind, să bifurcăm semnele log, iar din punct de vedere matematic putem spune că pur și simplu echivalăm argumentele:

f (x) = a b

Ca urmare, vom obține o nouă expresie care va fi mult mai ușor de rezolvat. Să aplicăm această regulă problemelor noastre de astăzi.

Deci, primul design:

În primul rând, observ că în dreapta este o fracție al cărei numitor este log. Când vedeți o expresie ca aceasta, este o idee bună să vă amintiți o proprietate minunată a logaritmilor:

Tradus în rusă, aceasta înseamnă că orice logaritm poate fi reprezentat ca câtul a doi logaritmi cu orice bază c. Desigur 0< с ≠ 1.

Deci: această formulă are un caz special minunat, când variabila c este egală cu variabila b. În acest caz, obținem o construcție ca:

Aceasta este exact construcția pe care o vedem din semnul din dreapta în ecuația noastră. Să înlocuim această construcție cu log a b , obținem:

Cu alte cuvinte, în comparație cu sarcina originală, am schimbat argumentul și baza logaritmului. În schimb, a trebuit să inversăm fracția.

Reamintim că orice grad poate fi derivat din bază conform următoarei reguli:

Cu alte cuvinte, coeficientul k, care este puterea bazei, este exprimat ca o fracție inversată. Să o redăm ca o fracție inversată:

Factorul fracționar nu poate fi lăsat în față, deoarece în acest caz nu vom putea reprezenta această notație ca formă canonică (la urma urmei, în forma canonică nu există un factor suplimentar înaintea celui de-al doilea logaritm). Prin urmare, să adăugăm fracția 1/4 la argument ca putere:

Acum echivalăm argumente ale căror baze sunt aceleași (și bazele noastre sunt într-adevăr aceleași) și scriem:

x + 5 = 1

x = −4

Asta e tot. Am primit răspunsul la prima ecuație logaritmică. Vă rugăm să rețineți: în problema inițială, variabila x apare într-un singur log și apare în argumentul său. Prin urmare, nu este nevoie să verificăm domeniul, iar numărul nostru x = −4 este într-adevăr răspunsul.

Acum să trecem la a doua expresie:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Aici, pe lângă logaritmii obișnuiți, va trebui să lucrăm cu log f (x). Cum se rezolvă o astfel de ecuație? Pentru un student nepregătit, poate părea că aceasta este un fel de sarcină grea, dar de fapt totul poate fi rezolvat într-un mod elementar.

Aruncă o privire atentă la termenul lg 2 log 2 7. Ce putem spune despre el? Bazele și argumentele log și lg sunt aceleași, iar acest lucru ar trebui să dea câteva idei. Să ne amintim încă o dată cum sunt scoase puterile de sub semnul logaritmului:

log a b n = nlog a b

Cu alte cuvinte, ceea ce a fost o putere a lui b în argument devine un factor în fața logului însuși. Să aplicăm această formulă expresiei lg 2 log 2 7. Nu vă speriați de lg 2 - aceasta este cea mai comună expresie. Îl poți rescrie după cum urmează:

Toate regulile care se aplică oricărui alt logaritm sunt valabile pentru acesta. În special, factorul din față poate fi adăugat la gradul argumentului. Hai sa o scriem:

De foarte multe ori, elevii nu văd direct această acțiune, pentru că nu este bine să introduceți un jurnal sub semnul altuia. De fapt, nu este nimic criminal în asta. Mai mult, obținem o formulă care este ușor de calculat dacă vă amintiți o regulă importantă:

Această formulă poate fi considerată atât ca o definiție, cât și ca una dintre proprietățile sale. În orice caz, dacă convertiți o ecuație logaritmică, ar trebui să cunoașteți această formulă la fel cum ați cunoaște reprezentarea în log a oricărui număr.

Să revenim la sarcina noastră. O rescriem ținând cont de faptul că primul termen din dreapta semnului egal va fi pur și simplu egal cu lg 7. Avem:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Să mutăm lg 7 la stânga, obținem:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Scădem expresiile din stânga pentru că au aceeași bază:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Acum să aruncăm o privire mai atentă la ecuația pe care o avem. Este practic forma canonică, dar există un factor -3 în dreapta. Să-l adăugăm la argumentul lg corect:

log 8 = log (x + 4) −3

În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, așa că tăiem semnele lg și echivalăm argumentele:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Asta e tot! Am rezolvat a doua ecuație logaritmică. În acest caz, nu sunt necesare verificări suplimentare, deoarece în problema inițială x era prezent doar într-un singur argument.

O voi enumera din nou puncte cheie această lecție.

Formula principală care este predată în toate lecțiile de pe această pagină dedicată rezolvării ecuațiilor logaritmice este forma canonică. Și nu vă speriați de faptul că majoritatea manualelor școlare vă învață să rezolvați astfel de probleme altfel. Acest instrument funcționează foarte eficient și vă permite să rezolvați o clasă mult mai largă de probleme decât cele mai simple pe care le-am studiat chiar la începutul lecției noastre.

În plus, pentru a rezolva ecuații logaritmice va fi util să cunoaștem proprietățile de bază. Și anume:

1. Formula de mutare la o singură bază și cazul special în care înregistrăm invers (aceasta ne-a fost foarte util în prima problemă);
2. Formula pentru adunarea și scăderea puterilor din semnul logaritmului. Aici, mulți studenți se blochează și nu văd că gradul scos și introdus poate conține el însuși log f (x). Nimic în neregulă cu asta. Putem introduce un buștean după semnul celuilalt și, în același timp, simplificăm semnificativ soluția problemei, ceea ce observăm în al doilea caz.

În concluzie, aș dori să adaug că nu este necesară verificarea domeniului de definiție în fiecare dintre aceste cazuri, deoarece peste tot variabila x este prezentă într-un singur semn de log, și în același timp este în argumentul său. În consecință, toate cerințele domeniului de aplicare sunt îndeplinite automat.

Probleme cu baza variabilă

Astăzi ne vom uita la ecuațiile logaritmice, care pentru mulți studenți par nestandard, dacă nu complet de nerezolvat. Vorbim despre expresii bazate nu pe numere, ci pe variabile și chiar pe funcții. Vom rezolva astfel de construcții folosind tehnica noastră standard și anume prin forma canonică.

În primul rând, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme, pe baza numerelor obișnuite. Deci, cea mai simplă construcție se numește

log a f (x) = b

Pentru a rezolva astfel de probleme putem folosi următoarea formulă:

b = log a a b

Ne rescriem expresia originală și obținem:

log a f (x) = log a a b

Apoi echivalăm argumentele, adică scriem:

f (x) = a b

Astfel, scăpăm de semnul jurnalului și rezolvăm problema obișnuită. În acest caz, rădăcinile obținute din soluție vor fi rădăcinile ecuației logaritmice originale. În plus, o înregistrare când atât stânga, cât și dreapta sunt în același logaritm cu aceeași bază se numește exact forma canonică. La un astfel de record vom încerca să reducem modelele de astăzi. Deci să mergem.

Prima sarcină:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Înlocuiți 1 cu log x − 2 (x − 2) 1 . Gradul pe care îl observăm în argument este de fapt numărul b care stătea în dreapta semnului egal. Astfel, să ne rescriem expresia. Primim:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Ce vedem? În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, astfel încât să putem echivala argumentele în siguranță. Primim:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Dar soluția nu se termină aici, deoarece această ecuație nu este echivalentă cu cea inițială. La urma urmei, construcția rezultată constă din funcții care sunt definite pe întreaga linie numerică, iar logaritmii noștri originali nu sunt definiți peste tot și nu întotdeauna.

Prin urmare, trebuie să scriem domeniul definiției separat. Să nu despărțim firele de păr și să notăm mai întâi toate cerințele:

În primul rând, argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie mai mare decât 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

În al doilea rând, baza trebuie să fie nu numai mai mare decât 0, ci și diferită de 1:

x − 2 ≠ 1

Ca rezultat, obținem sistemul:

Dar nu vă alarmați: atunci când procesați ecuații logaritmice, un astfel de sistem poate fi simplificat semnificativ.

Judecăți singuri: pe de o parte, ni se cere ca funcția pătratică să fie mai mare decât zero, iar pe de altă parte, această funcție pătratică este echivalată cu o anumită expresie liniară, care se cere și ca aceasta să fie mai mare decât zero.

În acest caz, dacă solicităm ca x − 2 > 0, atunci cerința 2x 2 − 13x + 18 > 0 va fi automat satisfăcută. Prin urmare, putem tăia în siguranță inegalitatea care conține funcția pătratică. Astfel, numărul de expresii conținute în sistemul nostru se va reduce la trei.

Desigur, am putea la fel de bine să tăiem inegalitatea liniară, adică, tăiați x − 2 > 0 și cereți ca 2x 2 − 13x + 18 > 0. Dar trebuie să fiți de acord că rezolvarea celei mai simple inegalități liniare este mult mai rapidă și mai ușoară decât cea pătratică, chiar dacă ca urmare a rezolvării întregului acest sistem vom obține aceleași rădăcini.

În general, încercați să optimizați calculele ori de câte ori este posibil. Și în cazul ecuațiilor logaritmice, tăiați cele mai dificile inegalități.

Să rescriem sistemul nostru:

Iată un sistem de trei expresii, dintre care două, de fapt, ne-am ocupat deja. Să-l notăm separat ecuație pătratică si hai sa o rezolvam:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

În fața noastră este un trinom pătratic redus și, prin urmare, putem folosi formulele lui Vieta. Primim:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Acum ne întoarcem la sistemul nostru și aflăm că x = 2 nu ni se potrivește, deoarece ni se cere ca x să fie strict mai mare decât 2.

Dar x = 5 ni se potrivește destul de bine: numărul 5 este mai mare decât 2 și, în același timp, 5 nu este egal cu 3. Prin urmare, singura solutie al acestui sistem va fi x = 5.

Gata, problema este rezolvată, inclusiv ținând cont de ODZ. Să trecem la a doua ecuație. Mai multe calcule interesante și informative ne așteaptă aici:

Primul pas: ca data trecută, aducem toată această chestiune în formă canonică. Pentru a face acest lucru, putem scrie numărul 9 după cum urmează:

Nu trebuie să atingeți baza cu rădăcina, dar este mai bine să transformați argumentul. Să trecem de la rădăcină la putere cu un exponent rațional. Hai sa scriem:

Permiteți-mi să nu rescriu întreaga noastră ecuație logaritmică mare, ci doar echivalez imediat argumentele:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

În fața noastră este un trinom pătratic nou redus, să folosim formulele lui Vieta și să scriem:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Deci, am primit rădăcinile, dar nimeni nu ne-a garantat că se vor potrivi cu ecuația logaritmică inițială. La urma urmei, semnele de jurnal impun restricții suplimentare (aici ar fi trebuit să notăm sistemul, dar din cauza naturii greoaie a întregii structuri, am decis să calculez domeniul de definiție separat).

În primul rând, rețineți că argumentele trebuie să fie mai mari decât 0 și anume:

Acestea sunt cerințele impuse de domeniul de aplicare al definiției.

Să observăm imediat că, deoarece echivalăm primele două expresii ale sistemului una cu cealaltă, putem tăia oricare dintre ele. Să-l tăiem pe primul pentru că pare mai amenințător decât al doilea.

În plus, rețineți că soluția pentru a doua și a treia inegalități vor fi aceleași mulțimi (cubul unui număr este mai mare decât zero, dacă acest număr în sine este mai mare decât zero; în mod similar, cu o rădăcină de gradul trei - aceste inegalități sunt complet analoge, așa că le putem tăia).

Dar cu a treia inegalitate acest lucru nu va funcționa. Să scăpăm de semnul radical din stânga ridicând ambele părți într-un cub. Primim:

Deci obținem următoarele cerințe:

− 2 ≠ x > −3

Care dintre rădăcinile noastre: x 1 = −3 sau x 2 = −1 îndeplinește aceste cerințe? Evident, doar x = −1, deoarece x = −3 nu satisface prima inegalitate (deoarece inegalitatea noastră este strictă). Deci, revenind la problema noastră, obținem o rădăcină: x = −1. Gata, problema rezolvata.

Încă o dată, punctele cheie ale acestei sarcini:

1. Simțiți-vă liber să aplicați și să rezolvați ecuații logaritmice folosind forma canonică. Elevii care fac o astfel de notație, în loc să treacă direct de la problema inițială la o construcție precum log a f (x) = b, fac mult mai puține erori decât cei care se grăbesc undeva, sărind peste pașii intermediari de calcul;
2. De îndată ce o bază variabilă apare într-un logaritm, problema încetează să fie cea mai simplă. Prin urmare, la rezolvarea acesteia, este necesar să se țină cont de domeniul definiției: argumentele trebuie să fie mai mari decât zero, iar bazele nu trebuie să fie doar mai mari decât 0, dar nici nu trebuie să fie egale cu 1.

Cerințele finale pot fi aplicate răspunsurilor finale în moduri diferite. De exemplu, puteți rezolva un întreg sistem care conține toate cerințele pentru domeniul de definire. Pe de altă parte, puteți mai întâi să rezolvați problema în sine și apoi să vă amintiți domeniul de definiție, să îl rezolvați separat sub forma unui sistem și să îl aplicați la rădăcinile obținute.

Ce metodă să alegeți atunci când rezolvați o anumită ecuație logaritmică depinde de dvs. În orice caz, răspunsul va fi același.

Deci, avem puteri de doi. Dacă luați numărul din linia de jos, puteți găsi cu ușurință puterea la care va trebui să ridicați doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridicați doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

Baza a logaritmului lui x este puterea la care trebuie ridicat a pentru a obține x.

Denumire: log a x = b, unde a este baza, x este argumentul, b este ceea ce este de fapt egal cu logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Cu același log de succes 2 64 = 6, deoarece 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată se numește logaritmizare. Deci, să adăugăm o nouă linie la tabelul nostru:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Din păcate, nu toți logaritmii se calculează atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5 . Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la infinit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să îl lăsați așa: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important să înțelegeți că un logaritm este o expresie cu două variabile (baza și argumentul). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. Pentru a evita neînțelegerile enervante, priviți imaginea:

În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția unui logaritm. Tine minte: logaritmul este o putere, în care trebuie construită baza pentru a obține un argument. Este baza care este ridicată la o putere - este evidențiată cu roșu în imagine. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu apare nicio confuzie.

Ne-am dat seama de definiție - tot ce rămâne este să învățăm cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

1. Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definirea unui grad de către un exponent rațional, la care se reduce definiția unui logaritm.
2. Baza trebuie să fie diferită de unul, deoarece unul în orice grad rămâne unul. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Se numesc astfel de restricții intervalul de valori acceptabile(ODZ). Rezultă că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există restricții privind numărul b (valoarea logaritmului). De exemplu, logaritmul poate fi foarte negativ: log 2 0.5 = −1, deoarece 0,5 = 2 −1.

Cu toate acestea, acum doar luăm în considerare expresii numerice, unde nu este necesar să se cunoască CVD-ul logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către autorii sarcinilor. Dar atunci când ecuațiile și inegalitățile logaritmice intră în joc, cerințele DL vor deveni obligatorii. La urma urmei, baza și argumentul pot conține construcții foarte puternice care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum să ne uităm la schema generală de calcul a logaritmilor. Acesta constă din trei etape:

1. Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu baza minimă posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de zecimale;
2. Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
3. Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acesta va fi vizibil deja în primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte importantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. Acelasi cu zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor fi mult mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă folosind exemple specifice:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Să creăm și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Am primit răspunsul: 2.

Sarcină. Calculați logaritmul:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Am primit răspunsul: 3.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Am primit raspunsul: 0.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu poate fi reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu contează;
3. Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

O mică notă despre ultimul exemplu. Cum poți fi sigur că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Este foarte simplu - doar includeți-l în factori primi. Dacă expansiunea are cel puțin doi factori diferiți, numărul nu este o putere exactă.

Sarcină. Aflați dacă numerele sunt puteri exacte: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grad exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nu este o putere exactă, întrucât există doi factori: 3 și 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grad exact;
35 = 7 · 5 - din nou nu este o putere exactă;
14 = 7 · 2 - din nou nu este un grad exact;

Să remarcăm, de asemenea, că noi înșine numere prime sunt întotdeauna grade exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și un simbol special.

Logaritmul zecimal al lui x este logaritmul la baza 10, adică. Puterea la care trebuie ridicat numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x.

De exemplu, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când o expresie precum „Găsiți lg 0.01” apare într-un manual, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este un logaritm zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți familiarizat cu această notație, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru logaritmii zecimali.

Logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa denumire. În unele privințe, este chiar mai important decât zecimală. Vorbim despre logaritmul natural.

Logaritmul natural al lui x este logaritmul la baza e, i.e. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x .

Mulți se vor întreba: care este numărul e? Acesta este un număr irațional; valoarea lui exactă nu poate fi găsită și notă. Voi da doar primele cifre:
e = 2,718281828459...

Nu vom intra în detaliu despre ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional este irațional. Cu excepția, desigur, a unuia: ln 1 = 0.

Pentru logaritmii naturali, toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.

Astăzi vom vorbi despre formule logaritmice iar noi vom da orientativ exemple de solutie.

Ele însele implică modele de soluție conform proprietăților de bază ale logaritmilor. Înainte de a aplica formule logaritmice pentru a rezolva, permiteți-ne să vă reamintim toate proprietățile:

Acum, pe baza acestor formule (proprietăți), vom arăta exemple de rezolvare a logaritmilor.

Exemple de rezolvare a logaritmilor pe bază de formule.

Logaritm un număr pozitiv b la baza a (notat cu log a b) este un exponent la care trebuie ridicat a pentru a obține b, cu b > 0, a > 0 și 1.

Conform definiției, log a b = x, care este echivalent cu a x = b, prin urmare log a a x = x.

Logaritmi, exemple:

log 2 8 = 3, deoarece 2 3 = 8

log 7 49 = 2, deoarece 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, deoarece 5 -1 = 1/5

Logaritm zecimal- acesta este un logaritm obișnuit, a cărui bază este 10. Se notează lg.

log 10 100 = 2, deoarece 10 2 = 100

Logaritmul natural- tot un logaritm obișnuit, un logaritm, dar cu baza e (e = 2,71828... - un număr irațional). Notat ca ln.

Este indicat să memorăm formulele sau proprietățile logaritmilor, deoarece vom avea nevoie de ele mai târziu atunci când rezolvăm logaritmi, ecuații logaritmice și inegalități. Să lucrăm din nou prin fiecare formulă cu exemple.

• Identitatea logaritmică de bază
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietățile puterii unui număr logaritmic și ale bazei logaritmului

  Exponent al numărului logaritmic log a b m = mlog a b

  Exponent al bazei logaritmului log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  dacă m = n, obținem log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Trecerea la o nouă fundație
  log a b = log c b/log c a,

  dacă c = b, obținem log b b = 1

  atunci log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

După cum puteți vedea, formulele pentru logaritmi nu sunt atât de complicate pe cât par. Acum, după ce ne-am uitat la exemple de rezolvare a logaritmilor, putem trece la ecuații logaritmice. Vom analiza mai detaliat exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice în articolul: „”. Nu ratați!

Dacă mai aveți întrebări despre soluție, scrieți-le în comentariile articolului.

Notă: am decis să obținem o altă clasă de educație și să studiem în străinătate ca opțiune.