În articolul precedent am vorbit despre cum să calculăm corect limitele functii elementare. Dacă luăm funcții mai complexe, atunci vom avea expresii cu o valoare nedefinită în calculele noastre. Ele se numesc incertitudini.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Se disting următoarele tipuri principale de incertitudini:

1. Împărțiți 0 la 0 0 0 ;
2. Împărțirea unui infinit la altul ∞ ∞;

0 ridicat la puterea zero 0 0 ;

3. infinitul ridicat la puterea zero ∞ 0 .

Am enumerat toate incertitudinile principale. Alte expresii pot lua valori finite sau infinite în diferite condiții și, prin urmare, nu pot fi considerate incertitudini.

Descoperirea incertitudinilor

Incertitudinea poate fi rezolvată prin:

1. Prin simplificarea formei funcției (folosind formule de înmulțire prescurtate, formule trigonometrice, înmulțirea suplimentară prin expresii conjugate și reducerea ulterioară etc.);

Cu ajutorul unor limite minunate;

Folosind regula lui L'Hopital;

Prin înlocuirea unei expresii infinitezimale cu o expresie echivalentă (de obicei această acțiune este efectuată folosind un tabel de expresii infinitezimale).

Toate informațiile prezentate mai sus pot fi prezentate clar sub forma unui tabel. În partea stângă arată tipul de incertitudine, în dreapta - o metodă potrivită pentru a o dezvălui (găsirea limitei). Acest tabel este foarte convenabil de utilizat în calculele legate de găsirea limitelor.

Incertitudine	Metoda de dezvăluire a incertitudinii
1. Împărțiți 0 la 0	Transformarea și simplificarea ulterioară a unei expresii. Dacă expresia are forma sin (k x) k x sau k x sin (k x), atunci trebuie să utilizați primul limita minunata. Dacă o astfel de soluție nu este potrivită, folosim regula lui L'Hopital sau un tabel de expresii infinitezimale echivalente
2. Împărțirea infinitului la infinit	Transformați și simplificați o expresie sau folosiți regula lui L'Hopital
3. Înmulțirea zero cu infinit sau găsirea diferenței dintre două infinitate	Conversie la 0 0 sau ∞ ∞ urmată de aplicarea regulii lui L'Hopital
4. Unitate la puterea infinitului	Folosind a doua mare limită
5. Ridicarea zero sau infinit la puterea zero	Luând logaritmul unei expresii folosind egalitatea lim x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x)

Să ne uităm la câteva probleme. Aceste exemple sunt destul de simple: în ele răspunsul se obține imediat după înlocuirea valorilor și nu există incertitudine.

Exemplul 1

calculati limit lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .

Soluţie

Efectuăm înlocuirea valorii și obținem răspunsul.

lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

Răspuns: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .

Exemplul 2

Calculați limita limită x → ​​0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .

Soluţie

Avem o funcție de putere exponențială, în baza căreia trebuie să înlocuim x = 0.

(x 2 + 2, 5) x = 0 = 0 2 + 2, 5 = 2, 5

Aceasta înseamnă că putem transforma limita în următoarea expresie:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2

Acum să ne uităm la indicator - funcția de putere 1 x 2 = x - 2. Să ne uităm la tabelul limitelor pentru funcții de putere cu un exponent mai mic decât zero și obținem următoarele: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ și lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞

Astfel, putem scrie că lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.

Acum luăm tabelul limitelor funcțiilor exponențiale cu baze mai mari decât 0 și obținem:

lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞

Răspuns: lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .

Exemplul 3

Calculați limita limită x → ​​1 x 2 - 1 x - 1 .

Soluţie

Efectuăm înlocuirea valorii.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

Drept urmare, am ajuns cu incertitudine. Utilizați tabelul de mai sus pentru a selecta o metodă de soluție. Indică faptul că trebuie să simplificați expresia.

lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = lim x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( x + 1) x - 1 = lim x → 1 (x + 1) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0

După cum putem vedea, simplificarea a dus la dezvăluirea incertitudinii.

Răspuns: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0

Exemplul 4

Calculați limita limită x → ​​3 x - 3 12 - x - 6 + x .

Soluţie

Înlocuim valoarea și obținem următoarea intrare.

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

Am ajuns la necesitatea de a împărți zero la zero, ceea ce este incertitudine. Să ne uităm la metoda de soluție necesară din tabel - aceasta este simplificarea și transformarea expresiei. Să înmulțim suplimentar numărătorul și numitorul cu expresia conjugată 12 - x + 6 + x:

lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

Numitorul este înmulțit astfel încât să puteți utiliza apoi formula de înmulțire abreviată (diferența de pătrate) pentru a efectua reducerea.

lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

După cum putem vedea, în urma acestor acțiuni am reușit să scăpăm de incertitudine.

Răspuns: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .

Este important să rețineți că abordarea înmulțirii este folosită foarte des atunci când rezolvați astfel de probleme, așa că vă sfătuim să vă amintiți exact cum se face acest lucru.

Exemplul 5

Calculați limita limită x → ​​1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .

Soluţie

Efectuăm înlocuirea.

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0

Drept urmare, am ajuns cu incertitudine. Modul recomandat de a rezolva problema în acest caz este simplificarea expresiei. Deoarece când x este egal cu unu, numărătorul și numitorul se transformă în 0, le putem factoriza și apoi le putem reduce cu x - 1, iar atunci incertitudinea va dispărea.

Factorizăm numărătorul:

x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1

Acum procedăm la fel cu numitorul:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1

Avem o limită de următoarea formă:

lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4

După cum vedem, în timpul transformării am reușit să scăpăm de incertitudine.

Răspuns: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .

În continuare trebuie să luăm în considerare cazurile de limite la infinit din expresiile puterii. Dacă exponenții acestor expresii sunt mai mari decât 0, atunci și limita la infinit va fi infinită. În acest caz, cel mai mare grad este de importanță primordială, iar restul poate fi ignorat.

De exemplu, lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ sau lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.

Dacă sub semnul limită avem o fracție cu expresii de putere în numărător și numitor, atunci ca x → ∞ avem o incertitudine de forma ∞ ∞. Pentru a scăpa de această incertitudine, trebuie să împărțim numărătorul și numitorul fracției la x m a x (m, n). Să dăm un exemplu de rezolvare a unei astfel de probleme.

Exemplul 6

Calculați limita limită x → ​​∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .

Soluţie

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Puterile numărătorului și numitorului sunt egale cu 7. Împărțiți-le la x 7 și obțineți:

lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

Răspuns: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

Exemplul 7

Calculați limita limită x → ​​∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

Soluţie

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Numătorul are puterea de 8 3 iar numitorul are puterea de 2. Să împărțim numărătorul și numitorul la x 8 3:

lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

Răspuns: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

Exemplul 8

Calculați limita limită x → ​​∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

Soluţie

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

Avem un numărător la puterea lui 3 și un numitor la puterea lui 10 3 . Aceasta înseamnă că trebuie să împărțim numărătorul și numitorul la x 10 3:

lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 = ∞ 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

Răspuns: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

concluzii

În cazul unei limite de raport, există trei opțiuni principale:

Dacă gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului, atunci limita va fi egală cu raportul dintre coeficienții puterilor superioare.

Dacă gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita va fi egală cu infinitul.

Dacă gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, atunci limita va fi zero.

Vom discuta alte metode de dezvăluire a incertitudinilor în articole separate.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Incertitudinea tipului și speciei sunt cele mai frecvente incertitudini care trebuie dezvăluite atunci când se rezolvă limitele.

Majoritatea problemelor limită întâlnite de studenți conțin tocmai astfel de incertitudini. Pentru a le dezvălui sau, mai precis, pentru a evita incertitudinile, există mai multe tehnici artificiale de transformare a tipului de expresie sub semnul limită. Aceste tehnici sunt următoarele: împărțirea în termeni a numărătorului și numitorului cu cea mai mare putere a variabilei, înmulțirea cu expresia conjugată și factorizarea pentru reducerea ulterioară folosind soluții ecuații pătraticeși formule de înmulțire prescurtate.

Incertitudinea speciei

Exemplul 1.

n este egal cu 2. Prin urmare, împărțim termenul numărător și numitor cu termen la:

.

Comentează în partea dreaptă a expresiei. Săgețile și numerele indică la ce tind fracțiile după înlocuire n adică infinit. Iată, ca în exemplul 2, gradul n Există mai mult în numitor decât în ​​numărător, drept urmare întreaga fracție tinde să fie infinitezimală sau „super-mică”.

Obținem răspunsul: limita acestei funcții cu o variabilă care tinde spre infinit este egală cu .

Exemplul 2. .

Soluţie. Aici cea mai mare putere a variabilei X este egal cu 1. Prin urmare, împărțim termenul numărător și numitor cu termen cu X:

.

Comentariu asupra evoluției deciziei. În numărător, trecem „x” sub rădăcina gradului al treilea și, astfel încât gradul său original (1) să rămână neschimbat, îi atribuim același grad ca și rădăcina, adică 3. Nu există săgeți sau numere suplimentare. în această intrare, deci încercați mental, dar prin analogie cu exemplul anterior, determinați la ce tind expresiile din numărător și numitor după ce înlocuiți infinitul în loc de „x”.

Am primit răspunsul: limita acestei funcții cu o variabilă care tinde spre infinit este egală cu zero.

Incertitudinea speciei

Exemplul 3. Descoperiți incertitudinea și găsiți limita.

Soluţie. Numătorul este diferența de cuburi. Să o factorizăm folosind formula de înmulțire prescurtată de la cursul de matematică din școală:

Numitorul conține un trinom pătratic, pe care îl vom factoriza prin rezolvarea unei ecuații pătratice (din nou o legătură cu rezolvarea ecuațiilor pătratice):

Să notăm expresia obținută în urma transformărilor și să găsim limita funcției:

Exemplul 4. Deblocați incertitudinea și găsiți limita

Soluţie. Teorema limitei coeficientului nu este aplicabilă aici, deoarece

Prin urmare, transformăm fracția în mod identic: înmulțind numărătorul și numitorul cu binomul conjugat la numitor și reducem cu X+1. Conform corolarului teoremei 1, obținem o expresie, rezolvând căreia găsim limita dorită:

Exemplul 5. Deblocați incertitudinea și găsiți limita

Soluţie. Înlocuirea directă a valorii X= 0 într-o funcție dată duce la o incertitudine de forma 0/0. Pentru a o dezvălui, efectuăm transformări identice și în final obținem limita dorită:

Exemplul 6. calculati

Soluţie: Să folosim teoremele asupra limitelor

Răspuns: 11

Exemplul 7. calculati

Soluţie:în acest exemplu, limitele numărătorului și numitorului la sunt egale cu 0:

; . Am primit, prin urmare, teorema privind limita coeficientului nu poate fi aplicată.

Să factorizăm numărătorul și numitorul pentru a reduce fracția cu un factor comun care tinde spre zero și, prin urmare, să facem posibilă aplicarea teoremei 3.

Să extindem trinomul pătrat în numărător folosind formula , unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile trinomului. Având factorizat și numitor, reduceți fracția cu (x-2), apoi aplicați teorema 3.

Răspuns:

Exemplul 8. calculati

Soluţie: Când numărătorul și numitorul tind spre infinit, prin urmare, la aplicarea directă a teoremei 3, obținem expresia , care reprezintă incertitudinea. Pentru a scăpa de incertitudinea de acest tip, ar trebui să împărțiți numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a argumentului. ÎN în acest exemplu trebuie împărțit la X:

Răspuns:

Exemplul 9. calculati

Soluţie: x 3:

Răspuns: 2

Exemplul 10. calculati

Soluţie: Când numărătorul și numitorul tind spre infinit. Să împărțim numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a argumentului, adică. x 5:

=

Numătorul fracției tinde spre 1, numitorul tinde spre 0, deci fracția tinde spre infinit.

Răspuns:

Exemplul 11. calculati

Soluţie: Când numărătorul și numitorul tind spre infinit. Să împărțim numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a argumentului, adică. x 7:

Răspuns: 0

Derivat.

Derivata functiei y = f(x) fata de argumentul x se numește limita raportului dintre incrementul său y și incrementul x al argumentului x, când incrementul argumentului tinde spre zero: . Dacă această limită este finită, atunci funcția y = f(x) se spune că este diferențiabilă în punctul x. Dacă această limită există, atunci ei spun că funcția y = f(x) are o derivată infinită în punctul x.

Derivate ale funcțiilor elementare de bază:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Reguli de diferentiere:

A)

V)

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie: Dacă derivata celui de-al doilea termen se găsește folosind regula diferențierii fracțiilor, atunci primul termen este o funcție complexă, a cărei derivată se găsește prin formula:

, Unde , Apoi

La rezolvarea s-au folosit următoarele formule: 1,2,10,a,c,d.

Răspuns:

Exemplul 21. Aflați derivata unei funcții

Soluţie: ambii termeni sunt funcții complexe, unde pentru primul , și pentru al doilea , , apoi

Răspuns:

Aplicații derivate.

1. Viteza si acceleratia

Fie funcția s(t) să descrie poziţie obiect într-un sistem de coordonate la momentul t. Atunci derivata întâi a funcției s(t) este instantanee viteză obiect:
v=s′=f′(t)
Derivata a doua a functiei s(t) reprezinta instantaneul accelerare obiect:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Ecuația tangentei
y−y0=f′(x0)(x−x0),
unde (x0,y0) sunt coordonatele punctului tangent, f′(x0) este valoarea derivatei funcției f(x) la punctul tangent.

3. Ecuație normală
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

unde (x0,y0) sunt coordonatele punctului în care este trasată normala, f′(x0) este valoarea derivatei funcției f(x) în acest punct.

4. Funcția de creștere și scădere
Dacă f′(x0)>0, atunci funcția crește în punctul x0. În figura de mai jos, funcția crește cu x x2.
Dacă f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Dacă f′(x0)=0 sau derivata nu există, atunci acest criteriu nu ne permite să determinăm natura monotonității funcției în punctul x0.

5. Extreme locale ale unei funcții
Funcția f(x) are maxim localîn punctul x1, dacă există o vecinătate a punctului x1 astfel încât pentru toți x din această vecinătate să fie valabilă inegalitatea f(x1)≥f(x).
În mod similar, funcția f(x) are minim localîn punctul x2, dacă există o vecinătate a punctului x2 astfel încât pentru toți x din această vecinătate să fie valabilă inegalitatea f(x2)≤f(x).

6. Puncte critice
Punctul x0 este punct critic funcția f(x), dacă derivata f′(x0) din ea este egală cu zero sau nu există.

7. Primul semn suficient al existenței unui extremum
Dacă funcția f(x) crește (f′(x)>0) pentru tot x dintr-un interval (a,x1] și scade (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) pentru toți x din interval, este extins dacă se înțelege diferența oricăror fracții. Reducând această diferență la un numitor comun, obțineți un anumit raport de funcții.

Incertitudinile de tip 0^∞, 1^∞, ∞^0 apar la calcularea tipului p(x)^q(x). În acest caz, se utilizează diferențierea preliminară. Atunci limita A dorită va lua forma unui produs, eventual cu un numitor gata făcut. Dacă nu, atunci puteți folosi metoda din exemplul 3. Principalul lucru este să nu uitați să scrieți răspunsul final sub forma e^A (vezi Fig. 5).

Video pe tema

Surse:

• calculați limita unei funcții fără a utiliza regula L'Hopital în 2019

Instrucțiuni

O limită este un anumit număr către care tinde o variabilă sau valoarea unei expresii. De obicei, variabilele sau funcțiile tind fie la zero, fie la infinit. La limită, zero, cantitatea este considerată infinitezimală. Cu alte cuvinte, cantitățile care sunt variabile și se apropie de zero sunt numite infinitezimale. Dacă tinde spre infinit, atunci se numește limită infinită. De obicei este scris sub forma:
limx=+∞.

Are o serie de proprietăți, dintre care unele sunt . Mai jos sunt cele principale.
- o cantitate are o singură limită;

Limita unei valori constante este egală cu valoarea acestei constante;

Limita sumei este egală cu suma limitelor: lim(x+y)=lim x + lim y;

Limita produsului este egală cu produsul limitelor: lim(xy)=lim x * lim y

Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită: lim(Cx) = C * lim x, unde C=const;

Limita coeficientului este egală cu câtul limitelor: lim(x/y)=lim x / lim y.

În problemele cu limite există atât expresii numerice, cât și aceste expresii. Ar putea arăta, în special, așa:
lim xn=a (pentru n→∞).
Mai jos este o limită simplă:
lim 3n +1 /n+1

n→∞.
Pentru a rezolva această limită, împărțiți întreaga expresie la n unități. Se știe că dacă unitatea este împărțită la o anumită valoare n→∞, atunci limita 1/n este egală cu zero. Este adevărat și invers: dacă n→0, atunci 1/0=∞. Împărțind întregul exemplu la n, scrieți-l în formularul de mai jos și obțineți:
lim 3+1/n/1+1/n=3

Când rezolvați limite, pot apărea rezultate numite incertitudini. În astfel de cazuri, se aplică regulile L'Hopital. Pentru a face acest lucru, ei repetă funcția, ceea ce va aduce exemplul într-o formă în care ar putea fi rezolvat. Există două tipuri de incertitudini: 0/0 și ∞/∞. Un exemplu cu incertitudine poate arăta, în special, după cum urmează:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

Video pe tema

Calculul limitelor funcții- fundamentul analizei matematice, căreia îi sunt consacrate multe pagini în manuale. Cu toate acestea, uneori nu numai definiția, ci și esența limitei nu este clară. În termeni simpli, o limită este abordarea unei mărimi variabile, care depinde de alta, de o anumită valoare unică pe măsură ce acea altă cantitate se modifică. Pentru calcule de succes, este suficient să țineți cont de un algoritm de soluție simplu.