Ecuații trigonometrice mai complexe

Ecuații

păcat x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sunt cele mai simple ecuații trigonometrice. În acest paragraf privind exemple concrete Ne vom uita la ecuații trigonometrice mai complexe. Soluția lor, de regulă, se rezumă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Exemplu 1 . Rezolvați ecuația

păcatul 2 X=cos X păcatul 2 X.

Transferând toți termenii acestei ecuații în partea stângă și factorizând expresia rezultată, obținem:

păcatul 2 X(1 - cos X) = 0.

Produsul a două expresii este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar celălalt ia orice valoare numerică, atâta timp cât este definită.

Dacă păcatul 2 X = 0 , apoi 2 X= n π ; X = π / 2n.

Dacă 1 - cos X = 0 , apoi cos X = 1; X = 2kπ .

Deci, avem două grupuri de rădăcini: X = π / 2n; X = 2kπ . Al doilea grup de rădăcini este în mod evident cuprins în primul, deoarece pentru n = 4k expresia X = π / 2n devine
X = 2kπ .

Prin urmare, răspunsul poate fi scris într-o singură formulă: X = π / 2n, Unde n- orice număr întreg.

Rețineți că această ecuație nu a putut fi rezolvată prin reducerea cu sin 2 X. Într-adevăr, după reducere am obține 1 - cos x = 0, de unde X= 2k π . Deci am pierde niște rădăcini, de exemplu π / 2 , π , 3π / 2 .

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

O fracție este egală cu zero numai dacă numărătorul ei este egal cu zero.
De aceea păcatul 2 X = 0 , de unde 2 X= n π ; X = π / 2n.

Din aceste valori X trebuie să arunci ca străine acele valori la care păcatX merge la zero (fracțiile cu numitorul zero nu au sens: împărțirea la zero este nedefinită). Aceste valori sunt numere care sunt multipli ale π . În formulă
X = π / 2n se obţin pentru chiar n. Prin urmare, rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele

X = π / 2 (2k + 1),

unde k este orice număr întreg.

Exemplu 3 . Rezolvați ecuația

2 păcatul 2 X+ 7cos X - 5 = 0.

Să ne exprimăm păcatul 2 X prin cosX : păcatul 2 X = 1 - cos 2X . Atunci această ecuație poate fi rescrisă ca

2 (1 - cos 2 X) + 7cos X - 5 = 0 , sau

2cos 2 X- 7 cos X + 3 = 0.

Desemnarea cosX prin la, ajungem la ecuația pătratică

2у 2 - 7у + 3 = 0,

ale căror rădăcini sunt numerele 1/2 și 3. Aceasta înseamnă că fie cos X= 1 / 2, sau cos X= 3. Cu toate acestea, acesta din urmă este imposibil, deoarece cosinusul oricărui unghi nu depășește 1 în valoare absolută.

Rămâne de recunoscut că cos X = 1 / 2 , Unde

X = ± 60° + 360° n.

Exemplu 4 . Rezolvați ecuația

2 păcat X+ 3cos X = 6.

Din moment ce păcatul X si cos Xîn valoare absolută nu depășește 1, apoi expresia
2 păcat X+ 3cos X nu poate lua valori mai mari decât 5 . Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Exemplu 5 . Rezolvați ecuația

păcat X+cos X = 1

Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, obținem:

păcatul 2 X+ 2 păcat X cos X+ cos 2 X = 1,

Dar păcatul 2 X + cos 2 X = 1 . De aceea 2 păcat X cos X = 0 . Dacă păcat X = 0 , Acea X = nπ ; dacă
cos X , Acea X = π / 2 + kπ . Aceste două grupuri de soluții pot fi scrise într-o singură formulă:

X = π / 2n

Deoarece am pătrat ambele părți ale acestei ecuații, este posibil să existe rădăcini străine printre rădăcinile pe care le-am obținut. De aceea, în acest exemplu, spre deosebire de toate precedentele, este necesar să se facă o verificare. Toate semnificațiile

X = π / 2n poate fi împărțit în 4 grupe

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

La X = 2kπ păcat X+cos X= 0 + 1 = 1. Prin urmare, X = 2kπ sunt rădăcinile acestei ecuații.

La X = π / 2 + 2kπ. păcat X+cos X= 1 + 0 = 1 Deci X = π / 2 + 2kπ- de asemenea rădăcinile acestei ecuații.

La X = π + 2kπ păcat X+cos X= 0 - 1 = - 1. Prin urmare, valorile X = π + 2kπ nu sunt rădăcini ale acestei ecuații. În mod similar se arată că X = 3π / 2 + 2kπ. nu sunt rădăcini.

Astfel, această ecuație are următoarele rădăcini: X = 2kπȘi X = π / 2 + 2mπ., Unde kȘi m- orice numere întregi.

Necesită cunoașterea formulelor de bază ale trigonometriei - suma pătratelor sinusului și cosinusului, expresia tangentei prin sinus și cosinus și altele. Pentru cei care le-au uitat sau nu le cunosc, recomandăm citirea articolului „”.
Deci, cunoaștem formulele trigonometrice de bază, este timpul să le folosim în practică. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu abordarea corectă, este o activitate destul de interesantă, cum ar fi, de exemplu, rezolvarea unui cub Rubik.

Pe baza numelui în sine, este clar că o ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află sub semnul funcției trigonometrice.
Există așa-numitele cele mai simple ecuații trigonometrice. Iată cum arată: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Sa luam in considerare cum se rezolvă astfel de ecuații trigonometrice, pentru claritate vom folosi cercul trigonometric deja familiar.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

pat x = a

Orice ecuație trigonometrică se rezolvă în două etape: reducem ecuația la cea mai simplă formă și apoi o rezolvăm ca o ecuație trigonometrică simplă.
Există 7 metode principale prin care se rezolvă ecuațiile trigonometrice.

1. Substituția variabilă și metoda substituției

Rezolvați ecuația 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Folosind formulele de reducere obținem:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Înlocuiți cos(x + /6) cu y pentru a simplifica și obține obișnuit ecuație pătratică:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Ale căror rădăcini sunt y 1 = 1, y 2 = 1/2

Acum să mergem în ordine inversă

Înlocuim valorile găsite ale lui y și obținem două opțiuni de răspuns:

2. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin factorizare

Cum se rezolvă ecuația sin x + cos x = 1?

Să mutăm totul la stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta:

sin x + cos x – 1 = 0

Să folosim identitățile discutate mai sus pentru a simplifica ecuația:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Să factorizăm:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Obținem două ecuații

3. Reducere la o ecuație omogenă

O ecuație este omogenă față de sinus și cosinus dacă toți termenii ei sunt relativ la sinusul și cosinusul aceleiași puteri ale aceluiași unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, procedați după cum urmează:

a) transferă toți membrii săi în partea stângă;

b) scoateți toți factorii comuni din paranteze;

c) egalează toți factorii și parantezele cu 0;

d) se obține între paranteze o ecuație omogenă de grad inferior, care la rândul ei se împarte într-un sinus sau cosinus de grad superior;

e) rezolvați ecuația rezultată pentru tg.

Rezolvați ecuația 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Să folosim formula sin 2 x + cos 2 x = 1 și să scăpăm de cele două deschise din dreapta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Împărțire la cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Înlocuiți tan x cu y și obțineți o ecuație pătratică:

y 2 + 4y +3 = 0, ale căror rădăcini sunt y 1 =1, y 2 = 3

De aici găsim două soluții la ecuația inițială:

x 2 = arctan 3 + k

4. Rezolvarea ecuațiilor prin trecerea la jumătate de unghi

Rezolvați ecuația 3sin x – 5cos x = 7

Să trecem la x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Să mutăm totul la stânga:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Împărțire la cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introducerea unghiului auxiliar

Pentru a lua în considerare, să luăm o ecuație de forma: a sin x + b cos x = c,

unde a, b, c sunt niște coeficienți arbitrari, iar x este o necunoscută.

Să împărțim ambele părți ale ecuației la:



Acum coeficienții ecuației conform formule trigonometrice au proprietățile sin și cos și anume: modulul lor nu este mai mare de 1 și suma pătratelor = 1. Să le notăm respectiv cos și sin, unde - acesta este așa-numitul unghi auxiliar. Atunci ecuația va lua forma:

cos * sin x + sin * cos x = C

sau sin(x + ) = C

Soluția la această ecuație trigonometrică cea mai simplă este

x = (-1) k * arcsin C - + k, unde



Trebuie remarcat faptul că notațiile cos și sin sunt interschimbabile.

Rezolvați ecuația sin 3x – cos 3x = 1

Coeficienții din această ecuație sunt:

a = , b = -1, deci împărțiți ambele părți la = 2

Ecuațiile trigonometrice nu sunt un subiect ușor. Sunt prea diverse.) De exemplu, acestea:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

etc...

Dar acești monștri trigonometrici (și toți ceilalți) au două caracteristici comune și obligatorii. În primul rând - nu veți crede - există funcții trigonometrice în ecuații.) În al doilea rând: toate expresiile cu x sunt găsite în cadrul acestor aceleaşi funcţii.Și numai acolo! Dacă X apare undeva in afara, De exemplu, sin2x + 3x = 3, aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații necesită o abordare individuală. Nu le vom lua în considerare aici.

Nici în această lecție nu vom rezolva ecuații malefice.) Aici ne vom ocupa de cele mai simple ecuații trigonometrice. De ce? Da pentru ca solutia orice ecuațiile trigonometrice sunt formate din două etape. În prima etapă, ecuația malefica este redusă la una simplă printr-o varietate de transformări. Pe a doua, această ecuație cea mai simplă este rezolvată. Nici o alta cale.

Deci, dacă aveți probleme la a doua etapă, prima etapă nu are prea mult sens.)

Cum arată ecuațiile trigonometrice elementare?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Aici A reprezintă orice număr. Orice.

Apropo, în interiorul unei funcții poate să nu existe un X pur, ci un fel de expresie, cum ar fi:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Acest lucru complică viața, dar nu afectează metoda de rezolvare a unei ecuații trigonometrice.

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice?

Ecuațiile trigonometrice pot fi rezolvate în două moduri. Prima modalitate: folosind logica și cercul trigonometric. Vom privi aici această cale. A doua modalitate - folosirea memoriei și a formulelor - va fi discutată în lecția următoare.

Prima modalitate este clară, fiabilă și greu de uitat.) Este bună pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, a inegalităților și a tot felul de exemple nestandardizate complicate. Logica este mai puternică decât memoria!)

Rezolvarea ecuațiilor folosind un cerc trigonometric.

Includem logica elementară și capacitatea de a folosi cercul trigonometric. Nu știi cum? Totuși... Îți va fi greu în trigonometrie...) Dar nu contează. Aruncă o privire la lecțiile „Cercul trigonometric...... Ce este?” și „Măsurarea unghiurilor pe un cerc trigonometric”. Totul este simplu acolo. Spre deosebire de manuale...)

Oh stii tu!? Și chiar ați stăpânit „Lucrarea practică cu cercul trigonometric”!? Felicitări. Acest subiect vă va fi aproape și de înțeles.) Ceea ce este deosebit de plăcut este că cercul trigonometric nu-i pasă ce ecuație rezolvați. Sinus, cosinus, tangent, cotangent - totul este la fel pentru el. Există un singur principiu de soluție.

Deci luăm orice ecuație trigonometrică elementară. Cel putin asta:

cosx = 0,5

Trebuie să găsim X. Vorbind în limbaj uman, ai nevoie găsiți unghiul (x) al cărui cosinus este 0,5.

Cum am folosit anterior cercul? Am desenat un unghi pe el. În grade sau radiani. Și imediat a văzut funcţiile trigonometrice ale acestui unghi. Acum să facem invers. Să desenăm un cosinus pe cerc egal cu 0,5 și imediat vom vedea colţ. Rămâne doar să scrieți răspunsul.) Da, da!

Desenați un cerc și marcați cosinusul egal cu 0,5. Pe axa cosinusului, desigur. Ca aceasta:

Acum să desenăm unghiul pe care ni-l oferă acest cosinus. Treceți mouse-ul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe tabletă) și vei vedea chiar acest colt X.

Cosinusul cărui unghi este 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Unii oameni vor chicoti sceptici, da... Cum ar fi, a meritat să faci un cerc când totul este deja clar... Puteți, desigur, să chicotiți...) Dar adevărul este că acesta este un răspuns eronat. Sau, mai degrabă, insuficient. Cunoscătorii de cerc înțeleg că există o grămadă de alte unghiuri aici care dau și un cosinus de 0,5.

Dacă întoarceți partea în mișcare OA viraj complet, punctul A va reveni la poziția inițială. Cu același cosinus egal cu 0,5. Acestea. unghiul se va schimba cu 360° sau 2π radiani și cosinus - nu. Noul unghi 60° + 360° = 420° va fi, de asemenea, o soluție pentru ecuația noastră, deoarece

Se pot face un număr infinit de astfel de revoluții complete... Și toate aceste unghiuri noi vor fi soluții la ecuația noastră trigonometrică. Și toate trebuie să fie scrise cumva ca răspuns. Toate. Altfel, decizia nu contează, da...)

Matematica poate face acest lucru simplu și elegant. Scrieți într-un singur răspuns scurt set infinit decizii. Iată cum arată ecuația noastră:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

o voi descifra. Mai scrie semnificativ Este mai plăcut decât să desenezi prost niște litere misterioase, nu?)

π /3 - Acesta este același colț în care noi a văzut pe cerc şi determinat conform tabelului cosinus.

2π este o revoluție completă în radiani.

n - acesta este numărul celor complete, adică întreg rpm Este clar că n poate fi egal cu 0, ±1, ±2, ±3.... și așa mai departe. După cum se menționează nota scurta:

n ∈ Z

n aparține ( ∈ ) mulţime de numere întregi ( Z ). Apropo, în loc de scrisoare n literele pot fi bine folosite k, m, t etc.

Această notație înseamnă că puteți lua orice număr întreg n . Cel puțin -3, cel puțin 0, cel puțin +55. Ce vrei tu. Dacă înlocuiți acest număr în răspuns, veți obține un unghi specific, care va fi cu siguranță soluția ecuației noastre dure.)

Sau, cu alte cuvinte, x = π /3 este singura rădăcină a unei mulțimi infinite. Pentru a obține toate celelalte rădăcini, este suficient să adăugați orice număr de rotații complete la π /3 ( n ) în radiani. Acestea. 2π n radian.

Toate? Nu. Prelungesc în mod deliberat plăcerea. Pentru a ne aminti mai bine.) Am primit doar o parte din răspunsurile la ecuația noastră. Voi scrie această primă parte a soluției astfel:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nu doar o rădăcină, ci o serie întreagă de rădăcini, scrise într-o formă scurtă.

Dar există și unghiuri care dau și un cosinus de 0,5!

Să revenim la poza noastră din care am notat răspunsul. Iat-o:

Treceți mouse-ul peste imagine și v-om vedea alt unghi care dă, de asemenea, un cosinus de 0,5. Cu ce ​​crezi că este egal? Triunghiurile sunt la fel... Da! Este egal cu unghiul X , doar întârziat în direcția negativă. Acesta este colțul -X. Dar am calculat deja x. π /3 sau 60°. Prin urmare, putem scrie în siguranță:

x 2 = - π /3

Ei bine, desigur, adăugăm toate unghiurile care se obțin prin rotații complete:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Asta-i tot acum.) Pe cercul trigonometric noi a văzut(cine înțelege, desigur)) Toate unghiuri care dau un cosinus de 0,5. Și am notat aceste unghiuri într-o formă matematică scurtă. Răspunsul a rezultat în două serii infinite de rădăcini:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Acesta este răspunsul corect.

Speranţă, principiul general de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice folosirea unui cerc este clară. Marcam pe cerc cosinusul (sinus, tangent, cotangent) din ecuația dată, desenează unghiurile corespunzătoare și notează răspunsul. Desigur, trebuie să ne dăm seama în ce colțuri suntem a văzut pe cerc. Uneori nu este atât de evident. Ei bine, am spus că aici este necesară logica.)

De exemplu, să ne uităm la o altă ecuație trigonometrică:

Vă rugăm să țineți cont de faptul că numărul 0,5 nu este singurul număr posibil în ecuații!) Este mai convenabil pentru mine să-l scriu decât rădăcinile și fracțiile.

Lucrăm după principiul general. Desenăm un cerc, marcam (pe axa sinusoidală, desigur!) 0,5. Desenăm simultan toate unghiurile corespunzătoare acestui sinus. Obținem această imagine:

Să ne ocupăm mai întâi de unghi X în primul trimestru. Amintim tabelul sinusurilor și determinăm valoarea acestui unghi. Este o chestiune simplă:

x = π /6

Ne amintim despre turele complete și, cu conștiința curată, notăm prima serie de răspunsuri:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jumătate din treabă este făcută. Dar acum trebuie să stabilim al doilea colt... E mai complicat decât folosirea cosinusurilor, da... Dar logica ne va salva! Cum să determinați al doilea unghi prin x? Da Ușor! Triunghiurile din imagine sunt aceleași, iar colțul roșu X egal cu unghiul X . Numai că se numără din unghiul π în direcția negativă. De aceea este roșu.) Și pentru răspuns avem nevoie de un unghi, măsurat corect, din semiaxa pozitivă OX, adică. dintr-un unghi de 0 grade.

Plasăm cursorul peste desen și vedem totul. Am scos primul colt ca sa nu complic poza. Unghiul care ne interesează (desenat în verde) va fi egal cu:

π - x

X știm asta π /6 . Prin urmare, al doilea unghi va fi:

π - π /6 = 5π /6

Din nou ne amintim despre adăugarea de revoluții complete și notăm a doua serie de răspunsuri:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Asta e tot. Un răspuns complet constă din două serii de rădăcini:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ecuațiile tangente și cotangente pot fi rezolvate cu ușurință folosind același principiu general pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Dacă, desigur, știi să desenezi tangenta și cotangenta pe un cerc trigonometric.

În exemplele de mai sus, am folosit valoarea tabelului sinus și cosinus: 0,5. Acestea. unul dintre acele semnificații pe care le cunoaște elevul trebuie sa. Acum să ne extindem capacitățile la toate celelalte valori. Decide, deci decide!)

Deci, să presupunem că trebuie să rezolvăm această ecuație trigonometrică:

O astfel de valoare a cosinusului în tabele scurte Nu. Ignorăm cu răceală acest fapt teribil. Desenați un cerc, marcați 2/3 pe axa cosinusului și desenați unghiurile corespunzătoare. Primim această imagine.

Să ne uităm, mai întâi, la unghiul din primul sfert. Dacă am ști cu ce este x, am scrie imediat răspunsul! Nu știm... Eșec!? Calm! Matematica nu-și lasă oamenii în necaz! Ea a venit cu arc cosinus pentru acest caz. Nu stiu? Degeaba. Aflați, este mult mai ușor decât credeți. Nu există o singură vrajă complicată despre „funcțiile trigonometrice inverse” pe acest link... Acest lucru este de prisos în acest subiect.

Dacă știți, spuneți-vă: „X este un unghi al cărui cosinus este egal cu 2/3”. Și imediat, pur prin definiția arccosinusului, putem scrie:

Ne amintim despre revoluțiile suplimentare și notăm cu calm prima serie de rădăcini a ecuației noastre trigonometrice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A doua serie de rădăcini pentru al doilea unghi este aproape automat scrisă. Totul este la fel, doar X (arcurile 2/3) va fi cu minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Si asta e! Acesta este răspunsul corect. Chiar mai ușor decât cu valorile din tabel. Nu este nevoie să vă amintiți nimic.) Apropo, cei mai atenți vor observa că această imagine arată soluția prin arc cosinus în esență, nu diferă de imagine pentru ecuația cosx = 0,5.

Exact! Principiu general De aceea este comun! Am desenat în mod deliberat două imagini aproape identice. Cercul ne arată unghiul X prin cosinusul său. Dacă este un cosinus tabular sau nu, este necunoscut tuturor. Ce fel de unghi este acesta, π /3 sau ce este arccosinus - asta depinde de noi să decidem.

Același cântec cu sine. De exemplu:

Desenați din nou un cerc, marcați sinusul egal cu 1/3, desenați unghiurile. Aceasta este imaginea pe care o obținem:

Și din nou imaginea este aproape aceeași ca pentru ecuație sinx = 0,5.Începem din nou de la colț în primul sfert. Cu ce ​​este X egal dacă sinusul său este 1/3? Nici o problemă!

Acum primul pachet de rădăcini este gata:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Să ne ocupăm de al doilea unghi. În exemplul cu o valoare de tabel de 0,5, aceasta a fost egală cu:

π - x

Va fi exact la fel și aici! Doar x este diferit, arcsin 1/3. Şi ce dacă!? Puteți nota în siguranță al doilea pachet de rădăcini:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Acesta este un răspuns complet corect. Deși nu pare foarte cunoscut. Dar e clar, sper.)

Așa se rezolvă ecuațiile trigonometrice folosind un cerc. Această cale este clară și de înțeles. El este cel care salvează în ecuații trigonometrice cu selecția rădăcinilor pe un interval dat, în inegalități trigonometrice - acestea sunt în general rezolvate aproape întotdeauna în cerc. Pe scurt, în orice sarcini care sunt puțin mai dificile decât cele standard.

Să aplicăm cunoștințele în practică?)

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice:

În primul rând, mai simplu, direct din această lecție.

Acum e mai complicat.

Sugestie: aici va trebui să vă gândiți la cerc. Personal.)

Și acum sunt simple în exterior... Se mai numesc și cazuri speciale.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Sugestie: aici trebuie să vă dați seama într-un cerc unde sunt două serii de răspunsuri și unde există unul... Și cum să scrieți unul în loc de două serii de răspunsuri. Da, astfel încât să nu se piardă o singură rădăcină dintr-un număr infinit!)

Ei bine, foarte simplu):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Sugestie: aici trebuie să știți ce sunt arcsinus și arccosinus? Ce este arctangent, arccotangent? Cel mai definiții simple. Dar nu trebuie să vă amintiți nicio valoare din tabel!)

Răspunsurile sunt, desigur, o mizerie):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nu merge totul? Se întâmplă. Citiți din nou lecția. Numai gânditor(există așa cuvânt învechit...) Și urmați linkurile. Legăturile principale sunt despre cerc. Fără ea, trigonometria este ca și cum ai traversa drumul legat la ochi. Uneori funcționează.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în acest sens, cercul trigonometric se dovedește din nou a fi cel mai bun asistent.

Să ne amintim definițiile cosinusului și sinusului.

Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.

Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.

Direcția pozitivă a mișcării pe cercul trigonometric este în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonate (1;0)

Folosim aceste definiții pentru a rezolva ecuații trigonometrice simple.

1. Rezolvați ecuația

Această ecuație este satisfăcută de toate valorile unghiului de rotație care corespund punctelor din cerc a căror ordonată este egală cu .

Să marchem un punct cu ordonată pe axa ordonatelor:

Desenați o linie orizontală paralelă cu axa x până când se intersectează cu cercul. Obținem două puncte situate pe cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani:

Dacă, lăsând punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face câte revoluții „în gol” ne dorim, revenind la același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” va fi notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în ​​direcții pozitive, cât și negative, (sau) poate lua orice valoare întreagă.

Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:

, , - set de numere întregi (1)

În mod similar, a doua serie de soluții are forma:

, Unde , . (2)

După cum probabil ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul de pe cerc corespunzător unghiului de rotație cu .

Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:

Dacă luăm (adică chiar) în această intrare, atunci vom obține prima serie de soluții.

Dacă luăm (adică impar) în această intrare, atunci obținem a doua serie de soluții.

2. Acum să rezolvăm ecuația

Deoarece aceasta este abscisa unui punct de pe cercul unitar obtinut prin rotirea printr-un unghi, marcam punctul cu abscisa pe axa:

Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne mișcăm în sensul acelor de ceasornic obținem un unghi de rotație negativ:

Să notăm două serii de soluții:

,

,

(Ajungem la punctul dorit mergând de la cercul complet principal, adică.

Să combinăm aceste două serii într-o singură intrare:

3. Rezolvați ecuația

Linia tangentă trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY

Să marchem un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a cărei unghiuri este egală cu 1):

Să conectăm acest punct la originea coordonatelor cu o linie dreaptă și să marchem punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și ale cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:

Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la o distanță de radiani unul de celălalt, putem scrie soluția astfel:

4. Rezolvați ecuația

Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.

Să marchem un punct cu abscisa -1 pe linia cotangentelor:

Să conectăm acest punct la originea dreptei și să o continuăm până când se intersectează cu cercul. Această linie dreaptă va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație în și radiani:

Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , putem scrie soluția generală a acestei ecuații după cum urmează:

În exemplele date care ilustrează soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.

Totuși, dacă partea dreaptă a ecuației conține o valoare netabelară, atunci înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:

SOLUȚII SPECIALE:

Să marchem punctele de pe cerc a cărui ordonată este 0:

Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este 1:

Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este egală cu -1:

Deoarece se obișnuiește să se indice valorile cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:

Să marchem punctele de pe cerc a cărui abscisă este egală cu 0:

5.
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu 1:

Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu -1:

Și exemple puțin mai complexe:

1.

Sinusul este egal cu unu dacă argumentul este egal cu

Argumentul sinusului nostru este egal, deci obținem:

Să împărțim ambele părți ale egalității la 3:

Răspuns:

2.

Cosinus este zero dacă argumentul cosinus este

Argumentul cosinusului nostru este egal cu , deci obținem:

Să exprimăm , pentru a face acest lucru ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:

Să simplificăm partea dreaptă:

Împărțiți ambele părți la -2:

Rețineți că semnul din fața termenului nu se schimbă, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.

Răspuns:

Și, în sfârșit, urmăriți lecția video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind un cerc trigonometric”

Aceasta încheie conversația noastră despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple. Data viitoare vom vorbi despre cum să decidem.

Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.

• Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică examinarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
• Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Rețineți: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exemplul 2. cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
• Răspuns: x = π/4 + πn.
• Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
• Răspuns: x = π/12 + πn.

Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru transformarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc transformări algebrice (factorizare, reducere membri omogene etc.) și identități trigonometrice.
• Exemplul 5: Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este convertită în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele ecuații trigonometrice de bază trebuie rezolvate: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Găsirea unghiurilor prin valori cunoscute funcții.

  • Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri folosind valorile funcțiilor cunoscute. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
  • Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, 0,732.

• Pune deoparte soluția pe cercul unității.

  • Puteți reprezenta soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unității. Soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar reprezintă vârfurile pătratului.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 pe cercul unitar reprezintă vârfurile unui hexagon regulat.

• Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

  • Dacă o ecuație trigonometrică dată conține doar una functie trigonometrica, rezolvați această ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o anumită ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
    • Metoda 1.
  • Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
  • Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Soluţie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
  • Exemplul 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Acum rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
  • Exemplul 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu una necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t etc.).
  • Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată este:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică care are două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul de funcții (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația inițială după cum urmează: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tan x.