Educația este ceea ce rămâne după ce tot ce s-a predat în școală este uitat.

Igor Khmelinsky, un om de știință din Novosibirsk, care lucrează acum în Portugalia, demonstrează că fără memorarea directă a textelor și formulelor, dezvoltarea memoriei abstracte la copii este dificilă. Iată fragmente din articolul săuLecții din reformele educaționale din Europa și din țările fostei URSS"

Învățare pe de rost și memorie pe termen lung

Necunoașterea tabelului înmulțirii are consecințe mai grave decât incapacitatea de a detecta erorile în calcule pe calculator. Memoria noastră de lungă durată funcționează pe principiul unei baze de date asociative, adică unele elemente de informație, atunci când sunt memorate, sunt asociate cu altele pe baza asocierilor stabilite în momentul cunoașterii lor. Prin urmare, pentru a forma o bază de cunoștințe în orice domeniu, de exemplu, în aritmetică, mai întâi trebuie să înveți măcar ceva pe de rost. Mai mult, informațiile nou primite vor trece de la memoria pe termen scurt la memoria pe termen lung dacă, într-o perioadă scurtă de timp (de câteva zile), le întâlnim de multe ori și, de preferință, în circumstanțe diferite (ceea ce contribuie la crearea unor asociații utile). ). Cu toate acestea, în lipsa cunoștințelor din aritmetică în memoria permanentă, elementele de informație nou sosite sunt asociate cu elemente care nu au nicio legătură cu aritmetica - de exemplu, personalitatea profesorului, vremea de pe stradă etc. Evident, o astfel de memorare nu va aduce nici un beneficiu real studentului - deoarece asociațiile se îndepărtează de această materie, studentul nu va putea să-și amintească nicio cunoaștere legată de aritmetică, cu excepția unor idei vagi că pare să aibă ceva despre asta o dată. ar fi trebuit să aud. Pentru astfel de studenți, rolul asociațiilor care lipsesc este de obicei jucat de diverse tipuri de indicii - copiați de la un coleg, folosiți întrebări de conducere în controlul propriu-zis, formule din lista de formule care pot fi utilizate etc. LA viata reala, fără îndemn, o astfel de persoană se dovedește a fi complet neajutorat și incapabil să aplice cunoștințele care se află în capul lui.

Formarea unui aparat matematic, în care formulele nu sunt memorate, este mai lentă decât altfel. De ce? În primul rând, noile proprietăți, teoreme, relații dintre obiectele matematice folosesc aproape întotdeauna unele caracteristici ale formulelor și conceptelor studiate anterior. Va fi mai dificil să se concentreze atenția elevului asupra materialului nou dacă aceste caracteristici nu pot fi recuperate din memorie într-o perioadă scurtă de timp. În al doilea rând, necunoașterea formulelor pe de rost împiedică căutarea de soluții la probleme semnificative cu un număr mare de operațiuni mici, în care se cere nu numai efectuarea anumitor transformări, ci și identificarea succesiunii acestor mișcări, analizând aplicația. a mai multor formule cu doi sau trei pași înainte.

Practica arată că dezvoltarea intelectuală și matematică a unui copil, formarea bazei de cunoștințe și a abilităților sale, are loc mult mai rapid dacă majoritatea informațiilor utilizate (proprietăți și formule) se află în cap. Și cu cât este mai puternic și mai mult timp ținut acolo, cu atât mai bine.

Matematicianul Henri Poincaré a scris în cartea sa Știință și Metodă: „Dacă natura nu ar fi frumoasă, nu ar merita să fie cunoscută, viața nu ar merita să fie experimentată. Desigur, nu vorbesc aici despre frumusețea care atrage privirea... Mă refer la acea frumusețe mai profundă care se deschide în armonia părților, care este cuprinsă doar de minte. Ea este cea care creează terenul, creează cadrul pentru jocul de culori vizibile care ne mângâie sentimentele și, fără acest sprijin, frumusețea impresiilor trecătoare ar fi imperfectă, ca tot ce este indistinct și trecător. Dimpotrivă, frumusețea intelectuală dă satisfacție în sine.

P.A.M. Dirac a scris: "Fizica teoretică are un alt mod sigur de dezvoltare. Natura are această caracteristică fundamentală că cele mai elementare legi fizice sunt descrise de o teorie matematică, al cărei aparat are o putere și o frumusețe extraordinare. Pentru a înțelege această teorie, trebuie să aveți o calificare matematică neobișnuit de înaltă. Vă puteți întreba: de ce natura este aranjată în acest fel? Nu poate exista decât un singur răspuns la aceasta: conform cunoștințelor noastre moderne, natura este aranjată în acest fel și nu altfel.

În urmă cu șapte ani, fizicianul (și artistul) ucrainean Natalia Kondratyeva a întrebat un număr dintre cei mai importanți matematicieni ai lumii: „Care sunt cele trei formule matematice, dupa parerea ta, cea mai frumoasa?
La discursul despre frumusețea formulelor matematice au participat Sir Michael Atiyah și David Elvarsi din Marea Britanie, Yakov Sinai și Alexander Kirillov din SUA, Friedrich Herzebruch și Yuri Manin din Germania, David Ruel din Franța, Anatoly Vershik și Robert Minlos din Rusia și alti matematicieni din tari diferite. Dintre ucraineni, la discuție au participat academicieni ai NASU Volodymyr Korolyuk și Anatoly Skorokhod. O parte din materialele obținute în acest fel au stat la baza publicației Natalia Kondratieva munca stiintifica„Cele mai frumoase trei formule matematice”.
- Care a fost scopul tău când ai întrebat matematicienii despre formule frumoase?
— Fiecare nou secol aduce o actualizare a paradigmei științifice. Chiar la începutul secolului cu sentimentul că stăm în prag noua stiinta, a ei nou rolîn viața societății umane, am apelat la matematicieni cu o întrebare despre frumusețea ideilor din spatele simbolurilor matematice, i.e. despre frumusețea formulelor matematice.
Unele caracteristici ale noii științe pot fi deja remarcate. Dacă ştiinţa secolului al XX-lea este foarte rol important„prietenia” matematicii cu fizica jucată, acum matematica cooperează eficient cu biologia, genetica, sociologia, economia... În consecință, știința va investiga corespondențele. Structurile matematice vor explora corespondențele dintre interacțiunile elementelor din diferite zone și planuri. Și multe lucruri pe care anterior le-am considerat de la sine înțeles ca afirmații filozofice vor fi aprobate de știință ca cunoștințe concrete.
Acest proces a început deja în secolul al XX-lea. Deci, Kolmogorov a arătat matematic că nu există aleatoriu, dar există o complexitate foarte mare. Geometria fractală a confirmat principiul unității în diversitate și așa mai departe.
- Ce formule au fost numite cele mai frumoase?
- Trebuie să spun imediat că nu a existat nici un scop de a aranja un concurs de formule. În scrisoarea mea către matematicieni, am scris: „Oamenii care vor să înțeleagă ce legi guvernează lumea iau calea găsirii armoniei lumii. Această cale merge spre infinit (căci mișcarea este eternă), dar oamenii încă o urmează, pentru că. există o bucurie deosebită de a întâlni o altă idee sau idee. Din răspunsurile la întrebarea despre formulele frumoase, poate fi posibil să sintetizezi o nouă fațetă a frumuseții lumii. În plus, această lucrare poate fi utilă viitorilor oameni de știință ca o idee a marii armonii a lumii și matematica ca o modalitate de a găsi această frumusețe.
Cu toate acestea, printre formule au existat favorite clare: formula lui Pitagora și formula Euler.
Au fost urmate de formule mai degrabă fizice decât matematice, care în secolul al XX-lea ne-au schimbat înțelegerea lumii - Maxwell, Schrödinger, Einstein.
De asemenea, printre cele mai frumoase sunt formule care sunt încă în discuție, precum, de exemplu, ecuațiile vidului fizic. Au fost menționate și alte formule matematice frumoase.
- De ce crezi că, la cumpăna dintre milenii doi și trei, formula pitagoreică a fost numită una dintre cele mai frumoase?
- Pe vremea lui Pitagora, această formulă era percepută ca o expresie a principiului evoluției cosmice: două principii opuse (două pătrate care se ating ortogonal) dau naștere unui al treilea, egal cu suma lor. Este posibil să dați interpretări geometrice foarte frumoase.
Poate că există un fel de memorie subconștientă, genetică, a acelor vremuri în care conceptul de „matematică” însemna „știință”, iar aritmetica, pictura, muzica, filosofia erau studiate în sinteză.
Raphael Khasminsky a scris în scrisoarea sa că la școală a fost impresionat de frumusețea formulei lui Pitagora, care i-a determinat în mare măsură soarta ca matematician.
Ce poți spune despre formula lui Euler?
- Unii matematicieni au acordat atenție faptului că „toată lumea s-a adunat” în ea, adică. toate cele mai minunate numere matematice, iar unitatea este plină de infinit! Aceasta are o semnificație filosofică profundă.
Nu e de mirare că Euler a descoperit această formulă. Marele matematician a făcut multe pentru a introduce frumusețea în știință, a introdus chiar și conceptul de „grad de frumusețe” în matematică. Mai degrabă, el a introdus acest concept în teoria muzicii, pe care o considera parte din matematică.
Euler credea că simțul estetic poate fi dezvoltat și că acest simț este necesar pentru om de știință.
Mă voi referi la autorități... Grothendieck: „Înțelegerea cutare sau cutare lucru în matematică este pe cât de perfectă este posibil să-i simți frumusețea”.
Poincaré: „Există un sentiment în matematică.” El a comparat sentimentul estetic la matematică cu un filtru, care alege soluția cea mai armonioasă dintr-o multitudine de soluții, care, de regulă, este cea corectă. Frumusețea și armonia sunt sinonime, iar cea mai înaltă manifestare a armoniei este legea mondială a echilibrului. Matematica explorează această lege pe diferite planuri ale ființei și în interior aspecte diferite. Nu e de mirare că fiecare formulă matematică conține un semn egal.
Cred că cea mai înaltă armonie umană este armonia gândirii și simțirii. Poate de aceea Einstein a spus că scriitorul Dostoievski i-a dat mai mult decât matematicianul Gauss.
Am luat formula lui Dostoievski „Frumusețea va salva lumea” ca epigraf la lucrarea despre frumusețea în matematică. Și a fost discutat și de matematicieni.
Și au fost de acord cu această afirmație?
— Matematicienii nu au aprobat sau infirmat această afirmație. Ei l-au clarificat: „Conștientizarea frumuseții va salva lumea”. Acest lucru a adus imediat în minte lucrarea lui Eugene Wigner despre rolul conștiinței în măsurătorile cuantice, scrisă de el în urmă cu aproape cincizeci de ani. În această lucrare, Wigner a arătat că constiinta umana afectează mediu inconjurator, adică că nu primim doar informații din exterior, ci și trimitem gândurile și sentimentele noastre ca răspuns. Această lucrare este încă relevantă și are atât susținătorii, cât și oponenții săi. Sper cu adevărat că în secolul XXI știința va dovedi că conștientizarea frumuseții contribuie la armonizarea lumii noastre.

1. Formula lui Euler. Mulți au văzut în această formulă un simbol al unității tuturor matematicii, deoarece în ea „-1 reprezintă aritmetica, i - algebră, π - geometrie și e - analiză”.

2. Această ecuație simplă arată că valoarea lui 0,999 (și așa mai departe la infinit) este echivalentă cu unu. Mulți oameni nu cred că acest lucru poate fi adevărat, deși există mai multe dovezi bazate pe teoria limitelor. Totuși, egalitatea arată principiul infinitului.


3. Această ecuație a fost formulată de Einstein ca parte a unui pionierat teorie generală relativitatea în 1915. Partea dreaptă a acestei ecuații descrie energia conținută în universul nostru (inclusiv „energia întunecată”). Partea stângă descrie geometria spațiu-timp. Egalitatea reflectă faptul că în teoria generală a relativității a lui Einstein, masa și energia determină geometria și, în același timp, curbura, care este o manifestare a gravitației. Einstein a spus că partea stângă a ecuațiilor gravitației în relativitatea generală, care conține câmpul gravitațional, este frumoasă și parcă sculptată din marmură, în timp ce partea dreaptă a ecuațiilor, care descrie materia, este încă urâtă, parcă făcută din o bucată obișnuită de lemn.


4. O altă teorie dominantă a fizicii - Modelul Standard - descrie interacțiunile electromagnetice, slabe și puternice ale tuturor particule elementare. Unii fizicieni cred că reflectă toate procesele care au loc în Univers, cu excepția materiei întunecate, a energiei întunecate și nu include gravitația. LA model standard se încadrează și bosonul Higgs, evaziv până anul trecut, deși nu toți experții sunt siguri de existența lui.


5. Teorema lui Pitagora este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relația dintre laturi triunghi dreptunghic. Ne amintim de ea de la școală și credem că autorul teoremei este Pitagora. De fapt, această formulă a fost folosită de atunci Egiptul anticîn timpul construcţiei piramidelor.


6. Teorema lui Euler. Această teoremă a pus bazele pentru o nouă ramură a matematicii - topologia. Ecuația stabilește o relație între numărul de vârfuri, muchii și fețe pentru poliedre care sunt echivalente topologic cu o sferă.


7. Teoria specială a relativității descrie mișcarea, legile mecanicii și relațiile spațiu-timp la viteze arbitrare de mișcare, mai mici decât viteza luminii în vid, inclusiv cele apropiate de viteza luminii. Einstein a venit cu o formulă care descrie că timpul și spațiul nu sunt concepte absolute, ci mai degrabă sunt relative în funcție de viteza observatorului. Ecuația arată cum timpul se extinde sau încetinește în funcție de cum și unde se mișcă o persoană.


8. Ecuația a fost obținută în anii 1750 de Euler și Lagrange în timp ce rezolvă problema izocronei. Aceasta este problema determinării curbei de-a lungul căreia o particulă grea lovește un punct fix în interior timp fix, indiferent de punctul de plecare. În termeni generali, dacă sistemul dumneavoastră are simetrie, există o lege corespunzătoare de conservare a simetriei.


9. Ecuația Callan-Symanzika. Este o ecuație diferențială care descrie evoluția funcției de corelație n cu o modificare a scalei de energie la care este definită teoria și include funcțiile beta ale teoriei și dimensiunile anormale. Această ecuație a ajutat la înțelegerea mai bună a fizicii cuantice.


10. Ecuația suprafeței minime. Această egalitate explică formarea bulelor de săpun.


11. Linia dreaptă a lui Euler. Teorema lui Euler a fost demonstrată în 1765. El a descoperit că punctele medii ale laturilor unui triunghi și bazele înălțimii sale se află pe același cerc.


12. În 1928 P.A.M. Dirac a propus propria sa versiune a ecuației Schrödinger – care corespundea teoriei lui A. Einstein. Lumea științifică a fost șocată - Dirac și-a descoperit ecuația pentru electron prin manipulări pur matematice cu obiecte matematice superioare cunoscute sub numele de spinori. Și a fost o senzație - până acum, toate marile descoperiri din fizică trebuie să stea pe o bază solidă de date experimentale. Dar Dirac credea că matematica pură, dacă este suficient de frumoasă, este un criteriu de încredere pentru corectitudinea concluziilor. „Frumusețea ecuațiilor este mai importantă decât consistența lor cu datele experimentale. ... Se pare că dacă te străduiești să obții frumusețea în ecuații și ai o intuiție sănătoasă, atunci ești pe drumul cel bun. Datorită calculelor sale, pozitronul - antielectronul - a fost descoperit și a prezis prezența unui „spin” în electron - rotația unei particule elementare.


13. J. Maxwell a obținut ecuații uimitoare care combinau toate fenomenele de electricitate, magnetism și optică. Remarcabilul fizician german, unul dintre fondatorii fizicii statistice, Ludwig Boltzmann, a spus despre ecuațiile lui Maxwell: „Nu a desenat Dumnezeu aceste litere?”


14. Ecuația Schrödinger.O ecuație care descrie schimbarea în spațiu și timp a unei stări pure, dată de funcția de undă, în sistemele cuantice hamiltoniene. Ea joacă același rol important în mecanica cuantică ca și ecuația celei de-a doua legi a lui Newton din mecanica clasică.

Capul meu se învârte din cauza numeroaselor formule matematice pe care trebuie să le cunoști. Înghesuirea și pătuțurile sunt pentru cei slabi. Dar pentru cei care vor să devină mai puternici la matematică, vă vom oferi câteva sfaturi despre cum să memorați formulele de matematică pentru ca acestea să nu vă dispară din cap înainte de test, examen sau CT.

Înțelegeți formula

Dacă memorezi doar o secvență de variabile, riști să „pierzi” întreaga formulă atunci când uiți un simbol sau semn.

Folosiți tot felul de memorie

Citiți cu voce tare formulele, scrieți pe foaie de câteva ori până vă amintiți. Utilizați toate tipurile de memorie, concentrându-vă pe lider. Memoria vizuală și motrică împreună oferă un efect mai mare. Desigur, potențialul de memorare este diferit pentru fiecare. Există tehnici speciale care ajută .

Iată câteva sfaturi despre cum să vă amintiți formulele

Asigurați-vă că faceți formulele vizuale: încercuiți formula într-un cadru, scrieți-o într-o culoare diferită. Deci, va fi mai ușor de găsit în abstract și de reținut. Mai bine, scrieți formulele într-un caiet separat, structurându-le după subiect. Marcați în ce fel de sarcini este utilă această sau acea formulă, care este particularitatea ei. Obișnuiește-te să adaugi la lista de formule. Un astfel de „jurnal de observare a formulei” vă va ajuta să periați informațiile importante înainte de un test, examen sau CT de matematică.

Mulți școlari fac și asta: atunci când se înmânează ciorne ștampilate, iei și notezi imediat formule importante care îți sunt greu. Cu jumătate de oră înainte de CT, ai memorat vizual aceste formule și apoi le-ai notat rapid. Acest lucru economisește timp. Acest hack de viață este deosebit de bun în trigonometrie. Cu cât știi mai multe formule, cu atât mai bine.

Verifică-te

Trebuie să te întorci constant la materialul învățat pentru a nu-l uita. Încercați metoda „Două cărți”, este potrivită pentru memorarea formulelor de reducere, înmulțire prescurtată, formule trigonometrice. Luați două teancuri de cărți culoare diferita, pe una scrieți partea stângă a formulei, iar pe cealaltă - partea dreaptă. Împărțiți în acest fel toate formulele pe care trebuie să le amintiți, apoi amestecați ambele grămezi. Trageți cardul cu partea stângă a formulei în ordine și selectați continuarea acesteia dintre cele „dreapte” și invers.

Cardurile sunt bune și la geometrie

Pentru a memora formulele de geometrie, obțineți carduri pe subiecte („Formule pentru arie”, „Formule pentru un triunghi”, „Formule pentru un pătrat”, etc.) și scrieți informații în ele după cum urmează.

Puteți fixa formulele într-un caiet separat și îl aveți întotdeauna la îndemână - după cum doriți

Fii pozitiv

Dacă înveți ceva sub presiune, creierul însuși vrea să scape de povara cunoașterii. Gândiți-vă la memorarea formulelor ca exercitiu bun pentru antrenamentul memoriei. Da, iar starea de spirit se ridică când îți amintești formula potrivită pentru soluție.Și, desigur, decideți cum puteți mai multe testeși sarcini de pregătire pentru un test, examen sau CT!

CT-urile la matematică sunt sarcini tipice: cu cât rezolvați mai multe teste, cu atât este mai mare șansa de a întâlni ceva similar cu CT-urile. Este imposibil să te pregătești pentru DT pentru o singură sarcină. Dar când ai rezolvat 100 de probleme, atunci 101 probleme nu vor cauza dificultăți.

Dmitry Sudnik, profesor de matematică în

Dacă materialul v-a fost de folos, nu uitați să puneți „Îmi place” în rețelele noastre de socializare

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru un succes promovarea examenului la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Sarcini de textși teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referinta, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - până la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.