Luați în considerare mișcarea a două puncte de-a lungul unui cerc de lungime sîntr-o singură direcție în timp ce porniți simultan la viteze v 1 șiv 2 (v 1 >v 2) și răspunde la întrebarea: după ce oră va fi primul punct înaintea celui de-al doilea cu exact un cerc? Presupunând că al doilea punct este în repaus și primul se apropie de el cu viteză v 1 –v2., constatăm că condiția problemei va fi îndeplinită atunci când primul punct este egal cu al doilea pentru prima dată. În acest caz, primul punct va parcurge o distanță egală cu lungimea unui cerc, iar formula necesară nu este diferită de formula obținută pentru sarcina de a urmări mișcare:

Deci, dacă două puncte încep simultan să se miște în jurul unui cerc într-o direcție cu viteze v 1 și, respectiv, v 2 (v 1 > v 2), atunci primul punct se apropie de al doilea cu viteză. v 1 —v 2 iar în momentul în care primul punct îl ajunge din urmă pe al doilea pentru prima dată, acesta acoperă o distanță cu un cerc în plus.

Problema 3. De la un punct pistă circulară, a cărui lungime este de 14 km, două mașini au pornit simultan în aceeași direcție. Viteza primei mașini este de 80 km/h, iar la 40 de minute de la start era cu un tur înaintea celei de-a doua mașini. Găsiți viteza celei de-a doua mașini. Dati raspunsul in km/h.

Soluţie. Fie viteza celui de-al doilea automobil să fie x km/h. Deoarece 40 de minute sunt 2/3 dintr-o oră și acesta este timpul în care prima mașină va fi înaintea celei de-a doua cu un tur, vom întocmi ecuația în funcție de condițiile problemei

Unde 160 - 2x = 42, adică x = 59.

Răspuns. 59 km/h

Sarcini de instruire

T3.1. Dintr-un punct de pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 15 km, două mașini au pornit simultan în aceeași direcție. Viteza primei mașini este de 60 km/h, viteza celei de-a doua este de 80 km/h. Câte minute vor trece de la start înainte ca prima mașină să fie cu exact 1 tur înaintea celei de-a doua?

T3.2. Dintr-un punct de pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 10 km, două mașini au pornit simultan în aceeași direcție. Viteza primei mașini este de 90 km/h, iar la 40 de minute de la start era cu un tur înaintea celei de-a doua mașini. Găsiți viteza celei de-a doua mașini. Dati raspunsul in km/h.

T3.3. Două motociclete pornesc simultan în aceeași direcție din două puncte diametral opuse pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 20 km. Câte minute vor dura ca motocicletele să se întâlnească pentru prima dată dacă viteza uneia dintre ele este cu 12 km/h mai mare decât viteza celeilalte?

T3.4. Ceasul cu mâini arată 9 ore 00 minute. În câte minute se va alinia pentru a treia oară mâna minutelor cu cea a orelor?

T3.5. Competițiile de schi se desfășoară pe o pistă circulară. Primul schior parcurge o tură cu 2 minute mai repede decât al doilea și o oră mai târziu este cu exact un tur înaintea celui de-al doilea. Câte minute îi ia celui de-al doilea schior pentru a parcurge o tură?

T3.6. Două corpuri se mișcă într-un cerc într-o direcție. Primul completează cercul cu 3 minute mai repede decât al doilea și îl ajunge din urmă cu cel de-al doilea la fiecare oră și jumătate. Câte minute durează primul corp pentru a completa un cerc?

T3.7. Două puncte se rotesc uniform într-un cerc. Primul face o revoluție cu 5 secunde mai rapid decât al doilea și face cu 2 rotații mai mult pe minut decât al doilea. Câte rotații pe minut face al doilea punct?

T3.8. Din punctul A al pistei circulare încep simultan mișcare uniformă două corpuri în direcții opuse. În momentul întâlnirii lor, primul corp parcurge cu 100 de metri mai mult decât al doilea și revine la punctul A la 9 minute după întâlnire. Aflați lungimea căii în metri dacă al doilea corp revine la punctul A la 16 minute după întâlnire.

Articolul discută sarcini care să-i ajute pe elevi: să dezvolte abilități în rezolvarea problemelor de cuvinte în pregătirea pentru examenul de stat unificat, atunci când învață să rezolve probleme de compunere model matematic situaţii reale în toate paralelele din ciclul primar şi liceal. Prezintă sarcini: despre mișcarea în cerc; pentru a afla lungimea unui obiect în mișcare; pentru a afla viteza medie.

I. Probleme care implică mișcarea în cerc.

Problemele de mișcare circulară s-au dovedit a fi dificile pentru mulți școlari. Ele sunt rezolvate aproape în același mod ca problemele obișnuite de mișcare. Ei folosesc și formula. Dar există un punct căruia am dori să fim atenți.

Sarcina 1. Un biciclist a părăsit punctul A al pistei circulare, iar 30 de minute mai târziu l-a urmat un motociclist. La 10 minute de la plecare, l-a ajuns din urmă pe biciclist pentru prima dată, iar la încă 30 de minute l-a ajuns din urmă pentru a doua oară. Aflați viteza motociclistului dacă lungimea traseului este de 30 km. Dati raspunsul in km/h.

Soluţie. Vitezele participanților vor fi luate ca X km/h și y km/h. Pentru prima dată, un motociclist a depășit un biciclist 10 minute mai târziu, adică la o oră de la start. Până în acest moment, biciclistul a fost pe drum timp de 40 de minute, adică ore. Participanții la mișcare au parcurs aceleași distanțe, adică y = x. Să introducem datele în tabel.

tabelul 1

Motociclistul a trecut apoi pe lângă biciclist a doua oară. Acest lucru s-a întâmplat 30 de minute mai târziu, adică la o oră după prima depășire. Cât de departe au călătorit? Un motociclist a depășit un biciclist. Asta înseamnă că a mai făcut o tură. Acesta este momentul

la care trebuie să fii atent. Un tur este lungimea pistei, este de 30 km. Să creăm un alt tabel.

masa 2

Obținem a doua ecuație: y - x = 30. Avem un sistem de ecuații: În răspuns indicăm viteza motociclistului.

Raspuns: 80 km/h.

Sarcini (in mod independent).

I.1.1. Un biciclist a părăsit punctul „A” al traseului circular, iar 40 de minute mai târziu l-a urmat un motociclist. La 10 minute de la plecare, l-a prins din urmă pe biciclist pentru prima dată, iar la încă 36 de minute l-a ajuns din urmă pentru a doua oară. Aflați viteza motociclistului dacă lungimea traseului este de 36 km. Dati raspunsul in km/h.

I.1. 2. Un biciclist a părăsit punctul „A” al traseului circular, iar 30 de minute mai târziu l-a urmat un motociclist. La 8 minute de la plecare, l-a prins pentru prima dată pe biciclist, iar la încă 12 minute l-a ajuns din urmă pentru a doua oară. Aflați viteza motociclistului dacă lungimea traseului este de 15 km. Dati raspunsul in km/h.

I.1. 3. Un biciclist a părăsit punctul „A” al traseului circular, iar 50 de minute mai târziu l-a urmat un motociclist. La 10 minute de la plecare, l-a ajuns din urmă pe biciclist pentru prima dată, iar la încă 18 minute l-a ajuns din urmă pentru a doua oară. Aflați viteza motociclistului dacă lungimea traseului este de 15 km. Dati raspunsul in km/h.

Doi motocicliști pornesc simultan în aceeași direcție din două puncte diametral opuse pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 20 km. Câte minute vor dura ca motocicliștii să se întâlnească pentru prima dată dacă viteza unuia dintre ei este cu 15 km/h mai mare decât viteza celuilalt?

Soluţie.

Poza 1

Cu o pornire simultană, motociclistul care a plecat de la „A” a făcut o jumătate de tur mai mult decât cel care a plecat de la „B”. Adică 10 km. Când doi motocicliști se deplasează în aceeași direcție, viteza de îndepărtare v = -. Conform condițiilor problemei, v = 15 km/h = km/min = km/min – viteza de îndepărtare. Găsim timpul după care motocicliștii ajung pentru prima dată.

10:= 40(min).

Răspuns: 40 min.

Sarcini (in mod independent).

I.2.1. Doi motocicliști pornesc simultan în aceeași direcție din două puncte diametral opuse pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 27 km. Câte minute vor dura ca motocicliștii să se întâlnească pentru prima dată dacă viteza unuia dintre ei este cu 27 km/h mai mare decât viteza celuilalt?

I.2.2. Doi motocicliști pornesc simultan în aceeași direcție din două puncte diametral opuse pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 6 km. Câte minute vor dura ca motocicliștii să se întâlnească pentru prima dată dacă viteza unuia dintre ei este cu 9 km/h mai mare decât viteza celuilalt?

Dintr-un punct de pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 8 km, două mașini au pornit simultan în aceeași direcție. Viteza primei mașini este de 89 km/h, iar la 16 minute de la start a fost cu un tur înaintea celei de-a doua mașini. Găsiți viteza celei de-a doua mașini. Dati raspunsul in km/h.

Soluţie.

x km/h este viteza celui de-al doilea automobil.

(89 – x) km/h – viteza de îndepărtare.

8 km este lungimea traseului circular.

Ecuația.

(89 – x) = 8,

89 – x = 2 15,

Răspuns: 59 km/h.

Sarcini (in mod independent).

I.3.1. Dintr-un punct de pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 12 km, două mașini au pornit simultan în aceeași direcție. Viteza primei mașini este de 103 km/h, iar la 48 de minute de la start era cu un tur înaintea celei de-a doua mașini. Găsiți viteza celei de-a doua mașini. Dati raspunsul in km/h.

I.3.2. Dintr-un punct de pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 6 km, două mașini au pornit simultan în aceeași direcție. Viteza primei mașini este de 114 km/h, iar la 9 minute de la start era cu un tur înaintea celei de-a doua mașini. Găsiți viteza celei de-a doua mașini. Dati raspunsul in km/h.

I.3.3. Dintr-un punct de pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 20 km, două mașini au pornit simultan în aceeași direcție. Viteza primei mașini este de 105 km/h, iar la 48 de minute de la start era cu un tur înaintea celei de-a doua mașini. Găsiți viteza celei de-a doua mașini. Dati raspunsul in km/h.

I.3.4. Dintr-un punct de pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 9 km, două mașini au pornit simultan în aceeași direcție. Viteza primei mașini este de 93 km/h, iar la 15 minute de la start era cu un tur înaintea celei de-a doua mașini. Găsiți viteza celei de-a doua mașini. Dati raspunsul in km/h.

Ceasul cu mâini arată 8 ore 00 minute. În câte minute se va alinia pentru a patra oară mâna minutelor cu cea a orelor?

Soluţie. Presupunem că nu rezolvăm problema experimental.

Într-o oră, arătața minutelor parcurge un cerc, iar cea a orelor parcurge un cerc. Lăsați viteza lor să fie 1 (tururi pe oră) și Începe - la 8.00. Să găsim timpul necesar pentru ca aceia minutelor să ajungă din urmă cu cea a orelor pentru prima dată.

Minutele se vor mișca mai departe, așa că obținem ecuația

Aceasta înseamnă că, pentru prima dată, săgețile se vor alinia

Lăsați săgețile să se alinieze pentru a doua oară după timpul z. Minutele va parcurge o distanță de 1·z, iar cea a orelor va parcurge un cerc în plus. Să scriem ecuația:

După ce am rezolvat-o, obținem asta.

Deci, prin săgeți se vor alinia pentru a doua oară, după alta - pentru a treia oară și după alta - pentru a patra oară.

Prin urmare, dacă începerea a fost la 8.00, atunci pentru a patra oară mâinile se vor alinia

4h = 60 * 4 min = 240 min.

Răspuns: 240 de minute.

Sarcini (in mod independent).

I.4.1.Ceasul cu mâini arată 4 ore și 45 de minute. În câte minute se va alinia pentru a șaptea oară mâna minutelor cu cea a orelor?

I.4.2 Ceasul cu acționare arată exact ora 2. În câte minute se va alinia pentru a zecea oară acea minutelor cu cea a orelor?

I.4.3. Ceasul cu mâini arată 8 ore și 20 de minute. În câte minute se va alinia pentru a patra oară mâna minutelor cu cea a orelor? Al patrulea

II. Probleme pentru a găsi lungimea unui obiect în mișcare.

Un tren, care se deplasează uniform cu o viteză de 80 km/h, trece pe lângă un stâlp de pe marginea drumului în 36 s. Aflați lungimea trenului în metri.

Soluţie. Deoarece viteza trenului este indicată în ore, vom converti secundele în ore.

1) 36 sec =

2) aflați lungimea trenului în kilometri.

80·

Raspuns: 800m.

Sarcini (in mod independent).

II.2 Un tren, care se deplasează uniform cu o viteză de 60 km/h, trece pe lângă un stâlp de pe marginea drumului în 69 s. Aflați lungimea trenului în metri. Raspuns: 1150m.

II.3. Un tren, care se deplasează uniform cu o viteză de 60 km/h, trece pe lângă o centură forestieră de 200 m lungime în 1 min 21 s. Aflați lungimea trenului în metri. Raspuns: 1150m.

III. Probleme cu viteza medie.

La un examen de matematică, este posibil să întâmpinați o problemă privind găsirea vitezei medii. Trebuie să ne amintim că viteza medie nu este egală cu media aritmetică a vitezelor. Viteza medie se găsește folosind o formulă specială:

Dacă ar fi două secțiuni de potecă, atunci .

Distanța dintre cele două sate este de 18 km. Un biciclist a călătorit dintr-un sat în altul timp de 2 ore și s-a întors pe același drum timp de 3 ore. Care este viteza medie a biciclistului de-a lungul întregului traseu?

Soluţie:

2 ore + 3 ore = 5 ore - petrecute pe întreaga mișcare,

.

Turistul a mers cu viteza de 4 km/h, apoi exact in acelasi timp cu viteza de 5 km/h. Care este viteza medie a turistului de-a lungul întregului traseu?

Lăsați turistul să meargă t h cu o viteză de 4 km/h și t h cu o viteză de 5 km/h. Apoi în 2t ore a parcurs 4t + 5t = 9t (km). Viteza medie a unui turist este = 4,5 (km/h).

Raspuns: 4,5 km/h.

Observăm că viteza medie a turistului s-a dovedit a fi egală cu media aritmetică a celor două viteze date. Puteți verifica că dacă timpul de călătorie pe două secțiuni ale traseului este același, atunci viteza medie de deplasare este egală cu media aritmetică a celor două viteze date. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm aceeași problemă în formă generală.

Turistul a mers cu viteza de km/h, apoi exact in acelasi timp cu viteza de km/h. Care este viteza medie a turistului de-a lungul întregului traseu?

Lăsați turistul să meargă t h cu o viteză de km/h și t h cu o viteză de km/h. Apoi în 2t ore a parcurs t + t = t (km). Viteza medie a unui turist este

= (km/h).

Mașina a parcurs o anumită distanță în sus cu o viteză de 42 km/h, iar în jos cu o viteză de 56 km/h.

.

Viteza medie de deplasare este de 2 s: (km/h).

Raspuns: 48 km/h.

Mașina a parcurs o anumită distanță în sus, cu o viteză de km/h, iar în jos, cu o viteză de km/h.

Care este viteza medie a mașinii de-a lungul întregului traseu?

Fie lungimea secțiunii de cale să fie s km. Apoi mașina a parcurs 2 s km în ambele sensuri, petrecând întreaga călătorie .

Viteza medie de mișcare este de 2 s: (km/h).

Raspuns: km/h.

Luați în considerare o problemă în care este dată viteza medie și trebuie determinată una dintre viteze. Va fi necesară aplicarea ecuației.

Biciclistul mergea în deal cu o viteză de 10 km/h și în jos pe munte cu o altă viteză constantă. După cum a calculat el, viteza medie a fost de 12 km/h.

.

III.2. Jumătate din timpul petrecut pe drum, mașina circula cu o viteză de 60 km/h, iar a doua jumătate a timpului cu o viteză de 46 km/h. Găsiți viteza medie a mașinii de-a lungul întregii călătorii.

III.3 Pe drumul dintr-un sat în altul, mașina a mers ceva timp cu viteza de 60 km/h, apoi exact același timp cu viteza de 40 km/h, apoi exact același timp la. o viteză egală cu viteza medie pe primele două tronsoane ale traseului . Care este viteza medie de deplasare de-a lungul întregului traseu de la un sat la altul?

III.4. Un biciclist se deplasează de acasă la serviciu cu o viteză medie de 10 km/h și înapoi cu o viteză medie de 15 km/h, deoarece drumul coboară ușor. Găsiți viteza medie a biciclistului de la casă la serviciu și înapoi.

III.5. O mașină a călătorit gol din punctul A în punctul B cu o viteză constantă și s-a întors pe același drum cu o sarcină cu o viteză de 60 km/h. Cu ce ​​viteză conducea în gol dacă viteza medie era de 70 km/h?

III.6. Mașina a condus primii 100 km cu o viteză de 50 km/h, în următorii 120 km cu o viteză de 90 km/h, iar apoi 120 km cu o viteză de 100 km/h. Găsiți viteza medie a mașinii de-a lungul întregii călătorii.

III.7. Mașina a condus primii 100 km cu o viteză de 50 km/h, următorii 140 km cu o viteză de 80 km/h și apoi 150 km cu o viteză de 120 km/h. Găsiți viteza medie a mașinii de-a lungul întregii călătorii.

III.8. Mașina a condus primii 150 km cu o viteză de 50 km/h, în următorii 130 km cu o viteză de 60 km/h, iar apoi 120 km cu o viteză de 80 km/h. Găsiți viteza medie a mașinii de-a lungul întregii călătorii.

III. 9. Mașina a condus primii 140 km cu o viteză de 70 km/h, următorii 120 km cu o viteză de 80 km/h și apoi 180 km cu o viteză de 120 km/h. Găsiți viteza medie a mașinii de-a lungul întregii călătorii.

1. Două mașini au plecat de la punctul A la punctul B în același timp. Primul a condus cu o viteză constantă pe tot drumul. A doua mașină a parcurs prima jumătate a călătoriei cu o viteză mai mică decât viteza primei cu 15 km/h, iar a doua jumătate a călătoriei cu o viteză de 90 km/h, în urma căreia a ajuns la punctul B concomitent cu primul automobil. Aflați viteza primei mașini dacă se știe că este mai mare de 54 km/h. Dati raspunsul in km/h.

2. Un tren, care se deplasează uniform cu o viteză de 60 km/h, trece pe lângă o centură forestieră, a cărei lungime este de 400 de metri, în 1 minut. Aflați lungimea trenului în metri.

3. Distanța dintre orașele A și B este de 435 km. Prima mașină a mers din orașul A în orașul B cu o viteză de 60 km/h, iar după o oră a doua mașină s-a deplasat către el cu o viteză de 65 km/h. La ce distanță de orașul A se vor întâlni mașinile? Dați răspunsul în kilometri.

4. Un tren de marfă și un tren de călători circulă de-a lungul a două șine paralele de cale ferată în aceeași direcție, cu viteze de 40 km/h, respectiv 100 km/h. Lungimea unui tren de marfă este de 750 m Aflați lungimea unui tren de călători dacă timpul necesar pentru a trece trenul de marfă este de 1 minut.

5. Un tren, care se deplasează uniform cu o viteză de 63 km/h, trece pe lângă un pieton care merge în aceeași direcție paralel cu șinele cu viteza de 3 km/h în 57 de secunde. Aflați lungimea trenului în metri.

6. Rezolvarea problemelor de mișcare.

7. Drumul dintre punctele A și B constă în urcare și coborâre, iar lungimea sa este de 8 km. Pietonul a mers de la A la B în 2 ore și 45 de minute. Timpul necesar coborârii a fost de 1 oră și 15 minute. Cu ce ​​viteză a coborât pietonul dacă viteza lui în urcare este cu 2 km/h mai mică decât viteza în coborâre? Exprimați răspunsul în km/h.

8. Mașina s-a deplasat de la oraș la sat în 3 ore. Dacă și-ar mări viteza cu 25 km/h, ar petrece cu 1 oră mai puțin pe această călătorie. Câți kilometri este distanța de la oraș la sat?

http://youtu.be/x64JkS0XcrU

9. Competițiile de schi se desfășoară pe o pistă circulară. Primul schior parcurge o tură cu 2 minute mai repede decât al doilea și o oră mai târziu este cu exact un tur înaintea celui de-al doilea. Câte minute îi ia celui de-al doilea schior pentru a parcurge o tură?

10. Doi motocicliști pornesc simultan în aceeași direcție din două puncte diametral opuse pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 6 km. Câte minute vor dura ca motocicliștii să se întâlnească pentru prima dată dacă viteza unuia dintre ei este cu 18 km/h mai mare decât viteza celuilalt?

Probleme de mișcare de la Anna Denisova. Site-ul web http://easy-physics.ru/

11. Prelegere video. 11 probleme de mișcare.

1. Un biciclist parcurge cu 500 m mai putin in fiecare minut decat un motociclist, asa ca petrece cu 2 ore mai mult intr-o calatorie de 120 km. Găsiți vitezele biciclistului și motociclistului.

2. Un motociclist s-a oprit pentru a alimenta 12 minute. După aceea, mărind viteza cu 15 km/h, a recuperat timpul pierdut la o distanță de 60 km. Cât de repede se mișca după ce s-a oprit?

3. Doi motocicliști pornesc simultan unul spre celălalt din punctele A și B, distanța dintre care este de 600 km. În timp ce primul parcurge 250 km, al doilea reușește să parcurgă 200 km. Aflați viteza motocicliștilor dacă primul sosește în B cu trei ore mai devreme decât al doilea în A.

4. Avionul zbura cu viteza de 220 km/h. Când avea de zburat cu 385 km mai puțin decât parcursese deja, avionul și-a mărit viteza la 330 km/h. Viteza medie a aeronavei de-a lungul întregului traseu s-a dovedit a fi de 250 km/h. Cât de departe a zburat avionul înainte de a crește viteza?

5. De către calea ferata distanța de la A la B este de 88 km pe apă crește la 108 km. Trenul din A pleacă cu 1 oră mai târziu decât vasul și ajunge la B cu 15 minute mai devreme. Aflați viteza medie a trenului, dacă se știe că este cu 40 km/h mai mare decât viteza medie a navei.

6. Doi bicicliști au părăsit două locuri la 270 km unul de celălalt și se deplasează unul spre celălalt. Al doilea parcurge cu 1,5 km mai puțin pe oră decât primul și îl întâlnește după tot atâtea ore cât primul parcurge în kilometri pe oră. Determinați viteza fiecărui biciclist.

7. Două trenuri pleacă din punctele A și B unul spre celălalt. Dacă trenul din A pleacă cu două ore mai devreme decât trenul din B, atunci se vor întâlni la jumătatea drumului. Dacă pleacă în același timp, atunci după două ore distanța dintre ei va fi de 0,25 din distanța dintre punctele A și B. Câte ore durează fiecare tren pentru a parcurge întreaga călătorie?

8. Trenul a trecut pe lângă un bărbat care stătea nemișcat pe peron în 6 s, și pe lângă un peron de 150 m lungime în 15 s. Aflați viteza trenului și lungimea acestuia.

9. Un tren de 1 km lungime a trecut de stâlp în 1 minut, iar prin tunel (de la intrarea în locomotivă până la ieșirea din ultimul vagon) cu aceeași viteză în 3 minute. Care este lungimea tunelului (în km)?

10. Trenurile de marfă și cele rapide au plecat simultan din stațiile A și B, distanța dintre care este de 75 km, și s-au întâlnit o jumătate de oră mai târziu. Trenul de marfă a ajuns la B cu 25 de minute mai târziu decât trenul rapid de la A. Care este viteza fiecărui tren?

11. Digurile A și B sunt situate pe un râu a cărui viteză curentă în acest tronson este de 4 km/h. O barcă circulă de la A la B și înapoi fără a se opri cu o viteză medie de 6 km/h. Găsiți propria viteză a bărcii.

12. Prelegere video. 8 probleme pentru deplasarea în cerc

12. Două puncte se deplasează uniform și în aceeași direcție de-a lungul unui cerc de 60 m lungime. Unul dintre ele face o revoluție completă cu 5 secunde mai rapid decât celălalt. În acest caz, punctele coincid de fiecare dată după 1 minut. Găsiți vitezele punctelor.

13. Cât timp trece între două coincidențe consecutive ale orelor și minutelor de pe cadranul unui ceas?

14. Doi alergători pleacă dintr-un punct de pe pista de inel al stadionului, iar al treilea - dintr-un punct diametral opus, în același timp cu ei, în aceeași direcție. După trei ture, al treilea alergător l-a prins din urmă pe al doilea. Două minute și jumătate mai târziu, primul alergător l-a prins din urmă pe al treilea. Câte ture pe minut parcurge al doilea alergător dacă primul îl depășește o dată la 6 minute?

15. Trei concurenți pornesc simultan dintr-un punct de pe o pistă în formă de cerc și circulă în aceeași direcție la viteze constante. Primul ciclist l-a depășit pentru prima oară pe al doilea, făcând al cincilea tur, într-un punct diametral opus startului, iar după o jumătate de oră l-a depășit pentru a doua oară pe al treilea, fără să socotească startul. Al doilea călăreț l-a prins din urmă pe al treilea pentru prima dată la trei ore după start. Câte ture pe oră face primul șofer dacă al doilea parcurge turul în cel puțin 20 de minute?

16. Doi motocicliști pleacă simultan în aceeași direcție din două puncte diametral opuse pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 14 km. Câte minute vor dura ca motocicliștii să se întâlnească pentru prima dată dacă viteza unuia dintre ei este cu 21 km/h mai mare decât viteza celuilalt?

17. Un biciclist a părăsit punctul A al traseului circular, iar 30 de minute mai târziu l-a urmat un motociclist. In 10 minute. după plecare, l-a prins pentru prima oară pe biciclist, iar 30 de minute mai târziu l-a ajuns din urmă pentru a doua oară. Aflați viteza motociclistului dacă lungimea traseului este de 30 km. Dati raspunsul in km/h.

18. Un ceas cu mâini arată exact ora 3. În câte minute se va alinia acul minutelor cu cea a orelor pentru a noua oară?

18.1 Cursa cu doi călăreți. Ei vor trebui să conducă 60 de ture de-a lungul unei piste de inel lung de 3 km. Ambii piloti au plecat in acelasi timp, iar primul a ajuns la linia de sosire cu 10 minute mai devreme decat al doilea. Care a fost viteza medie a celui de-al doilea șofer, dacă se știe că primul șofer l-a depășit pe al doilea șofer pentru prima dată în 15 minute?

13. Prelegere video. 6 probleme pentru deplasarea pe apă.

19. Orașele A și B sunt situate pe malul unui râu, cu orașul B în aval. La ora 9 dimineața o plută pleacă din orașul A către orașul B. În același moment, o barcă pleacă de la B la A și se întâlnește cu pluta 5 ore mai târziu. După ce a ajuns în orașul A, barca se întoarce și navighează spre B în același timp cu pluta. Barca și pluta vor avea timp să ajungă în orașul B până la ora nouă seara aceleiași zile?

20. O barcă cu motor a plecat din punctul A în punctul B împotriva curgerii râului. Pe drum, motorul s-a stricat și, în timp ce a fost reparat în 20 de minute, barca a fost dusă pe râu. Stabiliți cât de mult mai târziu a ajuns barca în punctul B, dacă călătoria de la A la B durează de obicei o dată și jumătate mai mult decât de la B la A?

21. Orașele A și B sunt situate pe malul unui râu, cu orașul A în aval. Din aceste orașe pleacă două bărci în același timp una spre cealaltă și se întâlnesc la mijlocul dintre orașe. După întâlnire, bărcile își continuă călătoria și, ajungând în orașele A și, respectiv, B, se întorc și se reîntâlnesc la o distanță de 20 km de locul primei întâlniri. Dacă bărcile au înotat inițial împotriva curentului, atunci barca care a plecat din A ar ajunge din urmă cu barca care a părăsit B, la 150 km de B. Aflați distanța dintre orașe.

22. Două nave cu aburi, a căror viteză este aceeași în apă liniștită, pleacă de pe două chei: primul din A în aval, al doilea din B în amonte. Fiecare navă rămâne la destinație timp de 45 de minute și se întoarce. Dacă navele cu aburi pleacă simultan din punctele lor de plecare, atunci se întâlnesc în punctul K, care este de două ori mai aproape de A decât de B. Dacă prima navă cu aburi pleacă din A cu 1 oră mai târziu decât cea de-a doua pleacă din B, atunci la întoarcere. navele cu aburi se întâlnesc la 20 km de A. Dacă primul vapor cu aburi pleacă din A cu 30 de minute mai devreme decât al doilea din B, atunci la întoarcere se întâlnesc la 5 km deasupra K. Aflați viteza râului și timpul necesar celui de-al doilea vapor cu aburi. pentru a ajunge de la A la TO.

23. O plută a pornit din punctul A în punctul B, situat în aval de râu. În același timp, o barcă a ieșit în întâmpinarea lui din punctul B. După ce a întâlnit pluta, barca sa întors imediat și a plecat înapoi. Cât de departe va parcurge pluta de la A la B până când barca se întoarce în punctul B, dacă viteza bărcii în apă nemișcată este de patru ori viteza curentului?

24. Digurile A și B sunt situate pe un râu a cărui viteză curentă în acest tronson este de 4 km/h. O barcă circulă de la A la B și înapoi cu o viteză medie de 6 km/h. Găsiți propria viteză a bărcii.

Prelecția video „Rezolvarea problemelor de text privind mișcarea într-un cerc și apă” discută toate tipurile de probleme privind mișcarea într-un cerc și apă din sarcinile Open Bank of Unified State Examination în matematică.

Puteți face cunoștință cu conținutul prelegerii video și puteți urmări un fragment din acesta.

Probleme de mișcare circulară:

1. Doi motocicliști pleacă simultan în aceeași direcție din două puncte diametral opuse pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 7 km. Câte minute vor dura ca motocicliștii să se întâlnească pentru prima dată dacă viteza unuia dintre ei este cu 5 km/h mai mare decât viteza celuilalt?

2. Un biciclist a părăsit punctul A al pistei circulare, iar 20 de minute mai târziu l-a urmat un motociclist. La 5 minute de la plecare l-a prins pentru prima dată pe biciclist, iar la încă 46 de minute l-a prins pentru a doua oară. Aflați viteza motociclistului dacă lungimea traseului este de 46 km. Dati raspunsul in km/h.

3. Ceasul cu mâini arată 6 ore și 45 de minute. În câte minute se va alinia pentru a cincea oară acul minutelor cu cea a orelor?

4. Doi piloți concurează. Ei vor trebui să conducă 22 de ture de-a lungul unei piste de inel lung de 3 km. Ambii piloti au plecat in acelasi timp, iar primul a ajuns la linia de sosire cu 11 minute mai devreme decat al doilea. Care a fost viteza medie a celui de-al doilea șofer, dacă se știe că primul șofer l-a depășit pe al doilea șofer pentru prima dată după 10 minute?

Sarcini pentru deplasarea pe apă:

5. Barca cu motor a parcurs 72 km în amonte de râu și s-a întors la punctul de plecare, petrecând cu 6 ore mai puțin pe drumul de întoarcere. Găsiți viteza bărcii în apă liniștită dacă viteza actuală este de 3 km/h. Dati raspunsul in km/h.

6. Distanța dintre digurile A și B este de 72 km. O plută a pornit de la A la B de-a lungul râului, iar 3 ore mai târziu a pornit după ea un iaht care, ajuns în punctul B, s-a întors imediat înapoi și s-a întors la A. Până la acest moment, pluta parcurgea 39 km. Găsiți viteza iahtului în apă plată dacă viteza râului este de 3 km/h. Dati raspunsul in km/h.

7. Barca parcurge distanta de la debarcaderul M la debarcaderul N de-a lungul raului intr-o zi, neatingand 40 km de debarcaderul N, ambarcatiunea s-a intors la debarcaderul M, petrecand 9 ore in intreaga calatorie viteza ambarcațiunii în apă plată, dacă viteza actuală este de 2 km/h.

8. Din punctul A, o barcă și o plută au navigat simultan pe râu. După ce a depășit 40/3 km, barca s-a întors înapoi și, după ce a depășit 28/3 km, a întâlnit pluta. Trebuie să găsiți propria viteză a bărcii dacă știți că viteza actuală este de 4 km/h.

9. Barca cu motor a traversat lacul și apoi a coborât râul care curgea din lac. Poteca de-a lungul lacului este cu 15% mai mică decât poteca de-a lungul râului. Timpul necesar unei ambarcațiuni pentru a se deplasa pe un lac este cu 2% mai mare decât pe un râu. Cu ce ​​procent este viteza curentului mai mică decât viteza propriei bărci?

10. Primăvara, o barcă se mișcă împotriva curgerii râului de 1 2/3 ori mai încet decât cu debitul. Vara, curentul devine cu 1 km/h mai lent, așa că vara barca merge împotriva curentului fluviului de 1 1/2 ori mai lent decât în ​​cazul curentului. Aflați viteza curentului în primăvară (în km/h).

Fragment de prelegere video:

Tipul lecției: lecție repetă și generalizare.

Obiectivele lecției:

• educational
– repetarea metodelor de rezolvare tipuri variate probleme de cuvinte pentru mișcare
• în curs de dezvoltare
– dezvoltarea vorbirii elevilor prin îmbogățirea și complicarea vocabularului acestuia, dezvoltarea gândirii elevilor prin capacitatea de a analiza, generaliza și sistematiza materialul
• educational
– formarea unei atitudini umane în rândul elevilor față de participanți proces educațional

Echipament pentru lecție:

• tabla interactiva;
• plicuri cu sarcini, carduri de control tematice, carduri de consultant.

Structura lecției.

	Etapele principale ale lecției	Sarcini de rezolvat în această etapă
	Organizarea timpului, partea introductivă	crearea unei atmosfere prietenoase în sala de clasă pregătesc elevii pentru muncă productivă identificarea absenților verificați pregătirea elevilor pentru lecție
	Pregătirea elevilor pentru munca activă (repetiție)	testați cunoștințele elevilor cu privire la subiectul: „Rezolvarea unor probleme de cuvinte de diferite tipuri despre mișcare” implementarea dezvoltării vorbirii și gândirii elevilor care răspund dezvoltarea gândirii analitice și critice a elevilor prin comentarea răspunsurilor colegilor de clasă organizează activități educaționale ale întregii clase în timpul răspunsului elevilor chemați la consiliu
	Etapa de generalizare si sistematizare a materialului studiat (lucrare in grup)	testarea capacității elevilor de a rezolva probleme de diferite tipuri de mișcare, pentru a forma cunoștințe în rândul studenților, reflectate sub formă de idei și teorii, trecerea de la idei particulare la generalizări mai largi realizează formarea relațiilor morale ale elevilor față de participanții la procesul educațional (în timpul lucrului în grup)
	Verificarea lucrării, efectuarea ajustărilor (dacă este necesar)	verificați execuția datelor pentru grupuri de sarcini (corectitudinea acestora) continua să dezvolte la elevi capacitatea de a analiza, de a evidenția principalul, de a construi analogii, de a generaliza și de a sistematiza dezvoltarea abilităților de discuție
	Rezumând lecția. Analiză teme pentru acasă	informați elevii despre teme, explicați cum să le finalizați motivați nevoia și obligația de a face temele rezumă lecția

Forme de organizare activitate cognitivă elevi:

• forma frontală a activității cognitive - în stadiile II, IY, Y.
• forma de grup a activitatii cognitive – in stadiul III.

Metode de predare: verbal, vizual, practic, explicativ - ilustrativ, reproductiv, parțial - de căutare, analitic, comparativ, generalizant, traductiv.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric, partea introductivă.

Profesorul anunță tema lecției, obiectivele lecției și punctele principale ale lecției. Verifică pregătirea clasei pentru muncă.

II. Pregătirea elevilor pentru munca activă (repetiție)

Răspunde la întrebările.

1. Ce fel de mișcare se numește uniformă (mișcare cu viteză constantă).
2. Care este formula pentru calea cu mișcare uniformă ( S = Vt).
3. Din această formulă, exprimați viteza și timpul.
4. Specificați unitățile de măsură.
5. Conversia unităților de viteză

III. Etapa de generalizare si sistematizare a materialului studiat (lucrare in grup)

Întreaga clasă este împărțită în grupuri (5-6 persoane per grup). Este indicat să aveți elevi în aceeași grupă diferite niveluri pregătire. Dintre aceștia, este numit un lider de grup (cel mai puternic elev), care va conduce munca grupului.

Toate grupurile primesc plicuri cu teme (sunt aceleași pentru toate grupurile), carduri de consultant (pentru elevii slabi) și fișe de control tematice. În fișele tematice de control, conducătorul grupei acordă note fiecărui elev din grupă pentru fiecare sarcină și notează dificultățile pe care elevii le-au întâmpinat la îndeplinirea unor sarcini specifice.

Card cu sarcini pentru fiecare grup.

№ 5.

Nr. 7. Barca cu motor a parcurs 112 km în amonte de râu și s-a întors la punctul de plecare, petrecând cu 6 ore mai puțin pe drumul de întoarcere. Aflați viteza curentului dacă viteza bărcii în apă nemișcată este de 11 km/h. Dati raspunsul in km/h.

Nr. 8. Nava cu motor parcurge râul până la destinație 513 km și, după oprire, se întoarce la punctul de plecare. Găsiți viteza navei în apă nemișcată dacă viteza actuală este de 4 km/h, șederea durează 8 ore, iar nava se întoarce la punctul de plecare la 54 de ore de la plecare. Dati raspunsul in km/h.

Nr. 9. De la debarcaderul A la debarcaderul B, a carui distanta este de 168 km, prima nava cu motor a pornit cu viteza constanta, iar dupa 2 ore, a doua a pornit dupa ea, cu viteza de 2 km/ h mai mare. Aflați viteza primei nave dacă ambele nave au ajuns în punctul B în același timp. Dati raspunsul in km/h.

Exemplu de card de control tematic.

Clasa ________ Numele complet al elevului___________________________________
Job Nr.		cometariu

Consultanti carduri.

Card nr. 1 (consultant)

1. Conducerea pe un drum drept

La rezolvarea problemelor care implică mișcare uniformă, apar adesea două situații. Dacă distanța inițială dintre obiecte este S, iar vitezele obiectelor sunt V1 și V2, atunci: a) când obiectele se deplasează unul către celălalt, timpul după care se vor întâlni este egal cu . b) când obiectele se mișcă într-o direcție, timpul după care primul obiect îl va atinge pe al doilea este egal cu , ( V 2 > V 1)

Exemplul 1. Trenul, care a parcurs 450 km, a fost oprit din cauza zăpezii. O jumătate de oră mai târziu poteca a fost degajată, iar mecanicul, mărind viteza trenului cu 15 km/h, l-a adus fără întârziere în gară. Aflați viteza inițială a trenului dacă distanța parcursă de acesta până la oprire a fost de 75% din întreaga distanță. Să găsim întreaga cale: 450: 0,75 = 600 (km) Să aflăm lungimea celei de-a doua secțiuni: 600 – 450 =150 (km) Să creăm și să rezolvăm ecuația: X= -75 nu se potrivește condițiilor problemei, unde x > 0. Răspuns: viteza inițială a trenului este de 60 km/h.

Card nr. 2 (consultant)

2. Conducerea pe un drum închis

Dacă lungimea unui drum închis este S, și vitezele obiectelor V 1 și V 2, atunci: a) când obiectele se deplasează în direcții diferite, timpul dintre întâlnirile lor se calculează prin formula; b) când obiectele se mișcă într-o direcție, timpul dintre întâlnirile lor se calculează prin formula

Exemplul 2. La o competiție pe o pistă de circuit, un schior parcurge o tură cu 2 minute mai repede decât celălalt și o oră mai târziu îl bate exact cu o tură. Cât timp durează fiecărui schior să parcurgă cercul? Lăsa S m – lungimea traseului inel și X m/min și y m/min – vitezele primului și respectiv al doilea schior ( x> y) . Apoi S x min și S/a min – timpul necesar primului și, respectiv, al doilea schior pentru a finaliza turul. Din prima condiție obținem ecuația. Deoarece viteza de îndepărtare a primului schior de al doilea schior este ( X- y) m/min, apoi din a doua condiție avem ecuația . Să rezolvăm sistemul de ecuații. Să facem un înlocuitor S/x= aȘi S/y= b, atunci sistemul de ecuații va lua forma: . Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 60 A(a+ 2) > 0. 60(a+ 2) – 60a = A(a+ 2)A 2 + 2A- 120 = 0. Ecuație pătratică are o rădăcină pozitivă a = 10 atunci b = 12. Aceasta înseamnă că primul schior completează cercul în 10 minute, iar al doilea schior în 12 minute. Răspuns: 10 min; 12 min.

Card nr. 3 (consultant)

3. Mișcarea de-a lungul râului

Dacă un obiect se mișcă cu debitul unui râu, atunci viteza acestuia este egală cu Vflow. =Vob. + Vcurent Dacă un obiect se mișcă împotriva curgerii unui râu, atunci viteza acestuia este egală cu Vacontra curentului = V inc. – Vcurent Viteza proprie a obiectului (viteza în apă plată) este egală cu Viteza curgerii râului este Viteza plutei este egală cu viteza curgerii râului.

Exemplul 3. Barca a mers 50 km în aval de râu, iar apoi a parcurs 36 km în direcția opusă, ceea ce a durat cu 30 de minute mai mult decât de-a lungul râului. Care este viteza propriei ambarcațiuni dacă viteza râului este de 4 km/h? Să fie viteza proprie a bărcii X km/h, atunci viteza sa de-a lungul râului este ( x+ 4) km/h, și împotriva curgerii râului ( X- 4) km/h. Timpul necesar ca barca să se deplaseze de-a lungul debitului râului este de ore, iar împotriva curgerii râului este de ore Deoarece 30 de minute = 1/2 oră, atunci în funcție de condițiile problemei vom crea ecuația =. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2( x+ 4)(X- 4) >0 . Primim 72( x+ 4) -100(X- 4) = (x+ 4)(X- 4) X 2 + 28X- 704 = 0 x 1 =16, x 2 = - 44 (exclus, deoarece x> 0). Deci, viteza proprie a ambarcațiunii este de 16 km/h. Raspuns: 16 km/h.

IV. Etapa de analiză de rezolvare a problemelor.

Sunt analizate problemele care au cauzat dificultăți elevilor.

Nr. 1. Din două orașe, distanța dintre care este de 480 km, două mașini au condus simultan una spre alta. După câte ore se vor întâlni mașinile dacă viteza lor este de 75 km/h și 85 km/h?

1. 75 + 85 = 160 (km/h) – viteza de apropiere.
2. 480: 160 = 3 (h).

Răspuns: mașinile se vor întâlni în 3 ore.

Nr. 2. Din orașele A și B, distanța dintre care este de 330 km, două mașini au plecat simultan una spre alta și s-au întâlnit după 3 ore la o distanță de 180 km de orașul B. Aflați viteza mașinii care a părăsit orașul A. . Dati raspunsul in km/h.

1. (330 – 180) : 3 = 50 (km/h)

Răspuns: viteza unei mașini care părăsește orașul A este de 50 km/h.

Nr. 3. Un șofer și un biciclist au plecat în același timp din punctul A în punctul B, distanța dintre care este de 50 km. Se știe că un șofer parcurge cu 65 km mai mult pe oră decât un biciclist. Determinați viteza biciclistului dacă se știe că acesta a ajuns în punctul B cu 4 ore și 20 de minute mai târziu decât șoferul. Dati raspunsul in km/h.

Să facem o masă.

Să creăm o ecuație, ținând cont de faptul că 4 ore 20 de minute =

,

Evident, x = -75 nu se potrivește condițiilor problemei.

Răspuns: Viteza biciclistului este de 10 km/h.

Nr. 4. Doi motocicliști pleacă simultan în aceeași direcție din două puncte diametral opuse pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 14 km. Câte minute vor dura ca motocicliștii să se întâlnească pentru prima dată dacă viteza unuia dintre ei este cu 21 km/h mai mare decât viteza celuilalt?

Să facem o masă.

Să creăm o ecuație.

, unde 1/3 de oră = 20 de minute.

Răspuns: în 20 de minute motocicliștii se vor pe lângă celălalt pentru prima dată.

Nr. 5. Dintr-un punct de pe o pistă circulară, a cărei lungime este de 12 km, două mașini au pornit simultan în aceeași direcție. Viteza primei mașini este de 101 km/h, iar la 20 de minute de la start era cu un tur înaintea celei de-a doua mașini. Găsiți viteza celei de-a doua mașini. Dati raspunsul in km/h.

Să facem o masă.

Să creăm o ecuație.

Răspuns: viteza celui de-al doilea automobil este de 65 km/h.

Nr. 6. Un biciclist a părăsit punctul A al pistei circulare, iar 40 de minute mai târziu l-a urmat un motociclist. La 8 minute de la plecare, l-a prins din urmă pe biciclist pentru prima dată, iar la încă 36 de minute l-a ajuns din urmă pentru a doua oară. Aflați viteza motociclistului dacă lungimea traseului este de 30 km. Dati raspunsul in km/h.

Să facem o masă.

	Mișcare înainte de prima întâlnire
ciclist