Geometrija kao nauka nastala je godine Drevni Egipat i stigao visoki nivo razvoj. Čuveni filozof Platon je osnovao Akademiju, gdje je velika pažnja posvećena sistematizaciji postojećeg znanja. Konus kao jedna od geometrijskih figura prvi put se spominje u Euklidovoj čuvenoj raspravi "Elementi". Euklid je bio upoznat sa Platonovim delima. Danas malo ljudi zna da je riječ "konus" prevedena iz grčki jezik stoji za " Pine cone„Grčki matematičar Euklid, koji je živio u Aleksandriji, s pravom se smatra osnivačem geometrijske algebre. Stari Grci ne samo da su postali nasljednici znanja Egipćana, već su i značajno proširili teoriju.
Istorija definicije konusa
Geometrija kao nauka nastala je iz praktičnih zahteva konstrukcije i posmatranja prirode. Postepeno, eksperimentalno znanje je generalizirano, a svojstva nekih tijela dokazana su kroz druga. Stari Grci su uveli koncept aksioma i dokaza. Aksiom je izjava dobivena praktičnim sredstvima i ne zahtijeva dokaz.
Euklid je u svojoj knjizi dao definiciju konusa kao figure koja se dobija rotacijom pravougaonog trougla oko jedne od nogu. On također posjeduje glavnu teoremu koja određuje zapreminu konusa. Ovu teoremu je dokazao starogrčki matematičar Eudoxus iz Knida.
Još jedan matematičar antičke Grčke, Apolonije iz Perge, koji je bio Euklidov učenik, razvio je i izložio teoriju konusnih površina u svojim knjigama. On posjeduje definiciju stožaste površine i sekantu na nju. Školarci danas uče euklidsku geometriju, koja je sačuvala osnovne teoreme i definicije iz antičkih vremena.
Osnovne definicije
Pravi kružni konus nastaje rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne noge. Kao što možete vidjeti, koncept konusa se nije promijenio od vremena Euklida.
Hipotenuza AS pravokutnog trougla AOS kada se okrene oko kraka OS formira se bočna površina konus, stoga se naziva generator. Noga OS trokuta se istovremeno okreće u visinu konusa i njegovu os. Tačka S postaje vrh konusa. Nog AO, nakon što je opisao krug (bazu), pretvorio se u polumjer konusa.
Ako povučete ravan odozgo kroz vrh i os konusa, možete vidjeti da je rezultirajući aksijalni presjek jednakokraki trokut, u kojem je os visina trokuta.
Gdje C- obim baze, l— dužina konusne generatrise, R— poluprečnik osnove.
Formula za izračunavanje zapremine konusa
Za izračunavanje volumena stošca koristite sljedeću formulu:
gdje je S površina osnove stošca. Budući da je baza krug, njegova površina se izračunava na sljedeći način:
Ovo implicira:
gdje je V zapremina konusa;
n je broj jednak 3,14;
R je polumjer baze koja odgovara segmentu AO na slici 1;
H je visina jednaka segmentu OS.
Krnji konus, volumen
Postoji ravan kružni konus. Ako odsiječete gornji dio ravninom okomitom na visinu, dobit ćete skraćeni konus. Njegove dvije baze imaju oblik kruga poluprečnika R1 i R2.
Ako se pravi konus formira rotacijom pravokutnog trokuta, tada se krnji konus formira rotacijom pravokutnog trapeza oko ravne strane.
Volumen skraćenog konusa izračunava se pomoću sljedeće formule:
V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.
Konus i njegov presek ravninom
Drevni grčki matematičar Apolonije iz Perge napisao je teorijsko djelo Konični preseci. Zahvaljujući njegovom radu u geometriji, pojavile su se definicije krivih: parabola, elipsa, hiperbola. Pogledajmo kakve veze konus ima s tim.
Uzmimo ravan kružni konus. Ako je ravnina siječe okomito na osu, tada se u presjeku formira krug. Kada sekansa siječe konus pod uglom u odnosu na osu, u presjeku se dobija elipsa.
Sečna ravan okomita na osnovu i paralelna sa osi konusa formira hiperbolu na površini. Ravan koja seče konus pod uglom u odnosu na osnovu i paralelna sa tangentom konusa stvara krivulju na površini, koja se naziva parabola.
Rješenje problema
Čak i jednostavan zadatak kako napraviti kantu određene veličine zahtijeva znanje. Na primjer, morate izračunati dimenzije kante tako da ima zapreminu od 10 litara.
V=10 l=10 dm 3 ;
Razvoj konusa ima oblik koji je shematski prikazan na slici 3.
L je generatriksa konusa.
Da biste saznali površinu kante, koja se izračunava pomoću sljedeće formule:
S=n*(R 1 +R 2)*L,
potrebno je izračunati generator. Nalazimo ga iz zapreminske vrijednosti V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.
Otuda H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).
Skraćeni konus se formira rotacijom pravougaonog trapeza, u kojem je stranica generatriksa konusa.
L 2 =(R 2- R 1) 2 +H 2.
Sada imamo sve podatke da napravimo crtež kante.
Zašto su vatrogasne kante konusnog oblika?
Ko se ikada zapitao zašto vatrogasne kante imaju naizgled čudan konusni oblik? I ovo nije samo tako. Ispostavilo se da konusna kanta pri gašenju požara ima mnogo prednosti u odnosu na običnu, u obliku krnjeg konusa.
Prvo, kako se ispostavilo, vatrogasna kanta se brže puni vodom i ne prolijeva se kada se nosi. Konus veće zapremine od obične kante omogućava vam da prebacujete više vode odjednom.
Drugo, voda iz nje može se baciti na veću udaljenost nego iz obične kante.
Treće, ako konusna kanta ispadne iz vaših ruku i padne u vatru, tada se sva voda izlije na izvor vatre.
Svi ovi faktori štede vrijeme – glavni faktor pri gašenju požara.
Praktična upotreba
Školarci često imaju pitanja zašto bi trebalo da uče kako da izračunaju zapreminu različitih geometrijska tijela, uključujući konus.
A dizajneri se stalno suočavaju s potrebom izračunavanja zapremine konusnih dijelova strojnih dijelova. To su vrhovi za bušilice, dijelovi strugova i glodalica. Konusni oblik će omogućiti bušilicama da lako uđu u materijal bez potrebe za početnim označavanjem posebnim alatom.
Zapremina konusa je gomila pijeska ili zemlje izlivena na tlo. Ako je potrebno, jednostavnim mjerenjem možete izračunati njegovu zapreminu. Neki će možda biti zbunjeni pitanjem kako saznati polumjer i visinu gomile pijeska. Naoružani mjernom trakom mjerimo obim humke C. Koristeći formulu R=C/2n saznajemo polumjer. Bacajući konopac (traku) preko temena, nalazimo dužinu generatrikse. A izračunavanje visine pomoću Pitagorine teoreme i zapremine nije teško. Naravno, ova računica je približna, ali vam omogućava da utvrdite da li ste prevareni donijevši tonu pijeska umjesto kocke.
Neki objekti su oblikovani kao krnji konus. Na primjer, TV toranj Ostankino približava se obliku stošca. Može se zamisliti kao da se sastoji od dva konusa postavljena jedan na drugi. Kupole drevnih zamkova i katedrala predstavljaju konus, čiji su volumen drevni arhitekti izračunali sa neverovatnom tačnošću.
Ako pažljivo pogledate okolne objekte, mnogi od njih su čunjevi:
- Lijevci za izlijevanje tekućina;
- truba-zvučnik;
- češeri za parkiranje;
- Abažur za podnu lampu;
- uobičajeno božićno drvce;
- duvačkih muzičkih instrumenata.
Kao što se može vidjeti iz navedenih primjera, sposobnost izračunavanja zapremine stošca i njegove površine neophodna je u stručnom i Svakodnevni život. Nadamo se tome članak će doći u pomoć.
Zapremina stošca se izražava istom formulom kao i zapremina piramide: V = 1 / 3 S h,
gdje je V zapremina konusa, S je površina osnove stošca, h- njegova visoka.
Konačno V = 1 / 3 πR 2 h, gdje je R polumjer osnove konusa.
Dobivanje formule za volumen stošca može se objasniti sljedećim rezoniranjem:
Neka je dat konus (sl.). Upišemo u nju pravilnu piramidu, odnosno napravićemo piramidu unutar konusa čiji se vrh poklapa sa vrhom konusa, a osnova je pravilan mnogougao upisan u osnovu konusa.
Zapremina ove piramide će biti izražena formulom: V’ = 1 / 3 S’ h, gdje je V zapremina piramide,
S’ je površina njegove osnove, h- visina piramide.
Ako za osnovu piramide uzmemo poligon sa vrlo velikim brojem strana, tada će se površina osnove piramide vrlo malo razlikovati od površine kruga, a zapremina piramide će se vrlo malo razlikuju od zapremine konusa. Ako zanemarimo ove razlike u veličini, tada se volumen konusa izražava sljedećom formulom:
V=1/3S h, gdje je V zapremina stošca, S je površina osnove stošca, h- visina konusa.
Zamjenom S kroz πR 2, gdje je R polumjer kružnice, dobijamo formulu: V = 1 / 3 πR 2 h, izražavajući volumen konusa.
Bilješka. U formuli V = 1 / 3 S h stavlja se znak tačne, a ne približne jednakosti, iako bismo ga na osnovu provedenog rezonovanja mogli smatrati približnim, ali u srednjoj školi srednja škola dokazano je da je jednakost
V=1/3S h tačno, a ne približno.
Volumen proizvoljnog konusa
Teorema. Volumen proizvoljnog konusa jednak je jednoj trećini umnožaka površine baze i visine, one.
V = 1/3 QH, (1)
gdje je Q površina baze, a H visina konusa.
Posmatrajmo konus sa vrhom S i osnovom F (sl.).
Neka je površina osnove Φ jednaka Q, a visina konusa jednaka H. Tada postoje nizovi poligona Φ n i F' n sa oblastima Q n i Q' n takav da
F n⊂ F n⊂ F' n i \(\lim_(n \desno \infty)\) Q' n= \(\lim_(n \desno \infty)\) Q n= Q.
Očigledno je da piramida sa vrhom S i osnovom F' nće biti upisana u dati konus, a piramida sa vrhom S i osnovom F n- opisano oko konusa.
Zapremine ovih piramida su respektivno jednake
V n= 1 / 3 Q n H, V' n= 1 / 3 Q' n H
\(\lim_(n \desno \infty)\) V n= \(\lim_(n \desno \infty)\) V’ n= 1 / 3 QH
onda je formula (1) dokazana.
Posljedica. Zapremina stošca, čija je osnova elipsa sa poluosama a i b, izračunava se po formuli
V = 1/3π ab H (2)
posebno, zapremina stošca čija je osnova kružnica poluprečnika R, izračunato po formuli
V = 1 / 3 π R 2 H (3)
gdje je H visina konusa.
Kao što je poznato, površina elipse sa poluosama A I b jednako π ab, pa se stoga formula (2) dobija iz (1) sa Q = π ab. Ako a = b= R, tada se dobija formula (3).
Zapremina desnog kružnog konusa
Teorema 1. Zapremina pravog kružnog konusa visine H i poluprečnika osnove R izračunava se po formuli
V = 1 / 3 π R 2 H
Ovaj konus se može smatrati tijelom koje se dobije rotacijom trougla sa vrhovima u tačkama O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) oko ose Oh(pirinač.).
Trokut OAB je krivolinijski trapez koji odgovara funkciji
y = R / H X, X∈ . Dakle, koristeći dobro poznatu formulu, dobijamo
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\levo|\početak(niz)(c)H\\\\ 0\end(niz)\desno.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$
Posljedica. Zapremina pravog kružnog konusa jednaka je jednoj trećini proizvoda površine baze i visine, tj.
gdje je Q - bazna površina, i H - visina konusa.
Teorema 2. Zapremina krnjeg stošca sa poluprečnikom osnove r i R i visinom H izračunava se po formuli
V = 1 / 3 πH( r 2 + R 2 + r R).
Skraćeni konus se može dobiti rotacijom oko ose Oh trapez O ABC (sl.).
Prava AB prolazi kroz tačke (0; r) i (H; R), tako da ima jednačinu
$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$
dobijamo
$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$
Za izračunavanje integrala vršimo zamjenu
$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$
Očigledno kada X varira od 0 do H, varijabilno I varira od r na R, i stoga
$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\levo|\begin(niz)(c)R\\\\ r\end(niz)\desno.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$
Sfera čija je zapremina 8π upisana je u kocku. Pronađite zapreminu kocke.
Rješenje
Neka je a strana kocke. Tada je zapremina kocke V = a 3.
Pošto je lopta upisana u kocku, poluprečnik lopte jednak je polovini ivice kocke, tj. R = a/2 (vidi sliku).
Volumen lopte je jednak V w = (4/3)πR 3 i jednak 8π, dakle
(4/3)πR 3 = 8π,
A zapremina kocke je jednaka V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.
Zadatak B9 (Tipične opcije 2015.)
Zapremina konusa je 32. Kroz sredinu visine, paralelno sa osnovom konusa, povučen je presjek, koji je osnova manjeg konusa sa istim vrhom. Pronađite zapreminu manjeg konusa.
Rješenje
Razmotrimo zadatke:
72353. Zapremina konusa je 10. Sredinom visine povučen je presjek paralelan osnovici konusa, koja je osnova manjeg konusa sa istim vrhom. Pronađite zapreminu manjeg konusa.
Odmah da primijetimo da su originalni i odsječeni konus slični i ako uzmemo u obzir odsječeni konus u odnosu na originalni, možemo reći ovo: manji konus je sličan većem s koeficijentom jednakim jednoj polovini ili 0,5 . možemo napisati:
Moglo bi se napisati:
Moglo bi se i pomisliti!
Razmotrimo originalni konus u odnosu na odsječeni. Možemo reći da je veći konus sličan odsječenom s koeficijentom jednakim dva, napišimo:
Sada pogledajte rješenje bez korištenja svojstava sličnosti.
Zapremina stošca jednaka je jednoj trećini proizvoda površine njegove osnove i visine:
Razmotrite bočnu projekciju (pogled sa strane) sa naznačenim poprečnim presjekom:
Neka je poluprečnik većeg konusa jednak R, visina jednaka H. Presjek (osnova manjeg konusa) prolazi kroz sredinu visine, što znači da će njegova visina biti jednaka H/2. A polumjer baze je jednak R/2, to slijedi iz sličnosti trokuta.
Zapišimo volumen originalnog konusa:
Volumen odsječenog konusa bit će jednak:
Dakle detaljna rješenja predstavljeni su tako da možete vidjeti kako se obrazloženje može izgraditi. Ponašajte se na bilo koji način - najvažnije je da razumijete suštinu odluke. Čak i ako put koji ste odabrali nije racionalan, važan je rezultat (tačan rezultat).
Odgovor: 1.25
318145. U posudi u obliku konusa nivo tečnosti dostiže polovinu svoje visine. Zapremina tečnosti je 70 ml. Koliko mililitara tečnosti treba dodati da se posuda potpuno napuni?
Ovaj zadatak je sličan prethodnom. Iako je ovdje riječ o tekućini, princip rješenja je isti.
Imamo dva konusa - ovo je sama posuda i "mali" konus (napunjen tekućinom), oni su slični. Poznato je da su zapremine takvih tijela povezane na sljedeći način:
Početni konus (posuda) je sličan konusu ispunjenom tečnošću sa koeficijentom jednakim 2, jer se kaže da nivo tečnosti dostiže polovinu visine. Možete pisati detaljnije:
Računamo:
Dakle, potrebno je dodati:
Ostali problemi sa tečnostima.
74257. Nađi zapreminu V konusa čija je generatrika jednaka 44 i nagnuta je prema ravni osnove pod uglom od 30 0. Molimo navedite V/Pi u svom odgovoru.
Volumen konusa:
Visinu konusa nalazimo koristeći svojstvo pravokutnog trokuta.
Noga koja leži nasuprot ugla od 30° jednaka je polovini hipotenuze. Hipotenuza je, u ovom slučaju, generator konusa. Stoga je visina stošca 22.
Kvadrat poluprečnika baze nalazimo pomoću Pitagorine teoreme:
*Potreban nam je kvadrat poluprečnika, a ne sam radijus.
Tela rotacije koja se proučavaju u školi su cilindar, konus i lopta.
Ako u zadatku na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike trebate izračunati volumen konusa ili površinu kugle, smatrajte da ste sretnici.
Primijenite formule za volumen i površinu cilindra, konusa i sfere. Svi su na našoj tabeli. Naučiti napamet. Ovdje počinje znanje o stereometriji.
Ponekad je dobro crtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo.
2. Koliko puta je zapremina konusa opisanog oko pravilne četvorougaone piramide veća od zapremine konusa upisanog u ovu piramidu?
Jednostavno je - nacrtajte pogled odozdo. Vidimo da je poluprečnik većeg kruga puta veći od poluprečnika manjeg. Visine oba konusa su iste. Stoga će volumen većeg konusa biti dvostruko veći.
Drugi važna tačka. Zapamtite da u problemima dijela B Opcije objedinjenog državnog ispita u matematici se odgovor piše kao cijeli ili konačan broj decimalni. Prema tome, ne bi trebalo da ih ima ili u vašem odgovoru u dijelu B. Nema potrebe za zamjenom približne vrijednosti broja! Definitivno se mora smanjiti! Upravo u tu svrhu se u nekim problemima zadatak formulira, na primjer, na sljedeći način: "Pronađi površinu bočne površine cilindra podijeljenu sa."
Gdje se još koriste formule za volumen i površinu okretnih tijela? Naravno, u zadatku C2 (16). Takođe ćemo vam reći o tome.
1. Proračun volumena kocke
a- strana kocke
Formula za zapreminu kocke, ( V ):
2. Nađite po formuli zapreminu pravougaonog paralelepipeda
a, b, c- stranice paralelepipeda
Ponekad se strana paralelepipeda naziva ivica.
Formula za zapreminu paralelepipeda, ( V):
3. Formula za izračunavanje zapremine lopte, sfere
R — polumjer lopte
Koristeći formulu, ako je zadan polumjer, možete pronaći volumen lopte, ( V):
4. Kako izračunati zapreminu cilindra?
h- visina cilindra
r— poluprečnik osnove
Koristeći formulu, pronađite zapreminu cilindra ako su poznati polumjer i visina njegove osnove, ( V):
5. Kako pronaći zapreminu konusa?
R— osnovni radijus
H— visina konusa
Formula za zapreminu konusa ako su poznati poluprečnik i visina ( V):
7. Formula za zapreminu krnjeg konusa
r — gornji polumjer osnove
R— donji radijus
h - visina konusa
Formula za zapreminu krnjeg stošca, ako je poznata - poluprečnik donje osnove, poluprečnik gornje osnove i visina stošca ( V):
8. Zapremina pravilnog tetraedra
Pravilan tetraedar je piramida čija su sva lica jednakostranični trouglovi.
A- ivica tetraedra
Formula za izračunavanje zapremine pravilnog tetraedra ( V):
9. Volumen pravilne četverougaone piramide
Piramida s kvadratnom osnovom i jednakim stranicama jednakokračnog trougla naziva se pravilna četverokutna piramida.
a- osnovna strana
h- visina piramide
Formula za izračunavanje zapremine pravilne četvorougaone piramide, ( V):
10. Volumen pravilne trouglaste piramide
Piramida čija je osnova jednakostranični trokut i čije su stranice jednake, jednakokraki trouglovi naziva se pravilna trouglasta piramida.
a- osnovna strana
h- visina piramide
Formula za zapreminu pravilne trokutaste piramide, s obzirom na visinu i stranu osnove ( V):
11. Nađite zapreminu pravilne piramide
Piramida sa pravilnim poligonom i jednakim trouglovima u osnovi naziva se pravilna.
h- visina piramide
a- strana osnove piramide
n- broj stranica poligona u osnovi
Formula za zapreminu pravilne piramide, znajući visinu, stranu osnove i broj ovih stranica ( V):
Sve formule za zapremine geometrijskih tijela
Geometrija, algebra, fizika
Formule volumena
Volume geometrijska figura — kvantitativna karakteristika prostor koji zauzima neko tijelo ili supstancija. U najjednostavnijim slučajevima, zapremina se meri brojem jediničnih kocki koje stanu u telo, odnosno kockama čiji je rub jednak jediničnoj dužini. Volumen tijela ili kapacitet posude određen je njegovim oblikom i linearnim dimenzijama.
Formula za zapreminu kocke
1) Zapremina kocke jednaka je kocki njene ivice.
V- zapremina kocke
H— visina ivice kocke
Formula za zapreminu piramide
1) Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine baze S (ABCD) i visine h (OS).
V- zapremina piramide
S- površina osnove piramide
h- visina piramide
Formule za zapreminu konusa
1) Zapremina konusa jednaka je jednoj trećini proizvoda površine osnove i visine.
2) Zapremina stošca jednaka je jednoj trećini proizvoda pi (3,1415) na kvadrat polumjera osnove i visine.
V— zapremina konusa
S- površina osnove konusa
h— visina konusa
π — pi broj (3.1415)
r— radijus konusa
Formule zapremine cilindara
1) Zapremina cilindra jednaka je proizvodu površine baze i visine.
2) Zapremina cilindra jednaka je proizvodu pi (3,1415) na kvadrat polumjera osnove i visine.
V- zapremina cilindra
S- površina osnove cilindra
h- visina cilindra
π — pi broj (3.1415)
r— radijus cilindra
Formula za zapreminu lopte
1) Zapremina lopte se izračunava pomoću formule ispod.
V- zapremina lopte
π — pi broj (3.1415)
R- radijus lopte
Formula zapremine tetraedra
1) Zapremina tetraedra jednaka je razlomku u čijem brojiocu je kvadratni korijen iz dva pomnožen sa kubom dužine ivice tetraedra, a u nazivniku dvanaest.
Formule volumena
Formule volumena i onlajn programi za izračunavanje zapremine
Formula volumena.
Formula volumena potrebno za izračunavanje parametara i karakteristika geometrijske figure.
Volumen figure je kvantitativna karakteristika prostora koji zauzima tijelo ili supstancija. U najjednostavnijim slučajevima, zapremina se meri brojem jediničnih kocki koje stanu u telo, odnosno kockama čiji je rub jednak jediničnoj dužini. Volumen tijela ili kapacitet posude određen je njegovim oblikom i linearnim dimenzijama.
Paralelepiped.
Volumen pravokutnog paralelepipeda jednak je proizvodu površine baze i visine.
Cilindar.
Zapremina cilindra jednaka je proizvodu površine baze i visine.
Zapremina cilindra jednaka je proizvodu pi (3,1415) na kvadrat polumjera baze i visine.
Piramida.
Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine baze S (ABCDE) i visine h (OS).
Ispravna piramida- ovo je piramida, u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a visina prolazi kroz centar upisane kružnice u osnovi.
Pravilna trouglasta piramida je piramida čija je osnova jednakostranični trokut, a stranice jednake jednakokračne trouglove.
Pravilna četvorougaona piramida je piramida čija je osnova kvadrat, a stranice jednake jednakokračne trokute.
Tetrahedron je piramida čija su sva lica jednakostranični trouglovi.
Krnja piramida.
Zapremina krnje piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda visine h (OS) sa zbrojem površina gornje osnove S 1 (abcde), donje osnove krnje piramide S 2 (ABCDE) i prosječna proporcija između njih.
Lako je izračunati volumen kocke - potrebno je pomnožiti dužinu, širinu i visinu. Pošto kocka ima dužinu jednaku njenoj širini i visini, zapremina kocke je jednaka s 3 .
Kornet je tijelo u euklidskom prostoru dobiveno kombinacijom svih zraka koje izlaze iz jedne tačke (vrh konusa) i prolaze kroz ravnu površinu.
Frustum to će uspjeti ako nacrtate dio u konusu paralelan s bazom.
V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)
Zapremina kugle je jedan i po puta manja od zapremine cilindra koji je opisan oko nje.
Prizma.
Zapremina prizme jednaka je proizvodu površine osnove prizme i njene visine.
Sektor lopte.
Zapremina sfernog sektora jednaka je zapremini piramide čija osnova ima istu površinu kao dio sferne površine koji je izrezan sektorom, a visina je jednaka polumjeru lopte.
Sloj kugle- ovo je dio loptice zatvoren između dvije sekantne paralelne ravni.
Segment lopte- ovaj dio lopte, odsječen od nje nekom ravninom, naziva se sferni ili sferni segment
Formula volumena
Formula za zapreminu kocke, sfere, piramide, paralelograma, cilindra, tetraedra, konusa, prizme i zapremine drugih geometrijskih oblika.
U kursu stereometrije jedno od glavnih pitanja je kako izračunati zapreminu određenog geometrijskog tijela. Sve počinje jednostavnim paralelepipedom i završava loptom.
I u životu se često morate suočiti sa sličnim problemima. Na primjer, za izračunavanje količine vode koja stane u kantu ili bure.
Svojstva vrijede za zapreminu svakog tijela
- Ova vrijednost je uvijek pozitivan broj.
- Ako se tijelo može podijeliti na dijelove tako da nema sjecišta, onda se ispostavlja da je ukupna zapremina jednaka zbroju volumena dijelova.
- Jednaka tijela imaju jednake zapremine.
- Ako je manje tijelo potpuno sadržano u većem, tada je volumen prvog manji od volumena drugog.
Opće oznake za sva tijela
Svaki od njih ima ivice i osnove, au njih su ugrađene visine. Stoga su takvi elementi jednako namijenjeni za njih. Upravo tako su zapisane u formulama. Dalje ćemo naučiti kako izračunati volumen svakog tijela i primijeniti nove vještine u praksi.
Neke formule imaju druge količine. Njihovo određivanje će biti razmotreno kada se ukaže takva potreba.
Prizma, paralelepiped (prav i nagnut) i kocka
Ova tijela su kombinovana jer izgledaju vrlo slično, a formule za izračunavanje volumena su identične:
V = S * h.
Samo će se S razlikovati. U slučaju paralelepipeda, računa se kao za pravougaonik ili kvadrat. U prizmi osnova može biti trokut, paralelogram, proizvoljni četverougao ili drugi mnogokut.
Za kocku je formula znatno pojednostavljena jer su sve njene dimenzije jednake:
V = a 3.
Piramida, tetraedar, skraćena piramida
Za prvo od ovih tijela postoji formula za izračunavanje volumena:
V = 1/3 * S * n.
Tetraedar je poseban slučaj trouglaste piramide. Sve ivice u njemu su jednake. Dakle, opet dobijamo pojednostavljenu formulu:
V = (a 3 * √2) / 12, ili V = 1/ 3 S h
Piramida postaje skraćena kada joj se odsječe gornji dio. Dakle, njen volumen je jednak razlici između dvije piramide: one koja bi bila netaknuta i uklonjenog vrha. Ako je moguće pronaći obje baze takve piramide (S 1 - veća i S 2 - manja), onda je prikladno koristiti ovu formulu za izračunavanje volumena:
Cilindar, konus i krnji konus
V =π * r 2 * h.
Situacija sa konusom je nešto složenija. Za to postoji formula:
V = 1/3 π * r 2 * h. Vrlo je sličan onom naznačenom za cilindar, samo što je vrijednost smanjena za tri puta.
Kao i kod krnje piramide, situacija nije laka ni sa konusom, koji ima dvije osnove. Formula za izračunavanje volumena skraćenog konusa izgleda ovako:
V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2). Ovdje je r 1 polumjer donje baze, r 2 polumjer gornje (manje).
Lopta, loptasti segmenti i sektor
Ovo su formule koje je najteže zapamtiti. Za zapreminu lopte to izgleda ovako:
V = 4/3 π *r 3 .
U problemima se često postavlja pitanje kako izračunati volumen sfernog segmenta - dijela sfere koji je, takoreći, izrezan paralelno s promjerom. U ovom slučaju, sljedeća formula će doći u pomoć:
V = π h 2 * (r - h/3). U njemu se visina segmenta uzima kao h, odnosno dio koji ide duž polumjera lopte.
Sektor je podijeljen na dva dijela: konus i sferni segment. Stoga se njegov volumen definira kao zbir ovih tijela. Formula nakon transformacije izgleda ovako:
V = 2/3 πr 2 * h. Ovdje je h također visina segmenta.
Problemi sa uzorcima
O zapremini cilindra, sfere i konusa
Stanje: prečnik cilindra (1. telo) jednak je njegovoj visini, prečnik lopte (2. telo) i visina stošca (3. telo), proverite proporcionalnost zapremina V 1: V 2: V 3 = 3:2:1
Rješenje. Prvo morate zapisati tri formule za volumene. Zatim uzmite u obzir da je radijus polovina prečnika. Odnosno, visina će biti jednaka dva radijusa: h = 2r. Jednostavnom zamjenom ispada da će formule za volumene izgledati ovako:
V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. Formula za volumen lopte se ne mijenja jer se u njoj ne pojavljuje visina.
Sada ostaje zapisati omjere volumena i izvršiti redukciju 2π i r 3. Ispada da je V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Ovi brojevi se lako mogu napisati kao 3:2:1.
O zapremini lopte
Stanje: Postoje dvije lubenice poluprečnika 15 i 20 cm, što ih je isplativije jesti: prva sa četiri osobe ili druga sa osam?
Rješenje. Da biste odgovorili na ovo pitanje, morat ćete pronaći omjer volumena dijelova koji će doći iz svake lubenice. Uzimajući u obzir da su sfere, moramo zapisati dvije formule za volumene. Zatim uzmite u obzir da će od prvog svi dobiti samo četvrti dio, a od drugog - osmi.
Ostaje zapisati omjer volumena dijelova. To će izgledati ovako:
(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Nakon transformacije ostaje samo razlomak: (2 r 1 3) / r 2 3. Nakon zamjene vrijednosti i izračunavanja, dobije se razlomak 6750/8000. Iz njega je jasno da će udio od prve lubenice biti manji nego od druge.
Odgovori. Isplativije je pojesti osminu lubenice u radijusu od 20 cm.
O zapremini piramide i kocke
Stanje: postoji piramida napravljena od gline pravougaone osnove 8X9 cm i visine 9 cm, od istog komada gline je napravljena kocka, kolika je njena ivica?
Rješenje. Ako stranice pravokutnika označimo slovima b i c, tada se površina osnove piramide izračunava kao njihov proizvod. Tada je formula za njegov volumen:
Formula za volumen kocke je napisana u gornjem članku. Ove dvije vrijednosti su jednake: V 1 = V 2 . Ostaje samo izjednačiti desnu stranu formula i izvršiti potrebne proračune. Ispada da će ivica kocke biti jednaka 6 cm.
O zapremini paralelepipeda
Stanje: trebate napraviti kutiju kapaciteta 0,96 m 3, poznata je njegova širina i dužina - 1,2 i 0,8 metara, kolika bi trebala biti njegova visina?
Rješenje. Budući da je osnova paralelepipeda pravougaonik, njegova površina je definirana kao proizvod dužine (a) i širine (b). Stoga formula za volumen izgleda ovako:
Iz njega je lako odrediti visinu dijeljenjem volumena s površinom. Ispada da visina treba biti 1 m.
Odgovori. Visina kutije je jedan metar.
Kako izračunati zapreminu različitih geometrijskih tijela?
U kursu stereometrije, jedan od glavnih zadataka je kako izračunati volumen određenog geometrijskog tijela. Sve počinje jednostavnim paralelepipedom i završava loptom.
