Od davnina je bilo potrebno uspoređivati ​​vrijednosti i količine u rješavanju praktičnih problema. Istovremeno su se pojavile riječi više i manje, više i niže, lakše i teže, tiše i glasnije, jeftinije i skuplje itd. koje označavaju rezultate poređenja homogenih količina.

Koncepti više i manje nastali su u vezi sa brojanjem predmeta, mjerenjem i poređenjem veličina. Na primjer, matematičari antičke Grčke znali su da je stranica bilo kojeg trokuta manja od zbira druge dvije strane i da veća strana trokuta leži nasuprot većeg kuta. Arhimed je, računajući obim kruga, otkrio da je obim svakog kruga jednak trostrukom prečniku sa viškom koji je manji od jedne sedme prečnika, ali veći od deset sedamdeset i prve prečnika.

Simbolično zapišite odnose između brojeva i veličina pomoću znakova > i b. Unosi u kojima su dva broja povezana jednim od znakova: > (veći od), Sreli ste se i sa brojčanim nejednakostima u razredima osnovne škole. Znate da nejednakosti mogu, ali ne moraju biti tačne. Na primjer, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) je važeća numerička nejednakost, 0,23 > 0,235 je nevažeća numerička nejednakost.

Nejednakosti koje uključuju nepoznanice mogu biti istinite za neke vrijednosti nepoznatih i lažne za druge. Na primjer, nejednakost 2x+1>5 je tačna za x = 3, ali netačna za x = -3. Za nejednakost s jednom nepoznatom možete postaviti zadatak: riješite nejednakost. Problemi rješavanja nejednačina u praksi se postavljaju i rješavaju ništa manje od problema rješavanja jednačina. Na primjer, mnogi ekonomski problemi se svode na proučavanje i rješavanje sistema linearnih nejednakosti. U mnogim granama matematike, nejednakosti su češće nego jednačine.

Neke nejednakosti služe kao jedino pomoćno sredstvo za dokazivanje ili opovrgavanje postojanja određenog objekta, na primjer, korijena jednadžbe.

Numeričke nejednakosti

Možete li uporediti cijele brojeve? decimale. Poznavati pravila za poređenje običnih razlomaka sa istim nazivnicima, ali različitim brojnicima; sa istim brojnicima ali različitim nazivnicima. Ovdje ćete naučiti kako uporediti bilo koja dva broja tako što ćete pronaći znak njihove razlike.

Poređenje brojeva se široko koristi u praksi. Na primjer, ekonomista upoređuje planirane pokazatelje sa stvarnim, doktor upoređuje temperaturu pacijenta sa normalnom, strugar upoređuje dimenzije obrađenog dijela sa standardom. U svim takvim slučajevima se porede neki brojevi. Kao rezultat poređenja brojeva, nastaju numeričke nejednakosti.

Definicija. Broj a je veći od broja b ako razlika a-b pozitivno. Broj a je manji od broja b ako je razlika a-b negativna.

Ako je a veće od b, onda pišu: a > b; ako je a manje od b, onda pišu: a Dakle, nejednakost a > b znači da je razlika a - b pozitivna, tj. a - b > 0. Nejednakost a Za bilo koja dva broja a i b iz sljedeće tri relacije a > b, a = b, a Teorema. Ako je a > b i b > c, onda je a > c.

Teorema. Ako se na obje strane nejednakosti doda isti broj, onda se predznak nejednakosti ne mijenja.
Posljedica. Bilo koji pojam se može prenijeti iz jednog dijela nejednakosti u drugi promjenom predznaka ovog člana na suprotan.

Teorema. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim pozitivnim brojem, onda se predznak nejednakosti ne mijenja. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim negativnim brojem, onda će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.
Posljedica. Ako se oba dijela nejednakosti podijele sa istim pozitivnim brojem, onda se predznak nejednakosti ne mijenja. Ako su oba dijela nejednakosti podijeljena istim negativnim brojem, onda će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.

Znate da se numeričke jednakosti mogu sabirati i množiti član po član. Zatim ćete naučiti kako izvoditi slične radnje s nejednakostima. Mogućnost sabiranja i množenja nejednakosti pojam se često koristi u praksi. Ove radnje vam pomažu u rješavanju problema evaluacije i poređenja vrijednosti izraza.

Prilikom rješavanja raznih zadataka često je potrebno sabrati ili pomnožiti pojam lijevi i desni dio nejednačina. Ponekad se kaže da se nejednakosti sabiraju ili množe. Na primjer, ako je turista prvog dana prepješačio više od 20 km, a drugog dana više od 25 km, onda se može tvrditi da je za dva dana prešao više od 45 km. Slično, ako je dužina pravokutnika manja od 13 cm, a širina manja od 5 cm, onda se može tvrditi da je površina ovog pravokutnika manja od 65 cm2.

Razmatrajući ove primjere, sljedeće teoreme o sabiranju i množenju nejednačina:

Teorema. Sabiranjem nejednakosti istog predznaka dobijamo nejednakost istog predznaka: ako je a > b i c > d, onda je a + c > b + d.

Teorema. Množenjem nejednačina istog predznaka, kod kojih su lijeva i desna strana pozitivne, dobije se nejednakost istog predznaka: ako su a > b, c > d i a, b, c, d pozitivni brojevi, tada je ac > bd.

Nejednakosti sa predznakom > (veće od) i 1/2, 3/4 b, c Uz stroge znakove nejednakosti > i Na isti način, nejednakost \(a \geq b \) znači da je broj a veći veći ili jednak b, tj. i ne manji od b.

Nejednačine koje sadrže znak \(\geq \) ili znak \(\leq \) nazivaju se nestrogim. Na primjer, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nisu stroge nejednakosti.

Sva svojstva strogih nejednakosti vrijede i za nestroge nejednakosti. Štaviše, ako se za striktne nejednakosti predznaci > smatraju suprotnim, a znate da za rješavanje brojnih primijenjenih problema morate izraditi matematički model u obliku jednačine ili sistema jednačina. Zatim ćete to saznati matematički modeli za rješavanje mnogih problema su nejednakosti sa nepoznanicama. Upoznat ćemo pojam rješavanja nejednakosti i pokazati kako provjeriti da li je dati broj rješenje određene nejednakosti.

Nejednakosti oblika
\(ax > b, \quad ax gdje su a i b dati brojevi, a x je nepoznat, naziva se linearne nejednačine sa jednom nepoznatom.

Definicija. Rješenje nejednakosti s jednom nepoznanicom je vrijednost nepoznate za koju se ova nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost. Riješiti nejednakost znači pronaći sva njena rješenja ili utvrditi da ih nema.

Rešili ste jednadžbe tako što ste ih sveli na najjednostavnije jednačine. Slično, pri rješavanju nejednačina, teži se da ih se uz pomoć svojstava svede na oblik najjednostavnijih nejednačina.

Rješenje nejednakosti drugog stepena sa jednom varijablom

Nejednakosti oblika
\(ax^2+bx+c >0 \) i \(ax^2+bx+c gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \(a \neq 0 \) se nazivaju nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom.

Rješavanje nejednakosti
\(ax^2+bx+c >0 \) ili \(ax^2+bx+c \) se može smatrati pronalaženjem praznina gdje funkcija \(y= ax^2+bx+c \) uzima pozitivnu vrijednost ili negativne vrijednosti Da biste to učinili, dovoljno je analizirati kako se graf funkcije \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) nalazi u koordinatnoj ravni: gdje su grane parabole usmjerene - gore ili dolje , da li parabola siječe x osu i ako se siječe, u kojim tačkama.

Algoritam za rešavanje nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom:
1) pronaći diskriminant kvadratnog trinoma \(ax^2+bx+c\) i saznati da li trinom ima korijen;
2) ako trinom ima korijene, onda ih označite na osi x i nacrtajte šematski parabolu kroz označene tačke, čije su grane usmjerene prema gore na > 0 ili prema dolje na 0 ili niže na a 3) pronađite praznine na x os za koju se parabole tačaka nalaze iznad x-ose (ako rešavaju nejednakost \(ax^2+bx+c >0 \)) ili ispod x-ose (ako rešavaju nejednačinu
\(ax^2+bx+c Rješenje nejednačina metodom intervala

Razmotrite funkciju
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domen ove funkcije je skup svih brojeva. Nule funkcije su brojevi -2, 3, 5. Oni dijele domenu funkcije na intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) i \( (5; +\infty)\)

Hajde da saznamo koji su predznaci ove funkcije u svakom od naznačenih intervala.

Izraz (x + 2)(x - 3)(x - 5) je proizvod tri faktora. Znak svakog od ovih faktora u razmatranim intervalima prikazan je u tabeli:

Općenito, neka je funkcija data formulom
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
gdje je x varijabla, a x 1 , x 2 , ..., x n nisu jednaki brojevi. Brojevi x 1 , x 2 , ..., x n su nule funkcije. U svakom od intervala na koje je domen definicije podijeljen nulama funkcije, predznak funkcije je sačuvan, a pri prolasku kroz nulu njen predznak se mijenja.

Ovo svojstvo se koristi za rješavanje nejednakosti oblika
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) gdje x 1 , x 2 , ..., x n nisu jednaki brojevi

Razmatrana metoda rješavanje nejednačina naziva se metoda intervala.

Navedimo primjere rješavanja nejednačina metodom intervala.

Riješite nejednačinu:

\(x(0.5-x)(x+4) Očigledno, nule funkcije f(x) = x(0.5-x)(x+4) su tačke \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Nacrtamo nule funkcije na realnoj osi i izračunamo predznak na svakom intervalu:

Odaberemo one intervale na kojima je funkcija manja ili jednaka nuli i zapišemo odgovor.

odgovor:
\(x \in \levo(-\infty; \; 1 \desno) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Metoda razmaka je jednostavan način za rješavanje frakcionih racionalnih nejednakosti. Ovo je naziv nejednakosti koje sadrže racionalne (ili frakciono-racionalne) izraze koji zavise od promenljive.

1. Razmotrimo, na primjer, sljedeću nejednakost

Intervalna metoda vam omogućava da to riješite za nekoliko minuta.

Na lijevoj strani ove nejednakosti nalazi se razlomka racionalna funkcija. Racionalno, jer ne sadrži nikakve korijene, sinuse ili logaritme - samo racionalne izraze. Desno je nula.

Intervalna metoda je zasnovana na sljedećem svojstvu razlomke racionalne funkcije.

Razlomno-racionalna funkcija može promijeniti predznak samo u onim tačkama gdje je jednaka nuli ili ne postoji.

Prisjetite se kako se kvadratni trinom rastavlja na faktore, odnosno izraz oblika .

Gdje i gdje su korijeni kvadratna jednačina.

Crtamo os i raspoređujemo tačke u kojima brojnik i imenilac nestaju.

Nule nazivnika i su probušene tačke, pošto u tim tačkama funkcija na levoj strani nejednakosti nije definisana (ne možete deliti sa nulom). Nule brojioca i - su zasjenjene jer nejednakost nije stroga. Jer i naša nejednakost je zadovoljena, jer su oba njegova dijela jednaka nuli.

Ove tačke lome osu na intervale.

Odredimo predznak razlomačno-racionalne funkcije na lijevoj strani naše nejednakosti na svakom od ovih intervala. Sjećamo se da razlomka racionalna funkcija može promijeniti predznak samo u onim tačkama gdje je jednaka nuli ili ne postoji. To znači da će na svakom od intervala između tačaka u kojima brojnik ili nazivnik nestaje, predznak izraza na lijevoj strani nejednakosti biti konstantan - ili "plus" ili "minus".

I stoga, da bismo odredili predznak funkcije na svakom takvom intervalu, uzimamo bilo koju tačku koja pripada ovom intervalu. Onaj koji nama odgovara.
. Uzmite, na primjer, i provjerite predznak izraza na lijevoj strani nejednakosti. Svaka od "zagrada" je negativna. Na lijevoj strani je znak.

Sljedeći interval: . Provjerimo znak za . Dobijamo da je lijeva strana promijenila znak u .

Hajde da uzmemo. Kada je izraz pozitivan - dakle, pozitivan je na cijelom intervalu od do .

Za , lijeva strana nejednakosti je negativna.

I na kraju class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Pronašli smo na kojim intervalima je izraz pozitivan. Ostaje napisati odgovor:

Odgovor: .

Napomena: znakovi na intervalima se izmjenjuju. Ovo se desilo zato što pri prolasku kroz svaku tačku, tačno jedan od linearnih faktora je promenio predznak, a ostali su ga zadržali nepromenjenim.

Vidimo da je metoda intervala vrlo jednostavna. Da bismo riješili frakciono-racionalnu nejednakost metodom intervala, dovodimo je do oblika:

Or class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ili ili .

(na lijevoj strani - razlomka-racionalna funkcija, na desnoj strani - nula).

Zatim - na brojevnoj pravoj označavamo tačke u kojima brojnik ili imenilac nestaje.
Ove tačke dijele cijelu brojevnu pravu na intervale, na svakom od kojih razlomka-racionalna funkcija zadržava svoj predznak.
Ostaje samo saznati njegov predznak na svakom intervalu.
To radimo provjeravanjem predznaka izraza u bilo kojoj tački unutar datog intervala. Nakon toga zapisujemo odgovor. To je sve.

Ali postavlja se pitanje: da li se znakovi uvijek izmjenjuju? Ne ne uvek! Moramo paziti da ne postavljamo znakove mehanički i nepromišljeno.

2. Pogledajmo još jednu nejednakost.

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \lijevo(x-3\desno))>0"> !}

Ponovo postavljamo tačke na osu. Tačke i su probušene jer su nule nazivnika. Tačka je također probušena, jer je nejednakost stroga.

Kada je brojnik pozitivan, oba faktora u nazivniku su negativna. Ovo je lako provjeriti uzimanjem bilo kojeg broja iz datog intervala, na primjer, . Na lijevoj strani je znak:

Kada je brojnik pozitivan; prvi faktor u nazivniku je pozitivan, drugi faktor je negativan. Na lijevoj strani je znak:

Kada je situacija ista! Brojač je pozitivan, prvi faktor u nazivniku je pozitivan, drugi je negativan. Na lijevoj strani je znak:

Konačno, sa class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odgovor: .

Zašto je smjena likova prekinuta? Jer kada prolazi kroz tačku, množitelj je "odgovoran" za to nije promijenio znak. Posljedično, ni cijela lijeva strana naše nejednakosti nije promijenila predznak.

zaključak: ako je linearni faktor u parnom stepenu (na primjer, u kvadratu), tada se prilikom prolaska kroz tačku predznak izraza na lijevoj strani ne mijenja. U slučaju neparnog stepena, znak se, naravno, menja.

3. Hajde da razmotrimo komplikovaniji slučaj. Razlikuje se od prethodnog po tome što nejednakost nije stroga:

Lijeva strana je ista kao u prethodnom problemu. Slika znakova će biti ista:

Možda će odgovor biti isti? Ne! Rješenje se dodaje To je zato što na , i lijeva i desna strana nejednakosti su jednake nuli - dakle, ova točka je rješenje.

Odgovor: .

U zadatku na ispitu iz matematike često se susrećemo sa ovom situacijom. Ovdje kandidati upadaju u zamku i gube bodove. Budi pazljiv!

4. Šta ako se brojnik ili imenilac ne mogu rastaviti u linearne faktore? Razmotrite ovu nejednakost:

Kvadratni trinom se ne može faktorizirati: diskriminanta je negativna, nema korijena. Ali ovo je dobro! To znači da je predznak izraza isti za sve, a konkretno, pozitivan. Više o tome možete pročitati u članku o svojstvima kvadratne funkcije.

A sada možemo podijeliti obje strane naše nejednakosti vrijednošću koja je pozitivna za sve. Dolazimo do ekvivalentne nejednakosti:

Što se lako rješava metodom intervala.

Obratite pažnju – obje strane nejednakosti podijelili smo vrijednošću za koju smo sigurno znali da je pozitivna. Naravno, u opštem slučaju, ne biste trebali množiti ili dijeliti nejednakost promjenljivom čiji je predznak nepoznat.

5 . Razmotrite još jednu nejednakost, naizgled sasvim jednostavnu:

Tako da želim da ga pomnožim sa . Ali mi smo već pametni i nećemo to učiniti. Uostalom, može biti i pozitivno i negativno. A znamo da ako se oba dijela nejednakosti pomnože negativnom vrijednošću, predznak nejednakosti se mijenja.

Postupit ćemo drugačije - skupićemo sve u jedan dio i dovesti do zajedničkog imenitelja. Nula će ostati na desnoj strani:

Class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

I nakon toga - primjenjivo intervalna metoda.

Nastavljamo da se bavimo temom “rješavanja nejednakosti jednom promjenljivom”. Već smo upoznati sa linearnim nejednačinama i kvadratnim nejednačinama. To su posebni slučajevi. racionalne nejednakosti koje ćemo sada proučavati. Počnimo tako što ćemo otkriti koje se vrste nejednakosti nazivaju racionalnim. Zatim ćemo se pozabaviti njihovom podjelom na cjelobrojne racionalne i razlomačke racionalne nejednakosti. A nakon toga ćemo proučiti kako se provodi rješavanje racionalnih nejednakosti s jednom varijablom, zapisati odgovarajuće algoritme i razmotriti rješenja tipičnih primjera s detaljnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Šta su racionalne nejednakosti?

U školi, na časovima algebre, čim dođe do razgovora o rješavanju nejednačina, odmah dolazi do susreta sa racionalnim nejednačinama. Međutim, u početku se ne nazivaju pravim imenom, jer su u ovoj fazi vrste nejednakosti malo interesantne, a glavni cilj je stjecanje početnih vještina u radu s nejednakostima. Sam pojam "racionalna nejednakost" uvodi se kasnije u 9. razredu, kada počinje detaljno proučavanje nejednakosti ovog tipa.

Hajde da saznamo šta su racionalne nejednakosti. Evo definicije:

U izgovorenoj definiciji ništa se ne kaže o broju varijabli, što znači da je dozvoljen bilo koji njihov broj. U zavisnosti od toga, razlikuju se racionalne nejednakosti sa jedan, dva itd. varijable. Inače, udžbenik daje sličnu definiciju, ali za racionalne nejednakosti sa jednom varijablom. To je i razumljivo, jer se škola fokusira na rješavanje nejednakosti s jednom varijablom (u nastavku ćemo također govoriti samo o rješavanju racionalnih nejednačina s jednom varijablom). Nejednakosti sa dvije varijable malo se razmatra, a na nejednakosti sa tri ili više varijabli se praktično uopšte ne obraća pažnja.

Dakle, racionalna nejednakost se može prepoznati po njenom zapisu, za to je dovoljno pogledati izraze na njenoj lijevoj i desnoj strani i uvjeriti se da su to racionalni izrazi. Ova razmatranja nam omogućavaju da damo primjere racionalnih nejednakosti. Na primjer x>4, x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), su racionalne nejednakosti. I nejednakost nije racionalan, jer njegova lijeva strana sadrži promjenljivu pod znakom korijena, pa stoga nije racionalan izraz. Nejednakost takođe nije racionalna, jer oba njena dela nisu racionalni izrazi.

Radi lakšeg daljeg opisa, uvodimo podjelu racionalnih nejednačina na cjelobrojne i razlomke.

Definicija.

Racionalna nejednakost će se zvati cijeli, ako su oba njegova dijela cjelobrojni racionalni izrazi.

Definicija.

Frakcionalno racionalna nejednakost je racionalna nejednakost, čiji je barem jedan dio frakcijski izraz.

Dakle 0,5 x≤3 (2−5 y) , su cjelobrojne nejednakosti, i 1:x+3>0 i - frakciono racionalno.

Sada imamo jasno razumijevanje o tome šta su racionalne nejednakosti i možemo bezbedno početi da se bavimo principima rešavanja celobrojnih i frakciono racionalnih nejednakosti sa jednom promenljivom.

Rješavanje cjelobrojnih nejednačina

Postavimo sebi zadatak: trebamo riješiti cjelobrojnu racionalnu nejednakost s jednom varijablom x oblika r(x) , ≥), gdje su r(x) i s(x) neki cjelobrojni racionalni izrazi. Da bismo ga riješili, koristit ćemo ekvivalentne transformacije nejednakosti .

Pomjerimo izraz s desne strane na lijevu, što će nas dovesti do ekvivalentne nejednakosti oblika r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) sa nulom na desnoj strani. Očigledno je da je izraz r(x)−s(x) formiran na lijevoj strani također cijeli broj, a poznato je da je bilo koji . Nakon transformacije izraza r(x)−s(x) u identično jednak polinom h(x) (ovdje primjećujemo da izrazi r(x)−s(x) i h(x) imaju istu varijablu x), prelazimo na ekvivalentnu nejednakost h(x)<0 (≤, >, ≥).

U najjednostavnijim slučajevima, izvršene transformacije će biti dovoljne da dobijemo željeno rješenje, jer će nas od prvobitne cjelobrojne racionalne nejednakosti dovesti do nejednakosti koju možemo riješiti, na primjer, do linearne ili kvadratne. Razmotrite primjere.

Primjer.

Naći rješenje cijele racionalne nejednačine x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .

Rješenje.

Prvo, pomjerimo izraz s desne strane na lijevu: x (x+3)+2 x−(x+1) 2 −1≤0. Nakon što smo uradili sve na lijevoj strani, dolazimo do linearne nejednakosti 3 x−2≤0 , što je ekvivalentno originalnoj cjelobrojnoj nejednakosti. Njegovo rješenje nije teško:
3 x≤2 ,
x≤2/3 .

odgovor:

x≤2/3 .

Primjer.

Riješite nejednakost (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 − x) (x 2 + x).

Rješenje.

Počinjemo kao i obično pomicanjem izraza s desne strane, a zatim vršimo transformacije na lijevoj strani koristeći:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 − x) (x 2 + x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

Dakle, izvodeći ekvivalentne transformacije, došli smo do nejednakosti 1>0, što vrijedi za bilo koju vrijednost varijable x. A to znači da je rješenje izvorne cjelobrojne nejednakosti bilo koji realan broj.

odgovor:

x - bilo koji.

Primjer.

Riješite nejednakost x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

Rješenje.

Na desnoj strani je nula, tako da ništa ne treba pomicati s nje. Transformirajmo cijeli izraz na lijevoj strani u polinom:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

Dobili smo kvadratnu nejednakost, koja je ekvivalentna izvornoj nejednakosti. Rješavamo ga bilo kojom metodom koja nam je poznata. Kvadratnu nejednačinu ćemo riješiti grafički.

Pronađite korijene kvadratnog trinoma −2 x 2 +11 x+6:

Izrađujemo šematski crtež na kojem označavamo pronađene nule, a vodimo računa da su grane parabole usmjerene prema dolje, jer je vodeći koeficijent negativan:

Kako nejednakost rješavamo sa predznakom >, zanimaju nas intervali na kojima se parabola nalazi iznad x-ose. To se dešava na intervalu (−0.5, 6) , i to je željeno rješenje.

odgovor:

(−0,5, 6) .

U složenijim slučajevima, na lijevoj strani rezultirajuće nejednakosti h(x)<0 (≤, >, ≥) će biti polinom trećeg ili višeg stepena. Za rješavanje takvih nejednakosti prikladna je metoda intervala, u čijem prvom koraku ćete morati pronaći sve korijene polinoma h (x) , što se često radi.

Primjer.

Pronađite rješenje cijele racionalne nejednakosti (x 2 +2) (x+4)<14−9·x .

Rješenje.

Pomerimo sve na lijevu stranu, nakon čega tamo i:
(x 2 +2) (x+4)−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

Izvršene manipulacije dovode nas do nejednakosti koja je ekvivalentna originalnoj. Na njegovoj lijevoj strani nalazi se polinom trećeg stepena. Može se riješiti metodom intervala. Da biste to učinili, prije svega, morate pronaći korijene polinoma koji počiva na x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Hajde da saznamo da li ima racionalne korene, koji mogu biti samo među deliocima slobodnog člana, odnosno među brojevima ±1, ±2, ±3, ±6. Zamjenom ovih brojeva naizmjence umjesto varijable x u jednačini x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, saznajemo da su korijeni jednačine brojevi 1, 2 i 3. Ovo nam omogućava da polinom x 3 +4 x 2 +11 x−6 predstavimo kao proizvod (x−1) (x−2) (x−3) , a nejednakost x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

A onda ostaje izvršiti standardne korake metode intervala: označiti na brojevnoj pravoj tačke sa koordinatama 1, 2 i 3, koje ovu liniju dijele na četiri intervala, odrediti i postaviti znakove, nacrtati šrafiranje preko intervala sa znakom minus (pošto nejednakost rješavamo znakom<) и записать ответ.

Odatle imamo (−∞, 1)∪(2, 3) .

odgovor:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Treba napomenuti da je ponekad nepraktično iz nejednakosti r(x) − s(x)<0 (≤, >, ≥) prijeći na nejednakost h(x)<0 (≤, >, ≥), gdje je h(x) polinom stepena većeg od dva. Ovo se odnosi na slučajeve u kojima je teže faktorizirati polinom h(x) nego predstaviti izraz r(x) − s(x) kao proizvod linearnih binoma i kvadratnih trinoma, na primjer, stavljanjem zajedničkog faktora u zagrade. Objasnimo ovo na primjeru.

Primjer.

Riješite nejednakost (x 2 −2 x−1) (x 2 −19)≥2 x (x 2 −2 x−1).

Rješenje.

Ovo je cijela nejednakost. Ako izraz premjestimo s njegove desne strane na lijevu, zatim otvorimo zagrade i donesemo slične članove, dobićemo nejednakost x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Rješavanje je vrlo teško, jer uključuje pronalaženje korijena polinoma četvrtog stepena. Lako je provjeriti da nema racionalne korijene (mogu biti brojevi 1, -1, 19 ili -19), a problematično je tražiti njegove druge korijene. Stoga je ovaj put ćorsokak.

Potražimo druga moguća rješenja. Lako je vidjeti da nakon prijenosa izraza s desne strane izvorne cjelobrojne nejednakosti na lijevu stranu, možemo uzeti zajednički faktor x 2 −2 x −1 iz zagrada:
(x 2 −2 x−1) (x 2 −19)−2 x (x 2 −2 x−1)≥0,
(x 2 −2 x−1) (x 2 −2 x−19)≥0.

Izvršena transformacija je ekvivalentna, pa će rješenje rezultirajuće nejednakosti biti rješenje izvorne nejednakosti.

I sada možemo pronaći nule izraza koje se nalaze na lijevoj strani rezultirajuće nejednakosti, za to nam treba x 2 −2 x−1=0 i x 2 −2 x−19=0 . Njihovi korijeni su brojevi . Ovo nam omogućava da prijeđemo na ekvivalentnu nejednakost i možemo je riješiti intervalnom metodom:

Prema crtežu zapisujemo odgovor.

odgovor:

U zaključku ovog paragrafa, samo bih htio dodati da je daleko od uvijek moguće pronaći sve korijene polinoma h (x) i kao rezultat toga proširiti ga u proizvod linearnih binoma i kvadratnih trinoma. U ovim slučajevima ne postoji način da se riješi nejednakost h(x)<0 (≤, >, ≥), što znači da ne postoji način da se pronađe rješenje originalne cijele racionalne jednačine.

Rješenje frakciono racionalnih nejednačina

Sada se pozabavimo rješenjem takvog problema: neka je potrebno riješiti frakcijsko racionalnu nejednakost s jednom varijablom x oblika r(x) , ≥), gdje su r(x) i s(x) neki racionalni izrazi, a barem jedan od njih je razlomačan. Hajdemo odmah dati algoritam za njegovo rješavanje, nakon čega ćemo dati potrebna objašnjenja.

Algoritam za rješavanje frakciono racionalne nejednakosti sa jednom varijablom r(x) , ≥):

• Prvo morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti (ODV) varijable x za izvornu nejednakost.
• Zatim morate prenijeti izraz s desne strane nejednačine na lijevu, a izraz r(x) − s(x) koji je tamo formiran treba pretvoriti u oblik razlomka p(x)/q(x ) , gdje su p(x) i q(x) izrazi cijelih brojeva koji su produkti linearnih binoma, nerazložljivih kvadratnih trinoma i njihovih potencija s prirodnim eksponentom.
• Zatim morate riješiti rezultirajuću nejednakost metodom intervala.
• Konačno, iz rješenja dobivenog u prethodnom koraku potrebno je isključiti tačke koje nisu uključene u DPV varijable x za izvornu nejednakost pronađenu u prvom koraku.

Tako će se dobiti željeno rješenje frakciono racionalne nejednakosti.

Drugi korak algoritma zahtijeva neko objašnjenje. Prenošenjem izraza s desne strane nejednačine na lijevu dobije se nejednakost r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), što je ekvivalentno originalnom. Ovde je sve jasno. Ali pitanja se postavljaju njegovom daljnjom transformacijom u oblik p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

Prvo pitanje je: “Da li je to uvijek moguće izvesti”? Teoretski, da. Znamo da je sve moguće. Brojilac i imenilac racionalnog razlomka su polinomi. A iz osnovne teoreme algebre i Bezoutove teoreme proizilazi da se bilo koji polinom stepena n sa jednom promenljivom može predstaviti kao proizvod linearnih binoma. Ovo objašnjava mogućnost izvođenja ove transformacije.

U praksi je prilično teško faktorisati polinome, a ako je njihov stepen veći od četvrtog, onda to nije uvijek moguće. Ako je faktorizacija nemoguća, onda neće biti načina da se nađe rješenje za izvornu nejednakost, ali se takvi slučajevi obično ne događaju u školi.

Drugo pitanje: „Hoće li nejednakost p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) je ekvivalentna nejednakosti r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), a time i original”? Može biti ili ekvivalentan ili nejednak. To je ekvivalentno kada je ODZ za izraz p(x)/q(x) isti kao ODZ za izraz r(x)−s(x) . U ovom slučaju, posljednji korak algoritma će biti suvišan. Ali DPV za izraz p(x)/q(x) može biti širi od DPV za izraz r(x)−s(x) . Do proširenja ODZ-a može doći kada se razlomci smanje, kao, na primjer, pri pomicanju od To . Takođe, proširenje ODZ može biti olakšano smanjenjem sličnih termina, kao npr. To . Za ovaj slučaj je namijenjen posljednji korak algoritma koji eliminiše vanjska rješenja koja proizlaze iz proširenja ODZ-a. Pripazimo na ovo kada u nastavku analiziramo rješenja primjera.

• Razvijati sposobnost rješavanja racionalnih nejednačina metodom intervala sa više korijena, pomoći učenicima da razviju potrebu i želju za generalizacijom proučenog gradiva;
• Razvijati sposobnost upoređivanja rješenja, utvrđivanja tačnih odgovora; razvijati radoznalost, logičko razmišljanje, kognitivni interes za predmet
• Negovati tačnost u donošenju odluka, sposobnost prevazilaženja poteškoća u rešavanju nejednakosti.

Materijali i oprema: interaktivna tabla, kartice, zbirka testova.

Napredak lekcije

I. Organizacioni momenat

II. Ažuriranje znanja

Frontalna razredna anketa na pitanja:

Pri kojim vrijednostima varijable razlomak ima smisla (slika 1)?

Ponovite algoritam za rješavanje nejednačina oblika (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 ili (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n)< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.

Na interaktivnoj tabli je prikazan algoritam za rješavanje nejednačina metodom intervala:

III. Učenje novog gradiva. Rješenje razlomačno-racionalnih nejednačina sa višestrukim korijenima metodom intervala.

Rješavanje nejednačina s višestrukim kritičnim vrijednostima varijable obično je povezano s najvećim poteškoćama. Ako je ranije bilo moguće postaviti znakove na intervale jednostavnim izmjenom, sada se prilikom prolaska kroz kritičnu vrijednost predznak cijelog izraza možda neće promijeniti. Upoznat ćemo se s takozvanom metodom "latica", koja će pomoći u prevladavanju poteškoća povezanih s rasporedom znakova funkcija na intervalima.

Razmotrimo primjer: (x+3) 2 > 0/

Lijeva strana ima jednu kritičnu tačku x = - 3. Označavamo je na realnoj liniji. Ova tačka ima višestrukost 2, tako da možemo pretpostaviti da imamo dvije spojene kritične tačke, između kojih takođe postoji interval sa početkom i krajem u istoj tački -3. Takve intervale ćemo označiti "laticama", kao na sl.3. Tako su dobijena tri intervala: dva numerička intervala (-∞; -3); (-3; +∞) i "latica" između njih. Ostaje postaviti znakove. Da bismo to učinili, izračunavamo znak na intervalu koji sadrži nulu, a znakove stavljamo na ostatak, jednostavno ih izmjenjujući. Rezultat postavljanja znakova prikazan je na slici 4

Rice. 3	Rice. 4

Odgovor: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)

Razmotrimo sada složeniju nejednakost (slika 5):

Hajde da predstavimo funkciju (slika 6):

Označavamo kritične tačke na brojevnoj liniji, uzimajući u obzir njihovu višestrukost - za svaku dodatnu zagradu sa datom kritičnom vrijednošću crtamo dodatnu "laticu". Dakle, na slici 7, jedna "latica" će se pojaviti u tački x = 3, budući da (x-3)? = (x-3) (x-3).

Budući da je (x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6), dvije "latice" pojavljuju se u tački x = 6. Prvi množilac se uzima u obzir točkom 6 na osi, a dva dodatna množitelja se uzimaju u obzir dodavanjem dvije "latice". Zatim određujemo znak na jednom od intervala i postavljamo znakove na ostatak, naizmjenično minus i plus.

Sve praznine označene sa "+" i tamnim tačkama daju odgovor.

X € [-4;-1) U (3) U (6;+∞).

IV. Popravljanje novog materijala

1. Riješite nejednačinu:

Faktorizirajmo lijevu stranu nejednakosti:

Prvo, crtamo kritične tačke nazivnika na koordinatnoj osi, dobijamo (slika 10)

Sabiranjem brojilačkih tačaka dobijamo (slika 11)

A sada određujemo znakove na intervalima i u "laticama" (slika 12)

Rice. 12

Odgovor: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)

2. Odabrati numeričke intervale koji su rješenja nejednačina metodom intervala, uzimajući u obzir višestrukost korijena polinoma (slika 13).

V. Sažetak lekcije

Tokom razgovora sa razredom donosimo zaključke:

1) Postaje moguće postavljati znakove u intervalima, jednostavno ih mijenjajući.

3) Sa takvim rješenjem, pojedinačni korijeni se nikada ne gube.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.