Pravokutni trokut - ovo je trougao u kojem je jedan od uglova ravan, odnosno jednak 90 stepeni.
- Strana naspram pravog ugla naziva se hipotenuza (na slici označena kao c ili AB)
- Strana koja se nalazi uz pravi ugao naziva se noga. Svaki pravokutni trokut ima dvije krake (na slici su označene kao a i b ili AC i BC)
Formule i svojstva pravokutnog trougla
Oznake formula:(vidi sliku iznad)
a, b- katete pravouglog trougla
c- hipotenuza
α, β - oštri uglovi trougla
S- kvadrat
h- visina spuštena sa vrha pravi ugao na hipotenuzu
m a a iz suprotnog ugla ( α )
m b- medijana povučena u stranu b iz suprotnog ugla ( β )
m c- medijana povučena u stranu c iz suprotnog ugla ( γ )
IN pravougaonog trougla bilo koji od kateta je manji od hipotenuze(Formule 1 i 2). Ovo svojstvo je posledica Pitagorine teoreme.
Kosinus bilo kojeg od oštrih uglova manje od jedan (Formule 3 i 4). Ovo svojstvo proizlazi iz prethodne. Budući da je bilo koji katet manji od hipotenuze, omjer kateta i hipotenuze je uvijek manji od jedan.
Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta (Pitagorina teorema). (Formula 5). Ovo svojstvo se stalno koristi prilikom rješavanja problema.
Površina pravouglog trougla jednako polovini umnožaka nogu (Formula 6)
Zbir medijana na kvadrat na katete jednako je pet kvadrata medijane hipotenuze i pet kvadrata hipotenuze podijeljeno sa četiri (Formula 7). Pored navedenog, postoji Još 5 formula, stoga se preporučuje da pročitate i lekciju “Medijan pravokutnog trougla” koja detaljnije opisuje svojstva medijane.
Visina pravokutnog trokuta jednak je umnošku kateta podijeljenih hipotenuzom (formula 8)
Kvadrati kateta su obrnuto proporcionalni kvadratu visine spuštene na hipotenuzu (Formula 9). Ovaj identitet je također jedna od posljedica Pitagorine teoreme.
Dužina hipotenuze jednak prečniku (dva poluprečnika) opisane kružnice (Formula 10). Hipotenuza pravouglog trougla je prečnik opisane kružnice. Ovo svojstvo se često koristi u rješavanju problema.
Upisani radijus V pravougaonog trougla krug može se naći kao polovina izraza uključujući zbir kateta ovog trokuta minus dužinu hipotenuze. Ili kao proizvod kateta podijeljen zbirom svih strana (perimetra) datog trokuta. (Formula 11)
Sinus ugla odnos prema suprotnom ovaj ugao krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ovo svojstvo se koristi prilikom rješavanja problema. Znajući veličine stranica, možete pronaći ugao koji oni formiraju.
Kosinus ugla A (α, alpha) u pravokutnom trokutu bit će jednak stav susjedni ovaj ugao krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 13)
Za rješavanje geometrijskih problema potrebno je ogromno znanje. Jedna od osnovnih definicija ove nauke je pravougli trougao.
Ovaj koncept znači da se sastoji od tri ugla i
strane, sa jednim od uglova od 90 stepeni. Stranice koje čine pravi ugao nazivaju se kracima, a treća strana, koja je suprotna njoj, naziva se hipotenuza.
Ako su katete u takvoj figuri jednake, naziva se jednakokraki pravokutni trokut. U ovom slučaju postoji članstvo u dva, što znači da se posmatraju svojstva obe grupe. Podsjetimo da su uglovi u osnovi jednakokračnog trougla apsolutno uvijek jednaki, pa će oštri uglovi takve figure uključivati 45 stepeni.
Prisustvo jednog od sljedećih svojstava nam omogućava da kažemo da je jedan pravougaoni trokut jednak drugom:
- stranice dva trougla su jednake;
- figure imaju istu hipotenuzu i jedan od krakova;
- hipotenuza i bilo koji od oštrih uglova su jednaki;
- ispunjen je uslov jednakosti kraka i oštrog ugla.
Površina pravokutnog trokuta lako se izračunava i pomoću standardnih formula i kao vrijednost jednaka polovini proizvoda njegovih nogu.
U pravokutnom trokutu se primjećuju sljedeće relacije:
- katet nije ništa drugo do srednja vrijednost proporcionalna hipotenuzi i njenoj projekciji na nju;
- ako opišete krug oko pravokutnog trokuta, njegovo središte će biti u sredini hipotenuze;
- visina povučena iz pravog ugla je prosečna proporcionalna projekcijama krakova trougla na njegovu hipotenuzu.
Zanimljivo je da bez obzira koji je pravougao trougao, ova svojstva se uvijek poštuju.
Pitagorina teorema
Pored gore navedenih svojstava, pravokutni trokut karakterizira sljedeći uvjet:
Ova teorema je dobila ime po svom osnivaču - Pitagorinoj teoremi. On je ovu vezu otkrio kada je proučavao svojstva izgrađenih kvadrata
Da bismo dokazali teoremu, konstruiramo trougao ABC, čije krakove označavamo kao a i b, a hipotenuzu kao c. Zatim ćemo izgraditi dva kvadrata. Za jednu, strana će biti hipotenuza, za drugu, zbir dva kraka.
Tada se površina prvog kvadrata može naći na dva načina: kao zbir površina četiri trokuta ABC i drugog kvadrata, ili kao kvadrat stranice; naravno, ovi omjeri će biti jednaki. To je:
sa 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2, transformiramo rezultirajući izraz:
c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab
Kao rezultat, dobijamo: c 2 = a 2 + b 2
Dakle, geometrijska figura pravokutnog trokuta ne odgovara samo svim svojstvima karakterističnim za trokut. Prisutnost pravog ugla dovodi do činjenice da figura ima druge jedinstvene odnose. Njihovo proučavanje bit će korisno ne samo u nauci, već iu Svakodnevni život, budući da se takva figura kao što je pravokutni trokut nalazi posvuda.
Svojstva pravouglog trougla
Dragi učenici sedmog razreda, znate već šta geometrijske figure nazivaju se trouglovi, znate kako dokazati znakove njihove jednakosti. Također znate za posebne slučajeve trokuta: jednakokraki i pravi uglovi. Dobro su vam poznata svojstva jednakokračnih trouglova.
Ali pravokutni trougli također imaju mnoga svojstva. Jedna očigledna stvar ima veze sa teoremom o zbroju unutrašnjih uglova trougla: u pravouglom trokutu zbir oštrih uglova je 90°. Najčudesnije svojstvo pravouglog trougla naučićete u 8. razredu, kada budete proučavali poznatu Pitagorinu teoremu.
Sada ćemo govoriti o još dva važna svojstva. Jedan je za pravokutne trougle od 30°, a drugi za nasumične pravokutne trokute. Hajde da formulišemo i dokažemo ova svojstva.
Dobro vam je poznato da je u geometriji uobičajeno formulisati iskaze koji su suprotni dokazanim, kada uslov i zaključak u iskazu menjaju mesta. Obrnuti iskazi nisu uvijek tačni. U našem slučaju, oba suprotna iskaza su tačna.
Svojstvo 1.1 U pravokutnom trokutu krak nasuprot kuta od 30° jednak je polovini hipotenuze.
Dokaz: Razmotrimo pravougaoni ∆ ABC, u kojem je ÐA=90°, ÐB=30°, zatim ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, dakle, ono što je trebalo dokazati.
Svojstvo 1.2 (obrnuto svojstvu 1.1) Ako je u pravokutnom trokutu kateta jednaka polovini hipotenuze, onda je ugao nasuprot njemu 30°.
Svojstvo 2.1 U pravokutnom trokutu medijana povučena do hipotenuze jednaka je polovini hipotenuze.
Razmotrimo pravougaonik ∆ ABC, u kojem je RV=90°.
BD-medijan, odnosno AD=DC. Dokažimo to.
Da bismo to dokazali, napravićemo dodatnu konstrukciju: nastavićemo BD preko tačke D tako da je BD=DN i povezati N sa A i C..gif" width="616" height="372 src=">
Zadato: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, pošto je u pravougaonom ∆BCE zbir oštrih uglova 90o
2. BE=14cm (osobina 1)
3. ÐABE=30o, pošto je ÐA+ÐABE=ÐBEC (osobina spoljašnjeg ugla trougla) dakle ∆AEB je jednakokračan AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 cm (svojstvo 2).
Zadatak 3. Dokažite da visina i medijana pravokutnog trokuta uzeti hipotenuzu čine ugao jednak razlici oštrih uglova trokuta.
Dato: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-medijan, AH-visina.
Dokazati: RMAN=RS-RV.
dokaz:
1)RMAS=RS (po svojstvu 2 ∆ AMC-jednakokraki, AM=SM)
2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.
Ostaje dokazati da je RNAS=RV. Ovo proizilazi iz činjenice da su ÐB+ÐC=90° (u ∆ ABC) i ÐNAS+ÐC=90° (od ∆ ANS).
Dakle, RMAN = RS-RV, što je trebalo dokazati.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Dato: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-visina, .
Pronađi: RV, RS.
Rješenje: Uzmimo medijanu AM. Neka je AN=x, zatim BC=4x i
VM=MS=AM=2x.
U pravougaonom ∆AMN hipotenuza AM je 2 puta veća od kraka AN, dakle ÐAMN=30°. Pošto je VM=AM,
RV=RVAM100%">
Proširimo AC izvan tačke A tako da je AD=AC. Tada je ∆ABC=∆ABD (na 2 noge). BD=BC=2AC=CD, dakle ∆DBC-jednakostranični, ÐC=60o i ÐABC=30o.
Problem 5
U jednakokračnom trouglu, jedan od uglova je 120°, osnova je 10 cm.Nađi visinu povučenu u stranu.
Rješenje: za početak napominjemo da ugao od 120° može biti samo na vrhu trokuta i da će visina povučena u stranu padati na njegovom nastavku.
AB - stepenište, K - mače.
U bilo kojoj poziciji ljestvi, sve dok konačno ne padnu na tlo, ∆ABC je pravougaona. MC - medijan ∆ABC.
Prema svojstvu 2 SK = 1/2AB. Odnosno, u svakom trenutku dužina segmenta SK je konstantna.
Odgovor: tačka K će se kretati duž kružnog luka sa centrom C i poluprečnikom SC=1/2AB.
Problemi za samostalno rješavanje.
Jedan od uglova pravokutnog trokuta je 60°, a razlika između hipotenuze i kraćeg kraka je 4 cm. naći dužinu hipotenuze. U pravougaoniku ∆ ABC sa hipotenuzom BC i uglom B jednakim 60°, povučena je visina AD. Pronađite DC ako je DB=2cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - visina, BC=2VD. Dokazati da je AD=3VD. Visina pravokutnog trokuta dijeli hipotenuzu na dijelove 3 cm i 9 cm. Pronađite uglove trokuta i udaljenost od sredine hipotenuze do dužeg kraka. Simetrala dijeli trougao na dva jednakokračna trougla. Pronađite uglove originalnog trougla. Medijan dijeli trokut na dva jednakokračna trougla. Da li je moguće pronaći uglove
Originalni trougao?
Prosječan nivo
Pravokutni trokut. Potpuni ilustrovani vodič (2019.)
PRAVI TROUGAO. PRVI NIVO.
U problemima pravi ugao uopće nije potreban - donji lijevi, tako da morate naučiti prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,
iu ovome
iu ovome 
Šta je dobro kod pravouglog trougla? Pa..., prvo, postoje posebna lijepa imena za njegove strane.
Pažnja na crtež!
Zapamtite i nemojte brkati: postoje dva kraka, a postoji samo jedna hipotenuza(jedan i jedini, jedinstven i najduži)!
Pa, razgovarali smo o imenima, sada o najvažnijoj stvari: Pitagorinoj teoremi.
Pitagorina teorema.
Ova teorema je ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravokutni trokut. Dokazao ju je Pitagora još u davnim vremenima i od tada je doneo mnogo koristi onima koji to poznaju. A najbolja stvar u vezi s tim je to što je jednostavan.
dakle, Pitagorina teorema:
Sjećate li se vica: “Pitagorine pantalone su jednake na sve strane!”?
Nacrtajmo ove iste pitagorejske pantalone i pogledajmo ih. 
Zar ne liči na neke kratke hlače? Pa na kojim su stranama i gdje su jednaki? Zašto i odakle je došla šala? A ova šala je povezana upravo sa Pitagorinom teoremom, tačnije sa načinom na koji je sam Pitagora formulisao svoju teoremu. A on je to formulisao ovako:
"Suma površine kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina, izgrađen na hipotenuzi."
Da li zaista zvuči malo drugačije? I tako, kada je Pitagora nacrtao izjavu svoje teoreme, to je upravo slika koja je ispala.
Na ovoj slici, zbir površina malih kvadrata jednak je površini velikog kvadrata. A kako bi djeca bolje zapamtila da je zbir kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze, netko je duhovit smislio ovaj vic o pitagorinim pantalonama.
Zašto sada formulišemo Pitagorinu teoremu?
Da li je Pitagora patio i govorio o kvadratima?
Vidite, u stara vremena nije postojala... algebra! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo natpisa. Možete li zamisliti kako je bilo strašno za jadne drevne studente da se svega sjete riječima??! I možemo se radovati što imamo jednostavnu formulaciju Pitagorine teoreme. Ponovimo ponovo da ga bolje zapamtimo:
Sada bi trebalo biti lako:
| Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta. |
Pa, o najvažnijoj teoremi o pravokutnim trokutima se raspravljalo. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće nivoe teorije, a sada idemo dalje... u mračnu šumu... trigonometrije! Na strašne riječi sinus, kosinus, tangenta i kotangens.
Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu.
U stvari, sve uopšte nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Ali zaista ne želim, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:
Zašto je sve samo na uglu? Gdje je ugao? Da biste ovo razumjeli, morate znati kako se izjave 1 - 4 pišu riječima. Pogledajte, shvatite i zapamtite!
1.
Zapravo zvuči ovako:
Šta je sa uglom? Postoji li noga koja je nasuprot uglu, odnosno suprotna (za ugao) noga? Naravno! Ovo je noga!
Šta je sa uglom? Pogledaj pažljivo. Koja noga je uz ugao? Naravno, noga. To znači da je za ugao noga susjedna, i
Sada, obratite pažnju! Pogledajte šta imamo:
Pogledajte kako je super:
Sada pređimo na tangentu i kotangens.
Kako da to sada zapišem riječima? Šta je noga u odnosu na ugao? Nasuprot, naravno - "leži" nasuprot uglu. Šta je sa nogom? U blizini ugla. Pa šta imamo?
Vidite kako su brojilac i imenilac zamijenili mjesta?
A sad opet uglovi i razmjena:
Sažetak
Hajde da ukratko zapišemo sve što smo naučili.
 |
Pitagorina teorema: |
Glavna teorema o pravokutnim trokutima je Pitagorina teorema.
Pitagorina teorema
Usput, da li se dobro sjećate šta su noge i hipotenuza? Ako nije baš dobro, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje
Sasvim je moguće da ste Pitagorinu teoremu već koristili mnogo puta, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takva teorema istinita? Kako to mogu dokazati? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.
Pogledajte kako smo pametno podijelili njegove stranice na dužine i!
Sada spojimo označene tačke
Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate crtež i pomislite zašto je to tako.
Kolika je površina većeg kvadrata?
U redu, .
Šta je sa manjom površinom?
Svakako, .
Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo ih uzeli po dva i prislonili jedno na drugo hipotenuzama.
Šta se desilo? Dva pravougaonika. To znači da je površina "rezova" jednaka.
Hajde da sve to spojimo sada.
transformirajmo:
Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.
Pravokutni trokut i trigonometrija
Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:
Sinus oštrog ugla jednak je omjeru suprotne strane prema hipotenuzi
Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.
Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotne i susjedne strane.
Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjedne i suprotne strane.
I još jednom sve ovo u obliku tableta:
Veoma je udobno!
Znaci jednakosti pravokutnih trougla
I. Sa dve strane
II. Po kraku i hipotenuzi
III. Hipotenuzom i oštrim uglom
IV. Duž noge i oštrog ugla
a) 
b) 
Pažnja! Ovdje je veoma važno da noge budu “primjerene”. Na primjer, ako ide ovako:
ONDA TROUGOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.
Treba u oba trougla krak je bio susedan, ili u oba suprotan.
Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta?
Pogledajte temu „i obratite pažnju na to da za jednakost „običnih“ trouglova tri njihova elementa moraju biti jednaka: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih, odnosno tri stranice.
Ali za jednakost pravokutnih trougla dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično, zar ne?
Približno ista situacija je i sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.
Znakovi sličnosti pravokutnih trougla
I. Duž oštrog ugla
II. Na dvije strane
III. Po kraku i hipotenuzi
Medijan u pravokutnom trokutu
Zašto je to tako?
Umjesto pravougaonog trokuta, razmotrite cijeli pravougaonik.
Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo tačku - tačku presjeka dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?
I šta iz ovoga slijedi?
Tako se ispostavilo
- - medijana:
Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!
Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.
Kakvo dobro se može dobiti iz činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku
Pogledaj pažljivo. Imamo: , to jest, udaljenosti od tačke do sva tri vrha trougla su se pokazale jednake. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka od koje su udaljenosti od sva tri vrha trougla jednake, a to je CENTAR KRUŽNICE. Šta se desilo?
Pa počnimo sa ovim „osim...“.
Pogledajmo i.
Ali svi slični trokuti imaju jednake uglove!
Isto se može reći i za i
Sada ga nacrtajmo zajedno:
Koja korist se može izvući iz ove „trostruke“ sličnosti?
Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trougla.
Zapišimo odnose odgovarajućih strana:
Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":
Dakle, primijenimo sličnost: .
Šta će se sada dogoditi?
Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:
Morate dobro zapamtiti obje ove formule i koristiti onu koja je prikladnija.
Hajde da ih ponovo zapišemo
Pitagorina teorema:
U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: .
Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:
- na dvije strane:
- po kraku i hipotenuzi: ili
- duž kraka i susjednog oštrog ugla: ili
- duž kraka i suprotnog oštrog ugla: ili
- hipotenuzom i oštrim uglom: ili.
Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:
- jedan oštri ugao: ili
- iz proporcionalnosti dvije noge:
- iz proporcionalnosti kateta i hipotenuze: ili.
Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu
- Sinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne strane i hipotenuze:
- Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
- Tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne strane i susjedne stranice:
- Kotangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjedne i suprotne stranice: .
Visina pravokutnog trougla: ili.
U pravokutnom trokutu medijana povučena iz vrha pravog ugla jednaka je polovini hipotenuze: .
Površina pravouglog trougla:
- preko nogu:
- kroz nogu i oštar ugao: .
Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.
Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada najvažnija stvar.
Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što ovo možda nije dovoljno...
Za što?
Za uspešan polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.
Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?
STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.
Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.
Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.
Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.
Kako? Postoje dvije opcije:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub.
Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.
Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.
U zakljucku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Prosječan nivo
Pravokutni trokut. Potpuni ilustrovani vodič (2019.)
PRAVI TROUGAO. PRVI NIVO.
U problemima pravi ugao uopće nije potreban - donji lijevi, tako da morate naučiti prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,
iu ovome
iu ovome
Šta je dobro kod pravouglog trougla? Pa..., prvo, postoje posebna lijepa imena za njegove strane.
Pažnja na crtež!
Zapamtite i nemojte brkati: postoje dva kraka, a postoji samo jedna hipotenuza(jedan i jedini, jedinstven i najduži)!
Pa, razgovarali smo o imenima, sada o najvažnijoj stvari: Pitagorinoj teoremi.
Pitagorina teorema.
Ova teorema je ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravokutni trokut. Dokazao ju je Pitagora još u davnim vremenima i od tada je doneo mnogo koristi onima koji to poznaju. A najbolja stvar u vezi s tim je to što je jednostavan.
dakle, Pitagorina teorema:
Sjećate li se vica: “Pitagorine pantalone su jednake na sve strane!”?
Nacrtajmo ove iste pitagorejske pantalone i pogledajmo ih.
Zar ne liči na neke kratke hlače? Pa na kojim su stranama i gdje su jednaki? Zašto i odakle je došla šala? A ova šala je povezana upravo sa Pitagorinom teoremom, tačnije sa načinom na koji je sam Pitagora formulisao svoju teoremu. A on je to formulisao ovako:
"Suma površine kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina, izgrađen na hipotenuzi."
Da li zaista zvuči malo drugačije? I tako, kada je Pitagora nacrtao izjavu svoje teoreme, to je upravo slika koja je ispala.
Na ovoj slici, zbir površina malih kvadrata jednak je površini velikog kvadrata. A kako bi djeca bolje zapamtila da je zbir kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze, netko je duhovit smislio ovaj vic o pitagorinim pantalonama.
Zašto sada formulišemo Pitagorinu teoremu?
Da li je Pitagora patio i govorio o kvadratima?
Vidite, u stara vremena nije postojala... algebra! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo natpisa. Možete li zamisliti kako je bilo strašno za jadne drevne studente da se svega sjete riječima??! I možemo se radovati što imamo jednostavnu formulaciju Pitagorine teoreme. Ponovimo ponovo da ga bolje zapamtimo:
Sada bi trebalo biti lako:
| Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta. |
Pa, o najvažnijoj teoremi o pravokutnim trokutima se raspravljalo. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće nivoe teorije, a sada idemo dalje... u mračnu šumu... trigonometrije! Na strašne riječi sinus, kosinus, tangenta i kotangens.
Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu.
U stvari, sve uopšte nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Ali zaista ne želim, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:
Zašto je sve samo na uglu? Gdje je ugao? Da biste ovo razumjeli, morate znati kako se izjave 1 - 4 pišu riječima. Pogledajte, shvatite i zapamtite!
1.
Zapravo zvuči ovako:
Šta je sa uglom? Postoji li noga koja je nasuprot uglu, odnosno suprotna (za ugao) noga? Naravno! Ovo je noga!
Šta je sa uglom? Pogledaj pažljivo. Koja noga je uz ugao? Naravno, noga. To znači da je za ugao noga susjedna, i
Sada, obratite pažnju! Pogledajte šta imamo:
Pogledajte kako je super:
Sada pređimo na tangentu i kotangens.
Kako da to sada zapišem riječima? Šta je noga u odnosu na ugao? Nasuprot, naravno - "leži" nasuprot uglu. Šta je sa nogom? U blizini ugla. Pa šta imamo?
Vidite kako su brojilac i imenilac zamijenili mjesta?
A sad opet uglovi i razmjena:
Sažetak
Hajde da ukratko zapišemo sve što smo naučili.
|
Pitagorina teorema: |
Glavna teorema o pravokutnim trokutima je Pitagorina teorema.
Pitagorina teorema
Usput, da li se dobro sjećate šta su noge i hipotenuza? Ako nije baš dobro, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje
Sasvim je moguće da ste Pitagorinu teoremu već koristili mnogo puta, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takva teorema istinita? Kako to mogu dokazati? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.
Pogledajte kako smo pametno podijelili njegove stranice na dužine i!
Sada spojimo označene tačke
Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate crtež i pomislite zašto je to tako.
Kolika je površina većeg kvadrata?
U redu, .
Šta je sa manjom površinom?
Svakako, .
Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo ih uzeli po dva i prislonili jedno na drugo hipotenuzama.
Šta se desilo? Dva pravougaonika. To znači da je površina "rezova" jednaka.
Hajde da sve to spojimo sada.
transformirajmo:
Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.
Pravokutni trokut i trigonometrija
Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:
Sinus oštrog ugla jednak je omjeru suprotne strane prema hipotenuzi
Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.
Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotne i susjedne strane.
Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjedne i suprotne strane.
I još jednom sve ovo u obliku tableta:
Veoma je udobno!
Znaci jednakosti pravokutnih trougla
I. Sa dve strane
II. Po kraku i hipotenuzi
III. Hipotenuzom i oštrim uglom
IV. Duž noge i oštrog ugla
a)
b)
Pažnja! Ovdje je veoma važno da noge budu “primjerene”. Na primjer, ako ide ovako:
ONDA TROUGOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.
Treba u oba trougla krak je bio susedan, ili u oba suprotan.
Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta?
Pogledajte temu „i obratite pažnju na to da za jednakost „običnih“ trouglova tri njihova elementa moraju biti jednaka: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih, odnosno tri stranice.
Ali za jednakost pravokutnih trougla dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično, zar ne?
Približno ista situacija je i sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.
Znakovi sličnosti pravokutnih trougla
I. Duž oštrog ugla
II. Na dvije strane
III. Po kraku i hipotenuzi
Medijan u pravokutnom trokutu
Zašto je to tako?
Umjesto pravougaonog trokuta, razmotrite cijeli pravougaonik.
Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo tačku - tačku presjeka dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?
I šta iz ovoga slijedi?
Tako se ispostavilo
- - medijana:
Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!
Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.
Kakvo dobro se može dobiti iz činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku
Pogledaj pažljivo. Imamo: , to jest, udaljenosti od tačke do sva tri vrha trougla su se pokazale jednake. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka od koje su udaljenosti od sva tri vrha trougla jednake, a to je CENTAR KRUŽNICE. Šta se desilo?
Pa počnimo sa ovim „osim...“.
Pogledajmo i.
Ali svi slični trokuti imaju jednake uglove!
Isto se može reći i za i
Sada ga nacrtajmo zajedno:
Koja korist se može izvući iz ove „trostruke“ sličnosti?
Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trougla.
Zapišimo odnose odgovarajućih strana:
Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":
Dakle, primijenimo sličnost: .
Šta će se sada dogoditi?
Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:
Morate dobro zapamtiti obje ove formule i koristiti onu koja je prikladnija.
Hajde da ih ponovo zapišemo
Pitagorina teorema:
U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: .
Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:
- na dvije strane:
- po kraku i hipotenuzi: ili
- duž kraka i susjednog oštrog ugla: ili
- duž kraka i suprotnog oštrog ugla: ili
- hipotenuzom i oštrim uglom: ili.
Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:
- jedan oštri ugao: ili
- iz proporcionalnosti dvije noge:
- iz proporcionalnosti kateta i hipotenuze: ili.
Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu
- Sinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne strane i hipotenuze:
- Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
- Tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne strane i susjedne stranice:
- Kotangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjedne i suprotne stranice: .
Visina pravokutnog trougla: ili.
U pravokutnom trokutu medijana povučena iz vrha pravog ugla jednaka je polovini hipotenuze: .
Površina pravouglog trougla:
- preko nogu:
- kroz nogu i oštar ugao: .
Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.
Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada najvažnija stvar.
Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što ovo možda nije dovoljno...
Za što?
Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.
Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?
STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.
Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.
Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.
Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.
Kako? Postoje dvije opcije:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku - 299 rub.
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 rub.
Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.
Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.
U zakljucku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
