Sarcini, a căror soluție este conversia expresiilor logaritmice, destul de des întâlnit la examen.

Pentru a le face față cu succes cu o cheltuială minimă de timp, pe lângă identitățile logaritmice de bază, este necesar să cunoașteți și să folosiți corect câteva formule suplimentare.

Aceasta este: a log a b = b, unde a, b > 0, a ≠ 1 (Resultă direct din definiția logaritmului).

log a b = log c b / log c a sau log a b = 1/log b a
unde a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
unde a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
unde a, b, c > 0 și a, b, c ≠ 1

Pentru a arăta validitatea celei de-a patra egalități, luăm logaritmul părților stângă și dreaptă din baza a. Obținem log a (a log c b) = log a (b log c a) sau log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log cu b = log cu b.

Am demonstrat egalitatea logaritmilor, ceea ce înseamnă că expresiile de sub logaritmi sunt de asemenea egale. Formula 4 este dovedită.

Exemplul 1

Calculați 81 log 27 5 log 5 4 .

Soluţie.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Prin urmare,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Atunci 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Puteți finaliza singuri următoarea sarcină.

Calculați (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Ca un indiciu, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.

Raspuns: 5.

Exemplul 2

Calculați (√11) Buturuga √3 9 log 121 81 .

Soluţie.

Să înlocuim expresiile: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (a fost folosită formula 3).

Apoi (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Exemplul 3

Calculați log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Soluţie.

Vom înlocui logaritmii conținuti în exemplu cu logaritmi cu baza 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Apoi log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

După deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, obținem numărul 3. (La simplificarea expresiei, log 2 3 poate fi notat cu n și simplificăm expresia

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Raspuns: 3.

Puteți face următoarele pe cont propriu:

Calculați (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Aici este necesar să se facă o tranziție la logaritmi în baza 3 și descompunerea în factori primi ai numerelor mari.

Raspuns: 1/2

Exemplul 4

Se dau trei numere A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Aranjați-le în ordine crescătoare.

Soluţie.

Să transformăm numerele A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Să le comparăm

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 și log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Sau 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Răspuns. Prin urmare, ordinea de plasare a numerelor: C; DAR; LA.

Exemplul 5

Câte numere întregi sunt în interval (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Soluţie.

Să stabilim între ce puteri ale numărului 3 este numărul 1/16. Primim 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Deoarece funcția y \u003d log 3 x crește, atunci log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Comparați log 6 (4 / 3) și 1 / 5 . Și pentru aceasta comparăm numerele 4 / 3 și 6 1/5. Ridicați ambele numere la puterea a 5-a. Se obține (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

jurnal 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Prin urmare, intervalul (log 3 1 / 16 ; log 6 48) include intervalul [-2; 4] și numerele întregi -2 sunt plasate pe el; -unu; 0; unu; 2; 3; patru.

Răspuns: 7 numere întregi.

Exemplul 6

Calculați 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Soluţie.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Atunci 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Raspunsul 1.

Exemplul 7

Se știe că log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Aflați log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Soluţie.

Numerele (√3 + 1) și (√3 - 1); (√6 - 2) și (√6 + 2) sunt conjugate.

Să efectuăm următoarea transformare a expresiilor

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Apoi log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Răspuns: 2 - A.

Exemplul 8.

Simplificați și găsiți valoarea aproximativă a expresiei (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Soluţie.

Reducem toți logaritmii la o bază comună de 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010. (Valoarea aproximativă a lg 2 poate fi găsită folosind un tabel, o rigură sau un calculator).

Răspuns: 0,3010.

Exemplul 9.

Calculați log a 2 b 3 √(a 11 b -3) dacă log √ a b 3 = 1. (În acest exemplu, a 2 b 3 este baza logaritmului).

Soluţie.

Dacă log √ a b 3 = 1, atunci 3/(0,5 log a b = 1. Și log a b = 1/6.

Atunci log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) care log și b = 1/6 obținem (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Răspuns: 2.1.

Puteți face următoarele pe cont propriu:

Calculați log √3 6 √2.1 dacă log 0.7 27 = a.

Răspuns: (3 + a) / (3a).

Exemplul 10

Calculați 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Soluţie.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2) /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))

Obținem 9 + 6 = 15.

Raspuns: 15.

Aveti vreo intrebare? Nu sunteți sigur cum să găsiți valoarea unei expresii logaritmice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b * a c = a b + c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesară simplificarea înmulțirii greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” conform bazei sale „a” este considerat puterea lui „c”. ", la care este necesar să se ridice baza "a", pentru ca în final să se obțină valoarea "b". Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și pe bună dreptate, pentru că 2 la puterea lui 3 dă numărul 8 în răspuns.

Varietăți de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri distincte de expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, trebuie să vă amintiți proprietățile lor și ordinea acțiunilor în deciziile lor.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-limitări care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina unui grad par din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință cum să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b > 0, se dovedește că „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina a fost dată de a găsi răspunsul la ecuația 10 x \u003d 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere, ridicând numărul zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10. 2 \u003d 100.

Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile converg practic către găsirea gradului în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să înveți cum să lucrezi cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c, la care se ridică numărul a. La intersecția din celule, se determină valorile numerelor, care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se pare că, în anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 \u003d 1/32 scriem sub forma unui logaritm, obținem log 2 (1/32) \u003d -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să ne uităm la cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este inegalitatea logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit în baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul lui 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea inegalității, atât domeniul de valorile acceptabile și punctele care depășesc această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive privind găsirea valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemple de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate mai detaliat.

1. Identitatea de bază arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o demonstrație pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2 , apoi a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obținem că s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietăți de grade) ), și mai departe prin definiție: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ceea ce urma să fie demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovada.

Să log a b \u003d t, se dovedește a t \u003d b. Dacă ridici ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n , prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru admitere la universitate sau promovare examenele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de probleme.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, cu toate acestea, fiecare inegalitate matematică sau ecuație logaritmică poate fi aplicată anumite reguli. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la vedere generala. Simplificați lung expresii logaritmice Puteți, dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem curând.

La hotărâre ecuații logaritmice, este necesar să stabilim ce fel de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru soluțiile logaritmilor naturali, trebuie aplicate identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale pe logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului produsului poate fi utilizată în sarcini în care este necesară extinderea mare importanță numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Este necesar doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Sarcini de la examen

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul presupune o cunoaștere exactă și perfectă a temei „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile problemelor sunt preluate din oficial UTILIZAȚI opțiuni. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2 , prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4 , deci 2x = 17; x = 8,5.

• Toți logaritmii se reduc cel mai bine la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, la scoaterea exponentului exponentului expresiei, care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

Unul dintre elementele algebrei de nivel primitiv este logaritmul. Numele a venit de la greacă din cuvântul „număr” sau „putere” și înseamnă puterea la care este necesar să se ridice numărul de la bază pentru a găsi numărul final.

Tipuri de logaritmi

• log a b este logaritmul numărului b la baza a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - logaritm zecimal (baza logaritmului 10, a = 10);
• ln b - logaritm natural (baza logaritmului e, a = e).

Cum se rezolvă logaritmii?

Logaritmul numărului b față de baza a este un exponent, ceea ce necesită ca baza a să fie ridicată la numărul b. Rezultatul se pronunță astfel: „logaritmul lui b la baza lui a”. Soluția la problemele logaritmice este că trebuie să determinați gradul dat prin numere cu numerele specificate. Există câteva reguli de bază pentru determinarea sau rezolvarea logaritmului, precum și pentru transformarea notației în sine. Folosind ele, se rezolvă ecuații logaritmice, se găsesc derivate, se rezolvă integrale și se efectuează multe alte operații. Practic, soluția logaritmului în sine este notația sa simplificată. Mai jos sunt principalele formule și proprietăți:

Pentru orice a ; a > 0; a ≠ 1 și pentru orice x ; y > 0.

• a log a b = b este identitatea logaritmică de bază
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , pentru k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - formulă pentru tranziția la o nouă bază
• log a x = 1/log x a

Cum se rezolvă logaritmi - instrucțiuni pas cu pas pentru rezolvare

• Mai întâi, scrieți ecuația necesară.

Vă rugăm să rețineți: dacă logaritmul de bază este 10, atunci înregistrarea este scurtată, se obține un logaritm zecimal. Dacă există un număr natural e, atunci scriem, reducând la un logaritm natural. Înseamnă că rezultatul tuturor logaritmilor este puterea la care se ridică numărul de bază pentru a obține numărul b.

Direct, soluția constă în calculul acestui grad. Înainte de a rezolva o expresie cu un logaritm, aceasta trebuie simplificată conform regulii, adică folosind formule. Poți găsi identitățile principale revenind puțin în articol.

Când se adună și se scad logaritmi cu două numere diferite, dar cu aceeași bază, înlocuiți cu un singur logaritm cu produsul sau împărțirea numerelor b și, respectiv, c. În acest caz, puteți aplica formula de tranziție la o altă bază (vezi mai sus).

Dacă utilizați expresii pentru a simplifica logaritmul, există anumite limitări de care trebuie să fiți conștienți. Și adică: baza logaritmului a este doar un număr pozitiv, dar nu egal cu unul. Numărul b, ca și a, trebuie să fie mai mare decât zero.

Sunt cazuri când, simplificând expresia, nu veți putea calcula logaritmul în formă numerică. Se întâmplă ca o astfel de expresie să nu aibă sens, deoarece multe grade sunt numere iraționale. În această condiție, lăsați puterea numărului ca logaritm.

Expresii logaritmice, soluție de exemple. În acest articol, vom lua în considerare problemele legate de rezolvarea logaritmilor. Sarcinile ridică problema găsirii valorii expresiei. Trebuie remarcat faptul că conceptul de logaritm este folosit în multe sarcini și este extrem de important să înțelegem sensul acestuia. În ceea ce privește USE, logaritmul este folosit în rezolvarea ecuațiilor, în probleme aplicate, dar și în sarcini legate de studiul funcțiilor.

Iată exemple pentru a înțelege însuși sensul logaritmului:

Identitatea logaritmică de bază:

Proprietățile logaritmilor pe care trebuie să le rețineți întotdeauna:

*Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor.

* * *

* Logaritmul coeficientului (fracției) este egal cu diferența logaritmilor factorilor.

* * *

* Logaritmul gradului este egal cu produsul exponentului și logaritmul bazei sale.

* * *

*Tranziție la noua bază

* * *

Mai multe proprietăți:

* * *

Calcularea logaritmilor este strâns legată de utilizarea proprietăților exponenților.

Enumerăm câteva dintre ele:

Esența acestei proprietăți este că, la transferul numărătorului la numitor și invers, semnul exponentului se schimbă la opus. De exemplu:

Consecința acestei proprietăți:

* * *

Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, dar exponenții sunt înmulțiți.

* * *

După cum puteți vedea, însuși conceptul de logaritm este simplu. Principalul lucru este că este nevoie de o bună practică, care oferă o anumită abilitate. Cu siguranță cunoașterea formulelor este obligatorie. Dacă nu se formează abilitatea de a converti logaritmi elementari, atunci când rezolvi sarcini simple, se poate face cu ușurință o greșeală.

Exersați, rezolvați mai întâi cele mai simple exemple de la cursul de matematică, apoi treceți la altele mai complexe. Pe viitor, cu siguranță voi arăta cum se rezolvă logaritmii „urâți”, nu vor fi astfel de la examen, dar sunt de interes, nu ratați!

Asta e tot! Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Egalitățile enumerate la conversia expresiilor cu logaritmi sunt utilizate atât de la dreapta la stânga, cât și de la stânga la dreapta.

Este de remarcat faptul că nu este necesar să memorați consecințele proprietăților: atunci când efectuați transformări, vă puteți descurca cu proprietățile de bază ale logaritmilor și ale altor fapte (de exemplu, cele pentru b≥0), din care corespunzătoare urmează consecințele. „Efectul secundar” al acestei abordări este doar că soluția va fi puțin mai lungă. De exemplu, pentru a face fără consecință, care este exprimată prin formula , și pornind doar de la proprietățile de bază ale logaritmilor, va trebui să efectuați un lanț de transformări de următoarea formă: .

Același lucru se poate spune despre ultima proprietate din lista de mai sus, care corespunde formulei , deoarece rezultă și din proprietățile de bază ale logaritmilor. Principalul lucru de înțeles este că este întotdeauna posibil ca gradul unui număr pozitiv cu un logaritm în exponent să schimbe baza gradului și numărul de sub semnul logaritmului. Pentru dreptate, observăm că exemplele care implică implementarea unor transformări de acest fel sunt rare în practică. Vom da mai jos câteva exemple.

Conversia expresiilor numerice cu logaritmi

Ne-am amintit de proprietățile logaritmilor, acum este timpul să învățăm cum să le punem în practică pentru a transforma expresiile. Este firesc să începeți cu transformarea expresiilor numerice, și nu a expresiilor cu variabile, deoarece este mai convenabil și mai ușor să învățați elementele de bază despre ele. Așa că vom face, și vom începe cu o foarte exemple simple pentru a învăța cum să alegem proprietatea dorită a logaritmului, dar vom complica treptat exemplele, până în momentul în care vor trebui aplicate mai multe proprietăți la rând pentru a obține rezultatul final.

Selectarea proprietății dorite a logaritmilor

Nu există atât de puține proprietăți ale logaritmilor și este clar că trebuie să puteți alege cea potrivită dintre ele, ceea ce în acest caz particular va duce la rezultatul dorit. De obicei, acest lucru nu este dificil de realizat comparând forma logaritmului sau expresiei convertite cu tipurile părților din stânga și din dreapta ale formulelor care exprimă proprietățile logaritmilor. Dacă partea stângă sau dreaptă a uneia dintre formule se potrivește cu logaritmul sau expresia dată, atunci cel mai probabil această proprietate ar trebui utilizată în timpul transformării. Următoarele exemple demonstrează clar acest lucru.

Să începem cu exemple de transformare a expresiilor folosind definiția logaritmului, care corespunde formulei a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Exemplu.

Calculați, dacă este posibil: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Soluţie.

În exemplu, litera a) arată clar structura a log a b , unde a=5 , b=4 . Aceste numere îndeplinesc condițiile a>0 , a≠1 , b>0 , astfel încât puteți utiliza în siguranță egalitatea a log a b =b . Avem 5 log 5 4=4 .

b) Aici a=10 , b=1+2 π , sunt îndeplinite condițiile a>0 , a≠1 , b>0. În acest caz are loc egalitatea 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) Și în acest exemplu avem de-a face cu un grad de forma a log a b , unde și b=ln15 . Asa de .

În ciuda faptului că aparține aceleiași forme a log a b (aici a=2 , b=−7 ), expresia de sub litera d) nu poate fi convertită prin formula a log a b =b . Motivul este că nu are sens deoarece conține un număr negativ sub semnul logaritmului. Mai mult, numărul b=−7 nu îndeplinește condiția b>0 , ceea ce face imposibilă recurgerea la formula a log a b =b , întrucât necesită condițiile a>0 , a≠1 , b>0 . Deci, nu putem vorbi despre calcularea valorii 2 log 2 (−7) . În acest caz, scrierea 2 log 2 (−7) = −7 ar fi o eroare.

În mod similar, în exemplul de sub litera e) este imposibil să se ofere o soluție a formei , deoarece expresia originală nu are sens.

Răspuns:

a) 5 log 5 4 =4 , b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) expresiile nu au sens.

Este adesea util să convertiți un număr pozitiv ca putere a unui număr pozitiv non-unu cu un logaritm în exponent. Se bazează pe aceeași definiție a logaritmului a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , dar formula se aplică de la dreapta la stânga, adică sub forma b=a log a b . De exemplu, 3=e ln3 sau 5=5 log 5 5 .

Să trecem la utilizarea proprietăților logaritmilor pentru a transforma expresii.

Exemplu.

Aflați valoarea expresiei: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Soluţie.

În exemplele de la literele a), b) și c), sunt date expresiile log −2 1 , log 1 1 , log 0 1, care nu au sens, deoarece baza logaritmului nu trebuie să conțină un număr negativ, zero sau unu, deoarece am definit logaritmul doar pentru o bază pozitivă și non-unită. Prin urmare, în exemplele a) - c) nu se poate pune problema găsirii valorii expresiei.

În toate celelalte sarcini, evident, în bazele logaritmilor există numere pozitive și non-unitare 7, e, 10, 3,75 și respectiv 5 π 7, iar unitățile sunt peste tot sub semnele logaritmilor. Și cunoaștem proprietatea logaritmului unității: log a 1=0 pentru orice a>0 , a≠1 . Astfel, valorile expresiilor b) - f) sunt egale cu zero.

Răspuns:

a), b), c) expresiile nu au sens, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0 .

Exemplu.

Calculați: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Soluţie.

Este clar că trebuie să folosim proprietatea logaritmului bazei, care corespunde formulei log a a=1 pentru a>0 , a≠1 . Într-adevăr, în sarcinile sub toate literele, numărul de sub semnul logaritmului coincide cu baza acestuia. Astfel, vreau să spun imediat că valoarea fiecăreia dintre expresiile date este 1 . Cu toate acestea, nu vă grăbiți să trageți concluzii: în sarcinile de la literele a) - d) valorile expresiilor sunt într-adevăr egale cu unu, iar în sarcinile e) și f) expresiile originale nu au sens, deci nu se poate. se spune că valorile acestor expresii sunt egale cu 1.

Răspuns:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) expresiile nu au sens.

Exemplu.

Aflați valoarea: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Soluţie.

Evident, sub semnele logaritmilor sunt niște grade de bază. Pe baza acestui fapt, înțelegem că proprietatea gradului bazei este utilă aici: log a a p =p, unde a>0, a≠1 și p este orice număr real. Având în vedere acest lucru, avem următoarele rezultate: a) log 3 3 11 =11 , b) , în) . Este posibil să scrieți o egalitate similară pentru exemplul sub litera d) de forma log −10 (−10) 6 =6? Nu, nu poți, pentru că log −10 (−10) 6 nu are sens.

Răspuns:

a) log 3 3 11 =11, b) , în) d) expresia nu are sens.

Exemplu.

Exprimați expresia ca sumă sau diferență de logaritmi din aceeași bază: a) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Soluţie.

a) Produsul este sub semnul logaritmului și cunoaștem proprietatea logaritmului produsului log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . În cazul nostru, numărul din baza logaritmului și numerele din produs sunt pozitive, adică îndeplinesc condițiile proprietății selectate, prin urmare, o putem aplica în siguranță: .

b) Aici folosim proprietatea logaritmului coeficientului , unde a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . În cazul nostru, baza logaritmului este un număr pozitiv e, numărătorul și numitorul π sunt pozitive, ceea ce înseamnă că îndeplinesc condițiile proprietății, deci avem dreptul să folosim formula aleasă: .

c) În primul rând, rețineți că expresia lg((−5) (−12)) are sens. Dar, în același timp, nu avem dreptul să aplicăm formula pentru logaritmul produsului log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , întrucât numerele −5 și −12 sunt negative și nu îndeplinesc condițiile x>0 , y>0 . Adică, este imposibil să efectuați o astfel de transformare: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Dar ce să faci? În astfel de cazuri, expresia originală trebuie să fie pre-transformată pentru a evita numerele negative. Vom vorbi în detaliu despre cazuri similare de conversie a expresiilor cu numere negative sub semnul logaritmului într-unul dintre, dar deocamdată vom oferi o soluție acestui exemplu, care este clară în prealabil și fără explicații: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Răspuns:

A) , b) , c) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Exemplu.

Simplificați expresia: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Soluţie.

Aici ne vor ajuta toate aceleași proprietăți ale logaritmului produsului și ale logaritmului coeficientului pe care le-am folosit în exemplele anterioare, abia acum le vom aplica de la dreapta la stânga. Adică convertim suma logaritmilor în logaritmul produsului, iar diferența logaritmilor în logaritmul coeficientului. Avem
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Răspuns:

A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Exemplu.

Scăpați de gradul sub semnul logaritmului: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Soluţie.

Este ușor de observat că avem de-a face cu expresii precum log a b p . Proprietatea corespunzătoare a logaritmului este log a b p =p log a b , unde a>0 , a≠1 , b>0 , p este orice număr real. Adică în condițiile a>0 , a≠1 , b>0 din logaritmul gradului log a b p putem merge la produsul p·log a b . Să realizăm această transformare cu expresiile date.

a) În acest caz a=0,7 , b=5 și p=11 . Deci log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 .

b) Aici , sunt îndeplinite condițiile a>0 , a≠1 , b>0. De aceea

c) Expresia log 3 (−5) 6 are aceeași structură log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Dar pentru b, condiția b>0 nu este îndeplinită, ceea ce face imposibilă aplicarea formulei log a b p =p log a b . Deci, de ce nu poți termina treaba? Este posibil, dar este necesară o transformare prealabilă a expresiei, pe care o vom discuta în detaliu mai jos în paragraful de la rubrica . Soluția va fi așa: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Răspuns:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Destul de des, formula pentru logaritmul gradului atunci când se efectuează transformări trebuie aplicată de la dreapta la stânga sub forma p log a b \u003d log a b p (acest lucru necesită aceleași condiții pentru a, b și p). De exemplu, 3 ln5=ln5 3 și lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Exemplu.

a) Calculați valoarea log 2 5 dacă se știe că lg2≈0,3010 și lg5≈0,6990. b) Scrieți fracția ca logaritm în baza 3.

Soluţie.

a) Formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului ne permite să reprezentăm acest logaritm ca raport al logaritmilor zecimal, ale căror valori ne sunt cunoscute: . Rămâne doar să facem calculele, avem .

b) Aici este suficient să folosiți formula pentru trecerea la o nouă bază și să o aplicați de la dreapta la stânga, adică sub forma . Primim .

Răspuns:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

În această etapă, am luat în considerare destul de scrupulos transformarea celor mai simple expresii folosind proprietățile de bază ale logaritmilor și definiția unui logaritm. În aceste exemple, a trebuit să folosim o proprietate și nimic altceva. Acum, cu conștiința curată, puteți trece la exemple a căror transformare necesită utilizarea mai multor proprietăți ale logaritmilor și alte transformări suplimentare. Ne vom ocupa de ele în paragraful următor. Dar înainte de asta, să ne oprim pe scurt asupra exemplelor de aplicare a consecințelor din proprietățile de bază ale logaritmilor.

Exemplu.

a) Scăpați de rădăcina sub semnul logaritmului. b) Convertiți fracția într-un logaritm de bază 5. c) Scapa de puterile de sub semnul logaritmului si de la baza lui. d) Calculați valoarea expresiei . e) Înlocuiți expresia cu o putere cu baza 3.

Soluţie.

a) Dacă amintim corolarul din proprietatea logaritmului gradului , atunci poți răspunde imediat: .

b) Aici folosim formula de la dreapta la stânga, avem .

c) În acest caz, formula conduce la rezultat . Primim .

d) Și aici este suficient să aplicăm corolarul căruia îi corespunde formula . Asa de .

e) Proprietatea logaritmului ne permite să obținem rezultatul dorit: .

Răspuns:

A) . b) . în) . G) . e) .

Aplicarea constantă a mai multor proprietăți

Sarcinile reale pentru transformarea expresiilor folosind proprietățile logaritmilor sunt de obicei mai complicate decât cele de care ne-am ocupat în paragraful anterior. În ele, de regulă, rezultatul nu se obține într-un singur pas, dar soluția constă deja în aplicarea secvențială a unei proprietăți după alta, împreună cu transformări identice suplimentare, precum deschiderea parantezelor, reducerea termenilor similari, reducerea fracțiilor etc. . Deci haideți să ne apropiem de astfel de exemple. Nu este nimic complicat în acest sens, principalul lucru este să acționați cu atenție și consecvență, respectând ordinea în care sunt efectuate acțiunile.

Exemplu.

Calculați valoarea unei expresii (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Soluţie.

Diferența de logaritmi între paranteze prin proprietatea logaritmului coeficientului poate fi înlocuită cu logaritmul log 3 (15:5) și apoi se calculează valoarea sa log 3 (15:5)=log 3 3=1 . Iar valoarea expresiei 7 log 7 5 după definiția logaritmului este 5 . Înlocuind aceste rezultate în expresia originală, obținem (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Iată o soluție fără explicații:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Răspuns:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Exemplu.

Care este valoarea expresiei numerice log 3 log 2 2 3 −1 ?

Soluţie.

Să transformăm mai întâi logaritmul, care se află sub semnul logaritmului, după formula logaritmului gradului: log 2 2 3 =3. Deci log 3 log 2 2 3 =log 3 3 și apoi log 3 3=1 . Deci log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Răspuns:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Exemplu.

Simplificați expresia.

Soluţie.

Formula de conversie la o nouă bază a logaritmului permite ca raportul dintre logaritmi și o bază să fie reprezentat ca log 3 5 . În acest caz, expresia originală va lua forma . Prin definiția logaritmului 3 log 3 5 =5 , adică , iar valoarea expresiei rezultate, în virtutea aceleiași definiții a logaritmului, este egală cu doi.

Aici versiune scurta soluție, care este de obicei dată: .

Răspuns:

.

Pentru o tranziție lină la informațiile din următorul paragraf, să aruncăm o privire la expresiile 5 2+log 5 3 și lg0.01 . Structura lor nu se potrivește cu niciuna dintre proprietățile logaritmilor. Deci, ce se întâmplă dacă nu pot fi convertite folosind proprietățile logaritmilor? Este posibil dacă efectuați transformări preliminare care pregătesc aceste expresii pentru aplicarea proprietăților logaritmilor. Asa de 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, și lg0,01=lg10 −2 = −2 . Mai departe vom înțelege în detaliu cum se realizează o astfel de pregătire a expresiilor.

Pregătirea expresiilor pentru aplicarea proprietăților logaritmilor

Logaritmii din expresia convertită diferă foarte des în structura notației din părțile din stânga și din dreapta ale formulelor care corespund proprietăților logaritmilor. Dar la fel de des, transformarea acestor expresii implică utilizarea proprietăților logaritmilor: utilizarea lor necesită doar o pregătire preliminară. Și această pregătire constă în efectuarea anumitor transformări identice care aduc logaritmii într-o formă convenabilă pentru aplicarea proprietăților.

Pentru dreptate, observăm că aproape orice transformare a expresiilor poate acționa ca transformări preliminare, de la reducerea banală a termenilor similari la aplicare. formule trigonometrice. Acest lucru este de înțeles, deoarece expresiile convertite pot conține orice obiecte matematice: paranteze, module, fracții, rădăcini, grade etc. Astfel, trebuie să fii pregătit să efectueze orice transformare necesară pentru a beneficia în continuare de proprietățile logaritmilor.

Să spunem imediat că în acest paragraf nu ne propunem sarcina de a clasifica și analiza toate transformările preliminare imaginabile care ne permit să aplicăm proprietățile logaritmilor sau definiția unui logaritm în viitor. Aici ne vom concentra doar pe patru dintre ele, care sunt cele mai caracteristice și cel mai des întâlnite în practică.

Și acum în detaliu despre fiecare dintre ele, după care, în cadrul subiectului nostru, rămâne doar să ne ocupăm de transformarea expresiilor cu variabile sub semnele logaritmilor.

Selectarea puterilor sub semnul logaritmului și în baza acestuia

Să începem imediat cu un exemplu. Să avem un logaritm. Evident, în această formă, structura sa nu este propice utilizării proprietăților logaritmilor. Este posibil să transformăm cumva această expresie pentru a o simplifica, sau chiar mai bine să-i calculăm valoarea? Pentru a răspunde la această întrebare, să aruncăm o privire mai atentă la numerele 81 și 1/9 în contextul exemplului nostru. Este ușor de observat aici că aceste numere pot fi reprezentate ca o putere a lui 3 , într-adevăr, 81=3 4 și 1/9=3 −2 . În acest caz, logaritmul original este prezentat sub formă și devine posibilă aplicarea formulei . Asa de, .

Analiza exemplului analizat dă naștere următoarei idei: dacă este posibil, puteți încerca să evidențiați gradul sub semnul logaritmului și la baza acestuia pentru a aplica proprietatea logaritmului gradului sau consecința acestuia. Rămâne doar să ne dăm seama cum să evidențiem aceste grade. Vom oferi câteva recomandări cu privire la această problemă.

Uneori este destul de evident că numărul de sub semnul logaritmului și/sau din baza lui reprezintă o putere întreagă, ca în exemplul discutat mai sus. Aproape constant ai de-a face cu puteri a lui doi, care sunt bine familiare: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . Același lucru se poate spune despre gradele triplei: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... În general, nu strica dacă există tabelul de grade numere naturale în termen de zece. De asemenea, nu este dificil să lucrezi cu puteri întregi de zece, sută, mii etc.

Exemplu.

Calculați valoarea sau simplificați expresia: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Soluţie.

a) Evident, 216=6 3 , deci log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Tabelul puterilor numerelor naturale ne permite să reprezentăm numerele 343 și 1/243 ca puteri ale 7 3 și, respectiv, 3 −4. Prin urmare, următoarea transformare a logaritmului dat este posibilă:

c) Deoarece 0,000001=10 −6 și 0,001=10 −3, atunci log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Răspuns:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2 .

În cazuri mai complexe, pentru a evidenția puterile numerelor, trebuie să apelezi.

Exemplu.

Transformați expresia în mai mult la vedere log 3 648 log 2 3 .

Soluţie.

Să vedem care este descompunerea numărului 648 în factori primi:

Adică 648=2 3 3 4 . În acest fel, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Acum convertim logaritmul produsului în suma logaritmilor, după care aplicăm proprietățile logaritmului gradului:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

În virtutea corolarului proprietății logaritmului gradului, care corespunde formulei , produsul log32 log23 este produsul și se știe că este egal cu unu. Având în vedere acest lucru, obținem 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Răspuns:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Destul de des, expresiile sub semnul logaritmului și în baza acestuia sunt produse sau rapoarte ale rădăcinilor și/sau puterilor unor numere, de exemplu, , . Expresii similare pot fi reprezentate ca grad. Pentru a face acest lucru, se realizează tranziția de la rădăcini la grade și se aplică. Aceste transformări vă permit să selectați gradele sub semnul logaritmului și în baza acestuia și apoi să aplicați proprietățile logaritmilor.

Exemplu.

Calculați: a) , b).

Soluţie.

a) Expresia din baza logaritmului este produsul puterilor cu aceleași baze, prin proprietatea corespunzătoare a puterilor pe care o avem 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Acum să convertim fracția sub semnul logaritmului: să trecem de la rădăcină la grad, după care vom folosi proprietatea raportului de grade cu aceleași baze: .

Rămâne să înlocuiți rezultatele obținute în expresia originală, utilizați formula și terminați transformarea:

b) Deoarece 729=3 6 , și 1/9=3 −2 , expresia originală poate fi rescrisă ca .

Apoi, aplicați proprietatea rădăcinii exponentului, treceți de la rădăcină la exponent și utilizați proprietatea raportului puterilor pentru a converti baza logaritmului într-o putere: .

Luand in considerare ultimul rezultat, avem .

Răspuns:

A) , b).

Este clar că în cazul general, pentru a obține puteri sub semnul logaritmului și în baza acestuia, pot fi necesare diverse transformări ale diferitelor expresii. Să dăm câteva exemple.

Exemplu.

Care este valoarea expresiei: a) , b) .

Soluţie.

Mai mult, observăm că expresia dată are forma log A B p , unde A=2 , B=x+1 și p=4 . Expresii numerice de acest fel, am transformat în funcție de proprietatea logaritmului gradului log a b p \u003d p log a b , prin urmare, cu o expresie dată, vreau să fac același lucru și să trec de la log 2 (x + 1) 4 la 4 log 2 (x + 1) . Și acum să calculăm valoarea expresiei inițiale și a expresiei obținute după transformare, de exemplu, cu x=−2 . Avem log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , și 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- expresie lipsită de sens. Acest lucru ridică o întrebare legitimă: „Cu ce ​​am greșit”?

Și motivul este următorul: am efectuat transformarea log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , pe baza formulei log a b p =p log a b , dar această formulă avem dreptul de a aplica numai în condițiile a>0 , a≠1 , b>0 , p - orice număr real. Adică, transformarea pe care am făcut-o are loc dacă x+1>0 , care este același x>−1 (pentru A și p sunt îndeplinite condițiile). Totuși, în cazul nostru, ODZ a variabilei x pentru expresia originală constă nu numai din intervalul x> −1 , ci și din intervalul x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Necesitatea de a lua în considerare ODZ

Să continuăm să analizăm transformarea expresiei log 2 (x+1) 4 pe care am ales-o, iar acum să vedem ce se întâmplă cu ODZ la trecerea la expresia 4 log 2 (x+1) . În paragraful anterior, am găsit ODZ a expresiei originale - aceasta este mulțimea (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Acum să găsim aria valorilor acceptabile ale variabilei x pentru expresia 4 log 2 (x+1) . Este determinată de condiția x+1>0 , care corespunde mulțimii (−1, +∞) . Este evident că atunci când treceți de la log 2 (x+1) 4 la 4·log 2 (x+1), intervalul de valori admisibile se restrânge. Și am convenit să evităm reformele care duc la o îngustare a ODZ, deoarece aceasta poate duce la diverse consecințe negative.

Aici merită să rețineți că este util să controlați ODZ la fiecare pas al transformării și să nu îi permiteți să se îngusteze. Și dacă dintr-o dată, într-un anumit stadiu al transformării, a existat o îngustare a ODZ, atunci merită să ne uităm foarte atent dacă această transformare este permisă și dacă am avut dreptul să o realizăm.

Sincer, spunem că în practică trebuie să lucrăm de obicei cu expresii în care ODZ a variabilelor este de așa natură încât ne permite să folosim proprietățile logaritmilor fără restricții în forma deja cunoscută nouă, atât de la stânga la dreapta, cât și de la de la dreapta la stânga, la efectuarea transformărilor. Te obișnuiești repede cu asta și începi să faci transformările mecanic, fără să te gândești dacă a fost posibil să le realizezi. Și în astfel de momente, după noroc, se strecoară exemple mai complexe, în care aplicarea inexactă a proprietăților logaritmilor duce la erori. Deci, trebuie să fiți mereu în alertă și să vă asigurați că nu există nicio îngustare a ODZ.

Nu strică să evidențiezi separat principalele transformări bazate pe proprietățile logaritmilor, care trebuie efectuate cu mare atenție, ceea ce poate duce la o îngustare a DPV și, ca urmare, la erori:

Unele transformări ale expresiilor în funcție de proprietățile logaritmilor pot duce și la opus - extinderea ODZ. De exemplu, trecerea de la 4 log 2 (x+1) la log 2 (x+1) 4 extinde ODZ de la mulțimea (−1, +∞) la (−∞, −1)∪(−1, +∞ ). Astfel de transformări au loc dacă rămâneți în ODZ pentru expresia originală. Deci transformarea tocmai menționată 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 are loc pe variabila ODZ x pentru expresia originală 4 log 2 (x+1) , adică atunci când x+1> 0 , care este același cu (−1, +∞) .

Acum că am discutat nuanțele cărora trebuie să le acordați atenție atunci când convertiți expresii cu variabile folosind proprietățile logaritmilor, rămâne să ne dăm seama cum ar trebui să fie efectuate corect aceste conversii.

X+2>0. Functioneaza in cazul nostru? Pentru a răspunde la această întrebare, să aruncăm o privire la DPV a variabilei x. Este determinată de sistemul de inegalități , care este echivalentă cu condiția x+2>0 (dacă este necesar, vezi articolul rezolvarea sistemelor de inegalități). Astfel, putem aplica în siguranță proprietatea logaritmului gradului.

Avem
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Puteți acționa diferit, deoarece ODZ vă permite să faceți acest lucru, de exemplu astfel:

Răspuns:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Și ce să faci atunci când condițiile asociate cu proprietățile logaritmilor nu sunt îndeplinite pe ODZ? Ne vom ocupa de asta cu exemple.

Să ni se ceară să simplificăm expresia lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Transformarea acestei expresii, spre deosebire de expresia din exemplul precedent, nu permite folosirea liberă a proprietății logaritmului gradului. De ce? ODZ a variabilei x în acest caz este unirea a două intervale x>−2 și x<−2 . При x>−2 putem aplica în siguranță proprietatea logaritmului gradului și procedăm ca în exemplul de mai sus: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Dar ODZ conține un alt interval x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2și mai departe, datorită proprietăților de putere ale lui lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Expresia rezultată poate fi transformată în funcție de proprietatea logaritmului gradului, deoarece |x+2|>0 pentru orice valoare a variabilei. Avem log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Acum puteți scăpa de modul, deoarece și-a făcut treaba. Deoarece transformăm la x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Să luăm în considerare încă un exemplu pentru a face lucrul cu modulele familiar. Să concepem din expresie treceți la suma și diferența logaritmilor binoamelor liniare x−1 , x−2 și x−3 . Mai întâi găsim ODZ:

Pe intervalul (3, +∞), valorile expresiilor x−1 , x−2 și x−3 sunt pozitive, deci putem aplica în siguranță proprietățile logaritmului sumei și diferenței:

Și pe intervalul (1, 2), valorile expresiei x−1 sunt pozitive, iar valorile expresiilor x−2 și x−3 sunt negative. Prin urmare, pe intervalul luat în considerare, reprezentăm x−2 și x−3 folosind modulo ca −|x−2| și −|x−3| respectiv. în care

Acum putem aplica proprietățile logaritmului produsului și al coeficientului, deoarece pe intervalul considerat (1, 2) valorile expresiilor x−1 , |x−2| și |x−3| - pozitiv.

Avem

Rezultatele obținute pot fi combinate:

În general, un raționament similar permite, pe baza formulelor pentru logaritmul produsului, raportului și gradului, să se obțină trei rezultate practic utile care sunt destul de convenabile de utilizat:

• Logaritmul produsului a două expresii arbitrare X și Y de forma log a (X·Y) poate fi înlocuit cu suma logaritmilor log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
• Logaritmul special log a (X:Y) poate fi înlocuit cu diferența logaritmilor log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X și Y sunt expresii arbitrare.
• De la logaritmul unei expresii B la o putere pare p de forma log a B p, se poate trece la expresia p log a |B| , unde a>0 , a≠1 , p este un număr par și B este o expresie arbitrară.

Rezultate similare sunt date, de exemplu, în instrucțiunile de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și logaritmice din colecția de probleme de matematică pentru solicitanții la universități, editată de M. I. Skanavi.

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

Ar fi bine să aplici proprietățile logaritmului gradului, sumei și diferenței. Dar o putem face aici? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să cunoaștem ODZ.

Să o definim:

Este destul de evident că expresiile x+4 , x−2 și (x+4) 13 pe intervalul de valori posibile ale variabilei x pot lua atât valori pozitive, cât și negative. Prin urmare, va trebui să lucrăm prin module.

Proprietățile modulului vă permit să rescrieți ca , deci

De asemenea, nimic nu vă împiedică să utilizați proprietatea logaritmului gradului și apoi să aduceți termeni similari:

O altă secvență de transformări duce la același rezultat:

și deoarece expresia x−2 poate lua atât valori pozitive, cât și negative pe ODZ, atunci când se ia un exponent par 14