Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Cu ei sunt logaritmi în interior.

Exemple:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Cum se rezolvă inegalitățile logaritmice:

Orice inegalitate logaritmică ar trebui redusă la forma \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbolul \(˅\) înseamnă oricare dintre ). Această formă ne permite să scăpăm de logaritmi și bazele lor trecând la inegalitatea expresiilor sub logaritmi, adică la forma \(f(x) ˅ g(x)\).

Dar atunci când faceți această tranziție, există o subtilitate foarte importantă:
\(-\) dacă - un număr și este mai mare decât 1 - semnul inegalității rămâne același în timpul tranziției,
\(-\) dacă baza este un număr mai mare decât 0 dar mai mic decât 1 (între zero și unu), atunci semnul inegalității trebuie inversat, i.e.

Exemple:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(X<8\) Soluţie: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Răspuns: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ unu))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Soluţie: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Răspuns: \((2;5]\)

Foarte important!În orice inegalitate, trecerea de la forma \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) la compararea expresiilor sub logaritmi se poate face numai dacă:

Exemplu . Rezolvați inegalitatea: \(\log\)\(≤-1\)

Soluţie:

\(\Buturuga\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Să scriem ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Deschidem parantezele, dăm .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Înmulțim inegalitatea cu \(-1\), amintindu-ne să inversăm semnul de comparație.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Să construim o dreaptă numerică și să marchem punctele \(\frac(7)(3)\) și \(\frac(3)(2)\) pe ea. Rețineți că punctul de la numitor este perforat, în ciuda faptului că inegalitatea nu este strictă. Cert este că acest punct nu va fi o soluție, deoarece la înlocuirea într-o inegalitate, ne va conduce la împărțirea la zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Acum trasăm ODZ pe aceeași axă numerică și notăm ca răspuns intervalul care se încadrează în ODZ.
	Notează răspunsul final.

Răspuns: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Exemplu . Rezolvați inegalitatea: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Soluţie:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Să scriem ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Să trecem la decizie.
Soluție: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	În fața noastră este o inegalitate tipică pătrat-logaritmică. Noi facem.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Extindeți partea stângă a inegalității în .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Acum trebuie să reveniți la variabila inițială - x. Pentru a face acest lucru, trecem la , care are aceeași soluție și facem înlocuirea inversă.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformă \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Să trecem la compararea argumentelor. Bazele logaritmilor sunt mai mari decât \(1\), deci semnul inegalităților nu se modifică.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Să combinăm soluția inegalității și a ODZ într-o singură figură.
	Să scriem răspunsul.

Răspuns: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

Crezi că mai este timp înainte de examen și vei avea timp să te pregătești? Poate că așa este. Dar, în orice caz, cu cât studentul începe mai devreme antrenamentul, cu atât trece cu mai mult succes examenele. Astăzi am decis să dedicăm un articol inegalităților logaritmice. Aceasta este una dintre sarcini, ceea ce înseamnă o oportunitate de a obține un punct în plus.

Știți deja ce este un logaritm (log)? Chiar sperăm că da. Dar chiar dacă nu ai un răspuns la această întrebare, nu este o problemă. Este foarte ușor de înțeles ce este un logaritm.

De ce exact 4? Trebuie să ridicați numărul 3 la o astfel de putere pentru a obține 81. Când înțelegeți principiul, puteți trece la calcule mai complexe.

Ai trecut prin inegalități în urmă cu câțiva ani. Și de atunci, îi întâlnești constant la matematică. Dacă întâmpinați probleme la rezolvarea inegalităților, consultați secțiunea corespunzătoare.
Acum, când ne-am familiarizat cu conceptele separat, vom trece la analiza lor în general.

Cea mai simplă inegalitate logaritmică.

Cele mai simple inegalități logaritmice nu se limitează la acest exemplu, mai sunt trei, doar cu semne diferite. De ce este nevoie de asta? Pentru a înțelege mai bine cum se rezolvă inegalitatea cu logaritmi. Acum dăm un exemplu mai aplicabil, încă destul de simplu, lăsăm inegalități logaritmice complexe pentru mai târziu.

Cum să o rezolv? Totul începe cu ODZ. Ar trebui să știți mai multe despre asta dacă doriți să rezolvați întotdeauna cu ușurință orice inegalitate.

Ce este ODZ? DPV pentru inegalitățile logaritmice

Abrevierea reprezintă intervalul de valori valide. În temele pentru examen, această formulare apare adesea. DPV vă este util nu numai în cazul inegalităților logaritmice.

Privește din nou exemplul de mai sus. Vom lua în considerare ODZ pe baza acestuia, astfel încât să înțelegeți principiul, iar soluția inegalităților logaritmice nu ridică întrebări. Din definiția logaritmului rezultă că 2x+4 trebuie să fie mai mare decât zero. În cazul nostru, aceasta înseamnă următoarele.

Acest număr trebuie să fie pozitiv prin definiție. Rezolvați inegalitatea prezentată mai sus. Acest lucru se poate face chiar și oral, aici este clar că X nu poate fi mai mic de 2. Soluția inegalității va fi definirea intervalului de valori acceptabile.
Acum să trecem la rezolvarea celei mai simple inegalități logaritmice.

Aruncăm logaritmii înșiși din ambele părți ale inegalității. Ce ne rămâne ca rezultat? inegalitatea simplă.

Este ușor de rezolvat. X trebuie să fie mai mare de -0,5. Acum combinăm cele două valori obținute în sistem. În acest fel,

Aceasta va fi regiunea valorilor admisibile pentru inegalitatea logaritmică considerată.

De ce este nevoie de ODZ? Aceasta este o oportunitate de a elimina răspunsurile incorecte și imposibile. Dacă răspunsul nu se află în intervalul de valori acceptabile, atunci răspunsul pur și simplu nu are sens. Acest lucru merită amintit mult timp, deoarece la examen este adesea nevoie să căutați ODZ și nu se referă numai la inegalitățile logaritmice.

Algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice

Soluția constă din mai mulți pași. În primul rând, este necesar să găsiți intervalul de valori acceptabile. Vor fi două valori în ODZ, am considerat acest lucru mai sus. Următorul pas este rezolvarea inegalității în sine. Metodele de rezolvare sunt următoarele:

• metoda de înlocuire a multiplicatorului;
• descompunere;
• metoda de raționalizare.

În funcție de situație, ar trebui utilizată una dintre metodele de mai sus. Să trecem direct la soluție. Vom dezvălui cea mai populară metodă care este potrivită pentru rezolvarea sarcinilor USE în aproape toate cazurile. În continuare, vom lua în considerare metoda de descompunere. Vă poate ajuta dacă întâlniți o inegalitate deosebit de „delicată”. Deci, algoritmul pentru rezolvarea inegalității logaritmice.

Exemple de soluții :

Nu degeaba am luat tocmai o asemenea inegalitate! Atenție la bază. Amintiți-vă: dacă este mai mare decât unu, semnul rămâne același la găsirea intervalului de valori valide; în caz contrar, semnul inegalității trebuie schimbat.

Ca rezultat, obținem inegalitatea:

Acum aducem partea stângă la forma ecuației egale cu zero. În loc de semnul „mai puțin decât”, punem „egal”, rezolvăm ecuația. Astfel, vom găsi ODZ. Sperăm că nu veți avea probleme cu rezolvarea unei astfel de ecuații simple. Răspunsurile sunt -4 și -2. Asta nu e tot. Trebuie să afișați aceste puncte pe diagramă, plasați „+” și „-”. Ce trebuie făcut pentru asta? Înlocuiți numerele din intervale în expresie. Acolo unde valorile sunt pozitive, punem „+” acolo.

Răspuns: x nu poate fi mai mare de -4 și mai mic de -2.

Am găsit intervalul de valori valide doar pentru partea stângă, acum trebuie să găsim intervalul de valori valide pentru partea dreaptă. Acest lucru nu este deloc mai ușor. Raspuns: -2. Intersectăm ambele zone primite.

Și abia acum începem să rezolvăm inegalitatea în sine.

Să simplificăm cât mai mult posibil pentru a fi mai ușor de decis.

Folosim din nou metoda intervalului în soluție. Să sărim peste calcule, cu el totul este deja clar din exemplul anterior. Răspuns.

Dar această metodă este potrivită dacă inegalitatea logaritmică are aceleași baze.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice și a inegalităților cu baze diferite implică reducerea inițială la o bază. Apoi utilizați metoda de mai sus. Dar există și un caz mai complicat. Luați în considerare unul dintre cele mai complexe tipuri de inegalități logaritmice.

Inegalități logaritmice cu bază variabilă

Cum se rezolvă inegalitățile cu astfel de caracteristici? Da, și așa ceva se găsește în examen. Rezolvarea inegalităților în felul următor va avea, de asemenea, un efect benefic asupra procesului tău educațional. Să ne uităm la problema în detaliu. Să lăsăm teoria deoparte și să trecem direct la practică. Pentru a rezolva inegalitățile logaritmice, este suficient să vă familiarizați o dată cu exemplul.

Pentru a rezolva inegalitatea logaritmică a formei prezentate, este necesar să reduceți partea dreaptă la logaritmul cu aceeași bază. Principiul seamănă cu tranzițiile echivalente. Ca urmare, inegalitatea va arăta astfel.

De fapt, rămâne să creăm un sistem de inegalități fără logaritmi. Folosind metoda raționalizării, trecem la un sistem echivalent de inegalități. Veți înțelege regula în sine atunci când înlocuiți valorile corespunzătoare și urmați modificările acestora. Sistemul va avea următoarele inegalități.

Folosind metoda de raționalizare atunci când rezolvați inegalitățile, trebuie să vă amintiți următoarele: trebuie să scădeți una din bază, x, prin definiția logaritmului, este scăzut din ambele părți ale inegalității (dreapta din stânga), cele două expresiile sunt înmulțite și stabilite sub semnul original relativ la zero.

Soluția ulterioară se realizează prin metoda intervalului, totul este simplu aici. Este important să înțelegeți diferențele dintre metodele de soluție, apoi totul va începe să funcționeze ușor.

Există multe nuanțe în inegalitățile logaritmice. Cele mai simple dintre ele sunt destul de ușor de rezolvat. Cum să faci astfel încât să rezolvi fiecare dintre ele fără probleme? Ați primit deja toate răspunsurile din acest articol. Acum ai un antrenament lung în față. Exersați constant rezolvarea diferitelor probleme din cadrul examenului și veți putea obține cel mai mare punctaj. Mult succes in munca ta grea!

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate după o formulă specială, care din anumite motive este rar predată la școală. Prezentarea prezintă soluții la sarcinile C3 USE - 2014 la matematică.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările slide-urilor:

Rezolvarea inegalităților logaritmice care conțin o variabilă la baza logaritmului: metode, tehnici, tranziții echivalente profesor de matematică MBOU gimnaziu Nr. 143 Knyazkina T.V.

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Acestea sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rar predată în școală: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 În locul casetei de selectare „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași. Deci scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori admisibile. Nu uitați de ODZ al logaritmului! Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie scris și rezolvat separat: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie îndeplinite simultan. Când se găsește intervalul de valori acceptabile, rămâne să îl traversați cu soluția inegalitatea raţională- și răspunsul este gata.

Rezolvați inegalitatea: Soluție Pentru început, să scriem ODZ a logaritmului.Primele două inegalități sunt efectuate automat, iar ultima va trebui pictată. Deoarece pătratul unui număr este egal cu zero dacă și numai dacă numărul însuși este egal cu zero, avem: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0 . Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală: Efectuăm trecerea de la inegalitatea logaritmică la cea rațională. În inegalitatea originală există un semn „mai puțin decât”, astfel încât inegalitatea rezultată ar trebui să fie și cu un semn „mai puțin decât”.

Avem: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)

Conversia inegalităților logaritmice Adesea inegalitatea originală diferă de cea de mai sus. Acest lucru este ușor de rezolvat folosind regulile standard pentru lucrul cu logaritmi. Și anume: Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată; Suma și diferența logaritmilor cu aceeași bază pot fi înlocuite cu un singur logaritm. Separat, vreau să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea inițială, este necesar să se găsească DPV-ul fiecăruia dintre ei. Astfel, schema generală de rezolvare a inegalităților logaritmice este următoarea: Aflați ODZ pentru fiecare logaritm inclus în inegalitate; Reduceți inegalitatea la cea standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor; Rezolvați inegalitatea rezultată conform schemei de mai sus.

Rezolvați inegalitatea: Soluție Să găsim domeniul de definiție (ODZ) al primului logaritm: Rezolvăm prin metoda intervalelor. Aflați zerourile numărătorului: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Atunci - zerouri numitorului: x − 1 = 0; x = 1. Marcam zerouri și semne pe linia de coordonate:

Se obține x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Al doilea logaritm al ODZ va fi același. Dacă nu mă credeți, puteți verifica. Acum să transformăm al doilea logaritm astfel încât să existe un doi la bază: După cum puteți vedea, triplele de la bază și din fața logaritmului au fost reduse. Obțineți doi logaritmi cu aceeași bază. Adună-le: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Ne interesează intersecția mulțimilor, așa că alegem intervalele umbrite pe ambele săgeți. Se obține: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - toate punctele sunt perforate. Răspuns: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Rezolvarea sarcinilor Examenului Unificat de Stat-2014 tip C3

Rezolvați sistemul de inegalități Soluție. ODZ:  1) 2)

Rezolvați sistemul de inegalități 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (continuare)

Rezolvarea sistemului de inegalități 4) Decizie comună: și -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (continuare)

Rezolvați inegalitatea (continuare) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Rezolvați soluția inegalității. ODZ: 

Rezolvați inegalitatea (continuare)

Rezolvați soluția inegalității. ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

INEGALITATI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE

Sechin Mihail Alexandrovici

Mica Academie de Științe pentru Studenții din Republica Kazahstan „Căutător”

MBOU „Școala secundară sovietică Nr. 1”, clasa a 11-a, or. Districtul Sovietic Sovietsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU „Școala secundară sovietică nr. 1”

districtul Sovietsky

Obiectiv: studiul mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 prin metode nestandardizate, identificarea fapte interesante logaritm.

Subiect de studiu:

3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode non-standard.

Rezultate:

Conţinut

Introducere…………………………………………………………………………………………….4

Capitolul 1. Context………………………………………………………….5

Capitolul 2. Colecția de inegalități logaritmice ………………………… 7

2.1. Tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor…………… 7

2.2. Metoda raționalizării ………………………………………………………… 15

2.3. Înlocuirea non-standard……………………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Sarcini cu capcane…………………………………………………… 27

Concluzie……………………………………………………………………………… 30

Literatură……………………………………………………………………. 31

Introducere

Sunt în clasa a XI-a și plănuiesc să intru într-o universitate în care matematica este o materie de bază. Și de aceea lucrez mult cu sarcinile din partea C. În sarcina C3, trebuie să rezolvați o inegalitate non-standard sau un sistem de inegalități, de obicei asociat cu logaritmi. În timpul pregătirii pentru examen, m-am confruntat cu problema lipsei de metode și tehnici de rezolvare a inegalităților logaritmice de examen oferite în C3. Metode care sunt studiate în curiculumul scolar pe această temă, nu oferiți o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică mi-a sugerat să lucrez singur cu temele C3, sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: există logaritmi în viața noastră?

Având în vedere acest lucru, a fost aleasă tema:

„Inegalități logaritmice la examen”

Obiectiv: studiul mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode non-standard, dezvăluind fapte interesante despre logaritm.

Subiect de studiu:

1) Găsiți informațiile necesare despre metodele nestandard de rezolvare a inegalităților logaritmice.

2) Găsiți informații suplimentare despre logaritmi.

3) Învață să rezolvi probleme specifice C3 folosind metode non-standard.

Rezultate:

Semnificația practică constă în extinderea aparatului de rezolvare a problemelor C3. Acest material poate fi folosit în unele lecții, pentru dirijarea cercurilor, orele opționale de matematică.

Produsul proiectului va fi colecția „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”.

Capitolul 1. Context

În timpul secolului al XVI-lea, numărul de calcule aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studiul mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori mulți ani. Astronomia amenințată pericol real se îneacă în calcule neîmplinite. Au apărut dificultăți și în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, pentru care erau necesare tabele de dobândă compusă sensuri diferite la sută. Principala dificultate a fost înmulțirea, împărțirea numerelor cu mai multe cifre, în special a cantităților trigonometrice.

Descoperirea logaritmilor sa bazat pe proprietățile binecunoscute ale progresiilor până la sfârșitul secolului al XVI-lea. Despre legătura dintre termenii progresiei geometrice q, q2, q3, ... și progresie aritmetică indicatorii lor sunt 1, 2, 3, ... Arhimede a vorbit în „Psalmit”. O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la exponenți negativi și fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, împărțirea, ridicarea la o putere și extragerea unei rădăcini corespund exponențial în aritmetică - în aceeași ordine - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.

Aici a fost ideea logaritmului ca exponent.

În istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor au trecut mai multe etape.

Etapa 1

Logaritmii au fost inventați nu mai târziu de 1594 independent de baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Burgi (1552-1632). Ambele au vrut să ofere un nou mijloc convenabil de calcule aritmetice, deși au abordat această problemă în moduri diferite. Napier a exprimat cinematic funcția logaritmică și a intrat astfel într-un nou domeniu al teoriei funcțiilor. Bürgi a rămas pe baza luării în considerare a progresiilor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu este similară cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) îi aparține lui Napier. A apărut dintr-o combinație cuvinte grecești: logos - „relație” și ariqmo - „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un alt termen: numeri artificiales - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturalts - „numere naturale”.

În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresh College din Londra, Napier a sugerat să ia zero pentru logaritmul lui unu și 100 pentru logaritmul lui zece sau, ceea ce înseamnă același lucru. , doar 1. Așa au fost tipărite logaritmii zecimal și Primele tabele logaritmice. Mai târziu, tabelele Briggs au fost completate de librarul și matematicianul olandez Andrian Flakk (1600-1667). Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi înaintea oricui, și-au publicat tabelele mai târziu decât alții - în 1620. Semnele log și Log au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul de „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659, urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Spadel a publicat tabele de logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub denumirea de „New Logarithms”.

În limba rusă, primele tabele logaritmice au fost publicate în 1703. Dar în toate tabelele logaritmice au fost făcute erori în calcul. Primele tabele fără erori au fost publicate în 1857 la Berlin în prelucrarea matematicianului german K. Bremiker (1804-1877).

Etapa 2

Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă a geometriei analitice și calculului infinitezimal. Până în acel moment, a fost stabilită legătura dintre cuadratura unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni.

Matematicianul, astronomul și inginerul german Nikolaus Mercator în eseul său

„Logaritmotehnica” (1668) oferă o serie care dă expansiunea lui ln(x + 1) în termeni de

puteri x:

Această expresie corespunde exact cursului gândirii sale, deși, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci simboluri mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior”, citite în 1907-1908, F. Klein a sugerat folosirea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor.

Etapa 3

Definirea unei funcții logaritmice ca funcție a inversului

exponențial, logaritm ca exponent acest teren

nu a fost formulată imediat. Opera lui Leonhard Euler (1707-1783)

„Introducere în analiza infinitezimale” (1748) a servit ca mai departe

dezvoltarea teoriei funcţiei logaritmice. În acest fel,

Au trecut 134 de ani de când logaritmii au fost introduși pentru prima dată

(numărând din 1614) înainte ca matematicienii să vină cu o definiție

conceptul de logaritm, care stă acum la baza cursului școlar.

Capitolul 2. Colecția inegalităților logaritmice

2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor.

Tranziții echivalente

dacă a > 1

daca 0 < а < 1

Metoda intervalului generalizat

Aceasta metoda cel mai universal în rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Schema de soluții arată astfel:

1. Aduceți inegalitatea într-o astfel de formă, unde funcția este situată în partea stângă
, și 0 în dreapta.

2. Găsiți domeniul de aplicare al funcției
.

3. Aflați zerourile unei funcții
, adică rezolvați ecuația
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).

4. Desenați domeniul de definiție și zerourile funcției pe o dreaptă reală.

5. Determinați semnele funcției
la intervalele primite.

6. Selectați intervalele în care funcția preia valorile necesare și notați răspunsul.

Exemplul 1

Soluţie:

Aplicați metoda intervalului

Unde

Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnele logaritmilor sunt pozitive.

Răspuns:

Exemplul 2

Soluţie:

1 cale . ODZ este determinat de inegalitate X> 3. Luarea de logaritmi pentru astfel de Xîn baza 10, obținem

Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de descompunere, i.e. compararea factorilor cu zero. Cu toate acestea, în acest caz este ușor de determinat intervalele de constanță ale funcției

deci se poate aplica metoda intervalului.

Funcţie f(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ este continuă pt X> 3 și dispare în puncte X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Astfel, determinăm intervalele de constanță ale funcției f(X):

Răspuns:

a 2-a cale . Să aplicăm ideile metodei intervalelor direct inegalității inițiale.

Pentru aceasta, amintim că expresiile A b- A c și ( A - 1)(b- 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră pentru X> 3 este echivalent cu inegalitatea

sau

Ultima inegalitate se rezolvă prin metoda intervalului

Răspuns:

Exemplul 3

Soluţie:

Aplicați metoda intervalului

Răspuns:

Exemplul 4

Soluţie:

Din 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pentru toate reale X, apoi

Pentru a rezolva a doua inegalitate, folosim metoda intervalului

În prima inegalitate, noi facem schimbarea

atunci ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, care satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.

De unde, pentru că

obținem inegalitatea

care se realizează cu X, pentru care 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Acum, ținând cont de soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în sfârșit

Răspuns:

Exemplul 5

Soluţie:

Inegalitatea este echivalentă cu un set de sisteme

sau

Aplicați metoda intervalului sau

Răspuns:

Exemplul 6

Soluţie:

Inegalitatea echivalează cu un sistem

Lăsa

apoi y > 0,

și prima inegalitate

sistemul ia forma

sau, extinderea

trinom pătrat în factori,

Aplicând metoda intervalului la ultima inegalitate,

vedem că soluțiile sale satisfac condiția y> 0 va fi tot y > 4.

Astfel, inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul:

Deci, soluțiile inegalității sunt toate

2.2. metoda de raționalizare.

Metoda anterioară raționalizarea inegalității nu a fost rezolvată, nu se știa. Acesta este noul modern metoda eficienta soluții ale inegalităților exponențiale și logaritmice” (citat din cartea lui Kolesnikova S.I.)
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, era o teamă - dar expertul USE îl cunoaște și de ce nu-l dau la școală? Au fost situații când profesorul i-a spus elevului: "De unde l-ai luat? Stai jos - 2."
Acum metoda este promovată peste tot. Și pentru experți, există linii directoare asociate cu această metodă, iar în „Cele mai complete ediții de opțiuni standard...” în soluția C3, se folosește această metodă.
METODA ESTE GENIALĂ!

„Masa magică”

În alte surse

dacă a >1 și b >1, apoi log a b >0 și (a -1)(b -1)>0;

dacă a >1 și 0

daca 0<A<1 и b >1, apoi log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

daca 0<A<1 и 00 și (a -1)(b -1)>0.

Raționamentul de mai sus este simplu, dar simplifică considerabil soluția inegalităților logaritmice.

Exemplul 4

log x (x 2 -3)<0

Soluţie:

Exemplul 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Soluţie:

Răspuns. (0; 0,5) U.

Exemplul 6

Pentru a rezolva această inegalitate, scriem (x-1-1) (x-1) în loc de numitor și produsul (x-1) (x-3-9 + x) în loc de numărător.

Răspuns : (3;6)

Exemplul 7

Exemplul 8

2.3. Înlocuire non-standard.

Exemplul 1

Exemplul 2

Exemplul 3

Exemplul 4

Exemplul 5

Exemplul 6

Exemplul 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Să facem înlocuirea y=3 x -1; atunci această inegalitate ia forma

log 4 log 0,25
.

pentru că log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , apoi rescriem ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Să facem o înlocuire t =log 4 y și să obținem inegalitatea t 2 -2t +≥0, a cărei soluție este intervalele - .

Astfel, pentru a găsi valorile lui y, avem un set de două cele mai simple inegalități
Soluția acestei colecții este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.

Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu mulțimea a două inegalități exponențiale,
adică agregate

Soluția primei inegalități a acestei mulțimi este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Astfel, inegalitatea originală este valabilă pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.

Exemplul 8

Soluţie:

Inegalitatea echivalează cu un sistem

Soluția celei de-a doua inegalități, care determină ODZ, va fi mulțimea celor X,

pentru care X > 0.

Pentru a rezolva prima inegalitate, facem schimbarea

Apoi obținem inegalitatea

sau

Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități se găsește prin metodă

intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, primim

sau

Multe dintre acestea X, care satisfac ultima inegalitate

aparține ODZ ( X> 0), prin urmare, este o soluție a sistemului,

și de aici inegalitatea inițială.

Răspuns:

2.4. Sarcini cu capcane.

Exemplul 1

.

Soluţie. ODZ a inegalității este tot x care satisface condiția 0 . Prin urmare, toți x din intervalul 0

Exemplul 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Ideea este că al doilea număr este în mod evident mai mare decât

Concluzie

Nu a fost ușor să găsești metode speciale de rezolvare a problemelor C3 dintr-o mare varietate de surse educaționale diferite. Pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia metode non-standard pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: ​​tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării , substituție non-standard , sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode sunt absente în programa școlară.

Folosind diferite metode, am rezolvat 27 de inegalități oferite la USE în partea C și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”, care a devenit produsul de proiect al activității mele. S-a confirmat ipoteza pe care am înaintat-o ​​la începutul proiectului: problemele C3 pot fi rezolvate eficient dacă aceste metode sunt cunoscute.

În plus, am descoperit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să o fac. Produsele proiectului meu vor fi utile atât studenților, cât și profesorilor.

Concluzii:

Astfel, scopul proiectului este atins, problema este rezolvată. Și am obținut cea mai completă și versatilă experiență în activități de proiect în toate etapele de lucru. Pe parcursul lucrului la proiect, impactul meu principal de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activităților legate de operații mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativa personală, responsabilitate, perseverență și activitate.

O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pt Am devenit: o experiență școlară semnificativă, capacitatea de a extrage informații din diverse surse, de a le verifica fiabilitatea, de a o clasifica în funcție de semnificația ei.

Pe lângă cunoștințele direct de la matematică, și-a extins abilitățile practice în domeniul informaticii, a dobândit noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, a stabilit contacte cu colegii de clasă și a învățat să coopereze cu adulții. Pe parcursul activităților proiectului s-au dezvoltat abilități și abilități educaționale generale organizatorice, intelectuale și comunicative.

Literatură

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o variabilă (sarcini tipice C3).

2. Malkova A. G. Pregătirea pentru examenul de stat unificat la matematică.

3. S. S. Samarova, Rezolvarea inegalităților logaritmice.

4. Matematică. Culegere de lucrări de formare editată de A.L. Semyonov și I.V. Iascenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

Continut Asemanator:

1. Scenariul jocului de sport militar „fulger” pentru elevii mai tineri Joc de sport militar la scenariul școlii
2. Aplicarea volumetrica a ghioceilor de hartie pentru gradinita
3. Cum să tăiați mâncarea profesional Fără condiții - nu mâncați
4. Expediție secretă a KGB-ului în Peninsula Kola!