Ecuații logaritmice. De la simplu la complex.

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este o ecuație logaritmică?

Aceasta este o ecuație cu logaritmi. Am fost surprins, nu?) Apoi voi clarifica. Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x) și expresiile cu acestea în interiorul logaritmilor.Și numai acolo! Este important.

Aici sunt cateva exemple ecuații logaritmice:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ei bine, ai înțeles ideea... )

Notă! Sunt localizate cele mai diverse expresii cu x exclusiv în interiorul logaritmilor. Dacă, brusc, un x este găsit în ecuație undeva in afara, de exemplu:

log 2 x = 3+x,

aceasta va fi o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare de rezolvare. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Apropo, există ecuații în care sunt în interiorul logaritmilor doar numere. De exemplu:

Ce pot sa spun? Ai noroc dacă dai peste asta! Logaritmul cu numere este oarecare număr. Si asta e. Este suficient să cunoaștem proprietățile logaritmilor pentru a rezolva o astfel de ecuație. Cunoașterea unor reguli speciale, tehnici adaptate special pentru rezolvare ecuații logaritmice, nu este necesar aici.

Asa de, ce este o ecuație logaritmică- dat seama.

Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Soluţie ecuații logaritmice- un lucru, în general, nu este foarte simplu. Deci, secțiunea pe care o avem este pentru patru... Este necesară o ofertă decentă de cunoștințe pe tot felul de subiecte conexe. În plus, există o caracteristică specială în aceste ecuații. Și această caracteristică este atât de importantă încât poate fi numită în siguranță problema principală în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Vom trata această problemă în detaliu în lecția următoare.

Acum, nu-ți face griji. Vom merge pe drumul cel bun de la simplu la complex. Pe exemple concrete. Principalul lucru este să te adâncești în lucruri simple și să nu fi lene să urmărești linkurile, le pun cu un motiv... Și vei reuși. Neapărat.

Să începem cu cele mai elementare, mai simple ecuații. Pentru a le rezolva, este de dorit să aveți o idee despre logaritm, dar nimic mai mult. Doar habar nu logaritm ia o decizie logaritmică ecuații – cumva chiar jenant... Foarte îndrăzneț, aș spune).

Cele mai simple ecuații logaritmice.

Acestea sunt ecuații de forma:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces de rezolvare orice ecuație logaritmică consta in trecerea de la o ecuatie cu logaritmi la o ecuatie fara acestia. În cele mai simple ecuații, această tranziție se realizează într-un singur pas. De aceea este simplu.)

Și astfel de ecuații logaritmice sunt rezolvate surprinzător de simplu. Convinge-te singur.

Să rezolvăm primul exemplu:

log 3 x = log 3 9

Pentru a rezolva acest exemplu, nu trebuie să știți aproape nimic, da... Intuiție pură!) Ce facem mai ales nu iti place acest exemplu? Ceva... nu-mi plac logaritmii! Corect. Aici scăpăm de ei. Privim cu atenție exemplul și apare în noi o dorință firească... De-a dreptul irezistibil! Luați și aruncați logaritmii în general. Și ceea ce face plăcere este poate sa do! Matematica permite. Logaritmii dispar raspunsul este:

E grozav, nu? Acest lucru poate (și ar trebui) să fie făcut întotdeauna. Eliminarea logaritmilor în acest mod este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică, această operație se numește potențare. Există, desigur, propriile reguli pentru o astfel de lichidare, dar sunt puține. Tine minte:

Puteți elimina logaritmii fără nicio teamă dacă au:

a) aceleaşi baze numerice

c) logaritmii stânga-dreapta sunt curați (fără coeficienți) și sunt într-o izolare splendidă.

Lasă-mă să explic ultimul punct. În ecuație, să spunem

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

logaritmii nu pot fi eliminati. Doua din dreapta nu permite. Coeficient, știi... În exemplu

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

nici ecuaţia nu poate fi potenţată. Nu există un logaritm singur pe partea stângă. Sunt doi dintre ei.

Pe scurt, puteți elimina logaritmii dacă ecuația arată astfel și numai așa:

log a (.....) = log a (.....)

În paranteze, unde pot fi punctele de suspensie orice fel de expresie. Simplu, super complex, orice. Tot ceea ce. Important este că după eliminarea logaritmilor, rămânem cu o ecuație mai simplă. Se presupune, desigur, că știți deja cum să rezolvați ecuații liniare, pătratice, fracționale, exponențiale și alte ecuații fără logaritmi.)

Acum puteți rezolva cu ușurință al doilea exemplu:

log 7 (2x-3) = log 7 x

De fapt, este în minte. Potentiam, obtinem:

Ei bine, este foarte greu?) După cum puteți vedea, logaritmică o parte a soluției ecuației este doar la eliminarea logaritmilor...Și apoi vine soluția ecuației rămase deja fără ele. Afaceri cu deșeuri.

Rezolvăm al treilea exemplu:

log 7 (50x-1) = 2

Vedem că logaritmul este în stânga:

Reamintim că acest logaritm este un număr la care baza (adică șapte) trebuie ridicată pentru a obține o expresie sublogaritmică, i.e. (50x-1).

Dar acest număr este doi! Conform ecuaţiei. Acesta este:

Asta, în esență, este tot. Logaritm a dispărut ecuația inofensivă rămâne:

Am rezolvat această ecuație logaritmică bazată doar pe semnificația logaritmului. Este mai ușor să eliminați logaritmii?) Sunt de acord. Apropo, dacă faci un logaritm din doi, poți rezolva acest exemplu prin lichidare. Puteți lua un logaritm din orice număr. Și exact așa cum avem nevoie. Foarte tehnica utilaîn rezolvarea ecuaţiilor logaritmice şi (mai ales!) a inegalităţilor.

Știi cum să faci un logaritm dintr-un număr!? E bine. Secțiunea 555 descrie această tehnică în detaliu. Îl poți stăpâni și aplica la maximum! Reduce foarte mult numărul de erori.

A patra ecuație este rezolvată exact în același mod (prin definiție):

Cam despre asta e.

Să rezumam această lecție. Am considerat soluția celor mai simple ecuații logaritmice folosind exemple. Este foarte important. Și nu numai pentru că astfel de ecuații sunt la examene de control. Cert este că până și cele mai rele și mai confuze ecuații se reduc neapărat la cele mai simple!

De fapt, cele mai simple ecuații sunt partea finală a soluției orice ecuații. Și această parte de finisare trebuie înțeleasă ironic! Și mai departe. Asigurați-vă că citiți această pagină până la sfârșit. Există o surpriză...

Să decidem singuri. Umplem mâna, ca să spunem așa...)

Găsiți rădăcina (sau suma rădăcinilor, dacă sunt mai multe) ecuațiilor:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Răspunsuri (în dezordine, desigur): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Ce nu merge? S-a întâmplat. Nu vă întristați! În secțiunea 555, soluția pentru toate aceste exemple este descrisă clar și în detaliu. Cu siguranță vei afla acolo. În plus, veți învăța tehnici practice utile.

Totul a mers!? Toate exemplele de „unul rămas”?) Felicitări!

Este timpul să-ți dezvălui adevărul amar. Rezolvarea cu succes a acestor exemple nu garantează deloc succesul în rezolvarea tuturor celorlalte ecuații logaritmice. Chiar și cele simple ca acestea. Vai.

Ideea este că soluția oricărei ecuații logaritmice (chiar și cea mai elementară!) constă în două părți egale. Rezolvarea ecuației și lucrați cu ODZ. O parte - soluția ecuației în sine - am stăpânit-o. Nu este atât de greu dreapta?

Pentru această lecție, am selectat special astfel de exemple în care ODZ nu afectează în niciun fel răspunsul. Dar nu toți sunt la fel de amabili ca mine, nu?...)

Prin urmare, este necesar să stăpânești și cealaltă parte. ODZ. Aceasta este principala problemă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Și nu pentru că este dificil - această parte este chiar mai ușoară decât prima. Dar pentru că pur și simplu uită de ODZ. Sau ei nu știu. Sau amândouă). Și cad la plat...

În următoarea lecție, ne vom ocupa de această problemă. Atunci va fi posibil să decideți cu încredere orice ecuații logaritmice simple și se apropie de sarcini destul de solide.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b * a c = a b + c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesar să se simplifice înmulțirea greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” prin baza sa „a” este considerat puterea lui „c” , la care trebuie ridicată baza „a”, pentru ca în final să capete valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și pe bună dreptate, pentru că 2 la puterea lui 3 dă numărul 8 în răspuns.

Varietăți de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri distincte de expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, trebuie să vă amintiți proprietățile lor și ordinea acțiunilor în deciziile lor.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-limitări care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina unui grad par din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință cum să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b > 0, se dovedește că „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, având în vedere sarcina de a găsi răspunsul la ecuația 10 x \u003d 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 \u003d 100.

Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, practic toate acțiunile converg către găsirea gradului în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să înveți cum să lucrezi cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c, la care se ridică numărul a. La intersecția din celule, se determină valorile numerelor, care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se pare că, în anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 \u003d 1/32 scriem sub forma unui logaritm, obținem log 2 (1/32) \u003d -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să ne uităm la cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este inegalitatea logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit în baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul lui 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea inegalității, atât domeniul de valorile acceptabile și punctele care depășesc această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive privind găsirea valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemple de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate mai detaliat.

1. Identitatea de bază arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o demonstrație pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2 , apoi a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obținem că s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietăți de grade) ), și mai departe prin definiție: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ceea ce urma să fie demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovada.

Să log a b \u003d t, se dovedește a t \u003d b. Dacă ridici ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n , prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru admitere la universitate sau promovare examenele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de probleme.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, cu toate acestea, fiecare inegalitate matematică sau ecuație logaritmică poate fi aplicată anumite reguli. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la vedere generala. Simplificați lung expresii logaritmice Puteți, dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem curând.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, este necesar să stabilim ce fel de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru soluțiile logaritmilor naturali, trebuie aplicate identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale pe logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului produsului poate fi utilizată în sarcini în care este necesară extinderea mare importanță numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum vedeți, aplicând a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Este necesar doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Sarcini de la examen

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul presupune o cunoaștere exactă și perfectă a temei „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile problemelor sunt preluate din oficial UTILIZAȚI opțiuni. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2 , prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4 , deci 2x = 17; x = 8,5.

• Toți logaritmii se reduc cel mai bine la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, la scoaterea exponentului exponentului expresiei, care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

Astăzi vom învăța cum să rezolvăm cele mai simple ecuații logaritmice, unde nu sunt necesare transformări preliminare și selectarea rădăcinilor. Dar dacă înveți cum să rezolvi astfel de ecuații, atunci va fi mult mai ușor.

Cea mai simplă ecuație logaritmică este o ecuație de forma log a f (x) \u003d b, unde a, b sunt numere (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) este o funcție.

O caracteristică distinctivă a tuturor ecuațiilor logaritmice este prezența variabilei x sub semnul logaritmului. Dacă o astfel de ecuație este dată inițial în problemă, se numește cea mai simplă. Orice alte ecuații logaritmice sunt reduse la cele mai simple prin transformări speciale (vezi „Proprietățile de bază ale logaritmilor”). Cu toate acestea, trebuie luate în considerare numeroase subtilități: pot apărea rădăcini suplimentare, astfel încât ecuațiile logaritmice complexe vor fi luate în considerare separat.

Cum se rezolvă astfel de ecuații? Este suficient să înlocuiți numărul din dreapta semnului egal cu un logaritm în aceeași bază ca și în stânga. Apoi puteți scăpa de semnul logaritmului. Primim:

log a f (x) \u003d b ⇒ log a f (x) \u003d log a a b ⇒ f (x) \u003d a b

Avem ecuația obișnuită. Rădăcinile sale sunt rădăcinile ecuației originale.

Pronunțarea gradelor

Adesea, ecuațiile logaritmice, care în exterior par complicate și amenințătoare, sunt rezolvate în doar câteva rânduri fără a implica formule complexe. Astăzi vom lua în considerare doar astfel de probleme, în care tot ceea ce vă este necesar este să reduceți cu atenție formula la forma canonică și să nu vă confundați atunci când căutați domeniul de definire a logaritmilor.

Astăzi, așa cum probabil ați ghicit din titlu, vom rezolva ecuații logaritmice folosind formulele pentru trecerea la forma canonică. Principalul „truc” al acestei lecții video va fi lucrul cu grade, sau mai degrabă, luarea gradului de la bază și argument. Să ne uităm la regula:

În mod similar, puteți scoate gradul de la bază:

După cum puteți vedea, dacă atunci când scoatem gradul din argumentul logaritmului, avem pur și simplu un factor suplimentar în față, atunci când scoatem gradul din bază, nu este doar un factor, ci un factor inversat. Acest lucru trebuie amintit.

În sfârșit, cel mai interesant. Aceste formule pot fi combinate, apoi obținem:

Desigur, la efectuarea acestor tranziții, există anumite capcane asociate cu posibila extindere a domeniului definiției sau, dimpotrivă, îngustarea domeniului definiției. Judecă singur:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Dacă în primul caz, x ar putea fi orice număr altul decât 0, adică cerința x ≠ 0, atunci în al doilea caz, ne vom mulțumi doar cu x, care nu numai că nu sunt egali, dar sunt strict mai mari decât 0, deoarece domeniul logaritmului este ca argumentul să fie strict mai mare decât 0. Prin urmare, vă voi aminti de o formulă minunată din cursul de algebră din clasele 8-9:

Adică, trebuie să scriem formula noastră după cum urmează:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Atunci nu va avea loc nicio restrângere a domeniului definiției.

Cu toate acestea, în tutorialul video de astăzi nu vor exista pătrate. Dacă te uiți la sarcinile noastre, vei vedea doar rădăcinile. Prin urmare, nu vom aplica această regulă, dar trebuie totuși să ținem cont, astfel încât, la momentul potrivit, când vedeți o funcție pătratică în argumentul sau baza logaritmului, să vă amintiți această regulă și să efectuați corect toate transformările. .

Deci prima ecuație este:

Pentru a rezolva această problemă, îmi propun să ne uităm cu atenție la fiecare dintre termenii prezenți în formulă.

Să rescriem primul termen ca o putere cu un exponent rațional:

Ne uităm la al doilea termen: log 3 (1 − x ). Nu trebuie să faci nimic aici, totul este deja în curs de transformare.

În cele din urmă, 0, 5. După cum am spus în lecțiile anterioare, atunci când rezolvăm ecuații și formule logaritmice, recomand cu căldură trecerea de la fracțiile zecimale la cele obișnuite. Să o facem:

0,5 = 5/10 = 1/2

Să rescriem formula noastră originală ținând cont de termenii obținuți:

log 3 (1 − x ) = 1

Acum să trecem la forma canonică:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Scăpați de semnul logaritmului echivalând argumentele:

1 − x = 3

-x = 2

x = −2

Gata, am rezolvat ecuația. Cu toate acestea, haideți să fim în siguranță și să găsim domeniul definiției. Pentru a face acest lucru, să revenim la formula originală și să vedem:

1 − x > 0

-x > -1

X< 1

Rădăcina noastră x = −2 satisface această cerință, deci x = −2 este o soluție a ecuației inițiale. Acum avem o justificare clară strictă. Totul, sarcina este rezolvată.

Să trecem la a doua sarcină:

Să ne ocupăm de fiecare termen separat.

Scriem primul:

Am modificat primul termen. Lucrăm cu al doilea termen:

În sfârșit, ultimul termen, care se află în dreapta semnului egal:

Inlocuim expresiile rezultate pentru termenii din formula rezultata:

log 3 x = 1

Trecem la forma canonică:

log 3 x = log 3 3

Scăpăm de semnul logaritmului prin echivalarea argumentelor și obținem:

x=3

Din nou, pentru orice eventualitate, haideți să fim siguri, să revenim la ecuația inițială și să vedem. În formula originală, variabila x este prezentă numai în argument, prin urmare,

x > 0

În al doilea logaritm, x este sub rădăcină, dar din nou în argument, prin urmare, rădăcina trebuie să fie mai mare decât 0, adică expresia rădăcinii trebuie să fie mai mare decât 0. Ne uităm la rădăcina noastră x = 3. Evident, îndeplinește această cerință. Prin urmare, x = 3 este soluția ecuației logaritmice inițiale. Totul, sarcina este rezolvată.

Există două puncte cheie în tutorialul video de astăzi:

1) nu vă fie teamă să convertiți logaritmi și, în special, nu vă fie teamă să scoateți grade din semnul logaritmului, amintindu-vă în același timp formula noastră de bază: atunci când scoateți gradul din argument, acesta este pur și simplu scos fără se modifică ca factor, iar la scoaterea gradului din bază, acest grad este inversat.

2) al doilea punct este legat de forma autocanonică. Am efectuat trecerea la forma canonică chiar la sfârșitul transformării formulei ecuației logaritmice. Amintiți-vă următoarea formulă:

a = log b b a

Desigur, prin expresia „orice număr b” mă refer la acele numere care îndeplinesc cerințele impuse pe baza logaritmului, adică.

1 ≠ b > 0

Pentru astfel de b , și deoarece cunoaștem deja baza, această cerință va fi îndeplinită automat. Dar pentru astfel de b - oricare care satisfac această cerință - această tranziție poate fi efectuată și obținem o formă canonică în care putem scăpa de semnul logaritmului.

Extinderea domeniului de definiție și rădăcini suplimentare

În procesul de transformare a ecuațiilor logaritmice, poate apărea o extensie implicită a domeniului de definiție. Adesea, elevii nici măcar nu observă acest lucru, ceea ce duce la erori și răspunsuri incorecte.

Să începem cu cele mai simple modele. Cea mai simplă ecuație logaritmică este următoarea:

log a f(x) = b

Rețineți că x este prezent într-un singur argument al unui logaritm. Cum rezolvăm astfel de ecuații? Folosim forma canonică. Pentru a face acest lucru, reprezentăm numărul b \u003d log a a b, iar ecuația noastră va fi rescrisă în următoarea formă:

log a f(x) = log a a b

Această notație se numește forma canonică. Pentru ea ar trebui redusă orice ecuație logaritmică pe care o veți întâlni nu numai în lecția de astăzi, ci și în orice muncă independentă și de control.

Cum să ajungeți la forma canonică, ce tehnici să folosiți - aceasta este deja o chestiune de practică. Principalul lucru de înțeles: de îndată ce primiți o astfel de înregistrare, putem presupune că problema este rezolvată. Pentru că următorul pas este să scrieți:

f(x) = a b

Cu alte cuvinte, scăpăm de semnul logaritmului și pur și simplu echivalăm argumentele.

De ce toată discuția asta? Faptul este că forma canonică este aplicabilă nu numai celor mai simple probleme, ci și oricăror altele. În special, celor cărora le vom adresa astăzi. Sa vedem.

Prima sarcină:

Care este problema cu această ecuație? Faptul că funcția este în doi logaritmi deodată. Problema poate fi redusă la cea mai simplă prin scăderea unui logaritm dintr-un altul. Dar există probleme cu domeniul definiției: pot apărea rădăcini suplimentare. Deci, să mutăm unul dintre logaritmi la dreapta:

Aici o astfel de înregistrare este deja mult mai asemănătoare cu forma canonică. Dar mai există o nuanță: în forma canonică, argumentele trebuie să fie aceleași. Și avem logaritmul la baza 3 în stânga și logaritmul la baza 1/3 în dreapta. Știi, trebuie să aduci aceste baze la același număr. De exemplu, să ne amintim ce sunt exponenții negativi:

Și apoi vom folosi exponentul „-1” în afara jurnalului ca multiplicator:

Vă rugăm să rețineți: gradul care a stat la bază este răsturnat și se transformă într-o fracțiune. Am obținut o notație aproape canonică scăpând de diverse baze, dar în schimb am obținut factorul „−1” din dreapta. Să punem acest factor în argument transformându-l într-o putere:

Desigur, după ce am primit forma canonică, tăiem cu îndrăzneală semnul logaritmului și echivalăm argumentele. În același timp, permiteți-mi să vă reamintesc că atunci când este ridicată la puterea lui „−1”, fracția pur și simplu se întoarce - se obține o proporție.

Să folosim proprietatea principală a proporției și să o înmulțim în cruce:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

x2 − 10x + 16 = 0

În fața noastră este ecuație pătratică, așa că o rezolvăm folosind formulele Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x2 = 2

Asta e tot. Crezi că s-a rezolvat ecuația? Nu! Pentru o astfel de soluție, vom obține 0 puncte, deoarece în ecuația inițială există doi logaritmi cu variabila x deodată. Prin urmare, este necesar să se țină cont de domeniul definiției.

Și de aici începe distracția. Majoritatea elevilor sunt confuzi: care este domeniul logaritmului? Desigur, toate argumentele (avem două) trebuie să fie mai mari decât zero:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Fiecare dintre aceste inegalități trebuie rezolvată, marcată pe o linie dreaptă, încrucișată - și abia apoi să vedeți ce rădăcini se află la intersecție.

Voi fi sincer: această tehnică are dreptul să existe, este de încredere și vei primi răspunsul corect, dar sunt prea mulți pași suplimentari în ea. Așa că haideți să trecem prin soluția noastră din nou și să vedem: unde anume doriți să aplicați domeniul de aplicare? Cu alte cuvinte, trebuie să înțelegeți clar exact când apar rădăcini suplimentare.

1. Inițial, aveam doi logaritmi. Apoi am mutat unul dintre ele spre dreapta, dar acest lucru nu a afectat zona de definire.
2. Apoi eliminăm puterea de la bază, dar există încă doi logaritmi și fiecare dintre ei conține variabila x .
3. În cele din urmă, tăiem semnele log și obținem ecuația clasică fracțional-rațională.

Exact pe ultimul pas există o extindere a domeniului definiției! De îndată ce am trecut la o ecuație rațională fracțională, scăpând de semnele log, cerințele pentru variabila x s-au schimbat dramatic!

Prin urmare, domeniul definiției poate fi considerat nu chiar la începutul soluției, ci doar la pasul menționat - înainte de a echivala direct argumentele.

Aici se află oportunitatea de optimizare. Pe de o parte, ni se cere ca ambele argumente să fie mai mari decât zero. Pe de altă parte, echivalăm în continuare aceste argumente. Prin urmare, dacă cel puțin unul dintre ele este pozitiv, atunci și al doilea va fi pozitiv!

Deci, se dovedește că a solicita îndeplinirea a două inegalități simultan este o exagerare. Este suficient să luăm în considerare doar una dintre aceste fracții. Care? Cel care este mai ușor. De exemplu, să ne uităm la fracția potrivită:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Acest lucru este tipic inegalitatea rațională fracțională, o rezolvăm prin metoda intervalului:

Cum se pun semne? Luați un număr care este evident mai mare decât toate rădăcinile noastre. De exemplu, 1 miliard și îi înlocuim fracția. Obținem un număr pozitiv, adică în dreapta rădăcinii x = 5 va fi semnul plus.

Apoi, semnele alternează, pentru că nu există nicăieri rădăcini ale multiplicității. Suntem interesați de intervalele în care funcția este pozitivă. Prin urmare, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Acum să ne amintim răspunsurile: x = 8 și x = 2. Strict vorbind, acestea nu sunt încă răspunsuri, ci doar candidați pentru un răspuns. Care aparține setului specificat? Desigur, x = 8. Dar x = 2 nu ni se potrivește în ceea ce privește domeniul de definiție.

În total, răspunsul la prima ecuație logaritmică va fi x = 8. Acum avem o soluție competentă, rezonabilă, ținând cont de domeniul de definiție.

Să trecem la a doua ecuație:

log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3

Vă reamintesc că dacă există o fracție zecimală în ecuație, atunci ar trebui să scăpați de ea. Cu alte cuvinte, să rescriem 0,5 ca o fracție obișnuită. Observăm imediat că logaritmul care conține această bază este ușor de luat în considerare:

Acesta este un moment foarte important! Când avem grade atât în ​​bază cât și în argument, putem scoate indicatorii acestor grade folosind formula:

Ne întoarcem la ecuația noastră logaritmică inițială și o rescriem:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Am obținut o construcție destul de apropiată de forma canonică. Cu toate acestea, suntem confuzi de termenii și semnul minus din dreapta semnului egal. Să reprezentăm unitatea ca logaritm la baza 5:

log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)

Scădeți logaritmii din dreapta (în timp ce argumentele lor sunt împărțite):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Minunat. Deci am primit forma canonică! Trimitem semnele de jurnal și echivalăm argumentele:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Aceasta este o proporție care se rezolvă ușor prin multiplicare încrucișată:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x2 − 14x + 40 = 0

Evident, avem o ecuație pătratică dată. Se rezolvă ușor folosind formulele Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Avem două rădăcini. Dar acestea nu sunt răspunsuri finale, ci doar candidați, deoarece ecuația logaritmică necesită și verificarea domeniului.

Vă reamintesc: nu vă uitați când fiecare dintre argumente va fi mai mare decât zero. Este suficient să cereți ca un argument, fie x − 9, fie 5/(x − 5) să fie mai mare decât zero. Luați în considerare primul argument:

x − 9 > 0

x > 9

Evident, doar x = 10 satisface această cerință. Acesta este răspunsul final. Toată problema rezolvată.

Încă o dată, ideile principale ale lecției de astăzi:

1. De îndată ce variabila x apare în mai mulți logaritmi, ecuația încetează să mai fie elementară, iar pentru aceasta este necesar să se calculeze domeniul de definiție. În caz contrar, puteți scrie cu ușurință rădăcini suplimentare ca răspuns.
2. Lucrul cu domeniul definiției în sine poate fi foarte simplificat dacă inegalitatea nu este scrisă imediat, ci exact în momentul în care scăpăm de semnele log. La urma urmei, atunci când argumentele sunt egalate între ele, este suficient să ceri ca doar unul dintre ele să fie mai mare decât zero.

Bineînțeles că noi înșine alegem din ce argument să facem o inegalitate, așa că este logic să-l alegem pe cel mai simplu. De exemplu, în a doua ecuație, am ales argumentul (x − 9) ca funcție liniară, spre deosebire de al doilea argument fracțional rațional. De acord, rezolvarea inegalității x − 9 > 0 este mult mai ușoară decât 5/(x − 5) > 0. Deși rezultatul este același.

Această observație simplifică foarte mult căutarea ODZ, dar fiți atenți: puteți folosi o inegalitate în loc de două numai atunci când argumentele sunt precise. se echivalează între ei!

Desigur, cineva se va întreba acum: ce se întâmplă altfel? Da câteodată. De exemplu, în pasul în sine, când înmulțim două argumente care conțin o variabilă, există pericolul de rădăcini suplimentare.

Judecă singur: la început se cere ca fiecare dintre argumente să fie mai mare decât zero, dar după înmulțire este suficient ca produsul lor să fie mai mare decât zero. Ca rezultat, cazul în care fiecare dintre aceste fracții este negativă este omis.

Prin urmare, dacă abia începeți să vă ocupați de ecuații logaritmice complexe, în niciun caz nu multiplicați logaritmii care conțin variabila x - prea des, acest lucru va duce la rădăcini suplimentare. Mai bine faceți un pas în plus, transferați un termen pe cealaltă parte, alcătuiți forma canonică.

Ei bine, ce să faci dacă nu poți să faci fără înmulțirea unor astfel de logaritmi, vom discuta în următorul tutorial video. :)

Încă o dată despre puterile din ecuație

Astăzi vom analiza un subiect destul de alunecos referitor la ecuațiile logaritmice, sau mai bine zis, eliminarea puterilor din argumentele și bazele logaritmilor.

Aș spune chiar că vom vorbi despre scoaterea puterilor pare, pentru că tocmai cu puteri pare apar majoritatea dificultăților la rezolvarea ecuațiilor logaritmice reale.

Să începem cu forma canonică. Să presupunem că avem o ecuație ca log a f (x) = b. În acest caz, rescriem numărul b după formula b = log a a b . Rezultă următoarele:

log a f(x) = log a a b

Apoi echivalăm argumentele:

f(x) = a b

Penultima formulă se numește forma canonică. Pentru ea ei încearcă să reducă orice ecuație logaritmică, oricât de complicată și groaznică ar părea la prima vedere.

Iată, hai să încercăm. Să începem cu prima sarcină:

Observație preliminară: așa cum am spus, toate zecimaleîntr-o ecuație logaritmică, este mai bine să o traduceți în cele obișnuite:

0,5 = 5/10 = 1/2

Să ne rescriem ecuația având în vedere acest fapt. Rețineți că atât 1/1000, cât și 100 sunt puteri ale lui 10 și apoi scoatem puterile de oriunde sunt: ​​din argumente și chiar din baza logaritmilor:

Și aici se pune întrebarea pentru mulți studenți: „De unde a venit modulul din dreapta?” Într-adevăr, de ce nu scrieți (x − 1)? Desigur, acum vom scrie (x − 1), dar dreptul la o astfel de înregistrare ne dă seama de domeniul definiției. La urma urmei, celălalt logaritm conține deja (x - 1), iar această expresie trebuie să fie mai mare decât zero.

Dar când scoatem pătratul de la baza logaritmului, trebuie să lăsăm modulul la bază. O să explic de ce.

Cert este că din punctul de vedere al matematicii, a lua o diplomă echivalează cu a lua o rădăcină. În special, când expresia (x − 1) 2 este pătrată, extragem în esență rădăcina gradului doi. Dar rădăcina pătrată nu este altceva decât un modul. Exact modul, deoarece chiar dacă expresia x - 1 este negativă, la pătrat „minus” va arde în continuare. Extracția ulterioară a rădăcinii ne va oferi un număr pozitiv - deja fără minusuri.

În general, pentru a evita greșelile ofensatoare, amintiți-vă o dată pentru totdeauna:

Rădăcina unui grad par din orice funcție care este ridicată la aceeași putere este egală nu cu funcția în sine, ci cu modulul acesteia:

Revenim la ecuația noastră logaritmică. Vorbind despre modul, am susținut că îl putem elimina fără durere. Asta este adevărat. Acum voi explica de ce. Strict vorbind, a trebuit să luăm în considerare două opțiuni:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Fiecare dintre aceste opțiuni ar trebui abordată. Dar există o problemă: formula originală conține deja funcția (x − 1) fără modul. Și urmând domeniul de definire al logaritmilor, avem dreptul să notăm imediat că x − 1 > 0.

Această cerință trebuie satisfăcută indiferent de orice module și alte transformări pe care le realizăm în procesul de soluție. Prin urmare, este inutil să luăm în considerare a doua opțiune - nu va apărea niciodată. Chiar dacă la rezolvarea acestei ramuri a inegalității obținem niște numere, ele tot nu vor fi incluse în răspunsul final.

Acum suntem literalmente la un pas de forma canonică a ecuației logaritmice. Să reprezentăm unitatea după cum urmează:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

În plus, introducem factorul −4, care este în dreapta, în argument:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

În fața noastră se află forma canonică a ecuației logaritmice. Scapa de semnul logaritmului:

10 −4 = x − 1

Dar, deoarece baza a fost o funcție (și nu un număr prim), în plus, solicităm ca această funcție să fie mai mare decât zero și să nu fie egală cu unu. Obțineți sistemul:

Deoarece cerința x − 1 > 0 este satisfăcută automat (deoarece x − 1 = 10 −4), una dintre inegalități poate fi ștearsă din sistemul nostru. A doua condiție poate fi, de asemenea, tăiată deoarece x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Aceasta este singura rădăcină care satisface automat toate cerințele pentru domeniul de definire a logaritmului (totuși, toate cerințele au fost eliminate ca fiind îndeplinite cu bună știință în condițiile problemei noastre).

Deci a doua ecuație este:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Cum este această ecuație fundamental diferită de cea anterioară? Deja cel puțin prin faptul că bazele logaritmilor - 3x și 9x - nu sunt puteri naturale una ale altora. Prin urmare, tranziția pe care am folosit-o în soluția anterioară nu este posibilă.

Să scăpăm măcar de grade. În cazul nostru, singura putere este în al doilea argument:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Totuși, semnul modulului poate fi eliminat, deoarece variabila x este și ea în bază, adică. x > 0 ⇒ |x| = x. Să rescriem ecuația noastră logaritmică:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Avem logaritmi în care aceleași argumente, dar baze diferite. Cum se procedează? Există multe opțiuni aici, dar vom lua în considerare doar două dintre ele, care sunt cele mai logice și, cel mai important, acestea sunt trucuri rapide și ușor de înțeles pentru majoritatea studenților.

Am luat în considerare deja prima opțiune: în oricare situație de neînțeles traduce logaritmi din bază variabilă la vreo fundaţie permanentă. De exemplu, la un doi. Formula de conversie este simplă:

Desigur, un număr normal ar trebui să acționeze ca o variabilă c: 1 ≠ c > 0. În cazul nostru, să fie c = 2. Acum avem o ecuație rațională fracțională obișnuită. Colectăm toate elementele din stânga:

Evident, factorul log 2 x este mai bine de scos, deoarece este prezent atât în ​​prima cât și în a doua fracție.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Împărțim fiecare jurnal în doi termeni:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Să rescriem ambele părți ale egalității ținând cont de aceste fapte:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Acum rămâne să adăugați un doi sub semnul logaritmului (se va transforma într-o putere: 3 2 \u003d 9):

log 2 9 = log 2 x

În fața noastră este forma canonică clasică, scăpăm de semnul logaritmului și obținem:

După cum era de așteptat, această rădăcină s-a dovedit a fi mai mare decât zero. Rămâne de verificat domeniul definiției. Să ne uităm la baze:

Dar rădăcina x = 9 satisface aceste cerințe. Prin urmare, este decizia finală.

Concluzia din această soluție este simplă: nu vă fie teamă de calcule lungi! Doar că la început am ales o nouă bază la întâmplare - iar acest lucru a complicat semnificativ procesul.

Dar atunci apare întrebarea: ce bază este optim? Voi vorbi despre asta în al doilea mod.

Să revenim la ecuația noastră originală:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Acum să ne gândim puțin: ce număr sau funcție va fi baza optimă? Evident, cea mai bună opțiune ar fi c = x - ceea ce este deja în argumente. În acest caz, formula log a b = log c b / log c a va lua forma:

Cu alte cuvinte, expresia este pur și simplu inversată. În acest caz, argumentul și baza sunt inversate.

Această formulă este foarte utilă și foarte des folosită în rezolvarea ecuațiilor logaritmice complexe. Cu toate acestea, atunci când utilizați această formulă, există o capcană foarte serioasă. Dacă în loc de bază înlocuim variabila x, atunci i se impun restricții care nu au fost respectate anterior:

Nu a existat o astfel de restricție în ecuația originală. Prin urmare, ar trebui să verificăm separat cazul când x = 1. Înlocuiți această valoare în ecuația noastră:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Obținem egalitatea numerică corectă. Prin urmare, x = 1 este o rădăcină. Am găsit exact aceeași rădăcină în metoda anterioară chiar la începutul soluției.

Dar acum, când luăm în considerare separat acest caz particular, presupunem cu îndrăzneală că x ≠ 1. Atunci ecuația noastră logaritmică va fi rescrisă în următoarea formă:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Extindem ambii logaritmi conform aceleiași formule ca înainte. Rețineți că log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

Aici ajungem la forma canonică:

log x 9 = log x x 1

x=9

Avem a doua rădăcină. Îndeplinește cerința x ≠ 1. Prin urmare, x = 9 împreună cu x = 1 este răspunsul final.

După cum puteți vedea, volumul calculelor a scăzut ușor. Dar atunci când rezolvați o ecuație logaritmică reală, numărul de pași va fi mult mai mic și pentru că nu vi se cere să descrieți fiecare pas atât de detaliat.

Regula cheie a lecției de astăzi este următoarea: dacă există un grad par în problemă, din care este extrasă rădăcina aceluiași grad, atunci la ieșire vom obține un modul. Cu toate acestea, acest modul poate fi eliminat dacă acordați atenție domeniului de definire a logaritmilor.

Dar fii atent: majoritatea elevilor după această lecție cred că înțeleg totul. Dar atunci când rezolvă probleme reale, ele nu pot reproduce întregul lanț logic. Ca urmare, ecuația capătă rădăcini suplimentare, iar răspunsul este greșit.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.