\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Să explicăm mai ușor. De exemplu, \(\log_(2)(8)\) este egal cu puterea \(2\) care trebuie ridicată pentru a obține \(8\). Din aceasta rezultă clar că \(\log_(2)(8)=3\).

Exemple:		\(\log_(5)(25)=2\)		deoarece \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		deoarece \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		deoarece \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentul și baza logaritmului

Orice logaritm are următoarea „anatomie”:

Argumentul logaritmului este scris de obicei la nivelul său, iar baza este scrisă în indice mai aproape de semnul logaritmului. Și această intrare se citește astfel: „logaritmul lui douăzeci și cinci la baza lui cinci”.

Cum se calculează logaritmul?

Pentru a calcula logaritmul, trebuie să răspundeți la întrebarea: în ce măsură ar trebui ridicată baza pentru a obține argumentul?

De exemplu, calculați logaritmul: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) La ce putere trebuie ridicat \(4\) pentru a obține \(16\)? Evident, al doilea. De aceea:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(5)\) pentru a obține \(1\)? Și ce grad face orice număr o unitate? Zero, desigur!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(7)\) pentru a obține \(\sqrt(7)\)? În primul - orice număr din primul grad este egal cu el însuși.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) La ce putere trebuie ridicată \(3\) pentru a obține \(\sqrt(3)\)? Din știm că este o putere fracțională și, prin urmare, rădăcina pătrată este puterea lui \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplu : Calculați logaritmul \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluţie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebuie să găsim valoarea logaritmului, să o notăm cu x. Acum să folosim definiția logaritmului: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ce legături leagă \(4\sqrt(2)\) și \(8\)? Doi, deoarece ambele numere pot fi reprezentate prin doi: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		În stânga, folosim proprietățile gradului: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) și \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazele sunt egale, trecem la egalitatea indicatorilor
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \(\frac(2)(5)\)
		Rădăcina rezultată este valoarea logaritmului

Răspuns : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

De ce a fost inventat logaritmul?

Pentru a înțelege acest lucru, să rezolvăm ecuația: \(3^(x)=9\). Doar potriviți \(x\) pentru ca egalitatea să funcționeze. Desigur, \(x=2\).

Acum rezolvați ecuația: \(3^(x)=8\). Cu ce ​​este x egal? Acesta este ideea.

Cel mai ingenios va spune: „X este puțin mai puțin de doi”. Cum anume trebuie scris acest număr? Pentru a răspunde la această întrebare, au venit cu logaritmul. Datorită lui, răspunsul de aici poate fi scris ca \(x=\log_(3)(8)\).

Vreau să subliniez faptul că \(\log_(3)(8)\), precum și orice logaritm este doar un număr. Da, pare neobișnuit, dar este scurt. Pentru că dacă am vrut să-l scriem în formă fracție zecimală, atunci ar arăta astfel: \(1.892789260714.....\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(4^(5x-4)=10\)

Soluţie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) și \(10\) nu pot fi reduse la aceeași bază. Așa că aici nu puteți face fără logaritm. Să folosim definiția logaritmului: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Întoarceți ecuația astfel încât x să fie în stânga
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Înaintea noastră. Deplasați \(4\) la dreapta. Și nu vă fie teamă de logaritm, tratați-l ca pe un număr obișnuit.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Împărțiți ecuația la 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aici este rădăcina noastră. Da, pare neobișnuit, dar răspunsul nu este ales.

Răspuns : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi zecimali și naturali

După cum se precizează în definiția logaritmului, baza acestuia poate fi orice număr pozitiv, cu excepția unuia \((a>0, a\neq1)\). Și dintre toate bazele posibile, există două care apar atât de des încât a fost inventată o notație scurtă specială pentru logaritmi cu ele:

Logaritm natural: un logaritm a cărui bază este numărul Euler \(e\) (egal cu aproximativ \(2,7182818…\)), iar logaritmul se scrie ca \(\ln(a)\).

Acesta este, \(\ln(a)\) este același cu \(\log_(e)(a)\)

Logaritm zecimal: Un logaritm a cărui bază este 10 se scrie \(\lg(a)\).

Acesta este, \(\lg(a)\) este același cu \(\log_(10)(a)\), unde \(a\) este un număr.

Identitatea logaritmică de bază

Logaritmii au multe proprietăți. Una dintre ele se numește „Identitatea logaritmică de bază” și arată astfel:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Această proprietate decurge direct din definiție. Să vedem cum a apărut exact această formulă.

Să ne amintim nota scurta definiții logaritmului:

dacă \(a^(b)=c\), atunci \(\log_(a)(c)=b\)

Adică, \(b\) este același cu \(\log_(a)(c)\). Apoi putem scrie \(\log_(a)(c)\) în loc de \(b\) în formula \(a^(b)=c\) . S-a dovedit \(a^(\log_(a)(c))=c\) - principala identitate logaritmică.

Puteți găsi restul proprietăților logaritmilor. Cu ajutorul lor, puteți simplifica și calcula valorile expresiilor cu logaritmi, care sunt dificil de calculat direct.

Exemplu : Găsiți valoarea expresiei \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluţie :

Răspuns : \(25\)

Cum se scrie un număr ca logaritm?

După cum am menționat mai sus, orice logaritm este doar un număr. Este adevărat și invers: orice număr poate fi scris ca logaritm. De exemplu, știm că \(\log_(2)(4)\) este egal cu doi. Apoi puteți scrie \(\log_(2)(4)\) în loc de două.

Dar \(\log_(3)(9)\) este, de asemenea, egal cu \(2\), deci puteți scrie și \(2=\log_(3)(9)\) . În mod similar cu \(\log_(5)(25)\), și cu \(\log_(9)(81)\), etc. Adică se dovedește

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Astfel, dacă avem nevoie, le putem scrie pe cele două ca un logaritm cu orice bază oriunde (chiar și într-o ecuație, chiar și într-o expresie, chiar și într-o inegalitate) - scriem doar baza pătrată ca argument.

Este același lucru cu un triplu - poate fi scris ca \(\log_(2)(8)\), sau ca \(\log_(3)(27)\), sau ca \(\log_(4)( 64) \) ... Aici scriem baza în cub ca argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Și cu patru:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Și cu minus unu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Și cu o treime:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Orice număr \(a\) poate fi reprezentat ca un logaritm cu baza \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplu : Găsiți valoarea unei expresii \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluţie :

Răspuns : \(1\)

Continuăm să studiem logaritmii. În acest articol vom vorbi despre calculul logaritmilor, acest proces se numește logaritm. În primul rând, ne vom ocupa de calculul logaritmilor prin definiție. Apoi, luați în considerare modul în care sunt găsite valorile logaritmilor folosind proprietățile lor. După aceea, ne vom opri asupra calculului logaritmilor prin valorile date inițial ale altor logaritmi. În cele din urmă, să învățăm cum să folosim tabelele de logaritmi. Întreaga teorie este furnizată cu exemple cu soluții detaliate.

Navigare în pagină.

Calcularea logaritmilor prin definiție

În cele mai simple cazuri, este posibil să efectuați rapid și ușor găsirea logaritmului prin definiție. Să aruncăm o privire mai atentă asupra modului în care are loc acest proces.

Esența sa este de a reprezenta numărul b sub forma a c , de unde, după definiția logaritmului, numărul c este valoarea logaritmului. Adică, prin definiție, găsirea logaritmului corespunde următorului lanț de egalități: log a b=log a a c =c .

Deci, calculul logaritmului, prin definiție, se reduce la găsirea unui astfel de număr c care a c \u003d b, iar numărul c însuși este valoarea dorită a logaritmului.

Având în vedere informațiile din paragrafele anterioare, atunci când numărul de sub semnul logaritmului este dat de un anumit grad al bazei logaritmului, atunci puteți indica imediat cu ce este egal logaritmul - este egal cu exponentul. Să arătăm exemple.

Exemplu.

Găsiți log 2 2 −3 și, de asemenea, calculați logaritmul natural al lui e 5.3 .

Soluţie.

Definiția logaritmului ne permite să spunem imediat că log 2 2 −3 = −3 . Într-adevăr, numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza 2 la puterea −3.

În mod similar, găsim al doilea logaritm: lne 5.3 =5.3.

Răspuns:

log 2 2 −3 = −3 și lne 5.3 =5.3 .

Dacă numărul b sub semnul logaritmului nu este dat ca putere a bazei logaritmului, atunci trebuie să luați în considerare cu atenție dacă este posibil să veniți cu o reprezentare a numărului b sub forma a c . Adesea, această reprezentare este destul de evidentă, mai ales când numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza puterii lui 1, sau 2, sau 3, ...

Exemplu.

Calculați logaritmii log 5 25 și .

Soluţie.

Este ușor de observat că 25=5 2 , aceasta vă permite să calculați primul logaritm: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Se trece la calculul celui de-al doilea logaritm. Un număr poate fi reprezentat ca o putere a lui 7: (vezi dacă este necesar). Prin urmare, .

Să rescriem al treilea logaritm în forma următoare. Acum poți vedea asta , de unde tragem concluzia că . Prin urmare, prin definiția logaritmului .

Pe scurt, soluția ar putea fi scrisă după cum urmează:

Răspuns:

log 5 25=2 , și .

Când există o valoare suficient de mare sub semnul logaritmului numar natural, atunci nu strica să-l descompuneți în factori primi. Adesea ajută să reprezentați un astfel de număr ca o putere a bazei logaritmului și, prin urmare, să calculați acest logaritm prin definiție.

Exemplu.

Aflați valoarea logaritmului.

Soluţie.

Unele proprietăți ale logaritmilor vă permit să specificați imediat valoarea logaritmilor. Aceste proprietăți includ proprietatea logaritmului lui unu și proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza: log 1 1=log a a 0 =0 și log a a=log a a 1 =1 . Adică, atunci când numărul 1 sau numărul a se află sub semnul logaritmului, egal cu baza logaritmului, atunci în aceste cazuri logaritmii sunt 0 și, respectiv, 1.

Exemplu.

Care sunt logaritmii și lg10?

Soluţie.

Deoarece , rezultă din definiția logaritmului .

În al doilea exemplu, numărul 10 sub semnul logaritmului coincide cu baza sa, deci logaritmul zecimal de zece este egal cu unu, adică lg10=lg10 1 =1 .

Răspuns:

Și lg10=1.

Rețineți că calcularea logaritmilor prin definiție (pe care am discutat în paragraful anterior) implică utilizarea logaritmului de egalitate a a p =p , care este una dintre proprietățile logaritmilor.

În practică, când numărul de sub semnul logaritmului și baza logaritmului sunt ușor de reprezentat ca putere a unui număr, este foarte convenabil să folosiți formula , care corespunde uneia dintre proprietățile logaritmilor. Luați în considerare un exemplu de găsire a logaritmului, ilustrând utilizarea acestei formule.

Exemplu.

Calculați logaritmul lui .

Soluţie.

Răspuns:

.

Proprietățile logaritmilor nemenționați mai sus sunt și ele folosite în calcul, dar despre asta vom vorbi în paragrafele următoare.

Găsirea logaritmilor în termenii altor logaritmi cunoscuți

Informațiile din acest paragraf continuă subiectul utilizării proprietăților logaritmilor în calculul lor. Dar aici principala diferență este că proprietățile logaritmilor sunt folosite pentru a exprima logaritmul original în termenii unui alt logaritm, a cărui valoare este cunoscută. Să luăm un exemplu pentru clarificare. Să presupunem că știm că log 2 3≈1.584963 , atunci putem găsi, de exemplu, log 2 6 făcând o mică transformare folosind proprietățile logaritmului: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

În exemplul de mai sus, a fost suficient să folosim proprietatea logaritmului produsului. Cu toate acestea, mult mai des trebuie să utilizați un arsenal mai larg de proprietăți ale logaritmilor pentru a calcula logaritmul inițial în ceea ce privește cele date.

Exemplu.

Calculați logaritmul de la 27 la baza 60 dacă se știe că log 60 2=a și log 60 5=b .

Soluţie.

Deci trebuie să găsim log 60 27 . Este ușor de observat că 27=3 3 , iar logaritmul original, datorită proprietății logaritmului gradului, poate fi rescris ca 3·log 60 3 .

Acum să vedem cum log 60 3 poate fi exprimat în termeni de logaritmi cunoscuți. Proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza vă permite să scrieți logaritmul de egalitate 60 60=1 . Pe de altă parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . În acest fel, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prin urmare, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

În cele din urmă, calculăm logaritmul original: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Răspuns:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separat, merită menționat sensul formulei pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului formei . Vă permite să treceți de la logaritmi cu orice bază la logaritmi cu o anumită bază, ale căror valori sunt cunoscute sau este posibil să le găsiți. De obicei, de la logaritmul inițial, conform formulei de tranziție, aceștia trec la logaritmi într-una dintre bazele 2, e sau 10, deoarece pentru aceste baze există tabele de logaritmi care le permit să fie calculate cu un anumit grad de precizie. În secțiunea următoare, vom arăta cum se face acest lucru.

Tabele de logaritmi, utilizarea lor

Pentru un calcul aproximativ al valorilor logaritmilor, se poate folosi tabele logaritmice. Cele mai utilizate sunt tabelul cu logaritmi de bază 2, tabelul cu logaritmi naturali și tabelul cu logaritmi zecimal. Când lucrați în sistemul numeric zecimal, este convenabil să utilizați un tabel de logaritmi la baza zece. Cu ajutorul lui, vom învăța să găsim valorile logaritmilor.

Tabelul prezentat permite, cu o precizie de o zecemiime, să se găsească valorile logaritmilor zecimali ale numerelor de la 1.000 la 9.999 (cu trei zecimale). Principiul găsirii valorii logaritmului folosind tabelul de logaritmi zecimali va fi analizat în exemplu concret- mult mai clar. Să găsim lg1,256 .

În coloana din stânga a tabelului de logaritmi zecimal găsim primele două cifre ale numărului 1,256, adică găsim 1,2 (acest număr este încercuit cu albastru pentru claritate). A treia cifră a numărului 1.256 (numărul 5) se găsește în prima sau ultima linie din stânga liniei duble (acest număr este încercuit cu roșu). A patra cifră a numărului original 1.256 (numărul 6) se găsește în prima sau ultima linie din dreapta liniei duble (acest număr este încercuit cu verde). Acum găsim numerele în celulele tabelului de logaritmi la intersecția rândului marcat și coloanelor marcate (aceste numere sunt evidențiate portocale). Suma numerelor marcate dă valoarea dorită a logaritmului zecimal până la a patra zecimală, adică log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Este posibil, folosind tabelul de mai sus, să găsiți valorile logaritmilor zecimali ale numerelor care au mai mult de trei cifre după virgulă zecimală și să depășească, de asemenea, limitele de la 1 la 9,999? Da, poti. Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu.

Să calculăm lg102.76332 . Mai întâi trebuie să scrii număr în formă standard: 102,76332=1,0276332 10 2 . După aceea, mantisa ar trebui să fie rotunjită la a treia zecimală, avem 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, în timp ce logaritmul zecimal inițial este aproximativ egal cu logaritmul numărului rezultat, adică luăm lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Acum aplicați proprietățile logaritmului: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. În final, găsim valoarea logaritmului lg1.028 conform tabelului de logaritmi zecimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ca rezultat, întregul proces de calculare a logaritmului arată astfel: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

În concluzie, este de remarcat faptul că folosind tabelul de logaritmi zecimali, puteți calcula valoarea aproximativă a oricărui logaritm. Pentru a face acest lucru, este suficient să utilizați formula de tranziție pentru a merge la logaritmi zecimal, pentru a găsi valorile acestora în tabel și pentru a efectua calculele rămase.

De exemplu, să calculăm log 2 3 . Conform formulei pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului, avem . Din tabelul logaritmilor zecimali găsim lg3≈0,4771 și lg2≈0,3010. În acest fel, .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

log a r b r =log a b sau log a b= log a r b r

Valoarea logaritmului nu se modifică dacă baza logaritmului și numărul de sub semnul logaritmului sunt ridicate la aceeași putere.

Numai numerele pozitive pot fi sub semnul logaritmului, iar baza logaritmului nu este egală cu unu.

Exemple.

1) Comparați log 3 9 și log 9 81.

log 3 9=2 deoarece 3 2 =9;

log 9 81=2 deoarece 9 2 =81.

Deci log 3 9=log 9 81.

Rețineți că baza celui de-al doilea logaritm este egală cu pătratul bazei primului logaritm: 9=3 2 , iar numărul de sub semnul celui de-al doilea logaritm este egal cu pătratul numărului de sub semnul primului logaritm: 81=9 2 . Se pare că atât numărul, cât și baza primului logaritm log 3 9 au fost ridicate la a doua putere, iar valoarea logaritmului nu s-a schimbat de la aceasta:

Mai mult, de la extragerea rădăcinii n gradul dintre A este construcția unui număr Aîntr-o măsură ( 1/n), atunci log 3 9 poate fi obținut din log 9 81 luând rădăcina pătrată a numărului și baza logaritmului:

2) Verificați egalitatea: log 4 25=log 0,5 0,2.

Luați în considerare primul logaritm. Luați rădăcina pătrată a bazei 4 iar din mijloc 25 ; obținem: log 4 25=log 2 5.

Luați în considerare al doilea logaritm. Baza logaritmului: 0,5= 1/2. Numărul de sub semnul acestui logaritm: 0,2= 1/5. Să ridicăm fiecare dintre aceste numere la prima putere minus:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Deci log 0,5 0,2=log 2 5. Concluzie: această egalitate este adevărată.

Rezolvați ecuația:

log 4 x 4 + log 16 81=log 2 (5x+2). Aducem logaritmii de la stânga la bază 2 .

log 2 x 2 + log 2 3=log 2 (5x+2). Am luat rădăcina pătrată a numărului și de la baza primului logaritm. Am luat a patra rădăcină a numărului și baza celui de-al doilea logaritm.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Convertiți suma logaritmilor în logaritmul produsului.

3x2=5x+2. Primit după potențare.

3x2-5x-2=0. Noi decidem ecuație pătratică prin formula generală pentru ecuația pătratică completă:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 rădăcini adevărate.

Examinare.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 + log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ log a b

Logaritmul unui număr b prin rațiune un n egal cu produsul unei fracții 1/ n la logaritmul unui număr b prin rațiune A.

Găsi:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 dacă se ştie că log 2 3=b,log 5 2=c.

Soluţie.

Rezolvarea ecuațiilor:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Soluţie.

Aducem acești logaritmi la baza 2. Aplicați formula: log a n b=(1/ n)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Iată termeni similari:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

log 2x=3. Prin definiția unui logaritm:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Soluţie. Luați logaritmul din baza 16 la baza 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Convertiți suma logaritmilor în logaritmul produsului.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Prin definiția unui logaritm:

x 2 -5x+4=0. Conform teoremei lui Vieta:

x 1 =1; x2=4. Prima valoare a lui x nu va funcționa, deoarece pentru x \u003d 1 logaritmii acestei egalități nu există, deoarece numai numerele pozitive pot fi sub semnul logaritmului.

Să verificăm această ecuație pentru x=4.

Examinare.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritmul unui număr b prin rațiune A este egal cu logaritmul numărului b pe o bază nouă Cuîmpărțit la logaritmul vechii baze A pe o bază nouă Cu.

Exemple:

1) log 2 3=log3/log2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Calculati:

1) log 5 7 dacă se ştie că lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / Buturuga c A.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Răspuns: log 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) jurnal 5 7 dacă se ştie că ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Soluţie. Aplicați formula: log a b = log c b / Buturuga c A.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Răspuns: log 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Găsiți x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Folosim formula: log c b / Buturuga c a = log a b . Primim:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Folosim formula: log c b / Buturuga c a = log a b . Primim:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=log143-log(11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Pagina 1 din 1 1

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b * a c = a b + c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesară simplificarea înmulțirii greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” conform bazei sale „a” este considerat puterea lui „c”. ", la care este necesar să se ridice baza "a", pentru ca în final să se obțină valoarea "b". Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și pe bună dreptate, pentru că 2 la puterea lui 3 dă numărul 8 în răspuns.

Varietăți de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri distincte de expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, trebuie să vă amintiți proprietățile lor și ordinea acțiunilor în deciziile lor.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-limitări care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina unui grad par din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință cum să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b > 0, se dovedește că „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina a fost dată de a găsi răspunsul la ecuația 10 x \u003d 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere, ridicând numărul zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10. 2 \u003d 100.

Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile converg practic către găsirea gradului în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să înveți cum să lucrezi cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c, la care se ridică numărul a. La intersecția din celule, se determină valorile numerelor, care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se pare că, în anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 \u003d 1/32 scriem sub forma unui logaritm, obținem log 2 (1/32) \u003d -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să vedem cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este inegalitatea logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit în baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul lui 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea inegalității, atât domeniul de valorile acceptabile și punctele care depășesc această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive privind găsirea valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemple de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate mai detaliat.

1. Identitatea de bază arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o demonstrație pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2 , apoi a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obținem că s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietăți de grade) ), și mai departe prin definiție: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ceea ce urma să fie demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovada.

Să log a b \u003d t, se dovedește a t \u003d b. Dacă ridici ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n , prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru admitere la universitate sau promovare examenele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de probleme.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, cu toate acestea, fiecare inegalitate matematică sau ecuație logaritmică poate fi aplicată anumite reguli. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la vedere generala. Simplificați lung expresii logaritmice Puteți, dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem curând.

La hotărâre ecuații logaritmice, este necesar să stabilim ce fel de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru soluțiile logaritmilor naturali, trebuie aplicate identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale pe logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului produsului poate fi utilizată în sarcini în care este necesară extinderea mare importanță numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Este necesar doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Sarcini de la examen

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul presupune o cunoaștere exactă și perfectă a temei „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile problemelor sunt preluate din oficial UTILIZAȚI opțiuni. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2 , prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4 , deci 2x = 17; x = 8,5.

• Toți logaritmii se reduc cel mai bine la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, la scoaterea exponentului exponentului expresiei, care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.