Fracții

Atenţie!
Există suplimentare
material din Secțiunea Specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Fracțiile din liceu nu sunt foarte enervante. Deocamdată. Până când dai peste exponenți cu exponenți raționali și logaritmi. Și acolo…. Apăsați, apăsați pe calculator și acesta arată întreg tabloul de bord al unor numere. Trebuie să gândești cu capul, ca în clasa a treia.

Să ne ocupăm de fracții, în sfârșit! Ei bine, cât de mult te poți încurca în ele!? În plus, totul este simplu și logic. Asa de, ce sunt fractiile?

Tipuri de fracții. Transformări.

Fracțiile sunt de trei tipuri.

1. Fracții comune , de exemplu:

Uneori, în loc de linie orizontală, pun o oblică: 1/2, 3/4, 19/5, bine, și așa mai departe. Aici vom folosi adesea această ortografie. Numărul de sus este numit numărător, inferior - numitor. Dacă confundați în mod constant aceste nume (se întâmplă ...), spuneți-vă expresia cu expresia: " Zzzzz tine minte! Zzzzz numitor – afară zzzz u!" Uite, totul va fi amintit.)

O liniuță, care este orizontală, care este oblică, înseamnă Divizia număr de sus (numărător) până la numărul de jos (numitor). Si asta e! În loc de liniuță, este foarte posibil să puneți un semn de divizare - două puncte.

Când împărțirea este posibilă în întregime, trebuie făcută. Deci, în locul fracției „32/8” este mult mai plăcut să scrieți numărul „4”. Acestea. 32 este pur și simplu împărțit la 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Nu vorbesc despre fracția „4/1”. Care este, de asemenea, doar „4”. Și dacă nu se împarte complet, îl lăsăm ca o fracție. Uneori trebuie să faci invers. Faceți o fracție dintr-un număr întreg. Dar mai multe despre asta mai târziu.

2. zecimale , de exemplu:

În această formă va fi necesar să scrieți răspunsurile la sarcinile „B”.

3. numere mixte , de exemplu:

Numerele mixte practic nu sunt folosite în liceu. Pentru a lucra cu ele, acestea trebuie convertite în fracții obișnuite. Dar cu siguranță trebuie să știi cum să o faci! Și apoi un astfel de număr va apărea în puzzle și va atârna ... De la zero. Dar ne amintim de această procedură! Puțin mai jos.

Cel mai versatil fracții comune. Să începem cu ei. Apropo, dacă există tot felul de logaritmi, sinusuri și alte litere în fracție, acest lucru nu schimbă nimic. În sensul că totul acțiunile cu expresii fracționale nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite!

Proprietatea de bază a fracției.

Deci să mergem! În primul rând, o să vă surprind. Întreaga varietate de transformări de fracții este asigurată de o singură proprietate! Așa se numește proprietatea de baza a fractiei. Tine minte: Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr, fracția nu se va modifica. Acestea:

E clar că poți scrie mai departe, până ești albastru la față. Nu lăsați sinusurile și logaritmii să vă încurce, ne vom ocupa de ele în continuare. Principalul lucru de înțeles este că toate aceste expresii variate sunt aceeași fracție . 2/3.

Și avem nevoie de ea, toate aceste transformări? Si cum! Acum vei vedea singur. În primul rând, să folosim proprietatea de bază a unei fracții pentru abrevieri de fracțiuni. S-ar părea că chestia este elementară. Împărțim numărătorul și numitorul la același număr și gata! Este imposibil să greșești! Dar... omul este o ființă creativă. Poți face greșeli peste tot! Mai ales dacă trebuie să reduceți nu o fracție ca 5/10, ci o expresie fracțională cu tot felul de litere.

Cum să reduceți fracțiile corect și rapid fără a face lucrări inutile poate fi găsit în Secțiunea specială 555.

Un elev normal nu se deranjează să împartă numărătorul și numitorul la același număr (sau expresie)! Pur și simplu taie totul la fel de sus și de jos! Aici se ascunde greseala tipica, blooper dacă vrei.

De exemplu, trebuie să simplificați expresia:

Nu e nimic de gândit, tăiem litera „a” de sus și zeul de jos! Primim:

Totul este corect. Dar chiar ai împărtășit întregul numărător și întregul numitor „a”. Dacă sunteți obișnuit să bifați, atunci, în grabă, puteți tăia „a” din expresie

si ia din nou

Ceea ce ar fi categoric gresit. Pentru că aici întregul numărător pe „a” deja nu împărtășită! Această fracție nu poate fi redusă. Apropo, o astfel de abreviere este, um... o serioasă provocare pentru profesor. Acest lucru nu este iertat! Tine minte? La reducere, este necesar să se împartă întregul numărător și întregul numitor!

Reducerea fracțiilor face viața mult mai ușoară. Veți obține o fracție undeva, de exemplu 375/1000. Și cum să lucrez cu ea acum? Fără calculator? Înmulțiți, spuneți, adăugați, pătrați!? Și dacă nu ești prea leneș, dar reduce cu grijă cu cinci, și chiar cu cinci, și chiar... cât timp se reduce, pe scurt. Primim 3/8! Mult mai frumos, nu?

Proprietatea de bază a unei fracții vă permite să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale și invers fara calculator! Acest lucru este important pentru examen, nu?

Cum se transformă fracțiile dintr-o formă în alta.

Cu zecimale este ușor. Cum se aude, așa este scris! Să spunem 0,25. Este zero punct, douăzeci și cinci de sutimi. Deci scriem: 25/100. Reducem (împărțim numărătorul și numitorul la 25), obținem fracția obișnuită: 1/4. Tot. Se întâmplă și nimic nu se reduce. Ca 0,3. Aceasta este trei zecimi, adică 3/10.

Ce se întâmplă dacă numerele întregi sunt diferite de zero? E bine. Notează întreaga fracție fara nicio virgula la numărător, iar la numitor - ceea ce se aude. De exemplu: 3.17. Sunt trei întregi, șaptesprezece sutimi. Scriem 317 la numărător și 100 la numitor, obținem 317/100. Nimic nu este redus, asta înseamnă totul. Acesta este răspunsul. Primar Watson! Din toate cele de mai sus, o concluzie utilă: orice fracție zecimală poate fi convertită într-o fracție comună .

Dar conversia inversă, obișnuită în zecimală, unii nu se pot descurca fără un calculator. Dar tu trebuie! Cum vei nota răspunsul la examen!? Citim cu atenție și stăpânim acest proces.

Ce este o fracție zecimală? Ea are la numitor mereu valorează 10 sau 100 sau 1000 sau 10000 și așa mai departe. Dacă fracția ta obișnuită are un astfel de numitor, nu este nicio problemă. De exemplu, 4/10 = 0,4. Sau 7/100 = 0,07. Sau 12/10 = 1,2. Și dacă în răspunsul la sarcina secțiunii „B” sa dovedit 1/2? Ce vom scrie ca răspuns? Sunt necesare zecimale...

Ne amintim proprietatea de baza a fractiei ! Matematica vă permite în mod favorabil să înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr. Pentru oricine, apropo! Cu excepția zero, desigur. Să folosim această funcție în avantajul nostru! Cu ce ​​poate fi înmulțit numitorul, adică 2 ca să devină 10, sau 100, sau 1000 (mai mic este mai bine, desigur...)? 5, evident. Simțiți-vă liber să înmulțiți numitorul (acesta este ne necesar) cu 5. Dar, atunci și numărătorul trebuie înmulțit cu 5. Aceasta este deja matematica cereri! Obținem 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Asta e tot.

Cu toate acestea, se întâlnesc tot felul de numitori. De exemplu, fracția 3/16 va scădea. Încercați, aflați-vă cu ce să înmulțiți 16 pentru a obține 100 sau 1000... Nu funcționează? Apoi puteți împărți pur și simplu 3 la 16. În lipsa unui calculator, va trebui să împărțiți într-un colț, pe o foaie de hârtie, așa cum se predau în clasele elementare. Obținem 0,1875.

Și există niște numitori foarte răi. De exemplu, fracția 1/3 nu poate fi transformată într-o zecimală bună. Atât pe un calculator, cât și pe o bucată de hârtie, obținem 0,3333333 ... Aceasta înseamnă că 1/3 într-o fracție zecimală exactă nu se traduce. La fel ca 1/7, 5/6 și așa mai departe. Multe dintre ele sunt intraductibile. De aici o altă concluzie utilă. Nu orice fracție comună se convertește într-o zecimală. !

Apropo, asta Informatii utile pentru autotest. În secțiunea „B” ca răspuns, trebuie să scrieți o fracție zecimală. Și ai primit, de exemplu, 4/3. Această fracție nu este convertită în zecimală. Asta înseamnă că undeva pe parcurs ai făcut o greșeală! Revino, verifică soluția.

Deci, cu fracțiile ordinare și zecimale sortate. Rămâne să ne ocupăm de numere mixte. Pentru a lucra cu ele, toate trebuie convertite în fracții obișnuite. Cum să o facă? Poți să prinzi un elev de clasa a șasea și să-l întrebi. Dar nu întotdeauna un elev de clasa a șasea va fi la îndemână... Va trebui să o facem singuri. Acest lucru nu este dificil. Înmulțiți numitorul părții fracționale cu partea întreagă și adăugați numărătorul părții fracționale. Acesta va fi numărătorul unei fracții comune. Dar numitorul? Numitorul va rămâne același. Sună complicat, dar de fapt este destul de simplu. Să vedem un exemplu.

Lăsați problema pe care ați văzut-o cu groază numărul:

Calm, fără panică, înțelegem. Toată parte este 1. Unu. Partea fracționată este 3/7. Prin urmare, numitorul părții fracționale este 7. Acest numitor va fi numitorul fracției ordinare. Numărăm numărătorul. de 7 ori 1 ( întreaga parte) și se adaugă 3 (numărătorul părții fracționale). Obținem 10. Acesta va fi numărătorul unei fracții obișnuite. Asta e tot. Arată și mai simplu în notație matematică:

Clar? Atunci asigură-ți succesul! Convertiți în fracții comune. Ar trebui să obțineți 10/7, 7/2, 23/10 și 21/4.

Operația inversă - conversia unei fracții improprie într-un număr mixt - este rareori necesară în liceu. Ei bine, dacă... Și dacă tu - nu în liceu - poți să te uiți la Secțiunea specială 555. În același loc, apropo, veți învăța despre fracțiile improprii.

Ei bine, aproape totul. Ți-ai amintit tipurile de fracții și ai înțeles Cum convertiți-le dintr-un tip în altul. Intrebarea ramane: De ce Fă-o? Unde și când să aplici această cunoaștere profundă?

Raspund. Orice exemplu în sine sugerează acțiunile necesare. Dacă în exemplu fracții obișnuite, zecimale și chiar numere mixte, transformăm totul în fracții obișnuite. Se poate face oricând. Ei bine, dacă se scrie ceva de genul 0,8 + 0,3, atunci credem că da, fără nicio traducere. De ce avem nevoie de muncă suplimentară? Alegem soluția care este convenabilă ne !

Dacă sarcina este plină de fracții zecimale, dar um... un fel de diabolice, du-te la cele obișnuite, încearcă! Uite, totul va fi bine. De exemplu, trebuie să pătrați numărul 0,125. Nu este atât de ușor dacă nu ți-ai pierdut obiceiul cu calculatorul! Nu numai că trebuie să înmulțiți numerele dintr-o coloană, ci și să vă gândiți unde să introduceți virgula! Cu siguranță nu funcționează în mintea mea! Și dacă te duci la o fracție obișnuită?

0,125 = 125/1000. Reducem cu 5 (asta e pentru inceput). Primim 25/200. Din nou pe 5. Primim 5/40. Oh, se micșorează! Înapoi la 5! Primim 1/8. Pătrați cu ușurință (în mintea dvs.!) și obțineți 1/64. Tot!

Să rezumam această lecție.

1. Există trei tipuri de fracții. Numere ordinare, zecimale și mixte.

2. Decimale și numere mixte mereu pot fi convertite în fracții comune. Traducere inversă nu intotdeauna disponibil.

3. Alegerea tipului de fracții pentru lucrul cu sarcina depinde chiar de această sarcină. În prezența tipuri diferite fracții într-o singură sarcină, cel mai fiabil lucru este să treceți la fracții obișnuite.

Acum poți exersa. Mai întâi, convertiți aceste fracții zecimale în fracții obișnuite:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Ar trebui să obțineți răspunsuri ca acesta (în mizerie!):

Pe asta vom termina. În această lecție, ne-am împrospătat memoria puncte cheie prin fracții. Se întâmplă, totuși, că nu există nimic special de reîmprospătat ...) Dacă cineva a uitat complet sau nu a stăpânit încă ... Aceștia pot merge la o secțiune specială 555. Toate elementele de bază sunt detaliate acolo. Mulți dintr-o dată intelege totulîncep. Și rezolvă fracții din mers).

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Acest articol este despre zecimale. Aici ne vom ocupa de notația zecimală a numerelor fracționale, vom introduce conceptul de fracție zecimală și vom da exemple de fracții zecimale. În continuare, să vorbim despre cifrele fracțiilor zecimale, dați numele cifrelor. După aceea, ne vom concentra asupra fracțiilor zecimale infinite, să spunem despre fracțiile periodice și neperiodice. În continuare, listăm principalele acțiuni cu fracții zecimale. În concluzie, stabilim poziția fracțiilor zecimale pe raza de coordonate.

Navigare în pagină.

Notarea zecimală a unui număr fracționar

Citirea zecimale

Să spunem câteva cuvinte despre regulile de citire a fracțiilor zecimale.

Fracțiile zecimale, care corespund fracțiilor ordinare corecte, se citesc în același mod ca aceste fracții obișnuite, în prealabil se adaugă doar „zero întreg”. De exemplu, fracția zecimală 0,12 corespunde fracției obișnuite 12/100 (se citește „douăsprezece sutimi”), prin urmare, 0,12 este citit ca „virgul zero douăsprezece sutimi”.

Fracțiile zecimale, care corespund numerelor mixte, sunt citite exact în același mod ca aceste numere mixte. De exemplu, fracția zecimală 56,002 corespunde unui număr mixt, prin urmare, fracția zecimală 56,002 este citită ca „cincizeci și șase virgulă două miimi”.

Locurile în zecimale

În notația zecimalelor, precum și în notația numere naturale, semnificația fiecărei cifre depinde de poziția sa. Într-adevăr, numărul 3 în zecimală 0,3 înseamnă trei zecimi, în zecimală 0,0003 - trei zece miimi, iar în zecimală 30.000,152 - trei zeci de mii. Astfel, putem vorbi despre cifre în zecimale, precum și despre cifrele din numere naturale.

Numele cifrelor din fracția zecimală până la virgulă zecimală coincid complet cu numele cifrelor din numere naturale. Și numele cifrelor din fracția zecimală după virgulă sunt vizibile din următorul tabel.

De exemplu, în fracția zecimală 37,051, numărul 3 este pe locul zecilor, 7 este pe locul unităților, 0 este pe locul al zecelea, 5 este pe locul al sutelea, 1 este pe locul al miile.

Cifrele din fracția zecimală diferă și în funcție de vechime. Dacă trecem de la cifră la cifră de la stânga la dreapta în notația zecimală, atunci ne vom muta de la senior la grade juniori. De exemplu, cifra sutelor este mai veche decât cifra a zecimii, iar cifra a milionimii este mai mică decât cifra a sutimii. În această fracție zecimală finală, putem vorbi despre cifrele cele mai semnificative și cele mai puțin semnificative. De exemplu, în zecimală 604,9387 senior (cel mai înalt) cifra este cifra sutelor și junior (cel mai mic)- locul zece mii.

Pentru fracțiile zecimale are loc extinderea în cifre. Este analog cu expansiunea în cifre a numerelor naturale. De exemplu, extinderea zecimală a lui 45,6072 este: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . Și proprietățile de adunare din extinderea unei fracții zecimale în cifre vă permit să mergeți la alte reprezentări ale acestei fracții zecimale, de exemplu, 45.6072=45+0.6072 , sau 45.6072=40.6+5.007+0.0002 , sau 45.6072= 42+0.6002 . .

Sfârșit zecimale

Până în acest moment, am vorbit doar despre fracții zecimale, în înregistrarea cărora există un număr finit de cifre după virgulă. Astfel de fracții se numesc fracții zecimale finale.

Definiție.

Sfârșit zecimale- Acestea sunt fracții zecimale, ale căror înregistrări conțin un număr finit de caractere (cifre).

Iată câteva exemple de zecimale finale: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Cu toate acestea, nu orice fracție comună poate fi reprezentată ca o fracție zecimală finită. De exemplu, fracția 5/13 nu poate fi înlocuită cu o fracție egală cu unul dintre numitorii 10, 100, ..., prin urmare, nu poate fi convertită într-o fracție zecimală finală. Vom vorbi mai multe despre acest lucru în secțiunea de teorie a conversiei fracțiilor obișnuite în fracții zecimale.

zecimale infinite: fracții periodice și fracții neperiodice

În scrierea unei fracții zecimale după un punct zecimal, puteți permite posibilitatea unui număr infinit de cifre. În acest caz, vom ajunge la luarea în considerare a așa-numitelor fracții zecimale infinite.

Definiție.

zecimale nesfârșite- Acestea sunt fracții zecimale, în înregistrarea cărora există un număr infinit de cifre.

Este clar că nu putem scrie fracțiile zecimale infinite în întregime, prin urmare, în înregistrarea lor, acestea sunt limitate doar la un anumit număr finit de cifre după virgulă zecimală și pun o elipsă care indică o succesiune infinită de cifre. Iată câteva exemple de fracții zecimale infinite: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Dacă te uiți îndeaproape la ultimele două fracții zecimale nesfârșite, atunci în fracția 2,111111111 ... numărul 1 care se repetă la infinit este clar vizibil, iar în fracția 69,74152152152 ..., începând cu a treia zecimală, grupul de numere care se repetă 1, 5 și 2 sunt clar vizibile. Astfel de fracții zecimale infinite se numesc periodice.

Definiție.

zecimale periodice(sau pur și simplu fractii periodice) sunt fracții zecimale infinite, în înregistrarea cărora, pornind de la o anumită zecimală, o cifră sau grup de cifre, care se numește perioada de fracție.

De exemplu, perioada fracției periodice 2,111111111... este numărul 1, iar perioada fracției 69,74152152152... este un grup de numere precum 152.

Pentru fracții zecimale periodice infinite, este acceptat formă specialăînregistrări. Pentru concizie, am convenit să scriem punctul o dată, anexând-o între paranteze. De exemplu, fracția periodică 2,111111111... se scrie ca 2,(1) , iar fracția periodică 69,74152152152... este scrisă ca 69,74(152) .

Este de remarcat faptul că pentru aceeași fracție zecimală periodică, puteți specifica perioade diferite. De exemplu, zecimala periodică 0,73333... poate fi considerată ca o fracție 0,7(3) cu o perioadă de 3, precum și o fracție 0,7(33) cu o perioadă de 33 și așa mai departe 0,7(333), 0,7 (3333). ), ... Vă puteți uita și la fracția periodică 0,73333 ... astfel: 0,733(3), sau așa 0,73(333), etc. Aici, pentru a evita ambiguitatea și inconsecvența, suntem de acord să considerăm ca perioadă a unei fracții zecimale cea mai scurtă dintre toate secvențele posibile de cifre care se repetă și începând de la cea mai apropiată poziție până la punctul zecimal. Adică, perioada fracției zecimale 0,73333… va fi considerată o succesiune de o cifră 3, iar periodicitatea începe din a doua poziție după virgulă, adică 0,73333…=0,7(3) . Un alt exemplu: fracția periodică 4,7412121212… are o perioadă de 12, periodicitatea începe de la a treia cifră după virgulă, adică 4,7412121212…=4,74(12) .

Fracțiile periodice zecimale infinite sunt obținute prin conversia în fracții zecimale ale fracțiilor obișnuite ai căror numitori conțin factori primi, alții decât 2 și 5.

Aici merită menționat fracțiile periodice cu o perioadă de 9. Iată exemple de astfel de fracții: 6,43(9) , 27,(9) . Aceste fracții sunt o altă notație pentru fracțiile periodice cu perioada 0 și se obișnuiește să le înlocuim cu fracții periodice cu perioada 0. Pentru a face acest lucru, perioada 9 este înlocuită cu perioada 0, iar valoarea următoarei cifrei cea mai mare este mărită cu unu. De exemplu, o fracție cu perioada 9 de forma 7.24(9) este înlocuită cu o fracție periodică cu perioada 0 de forma 7.25(0) sau o fracție zecimală finală egală de 7.25. Un alt exemplu: 4,(9)=5,(0)=5 . Egalitatea unei fracții cu o perioadă de 9 și a fracției sale corespunzătoare cu o perioadă de 0 se stabilește ușor după înlocuirea acestor fracții zecimale cu fracțiile lor ordinare egale.

În cele din urmă, să aruncăm o privire mai atentă la zecimale infinite, care nu au o secvență de cifre care se repetă la infinit. Ele sunt numite neperiodice.

Definiție.

zecimale nerecurente(sau pur și simplu fracții neperiodice) sunt zecimale infinite fără punct.

Uneori, fracțiile neperiodice au o formă asemănătoare cu cea a fracțiilor periodice, de exemplu, 8,02002000200002 ... este o fracție neperiodică. În aceste cazuri, ar trebui să fii deosebit de atent să observi diferența.

Rețineți că fracțiile neperiodice nu sunt convertite în fracții obișnuite, fracțiile zecimale neperiodice infinite reprezintă numere iraționale.

Operații cu zecimale

Una dintre acțiunile cu zecimale este compararea și sunt definite și patru aritmetice de bază operatii cu zecimale: adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Luați în considerare separat fiecare dintre acțiunile cu fracții zecimale.

Comparație zecimală bazată în esență pe o comparație a fracțiilor ordinare corespunzătoare fracțiilor zecimale comparate. Cu toate acestea, conversia fracțiilor zecimale în cele obișnuite este o operație destul de laborioasă, iar fracțiile infinite care nu se repetă nu pot fi reprezentate ca o fracție obișnuită, deci este convenabil să utilizați o comparație pe biți a fracțiilor zecimale. Compararea biți a zecimale este similară cu compararea numerelor naturale. Pentru informații mai detaliate, vă recomandăm să studiați comparația materialului articolului de fracții zecimale, reguli, exemple, soluții.

Să trecem la pasul următor - înmulțirea zecimalelor. Înmulțirea fracțiilor zecimale finale se realizează în mod similar cu scăderea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții de înmulțire cu o coloană de numere naturale. În cazul fracțiilor periodice, înmulțirea se poate reduce la înmulțirea fracțiilor obișnuite. La rândul său, înmulțirea fracțiilor zecimale neperiodice infinite după rotunjirea lor se reduce la înmulțirea fracțiilor zecimale finite. Recomandăm studierea în continuare a materialului articolului înmulțirea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții.

Decimale pe fasciculul de coordonate

Există o corespondență unu-la-unu între puncte și zecimale.

Să ne dăm seama cum sunt construite punctele pe raza de coordonate corespunzătoare unei fracții zecimale date.

Putem înlocui fracțiile zecimale finite și fracțiile zecimale periodice infinite cu fracții obișnuite egale cu acestea și apoi construim fracțiile ordinare corespunzătoare pe raza de coordonate. De exemplu, o fracție zecimală 1,4 corespunde unei fracțiuni obișnuite 14/10, prin urmare, punctul cu coordonata 1,4 este îndepărtat de la origine în direcția pozitivă cu 14 segmente egale cu o zecime dintr-un singur segment.

Fracțiile zecimale pot fi marcate pe fasciculul de coordonate, pornind de la extinderea acestei fracții zecimale în cifre. De exemplu, să presupunem că trebuie să construim un punct cu o coordonată de 16.3007 , deoarece 16.3007=16+0.3+0.0007 , atunci putem ajunge la acest punct prin așezarea secvenţială a 16 segmente de unitate de la originea coordonatelor, 3 segmente, lungimea din care egal cu o zecime de unitate și 7 segmente, a căror lungime este egală cu o zece miimi dintr-un segment de unitate.

Această metodă de a construi numere zecimale pe fasciculul de coordonate vă permite să vă apropiați cât doriți de punctul corespunzător unei fracții zecimale infinite.

Uneori este posibil să se traseze cu precizie un punct corespunzător unei zecimale infinite. De exemplu, , atunci această fracție zecimală infinită 1,41421... corespunde punctului razei de coordonate, îndepărtat de origine prin lungimea diagonalei unui pătrat cu latura de 1 segment unitar.

Procesul invers de obținere a unei fracții zecimale corespunzătoare unui punct dat de pe fasciculul de coordonate este așa-numitul măsurarea zecimală a unui segment. Să vedem cum se face.

Fie ca sarcina noastră să fie să ajungem de la origine la un punct dat pe linia de coordonate (sau să ne apropiem infinit de el dacă este imposibil să ajungem la el). Cu o măsurătoare zecimală a unui segment, putem amâna succesiv orice număr de segmente unitare de la origine, apoi segmente a căror lungime este egală cu o zecime dintr-un singur segment, apoi segmente a căror lungime este egală cu o sutime dintr-un singur segment etc. . Notând numărul de segmente trasate din fiecare lungime, obținem fracția zecimală corespunzătoare unui punct dat de pe raza de coordonate.

De exemplu, pentru a ajunge la punctul M din figura de mai sus, trebuie să lăsați deoparte 1 segment de unitate și 4 segmente, a căror lungime este egală cu zecimea unității. Astfel, punctul M corespunde fracției zecimale 1,4.

Este clar că punctele fasciculului de coordonate, care nu pot fi atinse în timpul măsurării zecimale, corespund unor fracții zecimale infinite.

Bibliografie.

• Matematica: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematica. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Pentru a scrie un număr rațional m / n ca fracție zecimală, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, câtul este scris ca o fracție zecimală finită sau infinită.

Scrieți numărul dat ca zecimală.

Soluţie. Împărțiți numărătorul fiecărei fracții la numitorul ei: A)împărțiți 6 la 25; b)împărțiți 2 la 3; în)împărțiți 1 la 2 și apoi adăugați fracția rezultată la unitate - partea întreagă a acestui număr mixt.

Fracții ordinare ireductibile ai căror numitori nu conțin divizori primi, alții decât 2 și 5 , sunt scrise ca o fracție zecimală finală.

LA exemplu 1 când A) numitorul 25=5 5; când în) numitorul este 2, deci avem zecimale finale 0,24 și 1,5. Când b) numitorul este 3, deci rezultatul nu poate fi scris ca o zecimală finală.

Este posibil, fără a împărți într-o coloană, să convertiți o astfel de fracție obișnuită într-o fracție zecimală, al cărei numitor nu conține alți divizori, cu excepția lui 2 și 5? Să ne dăm seama! Ce fracție se numește zecimală și se scrie fără linie fracțională? Răspuns: o fracție cu numitorul 10; 100; 1000 etc. Și fiecare dintre aceste numere este un produs egal număr de doi și cinci. De fapt: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 etc.

Prin urmare, numitorul unei fracții ordinare ireductibile va trebui reprezentat ca un produs al „doi” și „cinci”, apoi înmulțit cu 2 și (sau) cu 5, astfel încât „doi” și „cinci” să devină egale. Atunci numitorul fracției va fi egal cu 10 sau 100 sau 1000 etc. Pentru ca valoarea fracției să nu se modifice, înmulțim numărătorul fracției cu același număr cu care a fost înmulțit numitorul.

Exprimați următoarele fracții sub formă zecimală:

Soluţie. Fiecare dintre aceste fracții este ireductibilă. Să descompunăm numitorul fiecărei fracții în factori primi.

20=2 2 5. Concluzie: lipsește un „cinci”.

8=2 2 2. Concluzie: nu sunt destui trei „cinci”.

25=5 5. Concluzie: lipsesc doi „doi”.

Cometariu.În practică, adesea nu folosesc factorizarea numitorului, ci pur și simplu pun întrebarea: cu cât trebuie înmulțit numitorul, astfel încât rezultatul să fie o unitate cu zerouri (10 sau 100 sau 1000 etc.). Și apoi numărătorul este înmulțit cu același număr.

Deci, în caz A)(exemplul 2) din numărul 20 puteți obține 100 înmulțind cu 5, prin urmare, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 5.

Când b)(exemplul 2) din numărul 8, numărul 100 nu va funcționa, dar numărul 1000 se va obține prin înmulțirea cu 125. Atât numărătorul (3) cât și numitorul (8) al fracției se înmulțesc cu 125.

Când în)(exemplul 2) din 25 obțineți 100 atunci când este înmulțit cu 4. Aceasta înseamnă că și numărătorul 8 trebuie înmulțit cu 4.

Se numește o fracție zecimală infinită în care una sau mai multe cifre se repetă invariabil în aceeași succesiune periodic fracție zecimală. Setul de cifre care se repetă se numește perioada acestei fracții. Pentru concizie, perioada unei fracții se scrie o singură dată, anexând-o între paranteze.

Când b)(exemplul 1 ) cifra repetată este una și este egală cu 6. Prin urmare, rezultatul nostru 0,66... ​​​​va fi scris astfel: 0,(6) . Se citesc: zero numere întregi, șase în perioada.

Dacă există una sau mai multe cifre nerecurente între virgulă și prima perioadă, atunci o astfel de fracție periodică se numește fracție periodică mixtă.

O fracție comună ireductibilă al cărei numitor împreună cu alţii multiplicatorul conține multiplicatorul 2 sau 5 , devine amestecat fracție periodică.

Scrieți numărul ca zecimală:

Orice număr rațional poate fi scris ca o fracție zecimală periodică infinită.

Scrieți numărul ca o fracție periodică infinită.

Dintre multele fracții găsite în aritmetică, cele cu 10, 100, 1000 la numitor merită o atenție specială - în general, orice putere a lui zece. Aceste fracții au un nume și o notație specială.

O zecimală este orice număr al cărui numitor este o putere a zece.

Exemple cu zecimale:

De ce a fost necesar să se izoleze astfel de fracții? De ce au nevoie de propriul formular de înscriere? Există cel puțin trei motive pentru aceasta:

1. Decimalele sunt mult mai ușor de comparat. Amintiți-vă: pentru a compara fracțiile obișnuite, trebuie să le scădeți una de la alta și, în special, să aduceți fracțiile la un numitor comun. În fracțiile zecimale, nimic din toate acestea nu este necesar;
2. Reducerea calculelor. Decimalele se adună și se înmulțesc după propriile reguli, iar după puțină practică vei lucra cu ele mult mai repede decât cu cele obișnuite;
3. Ușurință de înregistrare. Spre deosebire de fracțiile obișnuite, zecimalele sunt scrise pe o singură linie fără pierderea clarității.

Majoritatea calculatoarelor dau răspunsuri și în zecimale. În unele cazuri, un format de înregistrare diferit poate cauza probleme. De exemplu, ce se întâmplă dacă cereți o schimbare în cantitate de 2/3 de ruble într-un magazin :)

Reguli pentru scrierea fracțiilor zecimale

Principalul avantaj al fracțiilor zecimale este o notație convenabilă și vizuală. Și anume:

Notația zecimală este o formă de notație zecimală în care partea întreagă este separată de partea fracțională folosind un punct obișnuit sau o virgulă. În acest caz, separatorul în sine (punct sau virgulă) se numește punct zecimal.

De exemplu, 0,3 (a se citi: „număr întreg, 3 zecimi”); 7,25 (7 numere întregi, 25 sutimi); 3,049 (3 numere întregi, 49 miimi). Toate exemplele sunt preluate din definiția anterioară.

În scris, virgula este de obicei folosită ca punct zecimal. Aici și mai jos, virgula va fi folosită și pe tot site-ul.

Pentru a scrie o fracție zecimală arbitrară în forma specificată, trebuie să urmați trei pași simpli:

1. Scrieți separat numărătorul;
2. Deplasați punctul zecimal la stânga cu atâtea locuri câte zerouri există în numitor. Să presupunem că inițial punctul zecimal este la dreapta tuturor cifrelor;
3. Dacă punctul zecimal s-a deplasat, iar după ea există zerouri la sfârșitul înregistrării, acestea trebuie tăiate.

Se întâmplă ca în pasul al doilea numărătorul să nu aibă suficiente cifre pentru a finaliza schimbarea. În acest caz, pozițiile lipsă sunt umplute cu zerouri. Și, în general, orice număr de zerouri poate fi atribuit la stânga oricărui număr fără a dăuna sănătății. Este urât, dar uneori util.

La prima vedere, acest algoritm poate părea destul de complicat. De fapt, totul este foarte, foarte simplu - trebuie doar să exersezi puțin. Aruncă o privire la exemple:

O sarcină. Pentru fiecare fracție, indicați notația sa zecimală:

Numătorul primei fracții: 73. Deplasăm punctul zecimal cu un semn (pentru că numitorul este 10) - obținem 7,3.

Numătorul celei de-a doua fracții: 9. Deplasăm punctul zecimal cu două cifre (pentru că numitorul este 100) - obținem 0,09. A trebuit să adaug un zero după virgulă zecimală și încă unul înaintea ei, pentru a nu lăsa o notație ciudată precum „.09”.

Numătorul celei de-a treia fracții: 10029. Deplasăm punctul zecimal cu trei cifre (pentru că numitorul este 1000) - obținem 10,029.

Numătorul ultimei fracții: 10500. Din nou deplasăm punctul cu trei cifre - obținem 10.500. Există zerouri suplimentare la sfârșitul numărului. Le tăiem - obținem 10,5.

Fiți atenți la ultimele două exemple: numerele 10.029 și 10.5. Conform regulilor, zerourile din dreapta trebuie tăiate, așa cum se face în ultimul exemplu. Cu toate acestea, în niciun caz nu trebuie să faceți acest lucru cu zerouri care sunt în interiorul numărului (care sunt înconjurate de alte cifre). De aceea am primit 10.029 și 10.5, și nu 1.29 și 1.5.

Deci, ne-am dat seama de definiția și forma de înregistrare a fracțiilor zecimale. Acum să aflăm cum să convertim fracțiile obișnuite în zecimale - și invers.

Trecerea de la fracții la zecimale

Se consideră o fracție numerică simplă de forma a/b. Puteți folosi proprietatea de bază a unei fracții și înmulțiți numărătorul și numitorul cu un astfel de număr încât să obțineți o putere de zece mai jos. Dar înainte de a face acest lucru, vă rugăm să citiți următoarele:

Există numitori care nu se reduc la puterea lui zece. Învățați să recunoașteți astfel de fracții, deoarece nu se poate lucra cu ele conform algoritmului descris mai jos.

Asta e. Ei bine, cum să înțelegeți dacă numitorul este redus la puterea lui zece sau nu?

Răspunsul este simplu: factorizați numitorul în factori primi. Dacă doar factorii 2 și 5 sunt prezenți în expansiune, acest număr poate fi redus la puterea lui zece. Dacă există alte numere (3, 7, 11 - orice), puteți uita de gradul de zece.

O sarcină. Verificați dacă fracțiile specificate pot fi reprezentate ca zecimale:

Scriem și factorizăm numitorii acestor fracții:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - sunt prezente doar numerele 2 și 5. Prin urmare, fracția poate fi reprezentată ca zecimală.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - există un factor „interzis” 3. Fracția nu poate fi reprezentată ca zecimală.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Totul este în ordine: nu există nimic în afară de numerele 2 și 5. O fracție este reprezentată ca zecimală.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Factorul 3 a „apărut” din nou. Nu poate fi reprezentat ca o fracție zecimală.

Deci, am descoperit numitorul - acum vom lua în considerare întregul algoritm pentru trecerea la fracții zecimale:

1. Factorizați numitorul fracției originale și asigurați-vă că este reprezentabilă în general ca zecimală. Acestea. verificați ca în expansiune să fie prezenți doar factorii 2 și 5. În caz contrar, algoritmul nu funcționează;
2. Numărați câte doi și cinci sunt prezenți în descompunere (nu vor mai fi alte numere acolo, vă amintiți?). Alegeți un astfel de multiplicator suplimentar, astfel încât numărul de doi și cinci să fie egal.
3. De fapt, înmulțiți numărătorul și numitorul fracției originale cu acest factor - obținem reprezentarea dorită, adică. numitorul va fi o putere de zece.

Desigur, factorul suplimentar va fi, de asemenea, descompus doar în doi și cinci. În același timp, pentru a nu vă complica viața, ar trebui să alegeți cel mai mic astfel de factor dintre toți cei posibili.

Și încă ceva: dacă există o parte întreagă în fracția originală, asigurați-vă că convertiți această fracție într-una necorespunzătoare - și abia apoi aplicați algoritmul descris.

O sarcină. Convertiți aceste numere în zecimale:

Să factorizăm numitorul primei fracții: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Prin urmare, o fracție poate fi reprezentată ca zecimală. Există doi doi și nu cinci în expansiune, deci factorul suplimentar este 5 2 = 25. Numărul de doi și cinci va fi egal cu acesta. Avem:

Acum să ne ocupăm de a doua fracție. Pentru a face acest lucru, rețineți că 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - există un triplu în expansiune, astfel încât fracția nu poate fi reprezentată ca zecimală.

Ultimele două fracții au numitori 5 (un număr prim) și respectiv 20 = 4 5 = 2 2 5 - doar doi și cinci sunt prezenți peste tot. În același timp, în primul caz, „pentru fericirea completă”, nu există suficient multiplicator 2, iar în al doilea - 5. Obținem:

Trecerea de la zecimale la obișnuit

Conversia inversă - de la notație zecimală la normală - este mult mai ușoară. Nu există restricții și verificări speciale, așa că puteți converti întotdeauna o fracție zecimală într-una clasică „cu două etaje”.

Algoritmul de traducere este următorul:

1. Tăiați toate zerourile din partea stângă a zecimalei, precum și punctul zecimal. Acesta va fi numărătorul fracției dorite. Principalul lucru - nu exagerați și nu tăiați zerourile interne înconjurate de alte numere;
2. Calculați câte cifre sunt în fracția zecimală inițială după virgulă. Luați numărul 1 și adăugați câte zerouri la dreapta ați numărat caracterele. Acesta va fi numitorul;
3. De fapt, notează fracția al cărei numărător și numitor tocmai am găsit. Reduceți dacă este posibil. Dacă a existat o parte întreagă în fracția originală, acum vom obține o fracție necorespunzătoare, ceea ce este foarte convenabil pentru calcule ulterioare.

O sarcină. Convertiți zecimale în ordinare: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Taiați zerourile din stânga și virgulele - obținem numerele următoare(aceștia vor fi numărători): 8; 3107; 225; 72008.

În prima și a doua fracție după virgulă există 3 zecimale, în a doua - 2, iar în a treia - până la 4 zecimale. Obținem numitorii: 1000; 1000; 100; 10000.

În cele din urmă, să combinăm numărătorii și numitorii în fracții obișnuite:

După cum se poate vedea din exemple, fracția rezultată poate fi foarte des redusă. Încă o dată, observ că orice fracție zecimală poate fi reprezentată ca una obișnuită. Transformarea inversă nu este întotdeauna posibilă.

Am spus deja că fracțiile sunt comunși zecimal. Pe acest moment Am învățat puțin despre fracțiile comune. Am învățat că există fracții regulate și fracții improprii. Am mai învățat că fracțiile obișnuite pot fi reduse, adunate, scăzute, înmulțite și împărțite. Și am mai învățat că există așa-numitele numere mixte, care constau dintr-un număr întreg și o parte fracțională.

Nu am studiat încă pe deplin fracțiile obișnuite. Există multe subtilități și detalii care ar trebui discutate, dar astăzi vom începe să studiem zecimal fracții, deoarece fracțiile ordinare și zecimale trebuie adesea combinate. Adică, atunci când rezolvați probleme, trebuie să utilizați ambele tipuri de fracții.

Această lecție poate părea complicată și de neînțeles. Este destul de normal. Aceste tipuri de lecții necesită ca ele să fie studiate și nu trecute peste.

Conținutul lecției

Exprimarea cantităților în formă fracționată

Uneori este convenabil să arăți ceva în formă fracționată. De exemplu, o zecime de decimetru se scrie astfel:

Această expresie înseamnă că un decimetru a fost împărțit în zece părți, iar o parte a fost luată din aceste zece părți:

După cum puteți vedea în figură, o zecime de decimetru este un centimetru.

Luați în considerare următorul exemplu. Arată 6 cm și încă 3 mm în centimetri sub formă fracționată.

Deci, este necesar să exprimați 6 cm și 3 mm în centimetri, dar în formă fracționată. Avem deja 6 centimetri întregi:

dar au mai rămas 3 milimetri. Cum să arăți acești 3 milimetri, în timp ce sunt în centimetri? Fracțiunile vin în ajutor. 3 milimetri este o treime de centimetru. Și a treia parte de centimetru este scrisă ca cm

O fracție înseamnă că un centimetru a fost împărțit la zece părti egale, iar trei părți au fost luate din aceste zece părți (trei din zece).

Ca rezultat, avem șase centimetri întregi și trei zecimi de centimetru:

În acest caz, 6 arată numărul de centimetri întregi, iar fracția arată numărul de centimetri fracționați. Această fracție se citește ca „șase puncte și trei zecimi de centimetru”.

Fracțiile, în numitorul cărora există numere 10, 100, 1000, se pot scrie fără numitor. Mai întâi scrieți partea întreagă, apoi numărătorul părții fracționale. Partea întreagă este separată de numărătorul părții fracționale printr-o virgulă.

De exemplu, să scriem fără numitor. Pentru a face acest lucru, scriem mai întâi întreaga parte. Partea întreagă este numărul 6. Scriem mai întâi acest număr:

Toată parte este înregistrată. Imediat după ce ați scris întreaga parte, puneți o virgulă:

Și acum notăm numărătorul părții fracționale. Într-un număr mixt, numărătorul părții fracționale este numărul 3. Scriem trei după virgulă:

Orice număr care este reprezentat în această formă este numit zecimal.

Prin urmare, puteți afișa 6 cm și încă 3 mm în centimetri folosind o fracție zecimală:

6,3 cm

Va arata asa:

De fapt, zecimale sunt aceleași fracții comune și numere mixte. Particularitatea acestor fracții este că numitorul părții lor fracționale conține numerele 10, 100, 1000 sau 10000.

La fel ca un număr mixt, o zecimală are o parte întreagă și o parte fracțională. De exemplu, într-un număr mixt, partea întreagă este 6, iar partea fracțională este .

În fracția zecimală 6,3, partea întreagă este numărul 6, iar partea fracțională este numărătorul fracției, adică numărul 3.

De asemenea, se întâmplă ca fracțiile obișnuite la numitorul cărora numerele 10, 100, 1000 sunt date fără o parte întreagă. De exemplu, o fracție este dată fără o parte întreagă. Pentru a scrie o astfel de fracție ca zecimală, mai întâi scrieți 0, apoi puneți o virgulă și notați numărătorul părții fracționale. O fracție fără numitor s-ar scrie astfel:

Se citește ca „zero virgulă cinci zecimi”.

Convertiți numere mixte în zecimale

Când scriem numere mixte fără numitor, le convertim în zecimale. Când convertiți fracții obișnuite în fracții zecimale, există câteva lucruri pe care trebuie să le știți, despre care vom vorbi acum.

După ce este scrisă partea întreagă, este imperativ să numărați numărul de zerouri în numitorul părții fracționale, deoarece numărul de zerouri din partea fracțională și numărul de cifre după punctul zecimal din fracția zecimală trebuie să fie același . Ce înseamnă? Luați în considerare următorul exemplu:

Primul

Și puteți nota imediat numărătorul părții fracționale și fracția zecimală este gata, dar trebuie să numărați cu siguranță numărul de zerouri din numitorul părții fracționale.

Deci, numărăm numărul de zerouri din partea fracțională a numărului mixt. Numitorul părții fracționale are un zero. Deci, în fracția zecimală după virgulă va fi o cifră și această cifră va fi numărătorul părții fracționale a numărului mixt, adică numărul 2

Astfel, numărul mixt, atunci când este tradus într-o fracție zecimală, devine 3,2.

Această zecimală se citește astfel:

„Trei două zecimi întregi”

„Zecimi” deoarece partea fracțională a numărului mixt conține numărul 10.

Exemplul 2 Convertiți numărul mixt în zecimal.

Notăm toată partea și punem o virgulă:

Și puteți nota imediat numărătorul părții fracționale și obțineți fracția zecimală 5,3, dar regula spune că după virgulă zecimală ar trebui să fie atâtea cifre câte zerouri în numitorul părții fracționale a numărului mixt. Și vedem că există două zerouri în numitorul părții fracționale. Deci, în fracția noastră zecimală după virgulă ar trebui să fie două cifre, nu una.

În astfel de cazuri, numărătorul părții fracționale trebuie să fie ușor modificat: adăugați un zero înaintea numărătorului, adică înaintea numărului 3

Acum puteți converti acest număr mixt într-o zecimală. Notăm toată partea și punem o virgulă:

Și scrieți numărătorul părții fracționale:

Fracția zecimală 5,03 arată astfel:

„Cinci virgulă trei sutimi”

„Sutimi” deoarece numitorul părții fracționale a numărului mixt este numărul 100.

Exemplul 3 Convertiți numărul mixt în zecimal.

Din exemplele anterioare, am învățat că pentru a converti cu succes un număr mixt într-o zecimală, numărul de cifre din numărătorul părții fracționale și numărul de zerouri din numitorul părții fracționale trebuie să fie același.

Înainte de a converti un număr mixt într-o fracție zecimală, partea sa fracțională trebuie să fie ușor modificată, și anume, pentru a vă asigura că numărul de cifre din numărătorul părții fracționale și numărul de zerouri din numitorul părții fracționale sunt la fel.

În primul rând, ne uităm la numărul de zerouri din numitorul părții fracționale. Vedem că există trei zerouri:

Sarcina noastră este să organizăm trei cifre în numărătorul părții fracționale. Avem deja o cifră - acesta este numărul 2. Rămâne să adăugați încă două cifre. Vor fi două zerouri. Adăugați-le înaintea numărului 2. Ca rezultat, numărul de zerouri din numitor și numărul de cifre din numărător vor deveni aceleași:

Acum putem transforma acest număr mixt într-o zecimală. Scriem mai întâi întreaga parte și punem o virgulă:

și notează imediat numărătorul părții fracționale

3,002

Vedem că numărul de cifre după virgulă zecimală și numărul de zerouri din numitorul părții fracționale a numărului mixt sunt aceleași.

Decimalul 3,002 arată astfel:

„Trei întregi, două miimi”

„Miimi” deoarece numitorul părții fracționale a numărului mixt este numărul 1000.

Conversia fracțiilor comune în zecimale

Fracțiile obișnuite, în care numitorul este 10, 100, 1000 sau 10000, pot fi, de asemenea, convertite în fracții zecimale. Deoarece o fracție obișnuită nu are o parte întreagă, mai întâi scrieți 0, apoi puneți o virgulă și notați numărătorul părții fracționale.

Și aici, numărul de zerouri din numitor și numărul de cifre din numărător trebuie să fie același. Prin urmare, ar trebui să fii atent.

Exemplul 1

Partea întreagă lipsește, așa că mai întâi scriem 0 și punem virgulă:

Acum uită-te la numărul de zerouri din numitor. Vedem că există un zero. Și numărătorul are o cifră. Deci, puteți continua în siguranță fracția zecimală scriind numărul 5 după virgulă

În fracția zecimală rezultată 0,5, numărul de cifre după virgulă și numărul de zerouri din numitorul fracției sunt aceleași. Deci fracția este corectă.

Fracția zecimală 0,5 se citește astfel:

„Zero punct, cinci zecimi”

Exemplul 2 Convertiți fracția comună în zecimală.

Toată parte lipsește. Scriem mai întâi 0 și punem virgulă:

Acum uită-te la numărul de zerouri din numitor. Vedem că sunt două zerouri. Și numărătorul are o singură cifră. Pentru ca numărul de cifre și numărul de zerouri să fie același, adăugați un zero la numărător înaintea numărului 2. Apoi fracția va lua forma . Acum numărul de zerouri din numitor și numărul de cifre din numărător sunt aceleași. Deci puteți continua zecimala:

În fracția zecimală rezultată 0,02, numărul de cifre după virgulă și numărul de zerouri din numitorul fracției sunt aceleași. Deci fracția este corectă.

Fracția zecimală 0,02 se citește astfel:

— Punct zero, două sutimi.

Exemplul 3 Convertiți fracția comună în zecimală.

Scriem 0 și punem virgulă:

Acum numărăm numărul de zerouri din numitorul fracției. Vedem că există cinci zerouri și există o singură cifră în numărător. Pentru ca numărul de zerouri din numitor și numărul de cifre din numărător să fie același, trebuie să adăugați patru zerouri în numărător înainte de numărul 5:

Acum numărul de zerouri din numitor și numărul de cifre din numărător sunt aceleași. Deci puteți continua zecimala. Notăm numărătorul fracției după virgulă

În fracția zecimală rezultată 0,00005, numărul de cifre după virgulă și numărul de zerouri din numitorul fracției sunt aceleași. Deci fracția este corectă.

Fracția zecimală 0,00005 arată astfel:

— Punct zero, cinci sute de miimi.

Convertiți fracțiile improprii în zecimale

O fracție improprie este o fracție al cărei numărător este mai mare decât numitorul. Există fracții improprii care au la numitor numerele 10, 100, 1000 sau 10000. Astfel de fracții pot fi convertite în fracții zecimale. Dar înainte de a se converti într-o fracție zecimală, astfel de fracții trebuie să aibă o parte întreagă.

Exemplul 1

Fracția este o fracție improprie. Pentru a converti o astfel de fracție într-o fracție zecimală, trebuie să selectați mai întâi partea sa întreagă. Ne amintim cum să selectăm întreaga parte a fracțiilor improprii. Dacă ați uitat, vă sfătuim să reveniți și să-l studiați.

Deci, să selectăm partea întreagă din fracția improprie. Amintiți-vă că o fracție înseamnă împărțire - în acest caz, împărțirea numărului 112 la numărul 10

Să ne uităm la această imagine și să asamblam un nou număr mixt, ca un set de construcție pentru copii. Numărul 11 ​​va fi partea întreagă, numărul 2 va fi numărătorul părții fracționale, numărul 10 va fi numitorul părții fracționale.

Avem un număr mixt. Să-l convertim într-o zecimală. Și știm deja cum să traducem astfel de numere în fracții zecimale. Mai întâi notăm întreaga parte și punem o virgulă:

Acum numărăm numărul de zerouri din numitorul părții fracționale. Vedem că există un zero. Și numărătorul părții fracționale are o cifră. Aceasta înseamnă că numărul de zerouri din numitorul părții fracționale și numărul de cifre din numărătorul părții fracționale sunt aceleași. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a scrie imediat numărătorul părții fracționale după virgulă:

În fracția zecimală rezultată 11,2, numărul de cifre după virgulă și numărul de zerouri din numitorul fracției sunt aceleași. Deci fracția este corectă.

Aceasta înseamnă că o fracție improprie, atunci când este convertită într-o fracție zecimală, se transformă în 11,2

Decimalul 11.2 se citește astfel:

— Unsprezece întregi, două zecimi.

Exemplul 2 Convertiți fracția improprie în zecimală.

Aceasta este o fracție improprie deoarece numărătorul este mai mare decât numitorul. Dar poate fi convertit într-o fracție zecimală, deoarece numitorul este numărul 100.

În primul rând, selectăm partea întreagă a acestei fracții. Pentru a face acest lucru, împărțiți 450 la 100 la un colț:

Să colectăm un nou număr mixt - obținem . Și știm deja cum să traducem numere mixte în fracții zecimale.

Notăm toată partea și punem o virgulă:

Acum numărăm numărul de zerouri din numitorul părții fracționale și numărul de cifre din numărătorul părții fracționale. Vedem că numărul de zerouri din numitor și numărul de cifre din numărător sunt aceleași. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a scrie imediat numărătorul părții fracționale după virgulă:

În fracția zecimală rezultată 4,50, numărul de cifre după virgulă și numărul de zerouri din numitorul fracției sunt aceleași. Deci fracția este tradusă corect.

Deci fracția improprie, atunci când este tradusă într-o fracție zecimală, se transformă în 4,50

La rezolvarea problemelor, dacă există zerouri la sfârșitul fracției zecimale, acestea pot fi aruncate. Să lăsăm zero în răspunsul nostru. Apoi obținem 4,5

Acesta este unul dintre caracteristici interesante fracții zecimale. Constă în faptul că zerourile care se află la sfârșitul fracției nu dau nicio greutate acestei fracții. Cu alte cuvinte, zecimale 4,50 și 4,5 sunt egale. Să punem un semn egal între ele:

4,50 = 4,5

Apare întrebarea: de ce se întâmplă asta? La urma urmei, 4,50 și 4,5 arată ca fracții diferite. Întregul secret constă în proprietatea de bază a fracției, pe care am studiat-o mai devreme. Vom încerca să demonstrăm de ce fracțiile zecimale 4,50 și 4,5 sunt egale, dar după ce am studiat următorul subiect, care se numește „conversia unei fracții zecimale într-un număr mixt”.

Conversie zecimală în numere mixte

Orice fracție zecimală poate fi convertită înapoi într-un număr mixt. Pentru a face acest lucru, este suficient să poți citi fracțiile zecimale. De exemplu, să convertim 6,3 într-un număr mixt. 6.3 este șase puncte întregi și trei zecimi. Scriem mai întâi șase numere întregi:

și următoarele trei zecimi:

Exemplul 2 Convertiți zecimalul 3,002 în număr mixt

3.002 este trei numere întregi și două miimi. Scrie mai întâi trei numere întregi.

iar în continuare scriem două miimi:

Exemplul 3 Convertiți zecimalul 4,50 în număr mixt

4.50 este patru virgulă și cincizeci de sutimi. Notează patru numere întregi

și următoarele cincizeci de sutimi:

Apropo, să ne amintim ultimul exemplu din subiectul anterior. Am spus că zecimale 4,50 și 4,5 sunt egale. Am mai spus că zero poate fi aruncat. Să încercăm să demonstrăm că zecimalele 4,50 și 4,5 sunt egale. Pentru a face acest lucru, convertim ambele fracții zecimale în numere mixte.

După conversia într-un număr mixt, zecimalul 4,50 devine , iar zecimalul 4,5 devine

Avem două numere mixte și . Convertiți aceste numere mixte în fracții improprii:

Acum avem două fracții și . Este timpul să ne amintim de proprietatea de bază a unei fracții, care spune că atunci când înmulțiți (sau împărțiți) numărătorul și numitorul unei fracții cu același număr, valoarea fracției nu se modifică.

Să împărțim prima fracție la 10

Primit, iar aceasta este a doua fracție. Deci și sunt egale între ele și egale cu aceeași valoare:

Încercați să împărțiți 450 la 100 mai întâi pe un calculator, apoi 45 la 10. O chestie amuzantă va funcționa.

Convertiți zecimală în fracție comună

Orice fracție zecimală poate fi convertită înapoi într-o fracție comună. Pentru a face acest lucru, din nou, este suficient să poți citi fracțiile zecimale. De exemplu, să convertim 0,3 într-o fracție obișnuită. 0,3 este zero și trei zecimi. Scriem mai întâi zero numere întregi:

iar lângă trei zecimi 0 . În mod tradițional, zero nu este scris, deci răspunsul final nu va fi 0, ci pur și simplu.

Exemplul 2 Convertiți zecimalul 0,02 în fracție comună.

0,02 este zero și două sutimi. Nu notăm zero, așa că notăm imediat două sutimi

Exemplul 3 Convertiți 0,00005 în fracție

0,00005 este zero și cinci sute de miimi. Nu se notează zero, așa că notăm imediat cinci sute de miimi

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții