Echipament:

• un calculator,
• proiector multimedia,
• ecran,
• Atasamentul 1(prezentare slide în PowerPoint) „Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale”
• Anexa 2(Rezolvarea unei ecuații precum „Trei baze diferite de grade” în Word)
• Anexa 3(fișă în Word pentru lucrări practice).
• Anexa 4(fișă în Word pentru teme).

În timpul orelor

1. Etapa organizatorică

• mesajul subiectului lecției (scris la tablă),
• necesitatea unei lecții de generalizare în clasele 10-11:

Etapa de pregătire a elevilor pentru asimilarea activă a cunoştinţelor

Repetiţie

Definiție.

O ecuație exponențială este o ecuație care conține o variabilă în exponent (răspunde elevul).

Nota profesorului. Ecuațiile exponențiale aparțin clasei ecuațiilor transcendentale. Acest nume greu de pronunțat sugerează că astfel de ecuații, în general, nu pot fi rezolvate sub formă de formule.

Ele pot fi rezolvate doar prin metode aproximativ numerice pe computere. Dar ce zici de întrebările de la examen? Întregul truc este că examinatorul compune problema în așa fel încât să admită doar o soluție analitică. Cu alte cuvinte, puteți (și ar trebui!) să faceți astfel de transformări identice care reduc ecuația exponențială dată la cea mai simplă ecuație exponențială. Aceasta este cea mai simplă ecuație și se numește: cea mai simplă ecuație exponențială. Este rezolvat logaritm.

Situația cu soluția unei ecuații exponențiale seamănă cu o călătorie printr-un labirint, care a fost inventat special de compilatorul problemei. Din aceste considerații foarte generale, urmează recomandări destul de specifice.

Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie:

1. Nu numai că cunoașteți în mod activ toate identitățile exponențiale, dar găsiți și seturi de valori ale variabilei pe care sunt definite aceste identități, astfel încât atunci când utilizați aceste identități, nu se obține rădăcini inutile și, cu atât mai mult, nu se pierde soluții ale ecuației.

2. Cunoașteți în mod activ toate identitățile exponențiale.

3. În mod clar, în detaliu și fără erori, efectuează transformări matematice ale ecuațiilor (transferă termeni dintr-o parte a ecuației în alta, fără a uita să schimbi semnul, să reducă fracția la un numitor comun etc.). Aceasta se numește cultură matematică. În același timp, calculele în sine ar trebui făcute automat cu mâinile, iar capul ar trebui să se gândească la firul general de ghidare al soluției. Este necesar să faceți transformări cât mai atent și detaliat posibil. Numai acest lucru va garanta o soluție corectă, fără erori. Și amintiți-vă: o mică eroare aritmetică poate crea pur și simplu o ecuație transcendentală care, în principiu, nu poate fi rezolvată analitic. Se pare că ți-ai pierdut drumul și ai dat peste zidul labirintului.

4. Cunoașteți metodele de rezolvare a problemelor (adică cunoașteți toate căile prin labirintul soluției). Pentru o orientare corectă în fiecare etapă, va trebui (conștient sau intuitiv!):

• defini tip de ecuație;
• amintiți-vă tipul corespunzător metoda de rezolvare sarcini.

Etapa de generalizare şi sistematizare a materialului studiat.

Profesorul, împreună cu elevii, cu implicarea unui calculator, efectuează o repetare de ansamblu a tuturor tipurilor de ecuații exponențiale și metode de rezolvare a acestora și întocmește o schemă generală. (Folosind un tutorial program de calculator L.Da. Borevsky „Curs de matematică – 2000”, autorul prezentării în PowerPoint - T.N. Kuptsov.)

Orez. unu. Figura prezintă o schemă generală a tuturor tipurilor de ecuații exponențiale.

După cum se poate vedea din această diagramă, strategia de rezolvare a ecuațiilor exponențiale este de a reduce această ecuație exponențială la ecuație, în primul rând, cu aceleasi baze , și apoi - și cu aceiași exponenți.

După ce ați obținut o ecuație cu aceleași baze și exponenți, înlocuiți acest grad cu o nouă variabilă și obțineți o ecuație algebrică simplă (de obicei fracțională rațională sau pătratică) în raport cu această nouă variabilă.

Rezolvând această ecuație și făcând o substituție inversă, ajungeți la un set de ecuații exponențiale simple care sunt rezolvate în vedere generala folosind logaritmi.

Ecuațiile stau deoparte în care apar numai produsele puterilor (private). Folosind identități exponențiale, este posibil să aducem aceste ecuații imediat la o bază, în special, la cea mai simplă ecuație exponențială.

Luați în considerare modul în care ecuația exponențială cu trei temeiuri diferite grade.

(Dacă profesorul are un program de predare pentru calculator de L.Ya. Borevsky „Curs de matematică - 2000”, atunci, în mod firesc, lucrăm cu discul, dacă nu, puteți tipări acest tip de ecuație pentru fiecare birou de pe acesta, prezentat mai jos .)

Orez. 2. Planul de rezolvare a ecuației.

Orez. 3.Începând să rezolve ecuația

Orez. patru. Sfârșitul soluției ecuației.

Făcând lucrări practice

Determinați tipul de ecuație și rezolvați-o.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Rezumând lecția

Notarea unei lecții.

sfârşitul lecţiei

Pentru profesor

Schema de răspunsuri a lucrărilor practice.

Exercițiu: din lista de ecuații, selectați ecuațiile de tipul specificat (puneți numărul răspunsului în tabel):

1. Trei baze diferite
2. Două baze diferite - exponenți diferiți
3. Bazele puterilor - puterile unui număr
4. Aceleași baze, exponenți diferiți
5. Aceleași baze ale exponenților - aceiași exponenți
6. Produsul puterilor
7. Două baze diferite de grade - aceiași indicatori
8. Cele mai simple ecuații exponențiale

1. (produsul puterilor)

2. (aceleași baze - exponenți diferiți)

Exemple:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Cum se rezolvă ecuații exponențiale

Când rezolvăm orice ecuație exponențială, ne străduim să o aducem la forma \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), apoi facem tranziția la egalitatea indicatorilor, adică:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

De exemplu:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Important! Din aceeași logică, urmează două cerințe pentru o astfel de tranziție:
- număr în stânga și dreapta ar trebui să fie la fel;
- grade stânga și dreapta trebuie să fie „pure”, adică să nu existe, înmulțiri, împărțiri etc.

De exemplu:

Pentru a aduce ecuația la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) și sunt folosite.

Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Soluţie:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Știm că \(27 = 3^3\). Având în vedere acest lucru, transformăm ecuația.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Prin proprietatea rădăcinii \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) obținem că \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). În plus, folosind proprietatea gradului \((a^b)^c=a^(bc)\), obținem \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		De asemenea, știm că \(a^b a^c=a^(b+c)\). Aplicând aceasta în partea stângă, obținem: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Acum amintiți-vă că: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Această formulă poate fi folosită și în reversul: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Apoi \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Aplicând proprietatea \((a^b)^c=a^(bc)\) în partea dreaptă, obținem: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Și acum avem bazele egale și nu există coeficienți de interferență etc. Deci putem face tranziția.
		Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Soluţie: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Din nou folosim proprietatea gradului \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) în direcția opusă. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Acum amintiți-vă că \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Folosind proprietățile gradului, transformăm: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Privim cu atenție ecuația și vedem că înlocuirea \(t=2^x\) se sugerează aici. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Cu toate acestea, am găsit valorile \(t\) și avem nevoie de \(x\). Ne întoarcem la X, făcând înlocuirea inversă. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformați a doua ecuație folosind proprietatea puterii negative... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...si rezolva pana la raspuns. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Răspuns : \(-1; 1\). Întrebarea rămâne - cum să înțelegeți când să aplicați ce metodă? Vine cu experiență. Între timp, nu ai rezolvat, folosește recomandarea generală pentru rezolvarea problemelor complexe - „dacă nu știi ce să faci – fă ce poți”. Adică, căutați cum puteți transforma ecuația în principiu și încercați să o faceți - ce se întâmplă dacă iese? Principalul lucru este să faceți numai transformări justificate matematic. ecuații exponențiale fără soluții Să ne uităm la încă două situații care deseori derutează studenții: - un număr pozitiv la putere este egal cu zero, de exemplu, \(2^x=0\); - un număr pozitiv la putere este egal cu un număr negativ, de exemplu, \(2^x=-4\). Să încercăm să o rezolvăm prin forță brută. Dacă x este un număr pozitiv, atunci pe măsură ce x crește, întreaga putere \(2^x\) va crește doar: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Tot trecut. Există x-uri negative. Reamintind proprietatea \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), verificăm: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) În ciuda faptului că numărul devine mai mic cu fiecare pas, nu va ajunge niciodată la zero. Deci nici gradul negativ nu ne-a salvat. Ajungem la o concluzie logica: Un număr pozitiv pentru orice putere va rămâne un număr pozitiv. Astfel, ambele ecuații de mai sus nu au soluții. ecuații exponențiale cu baze diferite În practică, uneori există ecuații exponențiale cu baze diferite care nu sunt reductibile între ele și, în același timp, cu aceiași exponenți. Ele arată astfel: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere pozitive. De exemplu: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Astfel de ecuații pot fi rezolvate cu ușurință prin împărțirea la oricare dintre părțile ecuației (de obicei împărțind la partea dreaptă, adică la \ (b ^ (f (x))) \). Puteți împărți astfel, deoarece un pozitiv numărul este pozitiv în orice grad (adică nu împărțim la zero.) Obținem: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Soluţie: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Aici nu putem transforma un cinci într-un trei sau invers (conform macar, fără utilizare). Deci nu putem ajunge la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\). În același timp, indicatorii sunt aceiași. Să împărțim ecuația la partea dreaptă, adică la \(3^(x+7)\) (putem face asta, pentru că știm că triplul nu va fi zero în niciun grad). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Acum amintiți-vă proprietatea \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) și utilizați-o din stânga în direcția opusă. În dreapta, pur și simplu reducem fracția. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Nu părea să fie mai bine. Dar amintiți-vă o altă proprietate a gradului: \(a^0=1\), cu alte cuvinte: „orice număr până la puterea zero este egal cu \(1\)”. Este adevărat și invers: „o unitate poate fi reprezentată ca orice număr ridicat la puterea lui zero”. Folosim acest lucru făcând baza din dreapta la fel cu cea din stânga. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Scăpăm de fundații. Noi scriem răspunsul. Răspuns : \(-7\). Uneori, „asemănarea” exponenților nu este evidentă, dar utilizarea cu pricepere a proprietăților gradului rezolvă această problemă. Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Soluţie: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ecuația pare destul de tristă... Nu numai că bazele nu pot fi reduse la același număr (șapte nu vor fi egale cu \(\frac(1)(3)\)), dar și indicatorii sunt diferiți... Cu toate acestea, să folosim exponentul din stânga deuce. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ținând cont de proprietatea \((a^b)^c=a^(b c)\), transformați în stânga: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Acum, amintindu-ne de proprietatea puterii negative \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformăm în dreapta: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluia! Scorurile sunt aceleași! Acționând conform schemei deja cunoscute nouă, decidem înainte de răspuns. Răspuns : \(2\).

Această lecție este destinată celor care abia încep să învețe ecuațiile exponențiale. Ca întotdeauna, să începem cu o definiție și exemple simple.

Dacă citiți această lecție, atunci bănuiesc că aveți deja o înțelegere minimă a celor mai simple ecuații - liniare și pătrate: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ etc. Pentru a putea rezolva astfel de construcții este absolut necesar pentru a nu „atârna” în subiectul care va fi discutat acum.

Deci, ecuații exponențiale. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Unele dintre ele ți se pot părea mai complicate, unele dintre ele, dimpotrivă, sunt prea simple. Dar toate sunt unite de o caracteristică importantă: conțin o funcție exponențială $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Astfel, introducem definitia:

O ecuație exponențială este orice ecuație care conține o funcție exponențială, adică. o expresie de forma $((a)^(x))$. Pe lângă funcția specificată, astfel de ecuații pot conține orice alte construcții algebrice - polinoame, rădăcini, trigonometrie, logaritmi etc.

Bine atunci. A inteles definitia. Acum întrebarea este: cum să rezolvi toate prostiile astea? Răspunsul este atât simplu, cât și complex în același timp.

Să începem cu vestea bună: din experiența mea cu mulți studenți, pot spune că pentru cei mai mulți dintre ei, ecuațiile exponențiale sunt mult mai ușoare decât aceleași logaritmi, și cu atât mai mult trigonometria.

Dar există și vești proaste: uneori, compilatorii de probleme pentru tot felul de manuale și examene sunt vizitați de „inspirație”, iar creierul lor inflamat de droguri începe să producă ecuații atât de brutale încât devine problematic nu numai pentru studenți să le rezolve - chiar și mulți profesori rămân blocați în astfel de probleme.

Totuși, să nu vorbim despre lucruri triste. Și să revenim la acele trei ecuații care au fost date chiar la începutul poveștii. Să încercăm să le rezolvăm pe fiecare dintre ele.

Prima ecuație: $((2)^(x))=4$. Ei bine, la ce putere trebuie ridicat numărul 2 pentru a obține numărul 4? Poate al doilea? La urma urmei, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — și am obținut egalitatea numerică corectă, adică. într-adevăr $x=2$. Ei bine, mulțumesc, cap, dar această ecuație a fost atât de simplă încât până și pisica mea a putut să o rezolve. :)

Să ne uităm la următoarea ecuație:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Dar aici este puțin mai dificil. Mulți elevi știu că $((5)^(2))=25$ este tabla înmulțirii. Unii bănuiesc, de asemenea, că $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ este în esență definiția puteri negative(prin analogie cu formula $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

În cele din urmă, doar câțiva bănuiesc că aceste fapte pot fi combinate și rezultatul este următorul rezultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Astfel, ecuația noastră originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Și acum acest lucru este deja complet rezolvat! În partea stângă a ecuației există o funcție exponențială, în partea dreaptă a ecuației există o funcție exponențială, nu există nimic altceva decât ei în altă parte. Prin urmare, este posibil să „renunți” bazele și să echivalezi prostesc indicatorii:

Avem cea mai simplă ecuație liniară pe care orice student o poate rezolva în doar câteva linii. Bine, în patru rânduri:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Dacă nu ați înțeles ce se întâmplă în ultimele patru rânduri, asigurați-vă că reveniți la subiectul „ ecuatii lineare' și repetă. Pentru că, fără o asimilare clară a acestui subiect, este prea devreme să vă asumați ecuații exponențiale.

\[((9)^(x))=-3\]

Ei bine, cum te decizi? Primul gând: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, deci ecuația originală poate fi rescrisă astfel:

\[((\stanga(((3)^(2)) \dreapta))^(x))=-3\]

Apoi ne amintim că atunci când creșteți un grad la o putere, indicatorii sunt înmulțiți:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Iar pentru o astfel de decizie, primim un deuce sincer meritat. Căci noi, cu equanimitatea unui Pokemon, am trimis semnul minus în fața celor trei la puterea tocmai acestor trei. Și nu poți face asta. Si de aceea. Aruncăm o privire la grade diferite tripleti:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Compilând această tabletă, nu am pervertit imediat ce am făcut-o: am luat în considerare grade pozitive și negative și chiar fracționale ... ei bine, unde este cel puțin un număr negativ aici? El nu este! Și nu poate fi, deoarece funcția exponențială $y=((a)^(x))$, în primul rând, ia întotdeauna numai valori pozitive (indiferent cât de mult ați înmulți unul sau împărțiți cu doi, va fi totuși un număr pozitiv), iar în al doilea rând, baza unei astfel de funcții, numărul $a$, este prin definiție un număr pozitiv!

Ei bine, atunci cum se rezolvă ecuația $((9)^(x))=-3$? Nu, nu există rădăcini. Și în acest sens, ecuațiile exponențiale sunt foarte asemănătoare cu cele pătratice - poate să nu existe și rădăcini. Dar dacă în ecuațiile pătratice numărul de rădăcini este determinat de discriminant (discriminantul este pozitiv - 2 rădăcini, negativ - fără rădăcini), atunci în ecuațiile exponențiale totul depinde de ceea ce se află în dreapta semnului egal.

Astfel, formulăm concluzia cheie: cea mai simplă ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$ are rădăcină dacă și numai dacă $b>0$. Cunoscând acest simplu fapt, puteți determina cu ușurință dacă ecuația care vi se propune are rădăcini sau nu. Acestea. merită să o rezolvi deloc sau notează imediat că nu există rădăcini.

Aceste cunoștințe ne vor ajuta de multe ori atunci când trebuie să rezolvăm probleme mai complexe. Între timp, destule versuri - este timpul să studiem algoritmul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Cum se rezolvă ecuații exponențiale

Deci, haideți să formulăm problema. Este necesar să se rezolve ecuația exponențială:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Conform algoritmului „naiv” pe care l-am folosit mai devreme, este necesar să reprezentăm numărul $b$ ca putere a numărului $a$:

În plus, dacă în locul variabilei $x$ există vreo expresie, vom obține o nouă ecuație, care poate fi deja rezolvată. De exemplu:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Și, în mod ciudat, această schemă funcționează în aproximativ 90% din cazuri. Dar ceilalți 10% atunci? Restul de 10% sunt ecuații exponențiale ușor „schizofrenice” de forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

La ce putere trebuie să ridici 2 pentru a obține 3? In primul? Dar nu: $((2)^(1))=2$ nu este suficient. In secunda? Nici: $((2)^(2))=4$ nu este prea mult. Ce atunci?

Studenții cunoscători probabil au ghicit deja: în astfel de cazuri, când este imposibil să rezolvi „frumos”, „artileria grea” este conectată la caz - logaritmi. Permiteți-mi să vă reamintesc că folosind logaritmi, orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca o putere a oricărui alt număr pozitiv (cu excepția unuia):

Îți amintești această formulă? Când le spun elevilor mei despre logaritmi, vă avertizez mereu: această formulă (este și identitatea logaritmică de bază sau, dacă doriți, definiția logaritmului) vă va bântui foarte mult timp și vă va „apari” cel mai mult. locuri neașteptate. Ei bine, ea a ieșit la suprafață. Să ne uităm la ecuația noastră și la această formulă:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Dacă presupunem că $a=3$ este numărul nostru original din dreapta și $b=2$ este însăși baza functie exponentiala, la care dorim atât de mult să reducem partea dreaptă, obținem următoarele:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Am primit un răspuns ușor ciudat: $x=((\log )_(2))3$. Într-o altă sarcină, cu un astfel de răspuns, mulți s-ar îndoi și ar începe să-și verifice soluția: ce se întâmplă dacă ar fi o greșeală undeva? Mă grăbesc să vă mulțumesc: nu există nicio eroare aici, iar logaritmii din rădăcinile ecuațiilor exponențiale sunt o situație destul de tipică. Așa că obișnuiește-te. :)

Acum rezolvăm prin analogie celelalte două ecuații:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Asta e tot! Apropo, ultimul răspuns poate fi scris diferit:

Noi am fost cei care am introdus multiplicatorul în argumentul logaritmului. Dar nimeni nu ne împiedică să adăugăm acest factor la bază:

În acest caz, toate cele trei opțiuni sunt corecte - este doar diferite formeînregistrări de același număr. Pe care să-l alegi și să-l notezi în această decizie depinde de tine.

Astfel, am învățat să rezolvăm orice ecuație exponențială de forma $((a)^(x))=b$, unde numerele $a$ și $b$ sunt strict pozitive. Cu toate acestea, realitatea dură a lumii noastre este că astfel de sarcini simple te vor întâlni foarte, foarte rar. Mai des vei întâlni ceva de genul acesta:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Ei bine, cum te decizi? Se poate rezolva deloc acest lucru? Și dacă da, cum?

Fara panica. Toate aceste ecuații se reduc rapid și ușor la formule simple pe care le-am luat în considerare deja. Trebuie doar să știi să-ți amintești câteva trucuri de la cursul de algebră. Și, desigur, nu există reguli pentru a lucra cu diplome aici. Voi vorbi despre toate acestea acum. :)

Transformarea ecuațiilor exponențiale

Primul lucru de reținut este că orice ecuație exponențială, oricât de complexă ar fi, într-un fel sau altul trebuie redusă la cele mai simple ecuații - tocmai acelea pe care le-am luat deja în considerare și pe care știm să le rezolvăm. Cu alte cuvinte, schema de rezolvare a oricărei ecuații exponențiale arată astfel:

1. Scrieți ecuația inițială. De exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fă niște prostii. Sau chiar niște prostii numite „transform the equation”;
3. La ieșire, obțineți cele mai simple expresii precum $((4)^(x))=4$ sau altceva de genul acesta. Mai mult, o ecuație inițială poate da mai multe astfel de expresii simultan.

Cu primul punct, totul este clar - chiar și pisica mea poate scrie ecuația pe o frunză. Și cu al treilea punct, se pare, este mai mult sau mai puțin clar - am rezolvat deja o grămadă de astfel de ecuații mai sus.

Dar ce zici de al doilea punct? Care sunt transformările? Ce să convertești în ce? Si cum?

Ei bine, hai să ne dăm seama. În primul rând, aș dori să subliniez următoarele. Toate ecuațiile exponențiale sunt împărțite în două tipuri:

1. Ecuația este compusă din funcții exponențiale cu aceeași bază. Exemplu: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula conține funcții exponențiale cu baze diferite. Exemple: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ și $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Să începem cu ecuațiile de primul tip - sunt cele mai ușor de rezolvat. Și în soluția lor vom fi ajutați de o astfel de tehnică precum selecția expresiilor stabile.

Evidențierea unei expresii stabile

Să ne uităm din nou la această ecuație:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ce vedem? Cei patru sunt crescuți în grade diferite. Dar toate aceste grade sume simple variabila $x$ cu alte numere. Prin urmare, este necesar să ne amintim regulile de lucru cu grade:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Mai simplu spus, adăugarea exponenților poate fi convertită într-un produs de puteri, iar scăderea este ușor convertită în diviziune. Să încercăm să aplicăm aceste formule puterilor din ecuația noastră:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Rescriem ecuația originală ținând cont de acest fapt și apoi colectăm toți termenii din stânga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -unsprezece; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Primii patru termeni conțin elementul $((4)^(x))$ — să-l scoatem din paranteză:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Rămâne să împărțim ambele părți ale ecuației la fracția $-\frac(11)(4)$, adică. în esență înmulțiți cu fracția inversată - $-\frac(4)(11)$. Primim:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Asta e tot! Am redus ecuația inițială la cea mai simplă și am obținut răspunsul final.

În același timp, în procesul de rezolvare, am descoperit (și chiar am scos din paranteză) factorul comun $((4)^(x))$ - aceasta este expresia stabilă. Poate fi desemnată ca o nouă variabilă sau pur și simplu o puteți exprima cu acuratețe și obține un răspuns. Oricum, principiu cheie solutiile sunt urmatoarele:

Găsiți în ecuația originală o expresie stabilă care conține o variabilă care este ușor de distins de toate funcțiile exponențiale.

Vestea bună este că aproape fiecare ecuație exponențială admite o expresie atât de stabilă.

Dar există și vești proaste: astfel de expresii pot fi foarte complicate și poate fi destul de dificil să le distingem. Deci, să ne uităm la o altă problemă:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Poate că cineva va avea acum o întrebare: „Pașa, ești lapidat? Iată diferite baze - 5 și 0.2. Dar să încercăm să convertim o putere cu baza 0.2. De exemplu, să scăpăm de fracție zecimală, aducându-l la obișnuit:

\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

După cum puteți vedea, numărul 5 a apărut în continuare, deși la numitor. În același timp, indicatorul a fost rescris ca negativ. Și acum ne amintim unul dintre reguli esentiale lucreaza cu grade:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Aici, bineînțeles, am înșelat puțin. Pentru că pentru o înțelegere completă, formula pentru a scăpa de indicatorii negativi a trebuit să fie scrisă după cum urmează:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right))))=((\left(\frac(5)(1) \ dreapta))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Pe de altă parte, nimic nu ne-a împiedicat să lucrăm cu o singură fracție:

\[((\left(\frac(1)(5) \right)))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Dar, în acest caz, trebuie să puteți ridica un grad la un alt grad (vă reamintesc: în acest caz, indicatorii sunt adunați). Dar nu a trebuit să „întorc” fracțiile - poate pentru cineva va fi mai ușor. :)

În orice caz, ecuația exponențială originală va fi rescrisă astfel:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Deci, se dovedește că ecuația inițială este chiar mai ușor de rezolvat decât cea considerată anterior: aici nici măcar nu trebuie să evidențiați o expresie stabilă - totul a fost redus de la sine. Rămâne doar să ne amintim că $1=((5)^(0))$, de unde obținem:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Asta e toata solutia! Am primit răspunsul final: $x=-2$. În același timp, aș dori să remarc un truc care a simplificat foarte mult toate calculele pentru noi:

În ecuațiile exponențiale, asigurați-vă că scăpați de fracții zecimale, convertiți-le la normal. Acest lucru vă va permite să vedeți aceleași baze ale gradelor și să simplificați foarte mult soluția.

Să trecem la mai multe ecuații complexe, în care există baze diferite, care în general nu se reduc unele la altele cu ajutorul grade.

Folosind proprietatea exponentului

Permiteți-mi să vă reamintesc că avem două ecuații mai deosebit de dure:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Principala dificultate aici este că nu este clar ce și pe ce bază să conducă. Unde setați expresii? Unde sunt temeiurile comune? Nu există nimic din toate acestea.

Dar să încercăm să mergem în altă direcție. Dacă nu există baze identice gata făcute, puteți încerca să le găsiți prin factorizarea bazelor disponibile.

Să începem cu prima ecuație:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Dar puteți face opusul - alcătuiți numărul 21 din numerele 7 și 3. Este deosebit de ușor să faceți acest lucru în stânga, deoarece indicatorii ambelor grade sunt aceiași:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Asta e tot! Ai scos exponentul din produs și ai obținut imediat o ecuație frumoasă care poate fi rezolvată în câteva rânduri.

Acum să ne ocupăm de a doua ecuație. Aici totul este mult mai complicat:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

În acest caz, fracțiile s-au dovedit a fi ireductibile, dar dacă ceva ar putea fi redus, asigurați-vă că îl reduceți. Acest lucru va duce adesea la motive interesante cu care puteți lucra deja.

Din păcate, nu am venit cu nimic. Dar vedem că exponenții din stânga în produs sunt opuși:

Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru a scăpa de semnul minus din exponent, trebuie doar să „întoarceți” fracția. Deci, să rescriem ecuația inițială:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

În a doua linie, doar am încadrat totalul din produs conform regulii $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, iar în acesta din urmă au înmulțit pur și simplu numărul 100 cu o fracție.

Acum rețineți că numerele din stânga (la bază) și din dreapta sunt oarecum similare. Cum? Da, evident: sunt puteri de același număr! Avem:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac((((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \dreapta))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dreapta))^(2)). \\\end(align)\]

Astfel, ecuația noastră va fi rescrisă după cum urmează:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \dreapta))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right)))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

În același timp, în dreapta, puteți obține și o diplomă cu aceeași bază, pentru care este suficient doar să „întoarceți” fracția:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

În cele din urmă, ecuația noastră va lua forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Asta e toata solutia. Ideea sa principală se rezumă la faptul că, chiar și din motive diferite, încercăm prin cârlig sau prin escroc să reducem aceste motive la același. În aceasta suntem ajutați de transformări elementare ale ecuațiilor și regulile de lucru cu puteri.

Dar ce reguli și când să folosiți? Cum să înțelegeți că într-o ecuație trebuie să împărțiți ambele părți cu ceva, iar în alta - să descompuneți baza funcției exponențiale în factori?

Răspunsul la această întrebare va veni odată cu experiența. Încearcă-ți mâna la început ecuații simple, iar apoi complică treptat sarcinile - și foarte curând abilitățile tale vor fi suficiente pentru a rezolva orice ecuație exponențială din aceeași UTILIZARE sau orice muncă independentă / de testare.

Și pentru a vă ajuta în această sarcină dificilă, vă sugerez să descărcați un set de ecuații pe site-ul meu pentru o soluție independentă. Toate ecuațiile au răspunsuri, așa că vă puteți verifica întotdeauna.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Este important.

Iată-te exemple de ecuații exponențiale:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notă! În bazele de grade (mai jos) - doar numere. LA indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu x. Dacă, dintr-o dată, un x apare în ecuație în altă parte decât indicatorul, de exemplu:

aceasta va fi o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare de rezolvare. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.

De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom analiza.

Rezolvarea celor mai simple ecuații exponențiale.

Să începem cu ceva foarte elementar. De exemplu:

Chiar și fără nicio teorie, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nu există alte role de valoare x. Și acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:

Ce am făcut? Noi, de fapt, tocmai am aruncat aceleași funduri (triple). Complet aruncat afară. Și, ceea ce îți place, lovește-te!

Într-adevăr, dacă în ecuația exponențială din stânga și din dreapta sunt aceeași numere în orice grad, aceste numere pot fi eliminate și pot fi egale cu exponenți. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. E bine, nu?)

Cu toate acestea, să ne amintim în mod ironic: poti scoate bazele doar atunci cand numerele de baza din stanga si dreapta sunt izolate splendid! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:

2 x +2 x + 1 = 2 3 sau

Nu poți elimina dublurile!

Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treci de la rău expresii exponenţiale la ecuații mai simple.

„Iată acele vremuri!” - tu spui. "Cine va da un asemenea primitiv la control si examene!?"

Forțat să fie de acord. Nimeni nu o va face. Dar acum știi unde să mergi când rezolvi exemple confuze. Este necesar să-l aduci în minte, când același număr de bază este în stânga - în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este clasicul matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit ne minte. După regulile matematicii, desigur.

Luați în considerare exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le aduce la cel mai simplu. Să-i numim ecuații exponențiale simple.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt actiuni cu puteri. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.

La acțiunile cu grade, trebuie să adăugați observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie aceleasi numere- motive? Deci, le căutăm în exemplu într-o formă explicită sau criptată.

Să vedem cum se face acest lucru în practică?

Să ne dăm un exemplu:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prima privire la temeiuri. Ei... Sunt diferiti! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a fi descurajat. Este timpul să ne amintim asta

Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:

8 x+1 = (2 3) x+1

Dacă ne amintim formula din acțiuni cu puteri:

(a n) m = a nm ,

in general functioneaza excelent:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Exemplul original arată astfel:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Noi transferam 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat acțiunile elementare ale matematicii!), obținem:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:

Rezolvăm acest monstru și obținem

Acesta este răspunsul corect.

În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificatîn opt, deuce criptat. Această tehnică (codificarea bazelor comune sub numere diferite) este un truc foarte popular în ecuațiile exponențiale! Da, chiar și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe o bucată de hârtie, și atât. De exemplu, toată lumea poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 se va dovedi dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des este necesar să nu ridicați la o putere, ci invers ... ce număr în ce măsură se ascunde în spatele numărului 243 sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu te va ajuta aici.

Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, da... Să exersăm?

Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numere:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Răspunsuri (în mizerie, desigur!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Dacă te uiți cu atenție, poți vedea un fapt ciudat. Există mai multe răspunsuri decât întrebări! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6 , 4 3 , 8 2 sunt toate 64.

Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre cunoașterea numerelor.) Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale, aplicăm întregul stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv din clasele mijlocii inferioare. Nu ai mers direct la liceu, nu?

De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze foarte des ajută (bună ziua a 7-a!). Să vedem un exemplu:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Și din nou, prima privire - pe teren! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Și vrem ca ei să fie la fel. Ei bine, în acest caz, dorința este destul de fezabilă!) Pentru că:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Conform acelorași reguli pentru acțiunile cu grade:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

E grozav, poți scrie:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Am dat un exemplu din aceleași motive. Deci, ce urmează!? Trei nu pot fi aruncați afară... O fundătură?

Deloc. Amintind cea mai universală și puternică regulă de decizie toate sarcini de matematica:

Dacă nu știi ce să faci, fă ce poți!

Uite, totul este format).

Ce este în această ecuație exponențială poate sa do? Da, partea stângă cere direct paranteze! Factorul comun de 3 2x sugerează clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplul este din ce în ce mai bun!

Reamintim că pentru a elimina bazele avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Ne deranjează numărul 70. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:

Op-pa! Totul a fost bine!

Acesta este răspunsul final.

Se întâmplă, totuși, să se obțină taxiul pe aceleași motive, dar lichidarea lor nu. Acest lucru se întâmplă în ecuații exponențiale de alt tip. Să luăm acest tip.

Modificarea variabilei în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Să rezolvăm ecuația:

4 x - 3 2 x +2 = 0

În primul rând - ca de obicei. Să trecem la bază. Către zece.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtinem ecuatia:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Și aici vom spânzura. Trucurile anterioare nu vor funcționa, indiferent cum le-ai întoarce. Va trebui să luăm din arsenalul unui alt mod puternic și versatil. Se numeste substituție variabilă.

Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru, 2 x), scriem alta, mai simplă (de exemplu, t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!

Asa ca lasa

Apoi 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Inlocuim in ecuatia noastra toate puterile cu x cu t:

Ei bine, răsare?) Ecuații cuadratice nu ai uitat inca? Rezolvăm prin discriminant, obținem:

Aici, principalul lucru este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă ... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de x, nu de t. Ne întoarcem la X, adică. făcând un înlocuitor. Mai întâi pentru t 1:

Acesta este,

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:

Hm... Stânga 2 x, Dreapta 1... Un cârlig? Da, deloc! Este suficient să ne amintim (din acțiuni cu grade, da...) că o unitate este orice număr la zero. Orice. Orice ai nevoie, îl vom pune. Avem nevoie de doi. Mijloace:

Acum asta e tot. Am 2 rădăcini:

Acesta este răspunsul.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la final, se obține uneori o expresie incomodă. Tip:

De la șapte, un deuce printr-un grad simplu nu funcționează. Nu sunt rude... Cum pot fi aici? Cineva poate fi confuz ... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul "Ce este un logaritm?" , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă răspunsul absolut corect:

Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” de la examen. Este necesar un anumit număr. Dar în sarcinile „C” - ușor.

Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să-l evidențiem pe cel principal.

Sfaturi practice:

1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Să vedem dacă nu se pot face aceeași. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ actiuni cu puteri. Nu uitați că și numerele fără x pot fi transformate în puteri!

2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când sunt stânga și dreapta aceeași numere în orice grad. Folosim actiuni cu puteriși factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în numere - numărăm.

3. Dacă al doilea sfat nu a funcționat, încercăm să aplicăm substituția variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care este ușor de rezolvat. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la un pătrat.

4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști gradele unor numere „din vedere”.

Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să rezolvi puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.

Rezolvați ecuații exponențiale:

Mai dificil:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Găsiți produsul rădăcinilor:

2 3-x + 2 x = 9

S-a întâmplat?

In regula, atunci cel mai greu exemplu(hotărât, totuși, în minte...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de trage de dificultate crescută. Voi sugera că în acest exemplu, ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor sarcinilor matematice salvează.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un exemplu este mai simplu, pentru relaxare):

9 2 x - 4 3 x = 0

Si pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da Da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. Și ce să le considerăm, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, este nevoie de ingeniozitate... Și da, clasa a șaptea te va ajuta (acesta este un indiciu!).

Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):

unu; 2; 3; patru; nu există soluții; 2; -2; -5; patru; 0.

Este totul reușit? Excelent.

Există o problemă? Nici o problemă! În Secțiunea Specială 555, toate aceste ecuații exponențiale sunt rezolvate cu explicatii detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu numai cu acestea.)

O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție, am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.