Formules trigonométriques de base - calcul des valeurs des expressions trigonométriques. Publications taguées "simplifier l'expression trigonométrique"

A votre demande.

6. Simplifiez l'expression :

Parce que les cofonctions des angles complémentaires jusqu'à 90° sont égales, puis on remplace sin50° au numérateur de la fraction par cos40° et on applique la formule du sinus d'un argument double au numérateur. On obtient 5sin80° au numérateur. Remplaçons sin80° par cos10°, ce qui permettra de réduire la fraction.

Formules appliquées : 1) sinα = cos(90°-α) ; 2) sin2α=2sinαcosα.

7. DANS progression arithmétique, dont la différence est 12 et le huitième terme est 54, trouvez le nombre de termes négatifs.

Plan de solutions. Créons une formule pour le terme général de cette progression et découvrons à quelles valeurs de n termes négatifs seront obtenues. Pour ce faire, il faudra trouver le premier terme de la progression.

On a d=12, a 8 =54. En utilisant la formule a n =a 1 +(n-1)∙d on écrit :

un 8 = un 1 +7d. Remplaçons les données disponibles. 54=une 1 +7∙12 ;

un 1 =-30. Remplaçons cette valeur dans la formule a n =a 1 +(n-1)∙d

un n =-30+(n-1)∙12 ou un n =-30+12n-12. Simplifions : a n =12n-42.

On recherche le nombre de termes négatifs, il faut donc résoudre l'inégalité :

un<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12h<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Trouvez la plage de valeurs de la fonction suivante : y=x-|x|.

Ouvrons les supports modulaires. Si x≥0, alors y=x-x ⇒ y=0. Le graphique sera l’axe Ox à droite de l’origine. Si x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Trouvez l'aire de la surface latérale d'un cône circulaire droit si sa génératrice est de 18 cm et l'aire de sa base est de 36 cm 2 .

On considère un cône de section axiale MAV. Générateur VM=18, S principal. =36π. On calcule l'aire de la surface latérale du cône à l'aide de la formule : côté S. =πRl, où l est la génératrice et selon la condition est égal à 18 cm, R est le rayon de la base, on le trouvera grâce à la formule : S cr. = πR 2 . Nous avons S cr. = S basique = 36π. Donc πR 2 =36π ⇒ R=6.

Puis côté S. =π∙6∙18 ⇒ Côté S. =108πcm2.

12. Résoudre une équation logarithmique. Une fraction est égale à 1 si son numérateur est égal à son dénominateur, c'est-à-dire

log(x 2 +5x+4)=2logx pour logx≠0. On applique au côté droit de l'égalité la propriété de la puissance d'un nombre sous le signe du logarithme : lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. Ces logarithmes décimaux sont égaux, donc les nombres sous les signes du logarithme sont égaux , donc:

x 2 +5x+4=x 2, donc 5x=-4 ; on obtient x=-0,8. Cependant, cette valeur ne peut pas être prise, puisque seuls les nombres positifs peuvent être sous le signe du logarithme, cette équation n'a donc pas de solution. Note. Il ne faut pas trouver ODZ au début de la décision (perdez votre temps !), il vaut mieux vérifier (comme nous le faisons actuellement) à la fin.

13. Trouvez la valeur de l'expression (x o – y o), où (x o; y o) est la solution du système d'équations :

14. Résous l'équation:

Si on divise par 2 et le numérateur et le dénominateur de la fraction, vous découvrirez la formule de la tangente d'un angle double. Le résultat est une équation simple : tg4x=1.

15. Trouvez la dérivée de la fonction : f(x)=(6x 2 -4x) 5.

On nous donne une fonction complexe. Nous le définissons en un mot : c'est le degré. Ainsi, selon la règle de différenciation d'une fonction complexe, on trouve la dérivée du degré et on la multiplie par la dérivée de la base de ce degré selon la formule :

(u n)’ = n ∙ u n -1 ∙ toi'.

f'(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Il faut trouver f '(1) si la fonction

17. Dans un triangle équilatéral, la somme de toutes les bissectrices est de 33√3 cm. Trouvez l'aire du triangle.

La bissectrice d'un triangle équilatéral est à la fois la médiane et l'altitude. Ainsi, la longueur de la hauteur BD de ce triangle est égale à

Trouvons le côté AB du rectangulaire Δ ABD. Puisque sin60° = BD : AB, alors AB = BD : sin60°.

18. Un cercle est inscrit dans un triangle équilatéral dont la hauteur est de 12 cm. Trouvez l'aire du cercle.

Le cercle (O; OD) est inscrit dans l'équilatéral Δ ABC. L'altitude BD est aussi une bissectrice et une médiane, et le centre du cercle, le point O, se trouve sur BD.

O – le point d'intersection des hauteurs, des bissectrices et des médianes divise la médiane BD dans un rapport de 2:1, à partir du sommet. Par conséquent, OD=(1/3)BD=12:3=4. Rayon du cercle R=OD=4 cm Aire du cercle S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Les bords latéraux d’une pyramide quadrangulaire régulière mesurent 9 cm et le côté de la base mesure 8 cm. Trouvez la hauteur de la pyramide.

La base d'une pyramide quadrangulaire régulière est le carré ABCD, la base de la hauteur MO est le centre du carré.

20. Simplifier:

Au numérateur, le carré de la différence est additionné.

Nous factorisons le dénominateur en utilisant la méthode de regroupement des termes.

21. Calculer:

Pour pouvoir extraire une racine carrée arithmétique, l’expression radicale doit être un carré parfait. Représentons l'expression sous le signe racine sous la forme de la différence au carré de deux expressions selon la formule :

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, en supposant que a 2 +b 2 =10.

22. Résoudre l'inégalité :

Représentons le côté gauche de l'inégalité comme un produit. La somme des sinus de deux angles est égale au double du produit du sinus de la demi-somme de ces angles et du cosinus de la demi-différence de ces angles:

On a:

Résolvons cette inégalité graphiquement. Nous sélectionnons les points du graphique y=coût qui se trouvent au-dessus de la ligne droite et déterminons les abscisses de ces points (indiquées par un ombrage).

23. Trouvez toutes les primitives de la fonction : h(x)=cos 2 x.

Transformons cette fonction en abaissant son degré à l'aide de la formule :

1+cos2α=2cos 2α. On obtient la fonction :

24. Trouver les coordonnées du vecteur

25. Insérez des signes arithmétiques au lieu d'astérisques pour obtenir la bonne égalité : (3*3)*(4*4) = 31 – 6.

Nous raisonnons : le nombre doit être 25 (31 – 6 = 25). Comment obtenir ce nombre à partir de deux « trois » et deux « quatre » à l'aide de signes d'action ?

Bien sûr que c'est : 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25. Réponse E).

La leçon vidéo « Simplifier les expressions trigonométriques » est conçue pour développer les compétences des élèves dans la résolution de problèmes trigonométriques en utilisant les identités trigonométriques de base. Au cours de la leçon vidéo, les types d'identités trigonométriques et des exemples de résolution de problèmes les utilisant sont discutés. En utilisant des aides visuelles, il est plus facile pour l’enseignant d’atteindre les objectifs de la leçon. Une présentation vivante du matériel aide à mémoriser les points importants. L'utilisation d'effets d'animation et de voix off permet de remplacer complètement l'enseignant au stade de l'explication de la matière. Ainsi, en utilisant cette aide visuelle dans les cours de mathématiques, l'enseignant peut augmenter l'efficacité de l'enseignement.

Au début de la leçon vidéo, son sujet est annoncé. On rappelle ensuite les identités trigonométriques étudiées précédemment. L'écran affiche les égalités sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, où t≠π/2+πk pour kϵZ, ctg t=cos t/sin t, corriger pour t≠πk, où kϵZ, tg t· ctg t=1, pour t≠πk/2, où kϵZ, appelées les identités trigonométriques de base. Il est à noter que ces identités sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes où il est nécessaire de prouver l'égalité ou de simplifier une expression.

Ci-dessous, nous examinons des exemples d'application de ces identités dans la résolution de problèmes. Premièrement, il est proposé d’envisager de résoudre des problèmes de simplification d’expressions. Dans l'exemple 1, il faut simplifier l'expression cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Pour résoudre l’exemple, retirez d’abord le facteur commun cos 2 t entre parenthèses. À la suite de cette transformation entre parenthèses, on obtient l'expression 1- cos 2 t, dont la valeur de l'identité principale de la trigonométrie est égale à sin 2 t. Après avoir transformé l'expression, il est évident qu'un autre facteur commun péché 2 t peut être retiré entre parenthèses, après quoi l'expression prend la forme péché 2 t(sin 2 t+cos 2 t). De la même identité de base on dérive la valeur de l'expression entre parenthèses égale à 1. Par simplification, on obtient cos 2 t- cos 4 t+ péché 4 t= péché 2 t.

Dans l’exemple 2, l’expression cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) doit être simplifiée. Étant donné que les numérateurs des deux fractions contiennent l’expression coût, celle-ci peut être retirée des parenthèses comme facteur commun. Ensuite, les fractions entre parenthèses sont réduites à un dénominateur commun en multipliant (1- sint)(1+ sint). Après avoir apporté des termes similaires, le numérateur reste 2 et le dénominateur 1 - sin 2 t. Sur le côté droit de l'écran, l'identité trigonométrique de base sin 2 t+cos 2 t=1 est rappelée. En l'utilisant, on trouve le dénominateur de la fraction cos 2 t. Après réduction de la fraction, nous obtenons une forme simplifiée de l’expression coût/(1- sint)+ coût/(1+ sint)=2/coût.

Ensuite, nous considérons des exemples de preuves d'identités qui utilisent les connaissances acquises sur les identités de base de la trigonométrie. Dans l'exemple 3, il faut prouver l'identité (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Le côté droit de l'écran affiche trois identités qui seront nécessaires pour la preuve - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t et tg t=sin t/cost t avec restrictions. Pour prouver l'identité, les parenthèses sont d'abord ouvertes, après quoi un produit est formé qui reflète l'expression de l'identité trigonométrique principale tg t·ctg t=1. Ensuite, selon l'identité issue de la définition de la cotangente, ctg 2 t est transformé. À la suite des transformations, l'expression 1-cos 2 t est obtenue. En utilisant l'identité principale, on retrouve le sens de l'expression. Ainsi, il a été prouvé que (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Dans l'exemple 4, vous devez trouver la valeur de l'expression tg 2 t+ctg 2 t si tg t+ctg t=6. Pour calculer l'expression, mettez d'abord au carré les côtés droit et gauche de l'égalité (tg t+ctg t) 2 =6 2. La formule de multiplication abrégée est rappelée sur le côté droit de l'écran. Après avoir ouvert les parenthèses sur le côté gauche de l'expression, la somme tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t est formée, pour transformer laquelle vous pouvez appliquer l'une des identités trigonométriques tg t·ctg t=1 , dont la forme est rappelée sur le côté droit de l'écran. Après transformation, on obtient l'égalité tg 2 t+ctg 2 t=34. Le côté gauche de l’égalité coïncide avec la condition du problème, donc la réponse est 34. Le problème est résolu.

La leçon vidéo « Simplification des expressions trigonométriques » est recommandée pour une utilisation dans un cours de mathématiques scolaire traditionnel. Le matériel sera également utile aux enseignants dispensant un enseignement à distance. Afin de développer des compétences dans la résolution de problèmes trigonométriques.

DÉCODAGE DE TEXTE :

"Simplification des expressions trigonométriques."

Égalités

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus carré te plus cosinus carré te est égal à un)

2)tgt =, pour t ≠ + πk, kϵZ (la tangente te est égale au rapport du sinus te au cosinus te avec te différent de pi par deux plus pi ka, ka appartient à zet)

3)ctgt = , pour t ≠ πk, kϵZ (la cotangente te est égale au rapport du cosinus te au sinus te avec te différent de pi ka, ka appartient à zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 pour t ≠ , kϵZ (le produit de la tangente te par la cotangente te est égal à un lorsque te n'est pas égal au pic ka, divisé par deux, ka appartient à zet)

sont appelées identités trigonométriques de base.

Ils sont souvent utilisés pour simplifier et prouver des expressions trigonométriques.

Examinons des exemples d'utilisation de ces formules pour simplifier les expressions trigonométriques.

EXEMPLE 1. Simplifiez l'expression : cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expression un cosinus au carré te moins cosinus du quatrième degré te plus sinus du quatrième degré te).

Solution. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = péché 2 t 1= péché 2 t

(on retire le facteur commun cosinus carré te, entre parenthèses on obtient la différence entre l'unité et le cosinus carré te, qui est égal au sinus carré te par la première identité. On obtient la somme de la quatrième puissance sinus te du produit cosinus carré te et sinus carré te Nous retirons le facteur commun sinus carré te en dehors des parenthèses, entre parenthèses nous obtenons la somme des carrés du cosinus et du sinus, qui, selon l'identité trigonométrique de base, est égale à un. . En conséquence, nous obtenons le carré du sinus te).

EXEMPLE 2. Simplifiez l'expression : + .

(l'expression est la somme de deux fractions au numérateur du premier cosinus te au dénominateur un moins le sinus te, au numérateur du deuxième cosinus te au dénominateur du deuxième plus le sinus te).

(Retirons le facteur commun cosinus te des parenthèses, et entre parenthèses nous le ramènerons à un dénominateur commun, qui est le produit de un moins sinus te par un plus sinus te.

Au numérateur on obtient : un plus sinus te plus un moins sinus te, on donne les semblables, le numérateur est égal à deux après avoir ramené les semblables.

Au dénominateur, vous pouvez appliquer la formule de multiplication abrégée (différence des carrés) et obtenir la différence entre l'unité et le carré du sinus te, qui, selon l'identité trigonométrique de base

égal au carré du cosinus te. Après réduction par le cosinus te on obtient la réponse finale : deux divisé par le cosinus te).

Examinons des exemples d'utilisation de ces formules lors de la preuve d'expressions trigonométriques.

EXEMPLE 3. Prouver l'identité (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (le produit de la différence entre les carrés de la tangente te et du sinus te par le carré de la cotangente te est égal au carré de sine te).

Preuve.

Transformons le côté gauche de l'égalité :

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = péché 2 t

(Ouvrons les parenthèses ; d'après la relation obtenue précédemment, on sait que le produit des carrés de la tangente te par la cotangente te est égal à un. Rappelons que la cotangente te est égale au rapport du cosinus te par le sinus te, qui signifie que le carré de la cotangente est le rapport du carré du cosinus te par le carré du sinus te.

Après réduction par le sinus carré te, nous obtenons la différence entre l'unité et le cosinus carré te, qui est égal au sinus carré te). Q.E.D.

EXEMPLE 4. Trouvez la valeur de l'expression tg 2 t + ctg 2 t si tgt + ctgt = 6.

(la somme des carrés de la tangente te et de la cotangente te, si la somme de la tangente et de la cotangente est six).

Solution. (objectif + objectif) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ cible ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mettons au carré les deux côtés de l'égalité originale :

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (le carré de la somme de la tangente te et de la cotangente te est égal à six au carré). Rappelons la formule de multiplication abrégée : Le carré de la somme de deux quantités est égal au carré de la première plus deux fois le produit de la première par la seconde plus le carré de la seconde. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 On obtient tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangente au carré te plus le double du produit de la tangente te par cotangente te plus cotangente au carré te est égal trente-six) .

Puisque le produit de la tangente te et de la cotangente te est égal à un, alors tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (la somme des carrés de la tangente te et de la cotangente te et deux est égale à trente-six),

Leçon 1

Sujet: 11e année (préparation à l'examen d'État unifié)

Simplifier les expressions trigonométriques.

Résoudre des équations trigonométriques simples. (2 heures)

Objectifs:

Systématiser, généraliser, élargir les connaissances et les compétences des élèves liées à l'utilisation de formules trigonométriques et à la résolution d'équations trigonométriques simples.

Matériel pour le cours :

Structure de la leçon :

Moment d'organisation
Tests sur ordinateurs portables. La discussion des résultats.
Simplifier les expressions trigonométriques
Résoudre des équations trigonométriques simples
Travail indépendant.
Résumé de la leçon. Explication du devoir à faire.

1. Moment organisationnel. (2 minutes.)

L'enseignant accueille le public, annonce le sujet de la leçon, lui rappelle que la tâche a été précédemment confiée de répéter des formules trigonométriques et prépare les élèves aux tests.

2. Tests. (15 min + 3 min d'échange)

L'objectif est de tester la connaissance des formules trigonométriques et la capacité de les appliquer. Chaque étudiant dispose d'un ordinateur portable sur son bureau avec une version du test.

Il peut y avoir un certain nombre d'options, je vais en donner un exemple :

Je choisis.

Simplifiez les expressions :

a) identités trigonométriques de base

1. péché 2 3 ans + cos 2 3 ans + 1 ;

b) formules d'addition

3. sin5x - sin3x ;

c) convertir un produit en une somme

6. 2sin8y cos3y ;

d) formules à double angle

7. 2sin5x cos5x ;

e) formules pour les demi-angles

f) formules triple angle

g) substitution universelle

h) réduction de degré

16. cos2 (3x/7) ;

Les élèves voient leurs réponses sur l'ordinateur portable à côté de chaque formule.

Le travail est instantanément vérifié par l'ordinateur. Les résultats sont affichés sur un grand écran à la vue de tous.

De plus, une fois le travail terminé, les bonnes réponses sont affichées sur les ordinateurs portables des étudiants. Chaque élève voit où l'erreur a été commise et quelles formules il doit répéter.

3. Simplification des expressions trigonométriques. (25 minutes)

L'objectif est de répéter, pratiquer et consolider l'utilisation des formules de base de la trigonométrie. Résoudre les problèmes B7 de l'examen d'État unifié.

À ce stade, il est conseillé de diviser la classe en groupes d'élèves forts (travaillant de manière indépendante avec des tests ultérieurs) et d'élèves faibles qui travaillent avec l'enseignant.

Devoir pour étudiants forts (préparé à l'avance sur une base imprimée). L'accent principal est mis sur les formules de réduction et de double angle, selon l'examen d'État unifié 2011.

Simplifier les expressions (pour les étudiants forts) :

Parallèlement, l’enseignant travaille avec des élèves faibles, discutant et résolvant des tâches à l’écran sous la dictée des élèves.

Calculer:

5) péché(270º - α) + cos (270º + α)

Simplifier:

Il était temps de discuter des résultats du travail du groupe fort.

Les réponses apparaissent à l'écran, et également, à l'aide d'une caméra vidéo, les travaux de 5 étudiants différents sont affichés (une tâche pour chacun).

Le groupe faible voit la condition et la méthode de solution. Des discussions et des analyses sont en cours. Grâce à l'utilisation de moyens techniques, cela se produit rapidement.

4. Résoudre des équations trigonométriques simples. (30 minutes.)

Le but est de répéter, systématiser et généraliser la solution des équations trigonométriques les plus simples et d'écrire leurs racines. Solution au problème B3.

Toute équation trigonométrique, quelle que soit la manière dont nous la résolvons, mène à la plus simple.

En accomplissant cette tâche, les élèves doivent prêter attention à l’écriture des racines des équations de cas particuliers et de forme générale et à la sélection des racines dans la dernière équation.

Résoudre des équations :

Notez la plus petite racine positive comme réponse.

5. Travail indépendant (10 min.)

L'objectif est de tester les compétences acquises, d'identifier les problèmes, les erreurs et les moyens de les éliminer.

Un travail à plusieurs niveaux est proposé au choix de l'étudiant.

Option "3"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Simplifiez l'expression 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Résoudre l'équation

Option pour "4"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Résoudre l'équation Notez la plus petite racine positive de votre réponse.

Option "5"

1) Trouver tanα si

2) Trouvez la racine de l'équation Notez la plus petite racine positive comme réponse.

6. Résumé de la leçon (5 min.)

L'enseignant résume le fait que pendant la leçon, ils ont répété et renforcé des formules trigonométriques, résolvant les équations trigonométriques les plus simples.

Les devoirs sont attribués (préparés sur une base imprimée à l'avance) avec un contrôle aléatoire au cours suivant.

Résoudre des équations :

10) Dans votre réponse, indiquez la plus petite racine positive.

Leçon 2

Sujet: 11e année (préparation à l'examen d'État unifié)

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques. Sélection des racines. (2 heures)

Objectifs:

Généraliser et systématiser les connaissances sur la résolution d'équations trigonométriques de divers types.
Favoriser le développement de la pensée mathématique des élèves, de leur capacité à observer, comparer, généraliser et classer.
Encouragez les élèves à surmonter les difficultés du processus d'activité mentale, à la maîtrise de soi et à l'introspection de leurs activités.

Matériel pour le cours : KRMu, des ordinateurs portables pour chaque étudiant.

Structure de la leçon :

Moment d'organisation
Discussion sur d/z et soi-même. travail du dernier cours
Revue des méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
Résoudre des équations trigonométriques
Sélection de racines dans les équations trigonométriques.
Travail indépendant.
Résumé de la leçon. Devoirs.

1. Moment d'organisation (2 min.)

L'enseignant salue le public, annonce le sujet du cours et le plan de travail.

2. a) Analyse des devoirs (5 min.)

Le but est de vérifier l’exécution. Une œuvre est affichée à l'écran à l'aide d'une caméra vidéo, les autres sont collectées sélectivement pour être vérifiées par l'enseignant.

b) Analyse du travail indépendant (3 min.)

L’objectif est d’analyser les erreurs et d’indiquer les moyens de les surmonter.

Les réponses et les solutions sont affichées à l'écran ; les élèves voient leur travail distribué à l'avance. L'analyse se déroule rapidement.

3. Revue des méthodes de résolution d'équations trigonométriques (5 min.)

L'objectif est de rappeler les méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

Demandez aux élèves quelles méthodes ils connaissent pour résoudre des équations trigonométriques. Insistez sur le fait qu'il existe des méthodes dites de base (fréquemment utilisées) :

remplacement variable,
factorisation,
équations homogènes,

et il existe des méthodes appliquées :

utiliser les formules pour convertir une somme en produit et un produit en somme,
selon les formules de réduction du degré,
substitution trigonométrique universelle
introduction d'un angle auxiliaire,
multiplication par une fonction trigonométrique.

Il convient également de rappeler qu’une même équation peut être résolue de différentes manières.

4. Résolution d'équations trigonométriques (30 min.)

L'objectif est de généraliser et de consolider les connaissances et compétences sur ce sujet, pour préparer la solution C1 de l'Examen d'État unifié.

Je considère qu'il est conseillé de résoudre les équations pour chaque méthode avec les étudiants.

L'élève dicte la solution, l'enseignant l'écrit sur la tablette et l'ensemble du processus s'affiche à l'écran. Cela vous permettra de rappeler rapidement et efficacement les éléments précédemment abordés dans votre mémoire.

Résoudre des équations :

1) remplacer la variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorisation 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) équations homogènes sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertir la somme en un produit cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertir le produit en la somme 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) réduction du degré sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) substitution trigonométrique universelle sinx + 5cosx + 5 = 0.

Lors de la résolution de cette équation, il convient de noter que l'utilisation de cette méthode conduit à un rétrécissement de la plage de définition, puisque le sinus et le cosinus sont remplacés par tg(x/2). Par conséquent, avant d'écrire la réponse, vous devez vérifier si les nombres de l'ensemble π + 2πn, n Z sont des chevaux de cette équation.

8) introduction d'un angle auxiliaire √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplication par une fonction trigonométrique cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Sélection des racines des équations trigonométriques (20 min.)

Étant donné que dans des conditions de concurrence féroce lors de l'entrée à l'université, résoudre à lui seul la première partie de l'examen ne suffit pas, la plupart des étudiants doivent prêter attention aux tâches de la deuxième partie (C1, C2, C3).

Par conséquent, le but de cette étape de la leçon est de mémoriser le matériel précédemment étudié et de se préparer à résoudre le problème C1 de l'examen d'État unifié 2011.

Il existe des équations trigonométriques dans lesquelles vous devez sélectionner des racines lors de la rédaction de la réponse. Cela est dû à certaines restrictions, par exemple : le dénominateur de la fraction n'est pas égal à zéro, l'expression sous la racine paire est non négative, l'expression sous le signe du logarithme est positive, etc.

De telles équations sont considérées comme des équations de complexité accrue et dans la version de l'examen d'État unifié, elles se trouvent dans la deuxième partie, à savoir C1.

Résous l'équation:

Une fraction est égale à zéro si alors en utilisant le cercle unité nous sélectionnerons les racines (voir Figure 1)