Kolmioiden jako teräväksi, suorakulmaiseksi ja tylpäksi kolmioksi. Luokittelu kuvasuhteen mukaan jakaa kolmiot skaalaan, tasakylkiseen ja tasakylkiseen. Lisäksi jokainen kolmio kuuluu samanaikaisesti kahdelle. Se voi olla esimerkiksi suorakaiteen muotoinen ja monipuolinen samanaikaisesti.

Kun määrität tyypin kulmien tyypin perusteella, ole erittäin varovainen. Tylsäkulmaista kolmiota kutsutaan sellaiseksi kolmioksi, jossa yksi kulmista on, eli se on yli 90 astetta. Suorakulmainen kolmio voidaan laskea yhdellä suoralla (90 astetta) kulmalla. Kuitenkin, jotta voit luokitella kolmion teräväksi kolmioksi, sinun on varmistettava, että sen kaikki kolme kulmaa ovat teräviä.

Näkymän määritteleminen kolmio kuvasuhteen mukaan sinun on ensin selvitettävä kaikkien kolmen sivun pituudet. Jos sivujen pituuksia ei kuitenkaan ole ehdolla annettu, kulmat voivat auttaa sinua. Kolmio on monipuolinen, jonka kaikki kolme sivua ovat eri pituisia. Jos sivujen pituuksia ei tunneta, kolmio voidaan luokitella skaalautuneeksi, jos sen kaikki kolme kulmaa ovat erilaisia. Skaalakulmainen kolmio voi olla tylppä, suorakulmainen tai teräväkulmainen.

Kolmio on tasakylkinen, jos sen kolme sivua ovat yhtä suuret. Jos sivujen pituuksia ei ole annettu sinulle, ohjaa kaksi yhtä suurta kulmaa. Tasakylkinen kolmio, kuten mittakaavainen kolmio, voi olla tylppä, suorakulmainen ja teräväkulmainen.

Tasasivuinen kolmio voi olla vain sellainen, että sen kaikki kolme sivua ovat yhtä pitkiä. Kaikki sen kulmat ovat myös yhtä suuret keskenään, ja jokainen niistä on 60 astetta. Tästä on selvää, että tasasivuiset kolmiot ovat aina teräväkulmaisia.

Vinkki 2: Kuinka tunnistaa tylppä ja terävä kolmio

Yksinkertaisin monikulmioista on kolmio. Se muodostetaan kolmen pisteen avulla, jotka sijaitsevat samassa tasossa, mutta eivät ole samalla suoralla ja jotka on yhdistetty pareittain segmenteillä. Kolmioita on kuitenkin erilaisia, mikä tarkoittaa, että niillä on erilaiset ominaisuudet.

Ohje

On tapana erottaa kolme tyyppiä: tylppä, akuutti ja suorakaiteen muotoinen. Se on kuin kulmat. Tylsä kolmio on kolmio, jonka yksi kulmista on tylppä. Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin yhdeksänkymmentä astetta mutta pienempi kuin satakahdeksankymmentä. Esimerkiksi kolmiossa ABC kulma ABC on 65°, kulma BCA on 95° ja kulma CAB on 20°. Kulmat ABC ja CAB ovat alle 90°, mutta kulma BCA on suurempi, joten kolmio on tylppä.

Terävä kolmio on kolmio, jonka kaikki kulmat ovat teräviä. Terävä kulma on kulma, joka on pienempi kuin yhdeksänkymmentä ja suurempi kuin nolla astetta. Esimerkiksi kolmiossa ABC kulma ABC on 60°, kulma BCA on 70° ja kulma CAB on 50°. Kaikki kolme kulmaa ovat alle 90°, joten se on kolmio. Jos tiedät, että kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret, se tarkoittaa, että kaikki kulmat ovat myös keskenään yhtä suuret, ja samalla ne ovat yhtä suuria kuin kuusikymmentä astetta. Vastaavasti tällaisen kolmion kaikki kulmat ovat alle yhdeksänkymmentä astetta, ja siksi tällainen kolmio on teräväkulmainen.

Jos kolmiossa yksi kulmista on yhdeksänkymmentä astetta, tämä tarkoittaa, että se ei kuulu laajakulmatyyppiin eikä teräväkulmaiseen tyyppiin. Tämä on suorakulmainen kolmio.

Jos kolmion tyyppi määräytyy kuvasuhteen perusteella, ne ovat tasasivuisia, mittakaavaisia ​​ja tasakylkisiä. Tasasivuisessa kolmiossa kaikki sivut ovat yhtä suuret, ja tämä, kuten huomasit, osoittaa, että kolmio on terävä. Jos kolmiolla on vain kaksi yhtä suurta sivua tai jos sivut eivät ole keskenään yhtä suuria, se voi olla tylppä, suorakulmainen tai teräväkulmainen. Joten näissä tapauksissa on tarpeen laskea tai mitata kulmat ja tehdä johtopäätökset kappaleiden 1, 2 tai 3 mukaisesti.

Liittyvät videot

Lähteet:

• tylppä kolmio

Kahden tai useamman kolmion yhtäläisyys vastaa tapausta, jossa näiden kolmioiden kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret. On kuitenkin olemassa useita yksinkertaisempia kriteerejä tämän tasa-arvon osoittamiseksi.

Tarvitset

• Geometrian oppikirja, paperiarkki, yksinkertainen lyijykynä, astemittari, viivain.

Ohje

Avaa seitsemännen luokan geometrian oppikirja kolmioiden yhtäläisyyden merkkejä käsittelevälle kappaleelle. Näet, että on olemassa useita perusmerkkejä, jotka todistavat kahden kolmion yhtäläisyyden. Jos kaksi kolmiota, joiden yhtäläisyyttä testataan, ovat mielivaltaisia, niille on kolme yhtäläisyyskriteeriä. Jos sellainen tiedetään lisäinformaatio kolmioista, niin kolmea päämerkkiä täydennetään useilla muilla. Tämä pätee esimerkiksi suorakulmaisten kolmioiden yhtäläisyyteen.

Lue ensimmäinen sääntö kolmioiden yhtäläisyydestä. Kuten tiedetään, sen avulla voimme pitää kolmioita samanarvoisina, jos voidaan osoittaa, että mikä tahansa kulma ja kahden kolmion kaksi vierekkäistä sivua ovat yhtä suuret. Ymmärtääksesi tämän lain, piirrä paperiarkille astelevyllä kaksi identtistä tarkkaa kulmaa, jotka muodostuvat kahdesta yhdestä pisteestä lähtevästä säteestä. Mittaa viivaimella samat puolet piirretyn kulman ylhäältä molemmissa tapauksissa. Mittaa kahden muodostetun kolmion kulmat astelevyllä ja varmista, että ne ovat yhtä suuret.

Jotta et turvautuisi sellaisiin käytännön toimenpiteisiin kolmioiden tasa-arvokriteerin ymmärtämiseksi, lue ensimmäisen tasa-arvokriteerin todistus. Tosiasia on, että jokaisella kolmioiden yhtäläisyyttä koskevalla säännöllä on tiukka teoreettinen todiste, ei vain ole kätevää käyttää sitä sääntöjen muistamiseen.

Lue kolmioiden toinen tasa-arvomerkki. Se sanoo, että kaksi kolmiota ovat yhteneväisiä, jos kahden tällaisen kolmion toinen sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa ovat yhteneviä. Muista tämä sääntö kuvittelemalla kolmion piirretty sivu ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa. Kuvittele, että kulmien sivujen pituudet kasvavat vähitellen. Lopulta ne leikkaavat ja muodostavat kolmannen kulman. Tässä henkisessä tehtävässä on tärkeää, että henkisesti kasvatettujen sivujen leikkauspiste ja tuloksena oleva kulma määräytyvät yksiselitteisesti kolmannen sivun ja kahden sen viereisen kulman perusteella.

Jos sinulle ei anneta mitään tietoa tutkittavien kolmioiden kulmista, käytä kolmatta testiä kolmioiden yhtäläisyyteen. Tämän säännön mukaan kahta kolmiota pidetään samanarvoisena, jos yhden niistä kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret kuin toisen vastaavat kolme sivua. Siten tämä sääntö sanoo, että kolmion sivujen pituudet määrittävät yksiselitteisesti kaikki kolmion kulmat, mikä tarkoittaa, että ne määrittävät yksiselitteisesti itse kolmion.

Liittyvät videot

Yksinkertaisin monikulmio, jota koulussa tutkitaan, on kolmio. Se on opiskelijoille ymmärrettävämpää ja siinä on vähemmän vaikeuksia. Huolimatta siitä, että niitä on erilaisia kolmiot, joilla on erityisiä ominaisuuksia.

Mitä muotoa kutsutaan kolmioksi?

Muodostuu kolmesta pisteestä ja janasta. Ensin mainittuja kutsutaan pisteiksi, jälkimmäisiä sivuiksi. Lisäksi kaikki kolme segmenttiä on yhdistettävä siten, että niiden väliin muodostuu kulmia. Tästä syystä hahmon nimi "kolmio".

Erot nimissä kulmissa

Koska ne voivat olla teräviä, tylpäitä ja suoria, kolmioiden tyypit määräytyvät näiden nimien mukaan. Näin ollen tällaisia ​​lukuja on kolme ryhmää.

• Ensimmäinen. Jos kaikki kolmion kulmat ovat teräviä, sitä kutsutaan teräväksi kolmioksi. Kaikki on loogista.

• Toinen. Yksi kulmista on tylppä, joten kolmio on tylppä. Helpompaa ei missään.

• Kolmanneksi. On olemassa 90 astetta vastaava kulma, jota kutsutaan suoraksi kulmaksi. Kolmiosta tulee suorakaiteen muotoinen.

Nimierot sivuilla

Sivujen ominaisuuksista riippuen erotetaan seuraavat kolmiot:

yleinen tapaus on monipuolinen, jossa kaikilla sivuilla on mielivaltainen pituus;

tasakylkiset, joiden kahdella sivulla on samat numeroarvot;

tasasivuinen, sen kaikkien sivujen pituudet ovat samat.

Jos tehtävä ei määritä tietyntyyppistä kolmiota, sinun on piirrettävä mielivaltainen kolmio. Jossa kaikki kulmat ovat teräviä ja sivuilla on eri pituudet.

Kaikille kolmioille yhteiset ominaisuudet

1. Jos lasket yhteen kolmion kaikki kulmat, saat luvun, joka on yhtä suuri kuin 180º. Eikä sillä ole väliä minkälainen se on. Tämä sääntö pätee aina.
2. Kolmion minkä tahansa sivun numeerinen arvo on pienempi kuin kaksi muuta yhteenlaskettua. Lisäksi se on suurempi kuin niiden ero.
3. Jokaisella ulkokulmalla on arvo, joka saadaan lisäämällä kaksi sisäkulmaa, jotka eivät ole sen vieressä. Lisäksi se on aina suurempi kuin viereinen sisäinen.
4. Kolmion pienin sivu on aina pienintä kulmaa vastapäätä. Päinvastoin, jos sivu on suuri, kulma on suurin.

Nämä ominaisuudet ovat aina päteviä riippumatta siitä, minkä tyyppisiä kolmioita tehtävissä tarkastellaan. Kaikki loput johtuvat tietyistä ominaisuuksista.

Tasakylkisen kolmion ominaisuudet

• Pohjan vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret.
• Pohjaan piirretty korkeus on myös mediaani ja puolittaja.
• Sivulle rakennetut korkeudet, mediaanit ja puolittajat kolmion sivut vastaavasti ovat keskenään yhtä suuret.

Tasasivuisen kolmion ominaisuudet

Jos tällainen luku on, niin kaikki hieman yllä kuvatut ominaisuudet pitävät paikkansa. Koska tasakylkinen tulee aina olemaan tasakylkinen. Mutta ei päinvastoin, tasakylkinen kolmio ei välttämättä ole tasasivuinen.

• Kaikki sen kulmat ovat keskenään yhtä suuret ja niiden arvo on 60º.
• Mikä tahansa tasasivuisen kolmion mediaani on sen korkeus ja puolittaja. Ja he ovat kaikki tasa-arvoisia keskenään. Niiden arvojen määrittämiseksi on kaava, joka koostuu sivun ja 3:n neliöjuuren tulosta jaettuna kahdella.

Suorakulmaisen kolmion ominaisuudet

• Kaksi terävää kulmaa laskevat yhteen 90º.
• Hypotenuusan pituus on aina suurempi kuin minkään jalan pituus.
• Hypotenuusaan vedetyn mediaanin numeerinen arvo on yhtä suuri kuin puolet siitä.
• Jalka on sama arvo, jos se on 30º kulman vastapäätä.
• Korkeudella, joka on vedetty ylhäältä arvolla 90º, on tietty matemaattinen riippuvuus jaloista: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / in 2. Tässä: a, c - jalat, n - korkeus.

Ongelmia erityyppisten kolmioiden kanssa

Nro 1. Annettu tasakylkinen kolmio. Sen ympärysmitta on tiedossa ja se on 90 cm. Sen sivut on tunnettava. Lisäehtona: sivupuoli on 1,2 kertaa pienempi kuin pohja.

Kehyksen arvo riippuu suoraan määristä, jotka on löydettävä. Kaikkien kolmen sivun summa antaa 90 cm. Nyt sinun tulee muistaa kolmion merkki, jonka mukaan se on tasakylkinen. Eli molemmat puolet ovat tasa-arvoisia. Voit tehdä yhtälön kahdella tuntemattomalla: 2a + b \u003d 90. Tässä a on sivu, b on kanta.

On lisäehdon aika. Sen jälkeen saadaan toinen yhtälö: b \u003d 1.2a. Voit korvata tämän lausekkeen ensimmäisellä. Osoittautuu: 2a + 1,2a \u003d 90. Muutosten jälkeen: 3,2a \u003d 90. Tästä syystä a \u003d 28,125 (cm). Nyt on helppo selvittää syy. On parasta tehdä tämä toisesta ehdosta: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Voit tarkistaa lisäämällä kolme arvoa: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Selvä.

Vastaus: kolmion sivut ovat 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

Nro 2. Tasasivuisen kolmion sivu on 12 cm. Sinun on laskettava sen korkeus.

Ratkaisu. Vastauksen etsimiseksi riittää palata hetkeen, jossa kolmion ominaisuudet kuvattiin. Tämä on kaava tasasivuisen kolmion korkeuden, mediaanin ja puolittajan löytämiseksi.

n \u003d a * √3 / 2, missä n on korkeus, a on sivu.

Korvaus ja laskeminen antavat seuraavan tuloksen: n = 6 √3 (cm).

Tätä kaavaa ei tarvitse opetella ulkoa. Riittää, kun muistaa, että korkeus jakaa kolmion kahdeksi suorakaiteen muotoiseksi. Lisäksi se osoittautuu jalaksi, ja siinä oleva hypotenuusa on alkuperäisen puoli, toinen jalka on puolikas tunnettu puoli. Nyt sinun on kirjoitettava Pythagoraan lause ja johdettava kaava korkeudelle.

Vastaus: korkeus on 6√3 cm.

Nro 3. MKR on annettu - kolmio, 90 astetta, jossa muodostaa kulman K. Sivut MP ja KR ovat tiedossa, ne ovat vastaavasti 30 ja 15 cm. Sinun on selvitettävä kulman P arvo.

Ratkaisu. Jos piirrät, käy selväksi, että MP on hypotenuusa. Lisäksi se on kaksi kertaa suurempi kuin CD-levyn jalka. Jälleen sinun on käännyttävä ominaisuuksiin. Yksi niistä liittyy vain kulmiin. Siitä on selvää, että KMR:n kulma on 30º. Haluttu kulma P on siis 60º. Tämä seuraa toisesta ominaisuudesta, jonka mukaan kahden terävän kulman summan on oltava 90º.

Vastaus: kulma R on 60º.

Nro 4. Sinun on löydettävä tasakylkisen kolmion kaikki kulmat. Hänestä tiedetään, että ulkoinen kulma kulmasta pohjassa on 110º.

Ratkaisu. Koska vain ulkokulma on annettu, sitä tulee käyttää. Se muodostuu sisäisellä kulmalla. Joten ne lisäävät 180º. Eli kolmion pohjan kulma on 70º. Koska se on tasakylkinen, toisella kulmalla on sama arvo. On vielä laskettava kolmas kulma. Kaikille kolmioille yhteisen ominaisuuden mukaan kulmien summa on 180º. Joten kolmas määritellään 180º - 70º - 70º = 40º.

Vastaus: kulmat ovat 70º, 70º, 40º.

Nro 5. Tiedetään, että tasakylkisessä kolmiossa kantaa vastapäätä oleva kulma on 90º. Pohjaan on merkitty piste. Jana, joka yhdistää sen suoralla kulmalla, jakaa sen suhteessa 1:4. Sinun on tiedettävä pienemmän kolmion kaikki kulmat.

Ratkaisu. Yksi kulmista voidaan määrittää välittömästi. Koska kolmio on suorakulmainen ja tasakylkinen, sen pohjalla olevat ovat 45º, eli 90º / 2.

Toinen niistä auttaa löytämään ehdossa tunnetun suhteen. Koska se on yhtä kuin 1-4, niin osat, joihin se on jaettu, ovat vain 5. Joten saadaksesi selville kolmion pienemmän kulman, tarvitset 90º / 5 = 18º. Vielä on selvitettävä kolmas. Tätä varten sinun on vähennettävä 180º (kolmion kaikkien kulmien summa) 45º ja 18º. Laskelmat ovat yksinkertaisia, ja se osoittautuu: 117º.

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit

Kolmiotyypit

Tarkastellaan kolmea pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja kolmea segmenttiä, jotka yhdistävät nämä pisteet (kuva 1).

Kolmiota kutsutaan osaksi tasoa, jota nämä janat rajoittavat, janoja kutsutaan kolmion sivuiksi ja osien päitä (kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla) kutsutaan kolmion kärjeksi.

Taulukossa 1 on lueteltu kaikki mahdolliset kolmiot riippuen niiden kulmien koosta .

Taulukko 1 - Kolmioiden tyypit kulmien koosta riippuen

Piirustus	kolmion tyyppi	Määritelmä
	Akuutti kolmio	Kolmio, jolla on kaikki kulmat ovat teräviä , kutsutaan akuutiksi
	Suorakulmainen kolmio	Kolmio, jolla on yksi oikeista kulmista , kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi
	tylppä kolmio	Kolmio, jolla on yksi kulmista on tylppä , kutsutaan tylpäksi

Akuutti kolmio

Määritelmä: Kolmio, jolla on kaikki kulmat ovat teräviä , kutsutaan akuutiksi

Suorakulmainen kolmio

Määritelmä: Kolmio, jolla on yksi oikeista kulmista , kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi

tylppä kolmio

Määritelmä: Kolmio, jolla on yksi kulmista on tylppä , kutsutaan tylpäksi

Riippuen sivujen pituudesta Kolmioita on kahta tärkeää tyyppiä.

Taulukko 2 - Tasakylkiset ja tasasivuiset kolmiot

Piirustus	kolmion tyyppi	Määritelmä
	Tasakylkinen kolmio	sivut, ja kolmatta sivua kutsutaan tasakylkisen kolmion kannaksi
	Tasasivuinen (oikea) kolmio	Kolmiota, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret, kutsutaan tasasivuiseksi tai suorakulmaiseksi kolmioksi.

Tasakylkinen kolmio

Määritelmä: Kolmiota, jossa on kaksi yhtäläistä sivua, kutsutaan tasakylkiseksi kolmioksi. Tässä tapauksessa kutsutaan kahta yhtä suurta puolta sivut, ja kolmatta sivua kutsutaan tasakylkisen kolmion kannaksi

Tasasivuinen (säännöllinen) kolmio

Määritelmä: Kolmiota, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret, kutsutaan tasasivuiseksi tai suorakulmaiseksi kolmioksi.

Kolmioiden tasa-arvon merkit

Kolmioita kutsutaan yhtäläisiksi, jos ne voidaan yhdistää peittoon .

Taulukko 3 näyttää kolmioiden tasa-arvon merkkejä.

Taulukko 3 - Kolmioiden tasa-arvomerkit

Piirustus	Ominaisuuden nimi	Ominaisuuden muotoilu
	Tekijä: kaksi sivua ja niiden välinen kulma
	Kolmioiden tasa-arvon merkki Tekijä: sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa
	Kolmioiden tasa-arvon merkki Tekijä: kolme puoluetta

Kolmioiden tasa-arvon merkki kahdelta puolelta ja niiden välisestä kulmasta

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä

Kolmioiden tasa-arvon merkki sivua ja kahta sen viereistä kulmaa pitkin

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden kolmion sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat yhtä suuret

Kolmioiden tasa-arvon merkki kolmelta puolelta

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kolme sivua, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneviä

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit

Suorakulmaisten kolmioiden sivuille on tapana käyttää seuraavia nimiä.

Hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion vastakkainen sivu oikea kulma(Kuva 2), kahta muuta sivua kutsutaan jaloiksi.

Taulukko 4 - Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit

Piirustus	Ominaisuuden nimi	Ominaisuuden muotoilu
	Tekijä: kaksi jalkaa
	Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki Tekijä: jalka ja viereinen terävä kulma
	Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki Tekijä: jalka ja vastakkainen terävä kulma	Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret
	Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki Tekijä: hypotenuusa ja terävä kulma	Jos yhden suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret
	Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki Tekijä: jalka ja hypotenuusa	Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja hypotenuusa ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja hypotenuusa, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkki kahdella jalalla

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden suorakulmaisen kolmion kaksi haaraa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion kaksi jalkaa, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki jalkaa ja sen vieressä olevaa terävää kulmaa pitkin

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki jalkaa pitkin ja vastakkaiseen terävään kulmaan

Kolmio on monikulmio, jossa on 3 sivua (tai 3 kulmaa). Kolmion sivut on usein merkitty pienillä kirjaimilla, jotka vastaavat suuria kirjaimia, jotka osoittavat vastakkaisia ​​pisteitä.

Terävä kolmio Kolmiota kutsutaan, jos kaikki kolme kulmaa ovat teräviä.

tylppä kolmio Kutsutaan kolmio, jonka yksi kulmista on tylppä.

suorakulmainen kolmio kutsutaan kolmiota, jossa yksi kulmista on suora, toisin sanoen se on yhtä suuri kuin 90 °; kutsutaan sivuja a, b, jotka muodostavat suoran kulman jalat; sivua c, joka on oikean kulman vastakohta, kutsutaan hypotenuusa.

Tasakylkinen kolmio kutsutaan kolmiota, jossa sen kaksi sivua ovat yhtä suuret (a \u003d c); näitä yhtäläisiä puolia kutsutaan lateraalinen, 3. puolta kutsutaan kolmion pohja.

tasasivuinen kolmio kutsutaan kolmiota, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret (a \u003d b \u003d c). Siinä tapauksessa mikään sen sivuista (abc) ei ole yhtä suuri kolmiossa, niin tämä on epätasainen kolmio.

Kolmioiden tärkeimmät ominaisuudet

Missä tahansa kolmiossa:

Suurempi kulma on isompaa sivua vastapäätä ja päinvastoin.

Samat kulmat ovat vastakkain yhtäläisiä puolia ja päinvastoin. Eli tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat yhtä suuret.

Kolmion kulmien summa on 180°.

Jatkamalla yhtä kolmion sivuista, saamme ulkokulman. Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin niiden sisäkulmien summa, jotka eivät ole sen vieressä.

Ei ole väliä, kumpi kolmion puoli on pienempi kuin kahden muun sivun summa ja suurempi kuin niiden erotus (a b - c; b a - c; c a - b).

Kolmioiden tasa-arvon merkit

Kolmiot ovat yhteneväisiä, jolloin ne ovat vastaavasti yhtä suuret:

kaksi sivua ja niiden välinen kulma;

kaksi kulmaa ja niiden vieressä oleva sivu;

kolme puolta.

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit

Kaksi suorakulmaista kolmiota ovat yhtä suuret, jolloin saadaan yksi seuraavista kriteereistä:

heidän jalkansa ovat yhtä suuret;

ensimmäisen kolmion jalka ja hypotenuusa ovat yhtä suuret kuin toisen jalka ja hypotenuusa;

ensimmäisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma ovat yhtä suuret kuin toisen hypotenuusa ja terävä kulma;

ensimmäisen kolmion jalka ja viereinen terävä kulma ovat yhtä suuret kuin toisen jalka ja viereinen terävä kulma;

1. kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma ovat yhtä suuret kuin toisen jalka ja vastakkainen terävä kulma.

Korkeuskolmio on kohtisuora, joka on pudonnut mistä tahansa kärjestä vastakkaiselle puolelle (tai sen jatkoon). Tätä puolta kutsutaan kolmion pohja. Kolmion kolme korkeutta leikkaavat aina yhdessä pisteessä, jota kutsutaan kolmion ortokeskiö.

Terävän kolmion ortosentti sijoitetaan kolmion sisään ja tylpän kolmion ortosentti sen ulkopuolelle; Suorakulmaisen kolmion ortosentti osuu yhteen oikean kulman kärjen kanssa.

Mediaani on jana, joka yhdistää kolmion minkä tahansa kärjen kääntöpuolen keskipisteeseen. Kolmion kolme mediaania leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on aina kolmion sisällä ja on sen massakeskipiste. Tämä piste jakaa jokaisen mediaanin 2:1 ylhäältä.

Bisector on jana kulman puolittajasta kärjestä leikkauspisteeseen kanssa kääntöpuoli. Kolmion kolme puolittajaa leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on aina kolmion sisällä ja on piirretyn ympyrän keskipiste. Puolittaja jakaa kääntöpuolen viereisiin sivuihin verrannollisiin osiin.

Mediaani kohtisuorassa on janan (sivun) keskipisteestä piirretty kohtisuora. Kolmion kolme keskisuoraa leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on rajatun ympyrän keskipiste.

Terävässä kolmiossa tämä piste sijaitsee kolmion sisällä, tylpässä kolmiossa - ulkopuolella, suorakulmaisessa - hypotenuusan keskellä. Ortokeskiö, massakeskipiste, rajatun ympyrän keskipiste ja piirretyn ympyrän keskipiste ovat yksinomaan tasasivuisessa kolmiossa.

Pythagoraan aksiooma

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituuden neliö on yhtä suuri kuin jalkojen pituuksien neliöiden summa.

Pythagoraan aksiooman vahvistus

Muodosta neliö AKMB käyttämällä hypotenuusaa AB sivuna. Sitten jatketaan suoran kolmion ABC sivuja, jotta saadaan neliö CDEF, jonka sivu on a + b. Nyt on selvää, että CDEF-neliön pinta-ala on (a + b) 2. Toisaalta tämä pinta-ala on yhtä suuri kuin neljän suorakulmaisen kolmion ja neliön AKMB pinta-alojen summa, toisin sanoen,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

ja meillä on:

c2 = a2 + b2.

Kuvasuhde satunnaisessa kolmiossa

Yleisessä tapauksessa (satunnaiselle kolmiolle) meillä on:

c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

jossa C on sivujen a ja b välinen kulma.

school-club.ru - mitkä ovat kolmiot?

math.ru - kolmiotyypit;

raduga.rkc-74.ru - kaikki kolmioista pienimmille.

Sivuston lisäys:

Miten kolmiot luokitellaan?

Kuinka löytää kolmion pinta-ala?

Kuinka löytää suorakulmaisen kolmion pinta-ala?

Kuinka löytää kolmioon piirretyn ympyrän säde?

Kuinka löytää kolmion ympärille rajatun ympyrän säde?

Kuinka todistaa kosinien aksiooma?

kolmiot

kolmio Figuuria kutsutaan kuvioksi, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät ole yhdellä suoralla, ja kolmesta segmentistä, jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain. Pisteitä kutsutaan huiput kolmio, ja segmentit - sen juhlia.

Kolmioiden tyypit

Kolmiota kutsutaan tasakylkinen jos sen kaksi puolta ovat yhtä suuret. Näitä yhtäläisiä puolia kutsutaan sivut, ja kolmas osapuoli kutsutaan perusta kolmio.

Kutsutaan kolmiota, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret tasasivuinen tai oikea.

Kolmiota kutsutaan suorakulmainen, jos sillä on suora kulma, on 90° kulma. Suorakulmaisen kolmion oikeaa kulmaa vastapäätä sivua kutsutaan hypotenuusa kaksi muuta puolta kutsutaan jalat.

Kolmiota kutsutaan teräväkulmainen jos sen kaikki kolme kulmaa ovat teräviä, eli alle 90°.

Kolmiota kutsutaan tylppä, jos yksi sen kulmista on tylppä, eli suurempi kuin 90°.

Kolmion päälinjat

Mediaani

Mediaani kolmio on jana, joka yhdistää kolmion kärjen tämän kolmion vastakkaisen sivun keskipisteeseen.

Kolmion mediaaniominaisuudet

Mediaani jakaa kolmion kahteen saman alueen kolmioon.

Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä, joka jakaa ne suhteessa 2:1 ylhäältä laskettuna. Tätä kohtaa kutsutaan Painovoiman keskipiste kolmio.

Koko kolmio on jaettu mediaaneistaan ​​kuuteen yhtä suureen kolmioon.

Bisector

Kulman puolittaja on säde, joka tulee kärjestään, kulkee sen sivujen välistä ja jakaa annetun kulman kahtia. Kolmion puolittaja Kutsutaan kolmion puolittajaa, joka yhdistää kärjen kolmion vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen.

Kolmion puolittajan ominaisuudet

Korkeus

Korkeus kolmiota kutsutaan kohtisuoraksi, joka on vedetty kolmion kärjestä tämän kolmion vastakkaisen sivun sisältävään viivaan.

Kolmion korkeusominaisuudet

SISÄÄN suorakulmainen kolmio suoran kulman kärjestä piirretty korkeus jakaa sen kahdeksi kolmioksi, samanlainen alkuperäinen.

SISÄÄN terävä kolmio sen kaksi korkeutta irti siitä samanlainen kolmiot.

Mediaani kohtisuorassa

Sitä vastaan ​​kohtisuoran janan keskipisteen kautta kulkevaa suoraa kutsutaan kohtisuora puolittaja segmenttiin .

Kolmion kohtisuorien puolittajien ominaisuudet

Jokainen janaan nähden kohtisuoran puolittajan piste on yhtä kaukana tämän janan päistä. Myös käänteinen väite on totta: jokainen piste, joka on yhtä kaukana janan päistä, on siihen nähden kohtisuorassa puolittajassa.

Kolmion sivuille piirrettyjen keskisuorien leikkauspiste on keskipiste tämän kolmion ympärille rajattu ympyrä.

keskiviiva

Kolmion keskiviiva Janaa, joka yhdistää sen kahden sivun keskipisteet, kutsutaan.

Kolmion keskiviivan ominaisuus

Kolmion keskiviiva on yhdensuuntainen sen toisen sivun kanssa ja yhtä suuri kuin puolet sen sivusta.

Kaavat ja suhteet

Kolmioiden tasa-arvon merkit

Kaksi kolmiota ovat yhteneviä, jos ne ovat vastaavasti yhteneviä:

kaksi sivua ja niiden välinen kulma;

kaksi kulmaa ja niiden vieressä oleva sivu;

kolme puolta.

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit

Kaksi suorakulmainen kolmio ovat yhtä suuret, jos ne ovat vastaavasti yhtä suuret:

hypotenuusa ja terävä kulma

jalka ja vastakkainen kulma;

jalka ja viereinen kulma;

kaksi jalka;

hypotenuusa Ja jalka.

kolmioiden samankaltaisuus

Kaksi kolmiota ovat samankaltaisia jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy, soita samankaltaisuuden merkkejä:

yhden kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa;

yhden kolmion kaksi sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kahteen sivuun, ja näiden sivujen muodostamat kulmat ovat yhtä suuret;

yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti verrannollisia toisen kolmion kolmeen sivuun.

Samankaltaisissa kolmioissa vastaavat viivat ( korkeuksia, mediaanit, puolittajia jne.) ovat suhteellisia.

Sinilause

Kolmion sivut ovat verrannollisia vastakkaisten kulmien sineihin ja suhteellisuuskerroin on halkaisija kolmion ympärille rajattu ympyrä:

Kosinilause

Kolmion sivun neliö on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summa miinus kaksi kertaa näiden sivujen tulo kertaa niiden välisen kulman kosini:

a 2 = b 2 + c 2 - 2eKr cos

Kolmion pintakaavat

Mielivaltainen kolmio

a, b, c - sivut; - sivujen välinen kulma a Ja b; - puolikehä; R- rajatun ympyrän säde; r- piirretyn ympyrän säde; S- neliö; h a - korkeus sivulle a.