2017-2018 Nastavni rad iz matematike, 11. razred
Opcija 2 (osnovna)
Odgovor na svaki zadatak je konačan decimalni, cijeli broj ili niz cifara. Odgovore na zadatke upišite u polje za odgovore u tekstu rada, a zatim ih prenesite u obrazac za odgovore broj 1 desno od broja odgovarajućeg zadatka. Ako je odgovor niz brojeva, upišite ovaj niz u obrazac za odgovore br. 1bez razmaka, zareza ili drugih dodatnih znakova. Upišite svaki broj, znak minus i zarez u posebno polje. Nema potrebe za pisanjem mjernih jedinica.
1
odgovor: _________________.
2 . Pronađite značenje izraza:
odgovor: _________________.
3 . U školi djevojčice čine 51% svih učenika. Koliko djevojčica ima u ovoj školi ako ih ima 8 više nego dječaka?
odgovor: _________________.
4 . Harmonična sredina tri brojaA , b Isa, izračunato po formuli Pronađite harmonijsku sredinu brojeva
odgovor: _________________.
5. Izračunati:
odgovor: _________________.
6 . U muškom domu instituta u svakoj prostoriji mogu biti smještene najviše tri osobe. Koji je najmanji broj soba potreban za smještaj 79 studenata van grada?
odgovor: _________________.
7 .Nađite korijen jednačine
odgovor: _________________.
8 . Stan se sastoji od dvije sobe, kuhinje, hodnika i kupatila (vidi crtež). Prva soba je dimenzija 4 m x 4 m, druga soba ima dimenzije 4 m x 3,5 m, kuhinja je 4 m x 3,5 m, a kupaonica ima dimenzije 1,5 m x 2 m. Odgovor dajte u kvadratnim metrima.
odgovor: _________________.
9 . Uspostavite korespondenciju između količina i njihovih mogućih vrijednosti: za svaki element prve kolone odaberite odgovarajući element iz druge kolone.
VRIJEDNOSTI VRIJEDNOSTI
A) Zapremina komode 1) 0,75 l
B) zapremina vode u Kaspijskom moru 2) 78200 km 3
C) zapremina paketa ryazhenka 3) 96 l
D) zapremina vagona 4) 90 m 3
U tabeli ispod svakog slova koje odgovara nekoj vrednosti naznačite broj njene moguće vrednosti.
odgovor:
odgovor: _________________.10 . Na Olimpijadi iz ruskog jezika, učesnici sjede u tri publike. U prva dva ima po 130 ljudi, a ostali su odvedeni u rezervnu salu u drugoj zgradi. Prilikom prebrojavanja ispostavilo se da je bilo ukupno 400 učesnika. Pronađite vjerovatnoću da je slučajno odabrani učesnik napisao takmičenje u slobodnoj učionici.
odgovor: _________________.
11 . Na slici je prikazan grafikon vrijednosti atmosferskog pritiska u određenom gradu tokom tri dana. Dani u nedelji i vreme su prikazani horizontalno, a vrednosti atmosferskog pritiska u milimetrima žive su označene vertikalno. Pronađite atmosferski pritisak u srijedu u 12 sati. Dajte svoj odgovor u milimetrima žive.
odgovor: ____________.
odgovor: _________________.
13. Pravilna šesterokutna piramida s rubom 1 zalijepljena je na pravilnu šestougaonu prizmu sa rubom 1 tako da su se rubovi baza poklapali. Koliko strana ima rezultujući poliedar (nevidljive ivice nisu prikazane na slici)?
odgovor: _________________.
14. Na slici je prikazan graf funkcije PoeniA, B, C, DIEpostaviti na osX četiri intervala. Koristeći graf, uparite svaki interval sa karakteristikom funkcije ili njenim derivatom.
INTERVALI KARAKTERISTIKA FUNKCIJE ILI DERIVATA
A) (A; B) 1) funkcija mijenja znak iz “–” u “+”
B) (B; C) 2) derivacija mijenja znak iz “–” u “+”
B) (C;D) 3) derivacija mijenja predznak iz “+” u “–”
G) (D; E) 4) funkcija je pozitivna i raste
U tabeli ispod svakog slova navedite odgovarajući broj.
15 . Na krugu sa centromO označene tačkeA IIN tako da dužina sporednog lukaAB je jednako 3. Odredite dužinu većeg luka.
odgovor: _________________.
16 . Date su dvije kutije u obliku pravilne četverokutne prizme. Prva kutija je četiri i po puta niža od druge, a druga je tri puta uža od prve. Koliko je puta zapremina prve kutije veća od zapremine druge?
odgovor: _________________.
17. Svaka od četiri nejednačine u lijevom stupcu odgovara jednom od rješenja u desnom stupcu. Uspostaviti korespondenciju između nejednakosti i njihovih rješenja.
RJEŠENJA NEJEDNAKOSTI
A)
B)
IN)
G)
Unesite odgovarajući broj rješenja u tabelu datu u odgovoru ispod svakog slova.
odgovor:
18 . Na Zimskim olimpijskim igrama reprezentacija Rusije osvojila je više medalja od reprezentacije Kanade, reprezentacija Kanade osvojila je više od tima Njemačke, a reprezentacija Norveške osvojila je manje medalja od tima Kanade.Odaberite tvrdnje koje su tačne pod datim uslovima.
1) Od imenovanih ekipa, kanadski tim je zauzeo drugo mjesto po broju medalja.
2) Među imenovanim ekipama su tri koje su pobijedile jednak iznos medalje.
3) Nemački tim osvojio je više medalja od ruskog tima.
4) Ruski tim je osvojio više medalja od svake od ostale tri ekipe.
Molimo navedite brojeve u svom odgovoru. istinite izjave u rastućem redosledu.
odgovor: _________________.
19 . Parovitrocifreni brojA sastoji se od brojeva 3; 4; 8; 9, aparovitrocifreni brojIN - od brojeva 6; 7; 8; 9. Poznato je daIN = 2 A. Nađi brojA. U svom odgovoru navedite bilo koji takav broj, osim broja 3489.
odgovor: _________________.
20 . Pravougaonik je podeljen na četiri mala pravougaonika sa dva ravna reza. Obim tri od njih, počevši od gornjeg lijevog vrha, a zatim u smjeru kazaljke na satu, su 17, 15 i 18. Pronađite obim četvrtog pravougaonika.
1715
?
18
Kombinatorni problemi
1 . Katja, Maša i Ira se igraju loptom. Svako od njih mora jednom baciti loptu ka prijatelju. Koliko puta svaka devojka treba da baci loptu? Koliko puta će lopta biti bačena? Odredite koliko puta će lopta biti bačena ako u igri učestvuju sljedeće osobe: četvero djece; petoro djece.
2 . Date su tri fasade i dva krova, istog oblika, ali obojene različitim bojama: fasade su žute, plave i crvene, a krovovi su plave i crvene. Kakve se kuće mogu graditi? Koliko kombinacija ima ukupno?
3 . Date su tri fasade kuća istog oblika: plava, žuta i crvena - i tri krova: plava, žuta i crvena. Kakve se kuće mogu graditi? Koliko kombinacija ima ukupno?
4 . Dizajni na zastavama mogu biti u obliku kruga, kvadrata, trokuta ili zvijezde, a mogu biti obojeni zelenom ili crvenom bojom. Koliko različitih zastava može biti?
5. U školskoj menzi pripremalo se meso, kotleti i riba za ručak kao druga jela. Za desert - sladoled, voće i pita. Možete odabrati jedno glavno jelo i jedno desertno jelo. Koliko različitih opcija za ručak postoji?
6. U školskoj menzi za ručak su pripremali supu sa mesom i vegetarijansku supu kao prva jela, meso, kotlete i ribu za drugo jelo, a za desert sladoled, voće i pitu. Koliko različitih opcija postoji za obrok od tri slijeda?
7. Na koliko načina se tri učenika mogu sjediti u redu na stolicama? Zapišite sve moguće slučajeve.
8 . Na koliko načina mogu stati četiri (pet) ljudi u nizu?
9 . Tri staze se penju uz brdo sa različitih strana i spajaju se na vrhu. Napravite više ruta za penjanje i spuštanje niz brdo. Riješite isti problem ako morate ići gore-dolje različitim putevima.
10 . Od Akulova do Ribnice vode tri puta, a od Rybnice do Kitova četiri puta. Na koliko načina možete putovati od Akulova do Kitova preko Rybnice?
11 . Slog se naziva otvorenim ako počinje suglasnikom, a završava samoglasnikom. Koliko otvorenih dvoslovnih slogova može biti napisano slovima “a”, “b”, “c”, “d”, “e”, “i”, “o”? Zapišite ove slogove.
12. Koliko se različitih odijela može napraviti od bluze i suknje ako postoje 4 bluze i 4 suknje?
13. Kada Petja ide u školu, ponekad sretne jednog ili više svojih prijatelja: Vasju, Lenju, Tolju. Navedite sve moguće slučajeve koji se mogu dogoditi.
14 . Zapišite sve moguće dvocifrene brojeve koristeći brojeve 7 i 4.
15 . Miša je planirao da kupi: olovku, lenjir, blok i svesku. Danas je kupio samo dva različita artikla. Šta bi Miša mogao da kupi, ako pretpostavimo da je prodavnica imala sve potrebne obrazovne potrepštine?
16 . Četiri osobe su se rukovale. Koliko je bilo rukovanja ukupno?
17 . Koliko ima dvocifrenih brojeva koji ne sadrže cifru 0?
18 . Zapišite sve moguće trocifrene brojeve koji se mogu sastaviti od brojeva 1 i 2.
19 . Zapišite sve moguće parne trocifrene brojeve sastavljene od cifara 1 i 2.
20 . Zapišite sve moguće dvocifrene brojeve koji koriste brojeve 2, 8 i 5.
21 . Koliko ima različitih dvocifrenih brojeva čije su sve cifre neparne?
22 . Koji se trocifreni brojevi mogu napisati pomoću brojeva 3, 7 i 1, pod uslovom da broj ne sadrži identične cifre? Koliko je takvih brojeva?
23 . Koliko se trocifrenih brojeva može napraviti od cifara 1, 2, 4, 6 ako se nijedna cifra ne koristi više puta? Koliko će ovih brojeva biti paran? Koliko neparnih?
24 . U kolima je pet sedišta. Na koliko načina pet osoba može ući u ovaj automobil ako samo dvoje od njih mogu zauzeti vozačko mjesto?
25. U učionici se nalazi 5 pojedinačnih stolova. Na koliko načina se na njih mogu sjesti dvoje (troje) novopridošlih školaraca?
26 . Sjetite se basne I. Krylova "Kvartet":
Nestašni Majmun, Magarac, Jarac i Medvjed s batinom počeli su svirati kvartet. Udaraju se u lukove, bore se, ali nema svrhe. „Stanite, braćo, stanite! - viče majmun. - Čekaj! Kako treba da ide muzika? Ne sjedite tako.” Koliko Različiti putevi mogu li ovi muzičari pokušati sjesti? Može li to poboljšati kvalitet njihove igre?
27 . Dječaci i djevojčice sjede u nizu na uzastopnim sjedištima, pri čemu dječaci sjede na neparnim, a djevojčice na parnim sjedištima. Na koliko načina se to može uraditi ako:
a) 3 dječaka i 3 djevojčice sjede u 6 mjesta;
b) 5 dječaka i 5 djevojčica sjede u 10 mjesta?
28 . Na praznu damu morate postaviti dva dama - crni i bijeli. Koliko različitih pozicija mogu zauzeti na tabli?
29. Neka se broj automobila sastoji od dva slova iza kojih slijede dva broja, na primjer AB-53. Koliko različitih brojeva možete napraviti ako koristite 5 slova i 6 brojeva?
30 . Broj automobila se sastoji od tri slova i četiri broja. Koliko ima različitih registarskih tablica (tri slova su preuzeta od 29 slova ruske abecede)?
31 . Recimo da ste trebali otići u biblioteku, štedionicu, poštu i popraviti cipele. Da biste odabrali najkraću rutu, morate razmotriti sve moguće opcije. Koliko je mogućih puteva ako su biblioteka, štedionica, pošta i obućarska radnja udaljene jedna od druge?
32. Recimo da ste trebali otići u biblioteku, štedionicu, poštu i popraviti cipele. Da biste odabrali najkraću rutu, morate razmotriti sve moguće opcije. Koliko ima razumnih puteva ako su biblioteka i pošta u blizini, ali su daleko od štedionice i obućara, koje su udaljene?
33. Među putnicima koji su putovali u vagonu vodila se živa rasprava o četiri časopisa. Ispostavilo se da se svi pretplate na dva časopisa, a svaku od mogućih kombinacija dva časopisa pretplati jedna osoba. Koliko je ljudi bilo u ovoj grupi?
34 . Postoji pet kocki koje se međusobno razlikuju samo po boji: 2 crvene, 1 bijela i 2 crne. Postoje dvije kutije A i B, i A drži 2 kocke, a B drži 3. Na koliko različitih načina se te kocke mogu smjestiti u kutije A i B?
35. Da bi caru-ocu doneo jabuke za podmlađivanje, Ivan Tsarevich mora pronaći jedini pravi put do čarobne bašte. Ivan Tsarevich je sreo starog gavrana na račvanju tri puta i evo koji je savjet od njega čuo:
1) idite sada pravim putem;
2) na sledećem račvanju ne idite pravim putem;
3) na trećem račvanju, ne idite lijevom putanjom.
Golubica koja je proletjela šapnula je Ivanu Careviču da je samo jedan gavranov savjet tačan i da je neophodno slijediti staze u različitim smjerovima. Naš junak je završio zadatak i završio u čarobnoj bašti. Kojim putem je krenuo?
Treba napomenuti da je kombinatorika samostalna grana više matematike (a ne dio tervera) i o ovoj disciplini su napisani teški udžbenici čiji sadržaj, ponekad, nije lakši od apstraktne algebre. Međutim, mali dio teorijskog znanja bit će nam dovoljan, a u ovom članku pokušat ću u pristupačnom obliku analizirati osnove teme s tipičnim kombinatornim problemima. I mnogi od vas će mi pomoći ;-)
Šta ćemo da radimo? IN u užem smislu kombinatorika je izračunavanje različitih kombinacija koje se mogu napraviti iz određenog skupa diskretno objekata. Pod objektima se podrazumijevaju svaki izolirani predmeti ili živa bića - ljudi, životinje, gljive, biljke, insekti itd. Istovremeno, kombinatoriku uopće nije briga što se set sastoji od tanjira griz kaše, lemilice i močvarne žabe. Od suštinske je važnosti da se ovi objekti mogu nabrojati - postoje tri (diskretnost) a bitno je da nijedan od njih nije identičan.
Bavili smo se dosta toga, sada o kombinacijama. Najčešći tipovi kombinacija su permutacije objekata, njihov izbor iz skupa (kombinacija) i distribucija (pozicioniranje). Hajde da vidimo kako se ovo dešava sada:
Permutacije, kombinacije i plasmani bez ponavljanja
Nemojte se plašiti nejasnih termina, pogotovo jer neki od njih zaista nisu baš dobri. Počnimo s repom naslova - šta znači “ nema ponavljanja"? To znači da ćemo u ovom dijelu razmatrati skupove koji se sastoje od razne objekata. Na primjer, ... ne, neću ponuditi kašu sa lemilom i žabom, bolje je nešto ukusnije =) Zamislite da su se na stolu ispred vas materijalizirale jabuka, kruška i banana ( ako ih imate, situacija se može simulirati u stvarnosti). Plodove polažemo s lijeva na desno sljedećim redoslijedom:
jabuka/kruška/banana
Prvo pitanje: Na koliko načina se mogu preurediti?
Jedna kombinacija je već napisana gore, a sa ostalima nema problema:
jabuka/banana/kruška
kruška / jabuka / banana
kruška / banana / jabuka
banana/jabuka/kruška
banana/kruška/jabuka
Ukupno: 6 kombinacija ili 6 permutacije.
Dobro, nije bilo teško nabrojati sve moguće slučajeve, ali šta ako ima više objekata? Sa samo četiri različita voća, broj kombinacija će se značajno povećati!
Molimo otvorite referentni materijal (zgodno je odštampati priručnik) a u tački br. 2 pronaći formulu za broj permutacija.
Bez muke - 3 objekta se mogu preurediti na različite načine.
Drugo pitanje: Na koliko načina možete izabrati a) jedno voće, b) dva voća, c) tri voća, d) barem jedno voće?
Zašto odabrati? Tako smo u prethodnom pasusu podigli apetit - da bismo jeli! =)
a) Jedno voće se može izabrati, očito, na tri načina - uzeti ili jabuku, krušku ili bananu. Formalni obračun se vrši prema formula za broj kombinacija:
Unos u ovom slučaju treba shvatiti na sljedeći način: "na koliko načina možete odabrati 1 voće od tri?"
b) Nabrojimo sve moguće kombinacije dva voća:
jabuka i kruška;
jabuka i banana;
kruške i banane.
Broj kombinacija može se lako provjeriti pomoću iste formule:
Unos se shvata na sličan način: "na koliko načina možete izabrati 2 voća od tri?"
c) I na kraju, postoji samo jedan način da odaberete tri voća:
Usput, formula za broj kombinacija ostaje značajna za prazan uzorak:
Na ovaj način ne možete odabrati ni jedno voće - u stvari, ništa ne uzimajte i to je to.
d) Na koliko načina možete uzeti najmanje jedan voće? Uslov „barem jedan“ podrazumeva da smo zadovoljni sa 1 voćem (bilo koji) ili bilo koja 2 voća ili sva 3 voća:
koristeći ove metode možete odabrati barem jedno voće.
Čitaoci koji su pažljivo proučili uvodnu lekciju na teorija vjerovatnoće, već smo nešto pogodili. Ali više o značenju znaka plus kasnije.
Za odgovor na sledeće pitanje potrebna su mi dva volontera... ...Pa pošto niko neće, onda ću te zvati u tablu =)
Pitanje tri: Na koliko načina možete podijeliti po jedno voće Daši i Nataši?
Da biste podijelili dva ploda, prvo ih trebate odabrati. Prema paragrafu "be" prethodnog pitanja, to se može uraditi na načine, prepisat ću ih:
jabuka i kruška;
jabuka i banana;
kruške i banane.
Ali sada će biti dvostruko više kombinacija. Uzmimo u obzir, na primjer, prvi par voća:
Dašu možete počastiti jabukom, a Natašu kruškom;
ili obrnuto - Daša će dobiti krušku, a Nataša jabuku.
I takva permutacija je moguća za svaki par voća.
Zamislite istu grupu studenata koja je išla na ples. Na koliko načina se dečak i devojčica mogu upariti?
Na načine možete odabrati 1 mladića;
načini na koje možete izabrati 1 djevojku.
Dakle, jedan mladić I Možete izabrati jednu devojku: 
načine.
Kada se iz svakog skupa odabere 1 objekat, važi sledeći princip brojanja kombinacija: “ svaki objekat iz jednog skupa može formirati par sa svakim objekt drugog skupa."
Odnosno, Oleg može pozvati bilo koju od 13 djevojaka na ples, Evgeny također može pozvati bilo koju od trinaest, a ostali mladi ljudi imaju sličan izbor. Ukupno: mogući parovi.
Treba napomenuti da u u ovom primjeru„istorija“ formiranja para nije bitna; međutim, ako se uzme u obzir inicijativa, broj kombinacija se mora udvostručiti, jer svaka od 13 djevojčica može pozvati bilo kojeg dječaka na ples. Sve zavisi od uslova određenog zadatka!
Sličan princip vrijedi i za složenije kombinacije, na primjer: na koliko načina možete izabrati dva mladića? I dve devojke da učestvuju u KVN skeču?
Union I jasno nagoveštava da kombinacije treba pomnožiti:
Moguće grupe umjetnika.
Drugim riječima, svaki par dječaka (45 jedinstvenih parova) može nastupiti sa bilo koji par djevojaka (78 unikatnih parova). A ako uzmemo u obzir raspodjelu uloga između sudionika, kombinacija će biti još više. ...Stvarno želim, ali ću se ipak suzdržati od nastavka kako vam ne bih usadio odbojnost prema studentskom životu =).
Pravilo za množenje kombinacija vrijedi i za veći broj množitelja:
Problem 8
Koliko ima trocifrenih brojeva koji su djeljivi sa 5?
Rješenje: radi jasnoće, označimo ovaj broj sa tri zvjezdice: ***
IN stotine mesta Možete napisati bilo koji od brojeva (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ili 9). Nula nije prikladna, jer u ovom slučaju broj prestaje biti trocifreni.
Ali unutra desetke mjesto(“u sredini”) možete odabrati bilo koju od 10 cifara: .
Prema uslovu, broj mora biti djeljiv sa 5. Broj je djeljiv sa 5 ako se završava na 5 ili 0. Dakle, zadovoljavamo se sa 2 cifre najmanje značajnog broja.
Ukupno, postoji: trocifreni brojevi koji su djeljivi sa 5.
U ovom slučaju, rad se dešifruje na sljedeći način: „9 načina na koje možete odabrati broj stotine mesta I 10 načina da odaberete broj desetke mjesto I 2 načina ulaska jedinica cifra»
Ili još jednostavnije: “ svaki od 9 cifara do stotine mesta kombajni sa svakim od 10 cifara desetke mjesto i sa svakim od dvije cifre do jedinica cifra».
Odgovori: 180
I sada…
Da, skoro sam zaboravio na obećani komentar na problem broj 5, u kojem Boru, Dimi i Volodji može da se podeli po jedna karta na različite načine. Množenje ovdje ima isto značenje: načini uklanjanja 3 karte iz špila I u svakom uzorak ih preuredi na načine.
A sada problem koji treba riješiti sami... sad ću smisliti nešto zanimljivije... neka bude o istoj ruskoj verziji blackjacka:
Problem 9
Koliko dobitnih kombinacija od 2 karte ima kada se igra "poen"?
Za one koji ne znaju: dobitna kombinacija je 10 + ACE (11 poena) = 21 poen i, računajmo dobitna kombinacija od dva asa.
(redoslijed karata u bilo kojem paru nije bitan)
Quick Solution i odgovor na kraju lekcije.
Usput, nemojte smatrati primjer primitivnim. Blackjack je gotovo jedina igra za koju postoji matematički zasnovan algoritam koji vam omogućava da pobijedite kazino. Zainteresovani mogu lako pronaći mnoštvo informacija o optimalnoj strategiji i taktici. Istina, takvi majstori vrlo brzo završe na crnoj listi svih ustanova =)
Vrijeme je za konsolidaciju materijala pokrivenog s nekoliko solidnih zadataka:
Problem 10
Vasya kod kuće ima 4 mačke.
a) na koliko načina se mačke mogu smjestiti u uglove prostorije?
b) na koliko načina možete pustiti mačke u šetnju?
c) na koliko načina Vasja može pokupiti dvije mačke (jednu lijevo, drugu desno)?
Hajde da odlučimo: prvo, opet treba obratiti pažnju na činjenicu da se problem rješava drugačije predmete (čak i ako su mačke identični blizanci). Ovo je veoma važan uslov!
a) Tišina mačaka. Podložno ovom izvršenju sve mačke odjednom
+ njihova lokacija je važna, tako da ovdje postoje permutacije:
pomoću ovih metoda možete smjestiti mačke u uglove sobe.
Ponavljam da je prilikom permutiranja bitan samo broj različitih objekata i njihova relativna pozicija. Ovisno o Vasjinom raspoloženju, ona može sjesti životinje u polukrug na sofi, u nizu na prozorskoj dasci itd. – u svim slučajevima bit će 24 permutacije Radi praktičnosti, zainteresirani mogu zamisliti da su mačke višebojne (na primjer, bijele, crne, crvene i tabby) i navesti sve moguće kombinacije.
b) Na koliko načina možete pustiti mačke u šetnju?
Pretpostavlja se da mačke idu u šetnju samo kroz vrata, a pitanje implicira ravnodušnost u pogledu broja životinja - u šetnju mogu ići 1, 2, 3 ili sve 4 mačke.
Brojimo sve moguće kombinacije:
Na načine možete pustiti jednu mačku (bilo koju od četiri) u šetnju; 
načine na koje možete pustiti dvije mačke u šetnju (navedite opcije sami);
na način na koji možete pustiti tri mačke u šetnju (jedna od četiri sjedi kod kuće);
Na ovaj način možete osloboditi sve mačke.
Vjerovatno ste pogodili da rezultirajuće vrijednosti treba zbrojiti:
načine na koje možete pustiti mačke u šetnje.
Za entuzijaste, nudim komplikovanu verziju problema - kada bilo koja mačka u bilo kom uzorku može nasumično izaći van, i kroz vrata i kroz prozor na 10. spratu. Bit će primjetan porast kombinacija!
c) Na koliko načina Vasja može uzeti dvije mačke?
Situacija uključuje ne samo odabir 2 životinje, već i njihovo stavljanje u svaku ruku:
Na ove načine možete pokupiti 2 mačke.
Drugo rješenje: pomoću metoda možete odabrati dvije mačke I načini sadnje svaki par pri ruci: 
Odgovori: a) 24, b) 15, c) 12
Pa, da očistim svoju savjest, nešto konkretnije o množenju kombinacija... Neka Vasya ima 5 dodatnih mačaka =) Na koliko načina možete pustiti 2 mačke u šetnju? I 1 mačka?
Odnosno, sa svaki može se pustiti nekoliko mačaka svaki cat.
Još jedna harmonika za samostalno rješenje:
Problem 11
3 putnika su se ukrcala u lift u zgradi od 12 spratova. Svi, bez obzira na ostale, mogu sa jednakom vjerovatnoćom izaći na bilo koji (počevši od 2.) sprata. na koliko načina:
1) putnici mogu sići na istom spratu (redosled izlaska nije bitan);
2) dvije osobe mogu sići na jednom spratu, a treće na drugom;
3) ljudi mogu izaći na različite spratove;
4) da li putnici mogu izaći iz lifta?
I tu često opet pitaju, pojašnjavam: ako 2 ili 3 osobe izlaze na istom spratu, onda redosled izlaska nije bitan. RAZMISLITE, koristite formule i pravila za dodavanje/množenje kombinacija. U slučaju poteškoća, korisno je da putnici daju imena i nagađaju u kojim kombinacijama mogu izaći iz lifta. Nema potrebe da se uzrujavate ako nešto ne uspije, na primjer, tačka broj 2 je prilično podmukla.
Potpuno rješenje sa detaljnim komentarima na kraju lekcije.
Poslednji pasus je posvećen kombinacijama koje se takođe često javljaju - prema mojoj subjektivnoj proceni, u otprilike 20-30% kombinatornih problema:
Permutacije, kombinacije i plasmani s ponavljanjima
Navedene vrste kombinacija su navedene u paragrafu br. 5 referentni materijal Osnovne formule kombinatorike, međutim, neki od njih možda neće biti vrlo jasni nakon prvog čitanja. U ovom slučaju, preporučljivo je prvo se upoznati praktični primjeri, pa tek onda shvatiti opštu formulaciju. idi:
Permutacije s ponavljanjima
U permutacijama s ponavljanjima, kao u "običnim" permutacijama, svih mnogo objekata odjednom, ali postoji jedna stvar: u ovom skupu se ponavlja jedan ili više elemenata (objekata). Zadovoljite sljedeći standard:
Problem 12
Koliko se različitih kombinacija slova može dobiti preuređivanjem kartica sa sljedećim slovima: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?
Rješenje: u slučaju da su sva slova različita, tada bi se morala primijeniti trivijalna formula, ali je potpuno jasno da će za predloženi set karata neke manipulacije raditi „u praznom hodu“, na primjer, ako zamijenite bilo koje dvije karte sa slovima “K” “ u bilo kojoj riječi, dobijate istu riječ. Štaviše, fizički karte mogu biti veoma različite: jedna može biti okrugla sa ispisanim slovom „K“, druga može biti četvrtasta sa nacrtanim slovom „K“. Ali prema značenju zadatka, čak i takve karte smatraju se istim, budući da uvjet pita o kombinacijama slova.
Sve je krajnje jednostavno - samo 11 kartica, uključujući i slovo:
K – ponovljeno 3 puta;
O – ponovljeno 3 puta;
L – ponovljeno 2 puta;
b – ponovljeno 1 put;
H – ponovljeno 1 put;
I - ponovljeno 1 put.
Provjerite: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, to je ono što je trebalo provjeriti.
Prema formuli broj permutacija sa ponavljanjima:
mogu se dobiti različite kombinacije slova. Više od pola miliona!
Da biste brzo izračunali veliku faktorijalnu vrijednost, zgodno je koristiti standardnu Excel funkciju: unesite u bilo koju ćeliju =ČINJENICA(11) i pritisnite Enter.
U praksi je sasvim prihvatljivo ne napisati opštu formulu i, osim toga, izostaviti jedinične faktorijele: 
Ali preliminarni komentari o ponovljenim pismima su potrebni!
Odgovori: 554400
Još jedan tipičan primjer permutacija s ponavljanjem javlja se u problemu postavljanja šahovskih figura, koji se može naći u skladištu gotova rješenja u odgovarajućem pdf-u. A za nezavisno rješenje, smislio sam manje formulisan zadatak:
Problem 13
Aleksej se bavi sportom, a 4 dana u nedelji - atletikom, 2 dana - vežbe snage i odmara se 1 dan. Na koliko načina može sebi da kreira nedeljni raspored?
Formula ovdje ne funkcionira jer uzima u obzir slučajne zamjene (na primjer, zamjena vježbi snage u srijedu s vježbama snage u četvrtak). I opet - u stvari, iste 2 treninga snage mogu se jako razlikovati jedna od druge, ali u kontekstu zadatka (sa stanovišta rasporeda) smatraju se istim elementima.
Rješenje u dva reda i odgovor na kraju lekcije.
Kombinacije sa ponavljanjima
Feature Ova vrsta kombinacije sastoji se u činjenici da se uzorak izvlači iz nekoliko grupa, od kojih se svaka sastoji od identičnih objekata.
Danas su svi vredno radili, pa je vrijeme da se osvježite:
Problem 14
Studentska menza prodaje kobasice u tijestu, kolače od sira i krofne. Na koliko načina možete kupiti pet pita?
Rješenje: odmah obratite pažnju na tipičan kriterijum za kombinacije sa ponavljanjima - prema uslovu, nije skup objekata kao takvih koji se nudi na izbor, već različite vrste objekti; Pretpostavlja se da je u prodaji najmanje pet hot dogova, 5 kolača od sira i 5 krofni. Pite u svakoj grupi su, naravno, različite - jer apsolutno identične krofne mogu se simulirati samo na kompjuteru =) Međutim, fizičke karakteristike pita nisu bitne za svrhu problema, a hrenovki / kolači od sira / krofne u svojim grupama se smatraju istim.
Šta bi moglo biti u uzorku? Prije svega, treba napomenuti da će u uzorku sigurno biti identičnih pita (pošto biramo 5 komada, a postoje 3 vrste na izbor). Ovdje postoje opcije za svaki ukus: 5 viršle, 5 kolača od sira, 5 krofni, 3 viršle + 2 kolača od sira, 1 hot dog + 2 kolača od sira + 2 krofne itd.
Kao i kod "običnih" kombinacija, redosled odabira i postavljanja pita u selekciji nije bitan - samo ste odabrali 5 komada i to je to.
Koristimo formulu 
broj kombinacija sa ponavljanjima: 
Na ovaj način možete kupiti 5 pita.
Prijatno!
Odgovori: 21
Kakav zaključak se može izvući iz mnogih kombinatornih problema?
Ponekad je najteže razumjeti stanje.
Sličan primjer za nezavisno rješenje:
Problem 15
Ima dovoljno u novčaniku veliki broj Kovanice od 1, 2, 5 i 10 rubalja. Na koliko načina se tri novčića mogu izvaditi iz novčanika?
U svrhu samokontrole, odgovorite na par jednostavna pitanja:
1) Mogu li svi novčići u uzorku biti različiti?
2) Navedite „najjeftiniju“ i „najskuplju“ kombinaciju novčića.
Rješenje i odgovori na kraju lekcije.
Od mog lično iskustvo, mogu reći da su kombinacije s ponavljanjima najrjeđi gost u praksi, što se ne može reći za sljedeće vrste kombinacija:
Položaji sa ponavljanjima
Iz skupa koji se sastoji od elemenata biraju se elementi, a redoslijed elemenata u svakoj selekciji je važan. I sve bi bilo u redu, ali prilično neočekivana šala je da možemo odabrati bilo koji objekt iz originalnog skupa koliko god puta želimo. Slikovito rečeno, “mnoštvo se neće smanjiti”.
Kada se to dešava? Tipičan primjer je kombinovana brava s nekoliko diskova, ali zbog tehnološkog razvoja relevantnije je uzeti u obzir njenog digitalnog potomka:
Problem 16
Koliko četvorocifrenih PIN kodova postoji?
Rješenje: zapravo, za rješavanje problema dovoljno je poznavanje pravila kombinatorike: na načine možete odabrati prvu cifru PIN koda I načina - druga cifra PIN koda I na toliko načina - treći I isti broj - četvrti. Dakle, prema pravilu množenja kombinacija, četverocifreni pin kod se može sastaviti na: načine.
A sada koristeći formulu. U skladu sa uslovom, nudi nam se set brojeva iz kojih se biraju i raspoređuju brojevi određenim redosledom, dok se brojevi u uzorku mogu ponoviti (tj. bilo koja cifra originalnog skupa može se koristiti proizvoljan broj puta). Prema formuli za broj plasmana sa ponavljanjima: 
Odgovori: 10000
Šta mi ovdje pada na pamet... ...ako bankomat "pojede" karticu nakon trećeg neuspješnog pokušaja unosa PIN koda, onda su šanse da ga nasumično podignete vrlo male.
A ko je rekao da u kombinatorici nema praktični smisao? Kognitivni zadatak za sve čitaoce sajta:
Problem 17
Prema državni standard, registarska tablica automobila se sastoji od 3 broja i 3 slova. U ovom slučaju, broj sa tri nule je neprihvatljiv, a slova se biraju iz skupa A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (koriste se samo ona ćirilična slova čiji se pravopis podudara sa latiničnim slovima).
Koliko se različitih registarskih tablica može kreirati za regiju?
Usput, nije ih toliko mnogo. IN velike regije ova količina nije dovoljna, pa za njih postoji nekoliko kodova za natpis RUS.
Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije. Ne zaboravite da koristite pravila kombinatorike ;-) ...Hteo sam da pokažem šta je ekskluzivno, ali se ispostavilo da nije ekskluzivno =) Pogledao sam Wikipediju - tamo ima kalkulacija, mada bez komentara. Iako u obrazovne svrhe, vjerovatno ga je malo tko riješio.
Naša uzbudljiva lekcija je privedena kraju, i na kraju želim reći da niste gubili vrijeme - iz razloga što kombinatoričke formule nalaze još jednu vitalnu praktičnu primjenu: nalaze se u raznim problemima u teorija vjerovatnoće,
i u problemi koji uključuju klasično određivanje vjerovatnoće– posebno često =)
Hvala svima na aktivnom učešću i vidimo se uskoro!
Rješenja i odgovori:
Zadatak 2: Rješenje: pronađite broj svih mogućih permutacija 4 karte:
Kada se kartica sa nulom stavi na 1. mjesto, broj postaje trocifren, tako da ove kombinacije treba isključiti. Neka nula bude na 1. mjestu, onda se preostale 3 cifre u nižim znamenkama mogu preurediti na različite načine.
Bilješka
: jer Budući da postoji samo nekoliko kartica, ovdje je lako navesti sve opcije:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Dakle, od predloženog skupa možemo napraviti:
24 – 6 = 18 četvorocifrenih brojeva
Odgovori
: 18
Zadatak 4: Rješenje: na načine na koje možete odabrati 3 karte od 36.
Odgovori
: 7140
Zadatak 6: Rješenje: 
načine.
Drugo rješenje
: načini na koje možete odabrati dvije osobe iz grupe i i
2) „Najjeftiniji“ set sadrži 3 kovanice rublje, a najskuplji je 3 deset rubalja.
Problem 17: Rješenje: 
koristeći ove metode, možete kreirati digitalnu kombinaciju broja automobila, dok jednu od njih (000) treba isključiti: .
koristeći ove metode, možete kreirati kombinaciju slova broja registarske tablice.
Prema pravilu množenja kombinacija, zbroj se može napraviti:
registarske tablice
(svaki digitalna kombinacija je kombinovana sa svakim kombinacija slova).
Odgovori
: 1726272
Čitaocima Habrahabra nudim prijevod publikacije “100 Prisoners Escape Puzzle”, koju sam pronašao na web stranici DataGenetics. Sve greške u vezi ovog članka šaljite u privatne poruke.
Prema problemu, u zatvoru je 100 zatvorenika, od kojih svaki ima lični broj od 1 do 100. Zatvorski čuvar odlučuje dati zatvorenicima priliku da budu pušteni i nudi da se podvrgnu testu koji je izmislio. Ako svi zatvorenici uspiju, onda su slobodni, ako barem jedan ne uspije, svi će umrijeti.
Zadatak
Zatvorski čuvar odlazi u tajnu sobu i priprema 100 kutija sa poklopcima. Na svaku kutiju stavlja brojeve od 1 do 100. Zatim donosi 100 papirnih tableta, prema broju zatvorenika, i numeriše ove tablete od 1 do 100. Nakon toga pomiješa 100 tableta i stavi po jednu tabletu u svaku kutiju, zatvaranje poklopca. Zatvorenici ne vide da tamničar izvodi sve ove radnje.Počinje takmičenje, tamničar svakog zatvorenika jednog po jednog vodi u sobu sa kutijama i kaže zatvorenicima da moraju pronaći kutiju u kojoj će biti natpis sa zatvoreničkim brojem. Zatvorenici pokušavaju da pronađu svoje registarske tablice otvarajući kutije. Svakoj osobi je dozvoljeno da otvori do 50 kutija; ako svaki od zatvorenika pronađe svoj broj, onda će zatvorenici biti pušteni, ako barem jedan od njih ne pronađe svoj broj u 50 pokušaja, tada će svi zatvorenici umrijeti.
Da bi zatvorenici bili pušteni, SVI zatvorenici moraju položiti test.
Kolike su šanse da će zatvorenici biti pomilovani?
- Nakon što zatvorenik otvori kutiju i provjeri znak, ona se vraća u kutiju i poklopac se ponovo zatvara;
- Ploče se ne mogu mijenjati na mjestima;
- Zatvorenici ne mogu jedni drugima ostavljati tragove niti komunicirati jedni s drugima na bilo koji način kada test počne;
- Zatvorenici imaju pravo da razgovaraju o strategiji prije početka testa.
Koja je optimalna strategija za zatvorenike?
Dodatno pitanje:
Ako će zatvorenik (koji nije učesnik testa) imati priliku da uđe u tajnu sobu prije početka testa, pregledajte sve znakove u svim kutijama i (opcionalno, ali nije obavezno) zamijenite dva znaka iz dvije kutije ( u ovom slučaju, prijatelj neće imati priliku da - obavesti zatvorenike o rezultatu svojih postupaka), koju strategiju treba preduzeti da poveća šanse zatvorenika za spas?
Je li rješenje malo vjerovatno?
Na prvi pogled, ovaj zadatak izgleda gotovo beznadežan. Čini se da je šansa da svaki zatvorenik pronađe svoj znak mikroskopski mala. Osim toga, zatvorenici ne mogu međusobno razmjenjivati informacije tokom testiranja.Šanse jednog zatvorenika su 50:50. Ima samo 100 kutija i on može otvoriti do 50 kutija u potrazi za svojim znakom. Ako nasumično otvori kutije i otvori polovinu svih kutija, on će pronaći svoj znak u otvorenoj polovini kutija, ili će njegov znak ostati u zatvorenih 50 kutija. Njegove šanse za uspjeh su ½.
Uzmimo dva zarobljenika. Ako oba odaberu kutije nasumično, šanse za svaku od njih će biti ½, a za oba ½x½=¼.
(za dva zatvorenika uspjeh će biti u jednom od četiri slučaja).
Za tri zatvorenika šanse će biti ½ × ½ × ½ = ⅛.
Za 100 zatvorenika, šanse su: ½ × ½ × … ½ × ½ (pomnoženo 100 puta).
Ovo je jednako Pr ≈ 0,00000000000000000000000000000008
Odnosno, ovo je vrlo mala šansa. U ovoj situaciji, najvjerovatnije će svi zatvorenici biti mrtvi.
Nevjerovatan odgovor
Kada bi svaki zatvorenik nasumično otvorio kutije, malo je vjerovatno da će proći test. Postoji strategija u kojoj zatvorenici mogu očekivati uspjeh više od 30% vremena. Ovo je zapanjujuće nevjerovatan rezultat (ako ranije niste čuli za ovaj matematički problem).Više od 30% za svih 100 zatvorenika! Da, ovo je čak i bolje nego šanse za dva zatvorenika, pod uslovom da nasumično otvaraju kutije. Ali kako je to moguće?
Jasno je da po jedan za svakog zatvorenika, šanse ne mogu biti veće od 50% (na kraju krajeva, ne postoji način komunikacije između zatvorenika). Ali ne zaboravite da su informacije pohranjene u rasporedu ploča unutar kutija. Niko ne miješa znakove između pojedinačnih posjeta zatvorenika u prostoriju, tako da možemo koristiti ove informacije.
Rješenje
Prvo ću vam reći rješenje, a zatim ću objasniti zašto funkcionira.Strategija je izuzetno laka. Prvi zatvorenik otvara kutiju sa brojem ispisanim na njegovoj odeći. Na primjer, zatvorenik broj 78 otvara kutiju sa brojem 78. Ako pronađe svoj broj na natpisu unutar kutije, to je odlično! Ako nije, pogleda broj na pločici u „svojoj” kutiji i onda otvori sljedeću kutiju s tim brojem. Nakon što je otvorio drugu kutiju, on gleda na broj ploče unutar ove kutije i otvara treću kutiju s tim brojem. Zatim jednostavno prenosimo ovu strategiju u preostale kutije. Radi jasnoće pogledajte sliku:
Na kraju, zatvorenik će ili pronaći svoj broj ili će dostići ograničenje od 50 kutija. Na prvi pogled, ovo izgleda besmisleno u poređenju sa jednostavnim odabirom kutije nasumično (i za jednog pojedinačnog zatvorenika jeste), ali budući da će svih 100 zatvorenika koristiti isti set kutija, ima smisla.
Ljepota ovog matematičkog problema nije samo poznavanje rezultata, već i razumijevanje Zašto ova strategija funkcionira.
Pa zašto strategija funkcioniše?
Svaka kutija sadrži jedan znak - i ovaj znak je jedinstven. To znači da se ploča nalazi u kutiji sa istim brojem ili pokazuje na drugu kutiju. Pošto su svi znakovi jedinstveni, za svaku kutiju postoji samo jedan znak koji ukazuje na nju (i samo jedan način da se dođe do te kutije).
Ako razmislite o tome, kutije čine zatvoreni kružni lanac. Jedna kutija može biti dio samo jednog lanca, jer unutar kutije postoji samo jedan pokazivač na sljedeći i, shodno tome, u prethodnom polju postoji samo jedan pokazivač na datu kutiju (programeri mogu vidjeti analogiju sa povezanim listama) .
Ako kutija ne pokazuje na sebe (broj kutije je jednak broju ploče u njoj), tada će biti u lancu. Neki lanci se mogu sastojati od dvije kutije, neki su duži.
Pošto svi zatvorenici počinju sa kutijom sa istim brojem kao i njihova odjeća, oni su, po definiciji, postavljeni na lanac koji sadrži njihov znak (postoji samo jedan znak koji ukazuje na tu kutiju).
Istražujući kutije u krugu duž ovog lanca, zagarantovano je da će na kraju pronaći svoj znak.
Ostaje samo pitanje da li će za 50 poteza pronaći svoj znak.
Dužina lanca
Da bi svi zatvorenici prošli test, maksimalna dužina lanca mora biti manja od 50 kutija. Ako je lanac duži od 50 kutija, zatvorenici sa brojevima iz ovih lanaca će pasti na testu - i svi zatvorenici će biti mrtvi.Ako je maksimalna dužina najdužeg lanca manja od 50 kutija, onda će svi zatvorenici proći test!
Razmislite o ovome na trenutak. Ispostavilo se da u bilo kojem rasporedu ploča može postojati samo jedan lanac duži od 50 kutija (imamo samo 100 kutija, pa ako je jedan lanac duži od 50, onda će ostali na kraju biti kraći od 50) .
Šanse za raspored sa dugim lancem
Nakon što ste se uvjerili da za uspjeh maksimalna dužina lanca mora biti manja ili jednaka 50 i da u bilo kojem skupu može postojati samo jedan dugačak lanac, možemo izračunati vjerovatnoću prolaska testa:Još malo matematike
Dakle, šta nam je potrebno da shvatimo vjerovatnoću postojanja dugog lanca?Za lanac dužine l, vjerovatnoća da će kutije biti izvan ovog lanca jednaka je:
U ovoj kolekciji brojeva ima (l-1)! načini postavljanja znakova.
Preostale oznake se mogu locirati (100-l)! načina (ne zaboravite da dužina lanca ne prelazi 50).
S obzirom na ovo, broj permutacija koje sadrže lanac tačne dužine l: (>50)
Ispostavilo se da postoji 100(!) načina za raspoređivanje znakova, pa je vjerovatnoća postojanja lanca dužine l jednaka 1/l. Usput, ovaj rezultat ne ovisi o broju kutija.
Kao što već znamo, može postojati samo jedna opcija u kojoj postoji lanac dužine > 50, pa se vjerovatnoća uspjeha izračunava pomoću ove formule:
Rezultat
31,18% - vjerovatnoća da će veličina najdužeg lanca biti manja od 50 i da će svaki od zatvorenika moći pronaći svoj znak, s obzirom na ograničenje od 50 pokušaja.Vjerovatnoća da će svi zatvorenici pronaći svoje znakove i proći test je 31,18%
Ispod je grafikon koji prikazuje vjerovatnoće (na y-osi) za sve lance dužine l (na x-osi). Crvena boja predstavlja sve „kvarove“ (data kriva je samo 1/l grafikon). Zelena boja znači "uspjeh" (izračun je malo složeniji za ovaj dio grafikona, jer postoji nekoliko načina da se odredi maksimalna dužina<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.
Harmonični broj (ovaj dio članka je za štreberke)
U matematici, n-ti harmonijski broj je zbir recipročnih vrijednosti prvih n uzastopnih brojeva u prirodnom nizu.
Izračunajmo granicu ako umjesto 100a kutija imamo proizvoljno veliki broj kutija (pretpostavimo da imamo ukupno 2n kutija).
Euler-Mascheronijeva konstanta je konstanta definirana kao granica razlike između parcijalnog zbroja harmonijskog niza i prirodnog logaritma broja.
Kako se broj zatvorenika povećava, ako upravnik dozvoli zatvorenicima da otvore polovinu svih kutija, onda šansa za spas teži 30,685%
(Ako ste doneli odluku u kojoj zatvorenici nasumično pogađaju kutije, onda kako se broj zatvorenika povećava, verovatnoća spasa teži nuli!)
Dodatno pitanje
Sjeća li se još neko dodatnog pitanja? Šta naš korisni saputnik može učiniti da poveća naše šanse za preživljavanje?Sada već znamo rješenje, pa je strategija ovdje jednostavna: mora proučiti sve znakove i pronaći najduži lanac kutija. Ako je najduži lanac manji od 50, onda on uopće ne treba mijenjati ploče, niti ih mijenjati tako da najduži lanac ne bude duži od 50. Međutim, ako pronađe lanac duži od 50 kutija, sve što treba učiniti je zamijeniti sadržaj dvije kutije iz tog lanca kako bi podijelio lanac na dva kraća lanca.
Kao rezultat ove strategije, neće biti dugih lanaca i zagarantovano je da će svi zatvorenici pronaći svoj znak i spas. Dakle, zamjenom dva znaka smanjujemo vjerovatnoću spasa na 100%!
