Unul dintre subiectele care necesită atenție și perseverență maximă din partea elevilor este rezolvarea inegalităților. Atât de asemănătoare cu ecuațiile și în același timp foarte diferite de ele. Pentru că rezolvarea lor necesită o abordare specială.

Proprietăți care vor fi necesare pentru a găsi răspunsul

Toate sunt folosite pentru a înlocui o intrare existentă cu una echivalentă. Cele mai multe dintre ele sunt similare cu ceea ce era în ecuații. Dar există și diferențe.

• O funcție care este definită în ODZ, sau orice număr, poate fi adăugată la ambele părți ale inegalității originale.
• La fel, înmulțirea este posibilă, dar numai printr-o funcție sau un număr pozitiv.
• Dacă această acțiune este efectuată cu o funcție sau un număr negativ, atunci semnul de inegalitate trebuie înlocuit cu cel opus.
• Funcțiile care nu sunt negative pot fi ridicate la o putere pozitivă.

Uneori, rezolvarea inegalităților este însoțită de acțiuni care oferă răspunsuri străine. Ele trebuie eliminate prin compararea domeniului DL și a setului de soluții.

Folosind metoda intervalului

Esența sa este de a reduce inegalitatea la o ecuație în care există un zero în partea dreaptă.

1. Determinați zona în care se află valorile admisibile ale variabilelor, adică ODZ.
2. Transformați inegalitatea folosind operații matematice astfel încât partea dreaptă să aibă zero.
3. Înlocuiți semnul inegalității cu „=” și rezolvați ecuația corespunzătoare.
4. Pe axa numerică, marcați toate răspunsurile care au fost obținute în timpul rezolvării, precum și intervalele OD. În caz de inegalitate strictă, punctele trebuie extrase ca fiind perforate. Dacă există un semn egal, atunci ar trebui să fie pictate peste.
5. Determinați semnul funcției inițiale pe fiecare interval obținut din punctele ODZ și răspunsurile care o împart. Dacă semnul funcției nu se schimbă la trecerea printr-un punct, atunci acesta este inclus în răspuns. În caz contrar, este exclus.
6. Punctele de limită pentru ODZ trebuie verificate în continuare și abia apoi incluse sau nu în răspuns.
7. Răspunsul rezultat trebuie scris sub formă de mulțimi combinate.

Un pic despre inegalitățile duble

Ei folosesc două semne de inegalitate simultan. Adică, o anumită funcție este limitată de condiții de două ori simultan. Astfel de inegalități sunt rezolvate ca un sistem de doi, atunci când originalul este împărțit în părți. Iar în metoda intervalului sunt indicate răspunsurile din rezolvarea ambelor ecuații.

Pentru a le rezolva, este permisă și utilizarea proprietăților indicate mai sus. Cu ajutorul lor, este convenabil să reduceți inegalitatea la zero.

Dar inegalitățile care au un modul?

În acest caz, soluția inegalităților folosește următoarele proprietăți și sunt valabile pentru o valoare pozitivă a „a”.

Dacă „x” capătă o expresie algebrică, atunci sunt valabile următoarele înlocuiri:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > de la a la x< -a или х >A.

Dacă inegalitățile nu sunt stricte, atunci și formulele sunt corecte, doar în ele, pe lângă semnul mai mare sau mai mic, apare „=”.

Cum se rezolvă un sistem de inegalități?

Aceste cunoștințe vor fi necesare în cazurile în care este dată o astfel de sarcină sau există o înregistrare a inegalității duble sau un modul apare în evidență. Într-o astfel de situație, soluția vor fi valorile variabilelor care ar satisface toate inegalitățile din înregistrare. Dacă nu există astfel de numere, atunci sistemul nu are soluții.

Planul conform căruia se realizează soluția sistemului de inegalități:

• rezolvați fiecare dintre ele separat;
• descrieți toate intervalele pe axa numerelor și determinați intersecțiile acestora;
• notează răspunsul sistemului, care va fi o combinație a ceea ce sa întâmplat în al doilea paragraf.

Ce să faci cu inegalitățile fracționale?

Deoarece rezolvarea acestora poate necesita schimbarea semnului inegalității, trebuie să urmați foarte atent și cu atenție toate punctele planului. În caz contrar, puteți obține răspunsul opus.

Soluţie inegalități fracționale folosește și metoda intervalului. Și planul de acțiune va fi astfel:

• Folosind proprietățile descrise, dați fracției o astfel de formă încât doar zero să rămână în dreapta semnului.
• Înlocuiți inegalitatea cu „=” și determinați punctele în care funcția va fi egală cu zero.
• Marcați-le pe axa de coordonate. În acest caz, numerele obținute ca rezultat al calculelor la numitor vor fi întotdeauna eliminate. Toate celelalte se bazează pe condiția inegalității.
• Determinați intervalele de constanță ale semnului.
• Ca răspuns, notați uniunea acelor intervale al căror semn corespunde cu cel din inegalitatea inițială.

Situații în care iraționalitatea apare în inegalitate

Cu alte cuvinte, există o rădăcină matematică în notație. Din moment ce în curs şcolarÎn algebră, majoritatea sarcinilor sunt pentru rădăcina pătrată, așa că acesta este ceea ce va fi luat în considerare.

Soluția la inegalitățile iraționale se rezumă la obținerea unui sistem de doi sau trei care să fie echivalent cu cel inițial.

Inegalitatea originală	condiție	sistem echivalent
√ n(x)< m(х)	m(x) mai mic sau egal cu 0	fara solutii
	m(x) mai mare decât 0	n(x) este mai mare sau egal cu 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) mai mare sau egal cu 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) este mai mare sau egal cu 0 m(x) mai mic decât 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) mai mic decât 0	fara solutii
	m(x) mai mare sau egal cu 0	n(x) este mai mare sau egal cu 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) mai mare sau egal cu 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) este mai mare sau egal cu 0 m(x) mai mic decât 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) este mai mare sau egal cu 0 n(x) mai mic decât m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) mai mare decât 0 m(x) mai mic decât 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) mai mare decât 0 m(x) mai mare decât 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) mai mare decât 0
		n(x) este egal cu 0 m(x) - oricare
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) mai mare decât 0
		n(x) este egal cu 0 m(x) - oricare

Exemple de rezolvare a diferitelor tipuri de inegalități

Pentru a adăuga claritate teoriei despre rezolvarea inegalităților, mai jos sunt date exemple.

Primul exemplu. 2x - 4 > 1 + x

Soluție: Pentru a determina ADI, tot ce trebuie să faceți este să priviți îndeaproape inegalitatea. Este format din funcții liniare, prin urmare este definit pentru toate valorile variabilei.

Acum trebuie să scădeți (1 + x) din ambele părți ale inegalității. Rezultă: 2x - 4 - (1 + x) > 0. După ce parantezele sunt deschise și sunt dați termeni similari, inegalitatea va lua următoarea formă: x - 5 > 0.

Echivalându-l cu zero, este ușor să-i găsești soluția: x = 5.

Acum acest punct cu numărul 5 trebuie marcat pe raza de coordonate. Apoi verificați semnele funcției originale. Pe primul interval de la minus infinit la 5, puteți lua numărul 0 și îl puteți înlocui în inegalitatea obținută în urma transformărilor. După calcule rezultă -7 >0. sub arcul intervalului trebuie să semnați un semn minus.

În următorul interval de la 5 la infinit, puteți alege numărul 6. Apoi se dovedește că 1 > 0. Există un semn „+” sub arc. Acest al doilea interval va fi răspunsul la inegalitate.

Răspuns: x se află în intervalul (5; ∞).

Al doilea exemplu. Este necesar să se rezolve un sistem de două ecuații: 3x + 3 ≤ 2x + 1 și 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Soluţie. VA acestor inegalități se află și în regiunea oricăror numere, deoarece sunt date funcții liniare.

A doua inegalitate va lua forma următoarei ecuații: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. După transformare: -x - 4 =0. Aceasta produce o valoare pentru variabilă egală cu -4.

Aceste două numere trebuie marcate pe axă, ilustrând intervale. Deoarece inegalitatea nu este strictă, toate punctele trebuie umbrite. Primul interval este de la minus infinit la -4. Să fie ales numărul -5. Prima inegalitate va da valoarea -3, iar a doua 1. Aceasta înseamnă că acest interval nu este inclus în răspuns.

Al doilea interval este de la -4 la -2. Puteți alege numărul -3 și îl puteți înlocui în ambele inegalități. În primul și al doilea, valoarea este -1. Aceasta înseamnă că sub arcul „-”.

În ultimul interval de la -2 la infinit, cel mai bun număr este zero. Trebuie să-l înlocuiți și să găsiți valorile inegalităților. Primul dintre ele produce un număr pozitiv, iar al doilea un zero. Acest decalaj trebuie, de asemenea, exclus din răspuns.

Dintre cele trei intervale, doar unul este o soluție a inegalității.

Răspuns: x aparține lui [-4; -2].

Al treilea exemplu. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Soluţie. Primul pas este de a determina punctele în care funcțiile dispar. Pentru cel din stânga acest număr va fi 2, pentru cel din dreapta - 1. Trebuie marcate pe fascicul și intervalele de constanță ale semnului determinate.

Pe primul interval, de la minus infinit la 1, funcția din partea stângă a inegalității ia valori pozitive, iar funcția din partea dreaptă ia valori negative. Sub arc trebuie să scrieți două semne „+” și „-” unul lângă celălalt.

Următorul interval este de la 1 la 2. Pe el, ambele funcții iau valori pozitive. Aceasta înseamnă că există două plusuri sub arc.

Al treilea interval de la 2 la infinit va da următorul rezultat: funcția din stânga este negativă, funcția din dreapta este pozitivă.

Luând în considerare semnele rezultate, trebuie să calculați valorile inegalității pentru toate intervalele.

Prima produce următoarea inegalitate: 2 - x > - 2 (x - 1). Minusul dinaintea celor doi din a doua inegalitate se datorează faptului că această funcție este negativă.

După transformare, inegalitatea arată astfel: x > 0. Oferă imediat valorile variabilei. Adică din acest interval se va răspunde doar la intervalul de la 0 la 1.

Pe al doilea: 2 - x > 2 (x - 1). Transformările vor da următoarea inegalitate: -3x + 4 este mai mare decât zero. Zeroul său va fi x = 4/3. Luând în considerare semnul de inegalitate, rezultă că x trebuie să fie mai mic decât acest număr. Aceasta înseamnă că acest interval este redus la un interval de la 1 la 4/3.

Acesta din urmă dă următoarea inegalitate: - (2 - x) > 2 (x - 1). Transformarea lui conduce la următoarele: -x > 0. Adică, ecuația este adevărată când x este mai mic decât zero. Aceasta înseamnă că pe intervalul necesar inegalitatea nu oferă soluții.

În primele două intervale, numărul limită s-a dovedit a fi 1. Trebuie verificat separat. Adică, înlocuiți-o în inegalitatea originală. Rezultă: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Calculul arată că 1 este mai mare decât 0. Aceasta este afirmație adevărată, deci unul este inclus în răspuns.

Răspuns: x se află în intervalul (0; 4/3).

În termeni mai simpli, putem spune că acestea sunt inegalități în care există o variabilă doar până la gradul I, și nu se află la numitorul fracției.

Exemple:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Exemplele nu sunt inegalități liniare:

\(3>-2\) – nu există variabile aici, doar numere, ceea ce înseamnă că aceasta este o inegalitate numerică
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – există o variabilă la numitor, aceasta
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - există o variabilă la a doua putere, aceasta este

Rezolvarea inegalităților liniare

Rezolvarea inegalității va exista orice număr a cărui substituire în locul variabilei va face ca inegalitatea să fie adevărată. Rezolvați inegalitatea- înseamnă găsirea tuturor acestor numere.

De exemplu, pentru inegalitatea \(x-2>0\) numărul \(5\) va fi soluția, deoarece când înlocuim cinci în loc de x, obținem numărul corect: \(3>0\). Dar numărul \(1\) nu va fi o soluție, deoarece înlocuirea va avea ca rezultat o inegalitate numerică incorectă: \(-1>0\) . Dar soluția inegalității va fi nu numai cinci, ci și \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) și un număr infinit de numere: orice număr mai mare de doi.

Prin urmare, inegalitățile liniare nu pot fi rezolvate prin căutarea și înlocuirea valorilor. În schimb, folosiți-le duce la una dintre următoarele:

\(X c\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), unde \(с\) este orice număr

Răspunsul este apoi marcat pe linia numerică și scris ca (numit și interval).

În general, dacă știi să rezolvi, atunci poți face inegalități liniare, deoarece procesul de rezolvare este foarte asemănător. Există un singur plus important:

Exemplu. Rezolvați inegalitatea \(2(x+1)-1<7+8x\)
Soluţie:

Răspuns: \(x\in(-1;\infty)\)

Cazul special nr. 1: soluția inegalității - orice număr

În inegalitățile liniare, este posibilă o situație când absolut orice număr poate fi folosit ca soluție - întreg, fracționar, negativ, pozitiv, zero... De exemplu, această inegalitate \(x+2>x\) va fi adevărată pentru orice valoarea lui x. Ei bine, cum s-ar putea altfel, pentru că la X a fost adăugat un doi din stânga, dar nu și din dreapta. Desigur, numărul din stânga va fi mai mare, indiferent de ce X luăm.

Exemplu. Rezolvați inegalitatea \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Soluţie:

Răspuns: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Cazul special nr. 2: inegalitatea nu are soluții

Este posibilă și situația opusă, când o inegalitate liniară nu are deloc soluții, adică niciun x nu o va face adevărată. De exemplu, \(x-2>x\) nu va fi niciodată adevărat, deoarece doi este scăzut din x în stânga, dar nu în dreapta. Asta înseamnă că în stânga va fi întotdeauna mai puțin, nu mai mult.

Exemplu. Rezolvați inegalitatea \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Soluţie:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		Numitorii ne ies în cale. Scăpăm imediat de ele înmulțind toate inegalitățile cu numitorul comun al tuturor, adică cu 6
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)		Să deschidem parantezele
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		Să tăiem ce poate fi tăiat
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		În stânga vom deschide paranteza, iar în dreapta vom prezenta termeni similari
\(3x-15>3x-4\)		Deplasați \(3x\) la stânga și \(-15\) la dreapta, schimbând semnele
\(3x-3x>-4+15\)		Prezentăm din nou termeni similari
		Ați primit o inegalitate numerică incorectă. Și va fi incorect pentru orice x, deoarece nu afectează în niciun fel inegalitatea rezultată. Aceasta înseamnă că orice valoare a lui X nu va fi o soluție.

Răspuns: \(x\in\varnothing\)

În acest articol răspund la o altă întrebare a abonaților mei. Întrebările vin în moduri diferite. Nu toate sunt formulate corect. Iar unele dintre ele sunt formulate în așa fel încât să nu fie imediat clar ce vrea autorul să întrebe. Prin urmare, dintre varietatea uriașă de întrebări trimise, trebuie să aleg unele cu adevărat interesante, astfel de „perle”, răspunsuri care nu sunt doar incitante, ci și utile, după cum mi se pare, pentru ceilalți cititori ai mei. Și astăzi răspund la una dintre aceste întrebări. Cum se descrie setul de soluții la un sistem de inegalități?


E într-adevăr buna intrebare. Pentru că metoda solutie grafica problemele de matematică este o metodă foarte puternică. O persoană este proiectată în așa fel încât să îi fie mai convenabil să perceapă informații cu ajutorul diferitelor materiale vizuale. Prin urmare, dacă stăpâniți această metodă, atunci credeți-mă, vă va fi indispensabilă atât atunci când rezolvați sarcini de la Examenul de stat unificat, în special din partea a doua, alte examene, cât și când rezolvați probleme de optimizare și așa mai departe, și așa mai departe .

Deci aici este. Cum putem răspunde la această întrebare? Să începem simplu. Fie ca sistemul de inegalități să conțină o singură variabilă.

Exemplul 1. Desenați mulțimea soluțiilor sistemului de inegalități: Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Să simplificăm acest sistem. Pentru a face acest lucru, adăugați 7 la ambele părți ale primei inegalități și împărțiți ambele părți la 2, fără a schimba semnul inegalității, deoarece 2 este un număr pozitiv. Adăugăm 4 la ambele părți ale celei de-a doua inegalități. Ca rezultat, obținem următorul sistem de inegalități:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

De obicei, o astfel de problemă se numește unidimensională. De ce? Da, pentru că pentru a descrie multe dintre soluțiile sale, este suficient de directă. O linie numerică, mai exact. Să notăm punctele 6 și 8 pe această linie numerică. Este clar că punctul 8 va fi mai la dreapta decât punctul 6, deoarece pe linia numerică, numerele mai mari sunt la dreapta celor mai mici. În plus, punctul 8 va fi umbrit, deoarece, conform notării primei inegalități, acesta este inclus în soluția sa. Dimpotrivă, punctul 6 va fi neumbrit, deoarece nu este inclus în soluția celei de-a doua inegalități:

Să marchem acum cu o săgeată deasupra valorilor care sunt mai mici sau egale cu 8, așa cum este cerut de prima inegalitate a sistemului, și cu o săgeată dedesubt - valori care sunt mai mari decât 6, așa cum este cerut de a doua inegalitate a sistemului:

Rămâne să răspundem la întrebarea unde se află pe linia numerică soluțiile sistemului de inegalități. Amintește-ți odată pentru totdeauna. Simbolul sistemului - acolada - la matematică înlocuiește conjuncția „I”. Adică, traducând limbajul formulelor în limbajul uman, putem spune că ni se cere să indicăm valori care sunt mai mari decât 6 ȘI mai mici sau egale cu 8. Adică, intervalul necesar se află la intersecția celor marcate. intervale:

Deci am prezentat setul de soluții ale sistemului de inegalități pe dreapta numerică în cazul în care sistemul de inegalități conține o singură variabilă. Acest interval umbrit include toate valorile pentru care sunt satisfăcute toate inegalitățile scrise în sistem.

Să luăm acum în considerare un caz mai complex. Fie că sistemul nostru conține inegalități cu două variabile și . În acest caz, nu va fi posibil să folosiți doar o linie dreaptă pentru a descrie soluțiile unui astfel de sistem. Trecem dincolo de lumea unidimensională și îi adăugăm o altă dimensiune. Aici avem nevoie de un avion întreg. Să ne uităm la situație folosind un exemplu specific.

Deci, cum putem descrie setul de soluții pentru un sistem dat de inegalități cu două variabile într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan? Să începem cu cel mai simplu lucru. Să ne întrebăm ce regiune a acestui plan este determinată de inegalitate. Ecuația specifică o linie dreaptă perpendiculară pe axă BOU prin punctul (0;0). Adică, de fapt, această linie dreaptă coincide cu axa OY. Ei bine, deoarece ne interesează valorile care sunt mai mari sau egale cu 0, atunci întregul semiplan situat în dreapta dreptei este potrivit:

Mai mult, toate punctele care se află pe axă OY, sunt potrivite și pentru noi, deoarece inegalitatea nu este strictă.

Pentru a înțelege ce zonă de pe planul de coordonate definește cea de-a treia inegalitate, trebuie să trasați funcția. Aceasta este o linie dreaptă care trece prin origine și, de exemplu, prin punctul (1;1). Adică, de fapt, este o linie dreaptă care conține bisectoarea unghiului care formează primul sfert de coordonate.

Acum să ne uităm la a treia inegalitate din sistem și să ne gândim. Ce zonă trebuie să găsim? Hai sa ne uitam: . Semn mai mare sau egal. Adică, situația este similară cu cea din exemplul precedent. Numai că aici „mai mult” nu înseamnă „mai mult la dreapta”, ci „mai sus”. Deoarece OY- aceasta este axa noastră verticală. Adică, aria definită pe plan de a treia inegalitate este mulțimea de puncte situate deasupra liniei sau pe aceasta:

Cu prima inegalitate sistemul este puțin mai puțin convenabil. Dar după ce am reușit să determinăm zona definită de a treia inegalitate, cred că este deja clar cum să acționăm.

Este necesar să se prezinte această inegalitate în așa fel încât să existe doar variabila în stânga și doar variabila în dreapta. Pentru a face acest lucru, scădeți din ambele părți ale inegalității și împărțiți ambele părți la 2, fără a schimba semnul inegalității, deoarece 2 este un număr pozitiv. Ca rezultat, obținem următoarea inegalitate:

Tot ce rămâne este să trasezi o linie dreaptă pe planul de coordonate care intersectează axa OYîn punctul A(0;4) și o dreaptă în punctul . Pe acesta din urmă l-am învățat egalând părțile din dreapta ale ecuațiilor de linii și obținând ecuația. Din această ecuație se găsește coordonata punctului de intersecție, iar coordonata, cred că ați ghicit-o, este egală cu coordonata. Pentru cei care încă nu au ghicit, acest lucru se datorează faptului că avem ecuația uneia dintre liniile care se intersectează: .

De îndată ce am tras această linie dreaptă, putem marca imediat zona dorită. Semnul de inegalitate aici este „mai mic sau egal cu”. Aceasta înseamnă că zona dorită este situată sub sau direct pe linia dreaptă reprezentată:

Ei bine, ultima întrebare. Unde este regiunea dorită care satisface toate cele trei inegalități ale sistemului? Evident, se află la intersecția tuturor celor trei zone marcate. Traversăm din nou! Amintiți-vă: semnul de sistem în matematică înseamnă intersecție. Iată, această zonă:

Ei bine, ultimul exemplu. Chiar mai general. Să presupunem acum că nu avem o variabilă în sistem, nici două, ci cât trei!

Deoarece există trei variabile, pentru a descrie setul de soluții la un astfel de sistem de inegalități, vom avea nevoie de o a treia dimensiune în plus față de cele două cu care am lucrat în exemplul anterior. Adică, ieșim din avion în spațiu și înfățișăm un sistem de coordonate spațiale cu trei dimensiuni: X, YȘi Z. Care corespunde cu lungimea, lățimea și înălțimea.

Să începem prin a descrie în acest sistem de coordonate suprafața specificată de ecuație. În formă, este foarte asemănător cu ecuația unui cerc pe un plan, doar un termen mai este adăugat cu variabila . Este ușor de ghicit că aceasta este ecuația unei sfere cu un centru în punctul (1;3;2), pătratul a cărui rază este 4. Adică, raza în sine este 2.

Apoi o întrebare. Atunci ce stabilește inegalitatea însăși? Pentru cei care sunt perplexi de această întrebare, propun să raționeze după cum urmează. Traducând limbajul formulelor în limbajul uman, putem spune că este necesară indicarea tuturor sferelor cu centru în punctul (1;3;2), ale căror raze sunt mai mici sau egale cu 2. Dar atunci toate aceste sfere vor fi situate în interiorul sferei reprezentate! Adică, de fapt, această inegalitate specifică întreaga regiune internă a sferei reprezentate. Dacă doriți, o minge este definită, delimitată de sfera reprezentată:

Suprafața definită de ecuația x+y+z=4 este un plan care intersectează axele de coordonate în punctele (0;0;4), (0;4;0) și (4;0;0). Ei bine, este clar că cu cât numărul din dreapta semnului egal este mai mare, cu atât mai departe de centrul de coordonate vor fi situate punctele de intersecție ale acestui plan cu axele de coordonate. Adică, a doua inegalitate specifică un semi-spațiu situat „deasupra” unui plan dat. Folosind termenul convențional „mai mare”, mă refer mai departe în direcția creșterii valorilor coordonatelor de-a lungul axelor.

Acest plan intersectează sfera reprezentată. În acest caz, secțiunea de intersecție este un cerc. Puteți chiar să calculați la ce distanță de centrul sistemului de coordonate se află centrul acestui cerc. Apropo, cine ghiceste cum să facă asta, scrie-ți soluțiile și răspunsurile în comentarii. Astfel, sistemul inițial de inegalități specifică o regiune a spațiului care este situată mai departe de acest plan în direcția coordonatelor crescătoare, dar închisă în sfera reprezentată:

Iată câte soluții la un sistem de inegalități sunt descrise. Dacă în sistem există mai multe variabile decât 3 (de exemplu, 4), nu va mai fi posibil să se descrie clar setul de soluții. Pentru că acest lucru ar necesita un sistem de coordonate 4-dimensional. Dar persoana normala incapabil să-și imagineze cum ar putea fi localizate 4 axe de coordonate reciproc perpendiculare. Deși am un prieten care susține că poate face asta, și cu ușurință. Nu știu dacă spune adevărul, poate spune adevărul. Dar totuși, imaginația umană normală nu permite acest lucru.

Sper că ați găsit lecția de azi utilă. Pentru a verifica cât de bine ai înțeles-o, fă temele de mai jos.

Desenați setul de soluții ale sistemului de inegalități:

ql-right-eqno"> title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Material pregătit de Serghei Valerievich

Atenţie!
Există suplimentare
materiale în Secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce s-a întâmplat „inegalitate pătratică”? Nicio întrebare!) Dacă iei orice ecuație pătraticăși înlocuiți semnul din el "=" (egal) cu orice semn de inegalitate ( > ≥ < ≤ ≠ ), obținem o inegalitate pătratică. De exemplu:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ei bine, ai inteles...)

Nu degeaba am legat aici ecuații și inegalități. Ideea este că primul pas în rezolvare orice inegalitatea pătratică - rezolvați ecuația din care se face această inegalitate. Din acest motiv - incapacitatea de a decide ecuații pătratice duce automat la eșecul complet în inegalități. Aluzia este clară?) Dacă ceva, uite cum se rezolvă orice ecuații pătratice. Totul este descris acolo în detaliu. Și în această lecție ne vom ocupa de inegalități.

Inegalitatea gata de rezolvare are forma: în stânga este un trinom pătratic ax 2 +bx+c, în dreapta - zero. Semnul inegalității poate fi absolut orice. Primele două exemple sunt aici sunt deja gata să ia o decizie. Al treilea exemplu mai trebuie pregătit.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.