vezi și Rezolvarea grafică a unei probleme de programare liniară, Forma canonică a problemelor de programare liniară

Sistemul de constrângeri pentru o astfel de problemă constă din inegalități în două variabile:
iar funcţia obiectiv are forma F = C 1 X + C 2 y care trebuie maximizat.

Să răspundem la întrebarea: ce perechi de numere ( X; y) sunt soluții ale sistemului de inegalități, adică satisfac fiecare dintre inegalități simultan? Cu alte cuvinte, ce înseamnă să rezolvi un sistem grafic?
Mai întâi trebuie să înțelegeți care este soluția la unul inegalitatea liniară cu două necunoscute.
Rezolvarea unei inegalități liniare cu două necunoscute înseamnă determinarea tuturor perechilor de valori necunoscute pentru care inegalitatea este valabilă.
De exemplu, inegalitatea 3 X – 5y≥ 42 satisface perechi ( X , y): (100, 2); (3, –10), etc. Sarcina este de a găsi toate astfel de perechi.
Să luăm în considerare două inegalități: topor + de≤ c, topor + de≥ c. Drept topor + de = cîmparte planul în două semiplane astfel încât coordonatele punctelor unuia dintre ele să satisfacă inegalitatea topor + de >c, iar cealaltă inegalitate topor + +de <c.
Într-adevăr, să luăm un punct cu coordonate X = X 0; apoi un punct situat pe o linie și având o abscisă X 0, are o ordonată

Lasă pentru certitudine A< 0, b>0, c>0. Toate punctele cu abscisă X 0 culcat deasupra P(de exemplu, punct M), avea y M>y 0 și toate punctele sub punct P, cu abscisă X 0, au y N<y 0 . Deoarece X 0 este un punct arbitrar, atunci vor exista întotdeauna puncte pe o parte a liniei pentru care topor+ de > c, formând un semiplan, iar pe cealaltă parte - puncte pentru care topor + de< c.

Poza 1

Semnul de inegalitate în semiplan depinde de numere A, b , c.
Aceasta implică următoarea metodă pentru rezolvarea grafică a sistemelor de inegalități liniare în două variabile. Pentru a rezolva sistemul aveți nevoie de:

1. Pentru fiecare inegalitate, scrieți ecuația corespunzătoare acestei inegalități.
2. Construiți linii drepte care sunt grafice ale funcțiilor specificate prin ecuații.
3. Pentru fiecare linie, determinați semiplanul, care este dat de inegalitate. Pentru a face acest lucru, luați un punct arbitrar care nu se află pe o dreaptă și înlocuiți coordonatele sale în inegalitate. dacă inegalitatea este adevărată, atunci semiplanul care conține punctul ales este soluția inegalității inițiale. Dacă inegalitatea este falsă, atunci semiplanul de pe cealaltă parte a dreptei este mulțimea soluțiilor acestei inegalități.
4. Pentru a rezolva un sistem de inegalități, este necesar să găsiți aria de intersecție a tuturor semiplanurilor care sunt soluția fiecărei inegalități a sistemului.

Această zonă se poate dovedi goală, atunci sistemul de inegalități nu are soluții și este inconsecvent. În caz contrar, se spune că sistemul este consistent.
Poate exista un număr finit sau un număr infinit de soluții. Zona poate fi un poligon închis sau nelimitată.

Să ne uităm la trei exemple relevante.

Exemplul 1. Rezolvați sistemul grafic:
X + y – 1 ≤ 0;
–2X - 2y + 5 ≤ 0.

• se consideră ecuațiile x+y–1=0 și –2x–2y+5=0 corespunzătoare inegalităților;
• Să construim drepte date de aceste ecuații.

Figura 2

Să definim semiplanurile definite de inegalități. Să luăm un punct arbitrar, fie (0; 0). Sa luam in considerare X+ y– 1 0, înlocuiți punctul (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Aceasta înseamnă că în semiplanul în care se află punctul (0; 0), X + y – 1 ≤ 0, adică semiplanul aflat sub linie este o soluție a primei inegalități. Înlocuind acest punct (0; 0) în al doilea, obținem: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, i.e. în semiplanul în care se află punctul (0; 0), –2 X – 2y+ 5≥ 0 și am fost întrebați unde –2 X – 2y+ 5 ≤ 0, prin urmare, în celălalt semiplan - în cel de deasupra dreptei.
Să găsim intersecția acestor două semiplane. Dreptele sunt paralele, deci planele nu se intersectează nicăieri, ceea ce înseamnă că sistemul acestor inegalități nu are soluții și este inconsecvent.

Exemplul 2. Găsiți grafic soluții ale sistemului de inegalități:

Figura 3
1. Să scriem ecuațiile corespunzătoare inegalităților și să construim drepte.
X + 2y– 2 = 0

X	2	0
y	0	1

y – X – 1 = 0

X	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. După ce am ales punctul (0; 0), determinăm semnele inegalităților în semiplanuri:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, adică. X + 2y– 2 ≤ 0 în semiplanul de sub dreapta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, adică y –X– 1 ≤ 0 în semiplanul de sub dreapta;
0 + 2 =2 ≥ 0, adică y+ 2 ≥ 0 în semiplanul de deasupra dreptei.
3. Intersecția acestor trei semiplane va fi o zonă care este un triunghi. Nu este dificil să găsiți vârfurile regiunii ca puncte de intersecție ale liniilor corespunzătoare


Prin urmare, A(–3; –2), ÎN(0; 1), CU(6; –2).

Să luăm în considerare un alt exemplu în care domeniul soluției rezultat al sistemului nu este limitat.

L.A. Kustova

profesor de matematică

Voronezh, MBOU Lyceum No. 5

Proiect

„Avantajele metodei grafice pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.”

Clasă:

7-11

Articol:

Matematică

Obiectiv de cercetare:

A-si da seamaavantajele metodei grafice de rezolvare a ecuaţiilor şi inegalităţilor.

Ipoteză:

Unele ecuații și inegalități sunt mai ușor și mai plăcut din punct de vedere estetic de rezolvat grafic.

Etape de cercetare:

Comparați metodele de soluție analitică și graficăecuații și inegalități.

Aflați în ce cazuri are avantaje metoda grafică.

Luați în considerare rezolvarea ecuațiilor cu modul și parametru.

Rezultatele cercetării:

1.Frumusețea matematicii este o problemă filozofică.

2.La rezolvarea unor ecuații și inecuații, o soluție graficăcel mai practic și mai atractiv.

3. Puteți aplica atractivitatea matematicii la școală folosind o soluție graficăecuații și inegalități.

„Științele matematice au atras o atenție deosebită încă din cele mai vechi timpuri,

În prezent, ei au primit și mai mult interes în influența lor asupra artei și industriei.”

Pafnutiy Lvovich Cebyshev.

Începând din clasa a VII-a avem în vedere diferite căi rezolvarea ecuațiilor și inegalităților, inclusiv a celor grafice. Cei care cred că matematica este o știință uscată, cred eu, își schimbă părerile când văd cât de frumos pot fi rezolvate unele tipuriecuații și inegalități. Permiteți-mi să vă dau câteva exemple:

1).Rezolvați ecuația: = .

O puteți rezolva analitic, adică ridicați ambele părți ale ecuației la a treia putere și așa mai departe.

Metoda grafică este convenabilă pentru această ecuație dacă trebuie pur și simplu să indicați numărul de soluții.

Sarcini similare sunt adesea întâlnite la rezolvarea blocului „geometrie” al OGE de clasa a 9-a.

2).Rezolvați ecuația cu parametrul:

││ X│- 4│= A

Nu cel mai bun exemplu complex, dar dacă rezolvați analitic, va trebui să deschideți parantezele modulului de două ori și pentru fiecare caz să luați în considerare posibilele valori ale parametrului. Grafic totul este foarte simplu. Desenăm grafice de funcții și vedem că:

Surse:

Program de calculator Grafic avansat .

Rezolvarea grafică a ecuațiilor

Ziua de glorie, 2009

Introducere

Necesitatea rezolvării ecuațiilor pătratice în antichitate a fost cauzată de nevoia de a rezolva probleme legate de găsirea suprafețelor de teren și cu lucrările de săpături militare, precum și de dezvoltarea astronomiei și matematicii în sine. Babilonienii au fost capabili să rezolve ecuații patratice în jurul anului 2000 î.Hr. Regula de rezolvare a acestor ecuații, expusă în textele babiloniene, coincide în esență cu cele moderne, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă.

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice din Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene.

Dar regula generala soluțiile ecuațiilor pătratice pentru toate combinațiile posibile de coeficienți b și c au fost formulate în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

În 1591 Francois Viet a introdus formule de rezolvare a ecuaţiilor pătratice.

În Babilonul antic ei puteau rezolva unele tipuri de ecuații pătratice.

Diofantul Alexandriei Și Euclid, Al-KhwarizmiȘi Omar Khayyam ecuații rezolvate folosind metode geometrice și grafice.

În clasa a VII-a am studiat funcțiile y = C, y =kx, y =kx+ m, y =X 2,y = –X 2, in clasa a VIII-a - y = √X, y =|X|, y =topor2 + bx+ c, y =k/ X. În manualul de algebră de clasa a IX-a, am văzut funcții care nu îmi erau încă cunoscute: y =X 3, y =X 4,y =X 2n, y =X- 2n, y = 3√X, (X– A) 2 + (y –b) 2 = r 2 și altele. Există reguli pentru construirea graficelor acestor funcții. M-am întrebat dacă există și alte funcții care respectă aceste reguli.

Sarcina mea este să studiez graficele funcțiilor și să rezolv ecuații grafic.

1. Care sunt funcțiile?

Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentelor, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.

Funcția liniară este dată de ecuație y =kx+ b, Unde kȘi b- unele numere. Graficul acestei funcții este o linie dreaptă.

Funcție invers proporțională y =k/ X, unde k ¹ 0. Graficul acestei funcții se numește hiperbolă.

Funcţie (X– A) 2 + (y –b) 2 = r2 , Unde A, bȘi r- unele numere. Graficul acestei funcții este un cerc cu raza r cu centrul în punctul A ( A, b).

Funcția pătratică y= topor2 + bx+ c Unde A,b, Cu– niște numere și A¹ 0. Graficul acestei funcții este o parabolă.

Ecuația la2 (A– X) = X2 (A+ X) . Graficul acestei ecuații va fi o curbă numită strofoid.

/>Ecuația (X2 + y2 ) 2 = A(X2 – y2 ) . Graficul acestei ecuații se numește lemniscata lui Bernoulli.

Ecuația. Graficul acestei ecuații se numește astroid.

Curba (X2 y2 – 2 topoare)2 =4a2 (X2 + y2 ) . Această curbă se numește cardioid.

Functii: y =X 3 – parabolă cubică, y =X 4, y = 1/X 2.

2. Conceptul de ecuație și soluția sa grafică

Ecuația– o expresie care conține o variabilă.

Rezolvați ecuația- asta înseamnă să-i găsești toate rădăcinile, sau să dovedești că acestea nu există.

Rădăcina ecuației este un număr care, atunci când este substituit într-o ecuație, produce o egalitate numerică corectă.

Rezolvarea grafică a ecuațiilor vă permite să găsiți valoarea exactă sau aproximativă a rădăcinilor, vă permite să găsiți numărul de rădăcini ale ecuației.

Când se construiesc grafice și se rezolvă ecuații, se folosesc proprietățile unei funcții, motiv pentru care metoda este adesea numită funcțional-grafic.

Pentru a rezolva ecuația, o „împărțim” în două părți, introducem două funcții, construim graficele lor și găsim coordonatele punctelor de intersecție ale graficelor. Abcisele acestor puncte sunt rădăcinile ecuației.

3. Algoritm pentru trasarea graficului unei funcții

Cunoașterea graficului unei funcții y =f(X) , puteți construi grafice ale funcțiilor y =f(X+ m) ,y =f(X)+ lȘi y =f(X+ m)+ l. Toate aceste grafice sunt obținute din graficul funcției y =f(X) folosind transformarea de transport paralel: to │ m│ unități de scară la dreapta sau la stânga de-a lungul axei x și mai departe │ l│ unități de scară în sus sau în jos de-a lungul unei axe y.

4. Soluție grafică ecuație pătratică

Folosind o funcție pătratică ca exemplu, vom lua în considerare soluția grafică a unei ecuații pătratice. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă.

Ce știau grecii antici despre parabolă?

Simbolismul matematic modern a apărut în secolul al XVI-lea.

Vechii matematicieni greci nu aveau nici metoda coordonatelor, nici conceptul de funcție. Cu toate acestea, proprietățile parabolei au fost studiate în detaliu de către aceștia. Ingeniozitatea matematicienilor antici este pur și simplu uimitoare - la urma urmei, ei puteau folosi doar desene și descrieri verbale ale dependențelor.

Cel mai pe deplin a explorat parabola, hiperbola și elipsa Apollonius din Perga, care a trăit în secolul al III-lea î.Hr. El a dat nume acestor curbe și a indicat ce condiții le îndeplinesc punctele situate pe cutare sau cutare curbă (la urma urmei, nu existau formule!).

Există un algoritm pentru construirea unei parabole:

Aflați coordonatele vârfului parabolei A (x0; y0): X=- b/2 A;

y0=axo2+in0+s;

Aflați axa de simetrie a parabolei (dreaptă x=x0);

PAGE_BREAK--

Alcătuim un tabel de valori pentru construirea punctelor de control;

Construim punctele rezultate și construim puncte care sunt simetrice față de ele în raport cu axa de simetrie.

1. Folosind algoritmul, vom construi o parabolă y= X2 – 2 X– 3 . Abscisele punctelor de intersecție cu axa Xși există rădăcini ale ecuației pătratice X2 – 2 X– 3 = 0.

Există cinci moduri de a rezolva această ecuație grafic.

2. Să împărțim ecuația în două funcții: y= X2 Și y= 2 X+ 3

3. Să împărțim ecuația în două funcții: y= X2 –3 Și y=2 X. Rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor de intersecție ale parabolei și ale dreptei.

4. Transformați ecuația X2 – 2 X– 3 = 0 prin izolarea unui pătrat complet în funcții: y= (X–1) 2 Și y=4. Rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor de intersecție ale parabolei și ale dreptei.

5. Împărțiți ambele părți ale ecuației termen cu termen X2 – 2 X– 3 = 0 pe X, primim X– 2 – 3/ X= 0 , să împărțim această ecuație în două funcții: y= X– 2, y= 3/ X. Rădăcinile ecuației sunt abscisele punctelor de intersecție ale dreptei și hiperbolei.

5. Rezolvarea grafică a ecuațiilor de graden

Exemplul 1. Rezolvați ecuația X5 = 3 – 2 X.

y= X5 , y= 3 – 2 X.

Răspuns: x = 1.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația 3 √ X= 10 – X.

Rădăcinile acestei ecuații sunt abscisa punctului de intersecție a graficelor a două funcții: y= 3 √ X, y= 10 – X.

Răspuns: x = 8.

Concluzie

După ce am analizat graficele funcțiilor: y =topor2 + bx+ c, y =k/ X, у = √X, y =|X|, y =X 3, y =X 4,y = 3√X, Am observat că toate aceste grafice sunt construite după regula translației paralele în raport cu axele XȘi y.

Folosind exemplul de rezolvare a unei ecuații pătratice, putem concluziona că metoda grafică este aplicabilă și pentru ecuațiile de gradul n.

Metode grafice soluțiile ecuațiilor sunt frumoase și de înțeles, dar nu oferă o garanție de 100% a rezolvării vreunei ecuații. Abcisele punctelor de intersecție ale graficelor pot fi aproximative.

În clasa a IX-a și la liceu voi continua să mă familiarizez cu alte funcții. Sunt interesat să știu dacă acele funcții respectă regulile transferului paralel atunci când își construiesc graficele.

Pe anul urmator De asemenea, aș dori să iau în considerare problemele rezolvării grafice a sistemelor de ecuații și inegalități.

Literatură

1. Algebră. clasa a 7-a. Partea 1. Manual pentru instituţiile de învăţământ / A.G. Mordkovici. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebră. clasa a 8-a. Partea 1. Manual pentru instituţiile de învăţământ / A.G. Mordkovici. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebră. clasa a 9-a. Partea 1. Manual pentru instituţiile de învăţământ / A.G. Mordkovici. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Clasele VII–VIII. – M.: Educație, 1982.

5. Jurnalul de Matematică Nr. 5 2009; nr. 8 2007; Nr. 23 2008.

6. Rezolvarea grafică a ecuațiilor site-uri de pe Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

În timpul lecției, veți putea studia în mod independent subiectul „Rezolvarea grafică a ecuațiilor și inegalităților”. În timpul lecției, profesorul va examina metode grafice de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților. Vă va învăța cum să construiți grafice, să le analizați și să obțineți soluții la ecuații și inegalități. Lecția va acoperi, de asemenea exemple concrete pe această temă.

Subiect: Funcții numerice

Lecția: Rezolvarea grafică a ecuațiilor, inegalităților

1. Tema lecției, introducere

Ne-am uitat la grafice functii elementare, inclusiv grafica funcții de putere cu indicatori diferiți. De asemenea, ne-am uitat la regulile de deplasare și transformare a graficelor de funcții. Toate aceste abilități trebuie aplicate atunci când este necesar graficsoluţie ecuații sau grafice soluţieinegalităților.

2. Rezolvarea grafică a ecuațiilor și inegalităților

Exemplul 1: Rezolvați ecuația grafic:

Să construim grafice ale funcțiilor (Fig. 1).

Graficul unei funcții este o parabolă care trece prin puncte

Graficul funcției este o linie dreaptă, să o construim folosind tabelul.

Graficele se intersectează în punctul Nu există alte puncte de intersecție, deoarece funcția crește monoton, funcția scade monoton și, prin urmare, punctul lor de intersecție este singurul.

Exemplul 2: Rezolvați inegalitatea

A. Pentru ca inegalitatea să se mențină, graficul funcției trebuie să fie situat deasupra dreptei (Fig. 1). Acest lucru se face când

b. În acest caz, dimpotrivă, parabola trebuie să fie sub linia dreaptă. Acest lucru se face când

Exemplul 3. Rezolvarea inegalității

Să construim grafice de funcții (Fig. 2).

Să găsim rădăcina ecuației Când nu există soluții. Există o singură soluție.

Pentru ca inegalitatea să fie valabilă, hiperbola trebuie să fie situată deasupra liniei.Acest lucru este adevărat atunci când .

Exemplul 4. Rezolvați grafic inegalitatea:

Domeniu:

Să construim grafice de funcții pentru (Fig. 3).

A. Graficul funcției trebuie să fie situat sub grafic; acest lucru se face atunci când

b. Graficul funcției este situat deasupra graficului la Dar, deoarece condiția are un semn slab, este important să nu se piardă rădăcina izolată

3. Concluzie

Ne-am uitat la metoda grafică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților; Ne-am uitat la exemple specifice, a căror soluție a folosit proprietăți ale funcțiilor precum monotonitatea și paritatea.

1. Mordkovich A.G. et al., Algebră clasa a IX-a: Manual. Pentru invatamantul general Instituții.- Ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. și colab.. Algebră clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina și colab. - ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu. N. Algebră. Clasa a IX-a: educațională. pentru studenții din învățământul general. instituții / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — Ed. a VII-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. clasa a 9-a. a 16-a ed. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — Ed. a XII-a, șters. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebră. clasa a 9-a. În 2 părți Partea 2. Cartea cu probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina și alții; Ed. A. G. Mordkovici. — Ed. a XII-a, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. Secția colegiu. ru la matematică.

2. Proiectul Internet „Sarcini”.

3. Portal educațional„VOI REZOLVA UTILIZAREA.”

1. Mordkovich A.G. și colab.. Algebră clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina și colab. - ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. Nr. 355, 356, 364.

Graficul unei inegalități liniare sau pătratice este construit în același mod ca și graficul oricărei funcții (ecuație). Diferența este că o inegalitate implică mai multe soluții, deci graficul unei inegalități nu este doar un punct pe o dreaptă numerică sau o dreaptă pe un plan de coordonate. Folosind operații matematice și semnul inegalității, puteți determina multe soluții la inegalitate.

Pași

Reprezentarea grafică a inegalității liniare pe dreapta numerică

1. Rezolvați inegalitatea. Pentru a face acest lucru, izolați variabila folosind aceleași tehnici algebrice pe care le utilizați pentru a rezolva orice ecuație. Amintiți-vă că atunci când înmulțiți sau împărțiți o inegalitate cu un număr (sau termen) negativ, inversați semnul inegalității.

   • De exemplu, având în vedere inegalitatea 3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Pentru a izola o variabilă, scădeți 9 din ambele părți ale inegalității și apoi împărțiți ambele părți la 3:
     3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • O inegalitate trebuie să aibă o singură variabilă. Dacă inegalitatea are două variabile, este mai bine să reprezentați graficul pe planul de coordonate.

2. Desenați o linie numerică. Pe linia numerică, marcați valoarea pe care ați găsit-o (variabila poate fi mai mică, mai mare sau egală cu această valoare). Desenați o linie numerică de lungimea potrivită (lungă sau scurtă).

   • De exemplu, dacă calculezi asta y > 1 (\displaystyle y>1), marcați valoarea 1 pe linia numerică.

3. Desenați un cerc pentru a reprezenta valoarea găsită. Dacă variabila este mai mică decât ( < {\displaystyle <} ) sau mai mult ( > (\displaystyle >)) din această valoare, cercul nu este completat deoarece setul de soluții nu include această valoare. Dacă variabila este mai mică sau egală cu ( ≤ (\displaystyle \leq )) sau mai mare sau egal cu ( ≥ (\displaystyle \geq )) la această valoare, cercul este umplut deoarece setul de soluții include această valoare.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), pe linia numerică, desenați un cerc deschis în punctul 1 deoarece 1 nu este în mulțimea soluției.

4. Pe linia numerică, umbriți regiunea care definește setul de soluții. Dacă variabila este mai mare decât valoarea găsită, umbriți zona din dreapta acesteia, deoarece setul de soluții include toate valorile care sunt mai mari decât valoarea găsită. Dacă variabila este mai mică decât valoarea găsită, umbriți zona din stânga acesteia, deoarece setul de soluții include toate valorile care sunt mai mici decât valoarea găsită.

   • De exemplu, dacă este dată inegalitatea y > 1 (\displaystyle y>1), pe linia numerică, umbriți zona din dreapta lui 1 deoarece setul de soluții include toate valorile mai mari decât 1.

   Reprezentarea grafică a inegalității liniare pe planul de coordonate

   1. Rezolvați inegalitatea (aflați valoarea y (\displaystyle y)). Pentru a obține o ecuație liniară, izolați variabila din partea stângă folosind tehnici algebrice familiare. Ar trebui să existe o variabilă în partea dreaptă x (\displaystyle x)și poate unele constante.

      • De exemplu, având în vedere inegalitatea 3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Pentru a izola o variabilă y (\displaystyle y), scădeți 9 din ambele părți ale inegalității și apoi împărțiți ambele părți la 3:
        3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x - 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Desenați un grafic pe planul de coordonate ecuație liniară. desenați un grafic așa cum ați face un grafic al oricărei ecuații liniare. Trasează intersecția cu Y și apoi folosește panta pentru a trasa celelalte puncte.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) reprezentați grafic ecuația y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele , iar panta este 3 (sau 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Deci, mai întâi trasează punctul cu coordonatele (0 , - 3) (\displaystyle (0,-3)); punctul de deasupra punctului de intersecție a axei y are coordonate (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); punctul de sub punctul de intersecție a axei Y are coordonatele (− 1 , - 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Desenați o linie dreaptă. Dacă inegalitatea este strictă (include semnul < {\displaystyle <} sau > (\displaystyle >)), trageți o linie punctată deoarece setul de soluții nu include valori pe linie. Dacă inegalitatea nu este strictă (include semnul ≤ (\displaystyle \leq ) sau ≥ (\displaystyle \geq )), trageți o linie continuă, deoarece setul de soluții include valori care se află pe linie.

      • De exemplu, în cazul inegalității y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) trageți o linie punctată deoarece setul de soluții nu include valori pe linie.

   4. Umbriți zona corespunzătoare. Dacă inegalitatea este de formă y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), umbriți zona de deasupra liniei. Dacă inegalitatea este de formă y< m x + b {\displaystyle y, umbriți zona de sub linie.

      • De exemplu, în cazul inegalității y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) umbriți zona de deasupra liniei.

   Reprezentarea grafică a inegalității pătratice pe planul de coordonate

   1. Determinați că această inegalitate este pătratică. Inegalitatea pătratică are forma a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Uneori, inegalitatea nu conține o variabilă de ordinul întâi ( x (\displaystyle x)) și/sau un termen liber (constant), dar include în mod necesar o variabilă de ordinul doi ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Variabile x (\displaystyle x)Și y (\displaystyle y) trebuie izolate pe diferite laturi ale inegalitatii.

      • De exemplu, trebuie să reprezentați grafic inegalitatea y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Desenați un grafic pe planul de coordonate. Pentru a face acest lucru, convertiți inegalitatea într-o ecuație și graficați-o așa cum ați reprezenta grafic orice ecuație pătratică. Amintiți-vă că graficul unei ecuații pătratice este o parabolă.

      • De exemplu, în cazul inegalității y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y reprezentați grafic o ecuație pătratică y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Vârful parabolei este în punct (5 , - 9) (\displaystyle (5,-9)), iar parabola intersectează axa X în puncte (2 , 0) (\displaystyle (2,0))Și (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).