Tehtävät, joiden ratkaisu on logaritmisen lausekkeiden muuntaminen, joka löytyy melko usein kokeesta.

Jotta pystyt selviytymään niistä onnistuneesti minimaalisella ajankäytöllä, on logaritmisen perusidentiteetin lisäksi tiedettävä ja käytettävä oikein joitain muita kaavoja.

Tämä on: a log a b = b, missä a, b > 0, a ≠ 1 (Se seuraa suoraan logaritmin määritelmästä).

log a b = log c b / log c a tai log a b = 1/log b a
jossa a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
missä a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
jossa a, b, c > 0 ja a, b, c ≠ 1

Neljännen yhtälön pätevyyden osoittamiseksi otamme a-kannan vasemman ja oikean puolen logaritmin. Saamme log a (a log c b) = log a (b log c a) tai log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); loki b:llä = log b:llä.

Olemme todistaneet logaritmien yhtäläisyyden, mikä tarkoittaa, että myös logaritmien alla olevat lausekkeet ovat yhtä suuret. Formula 4 on todistettu.

Esimerkki 1

Laske 81 log 27 5 log 5 4 .

Päätös.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5.

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Sitten 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Voit suorittaa seuraavan tehtävän itse.

Laske (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Vihjeenä 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Vastaus: 5.

Esimerkki 2

Laske (√11) Hirsi √3 9 log 121 81 .

Päätös.

Korvataan lausekkeet: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (käytettiin kaavaa 3).

Sitten (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Esimerkki 3

Laske log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Päätös.

Korvaamme esimerkin logaritmit logaritmeilla, joiden kanta on 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Sitten log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).

Sulujen avaamisen ja samankaltaisten termien pienentämisen jälkeen saadaan luku 3. (Kun lauseketta yksinkertaistetaan, log 2 3 voidaan merkitä n:llä ja yksinkertaistaa lauseketta

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Vastaus: 3.

Voit tehdä seuraavat toimet itse:

Laske (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Tässä on tarpeen siirtyä logaritmeihin kannassa 3 ja hajotella suurten lukujen alkutekijöiksi.

Vastaus: 1/2

Esimerkki 4

Kolme numeroa annetaan A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Järjestä ne nousevaan järjestykseen.

Päätös.

Muunnetaan luvut A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Verrataanpa niitä

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 ja log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Tai 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Vastaus. Siksi numeroiden järjestys: C; JA; AT.

Esimerkki 5

Kuinka monta kokonaislukua välissä on (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Päätös.

Selvitetään, minkä potenssien välillä luvun 3 on luku 1/16. Saamme 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Koska funktio y \u003d log 3 x kasvaa, niin log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Vertaa log 6 (4/3) ja 1/5. Ja tätä varten vertaamme numeroita 4/3 ja 6 1/5. Nosta molemmat luvut viidenteen potenssiin. Saamme (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

loki 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Siksi väli (log 3 1 / 16 ; log 6 48) sisältää intervallin [-2; 4] ja siihen asetetaan kokonaisluvut -2; -1; 0; 1; 2; 3; neljä.

Vastaus: 7 kokonaislukua.

Esimerkki 6

Laske 3 lglg 2 / lg 3 - lg20.

Päätös.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 log g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Sitten 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Vastaus: -1.

Esimerkki 7

Tiedetään, että log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Etsi log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Päätös.

Numerot (√3 + 1) ja (√3 - 1); (√6 - 2) ja (√6 + 2) ovat konjugoituja.

Suoritetaan seuraava lausekkeiden muunnos

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Sitten log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Vastaus: 2-A.

Esimerkki 8.

Yksinkertaista ja löydä lausekkeen likimääräinen arvo (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Päätös.

Vähennämme kaikki logaritmit yhteiseen kantaan 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010. (Lg 2:n likimääräinen arvo löytyy taulukon, diaviivan tai laskimen avulla).

Vastaus: 0,3010.

Esimerkki 9.

Laske log a 2 b 3 √(a 11 b -3), jos log √ a b 3 = 1. (Tässä esimerkissä a 2 b 3 on logaritmin kanta).

Päätös.

Jos log √ a b 3 = 1, niin 3/(0,5 log a b = 1. Ja log a b = 1/6.

Sitten log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)), että log ja b = 1/6 saamme (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Vastaus: 2.1.

Voit tehdä seuraavat toimet itse:

Laske log √3 6 √2.1 jos log 0.7 27 = a.

Vastaus: (3 + a) / (3a).

Esimerkki 10

Laske 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Päätös.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2) /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (kaava 4))

Saamme 9 + 6 = 15.

Vastaus: 15.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö ole varma, kuinka löytää logaritmisen lausekkeen arvon?
Avun saaminen tutorilta -.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Kuten tiedät, kun lausekkeita kerrotaan potenssien kanssa, niiden eksponentit laskevat aina yhteen (a b * a c = a b + c). Tämän matemaattisen lain johti Arkhimedes, ja myöhemmin, 800-luvulla, matemaatikko Virasen loi taulukon kokonaislukuindikaattoreista. Juuri he palvelivat logaritmien edelleen löytämistä. Esimerkkejä tämän funktion käytöstä löytyy melkein kaikkialta, missä vaaditaan yksinkertaista monimutkainen kertolasku yksinkertaiseen yhteenlaskuun. Jos käytät 10 minuuttia tämän artikkelin lukemiseen, selitämme sinulle, mitä logaritmit ovat ja miten niitä käytetään. Yksinkertainen ja helppokäyttöinen kieli.

Määritelmä matematiikassa

Logaritmi on seuraavan muodon lauseke: log a b=c, eli minkä tahansa ei-negatiivisen luvun (eli minkä tahansa positiivisen) logaritmi "b" kantansa "a" mukaan katsotaan "c":n potenssiksi. ", johon on tarpeen nostaa kantaa "a", jotta lopulta saadaan arvo "b". Analysoidaan logaritmia esimerkein, oletetaan, että on lauseke log 2 8. Miten löytää vastaus? Se on hyvin yksinkertaista, sinun täytyy löytää sellainen tutkinto, että 2:sta vaadittuun tutkintoon saat 8. Kun olet tehnyt joitain laskelmia mielessäsi, saamme luvun 3! Ja aivan oikein, koska 2 potenssilla 3 antaa vastauksessa luvun 8.

Logaritmien lajikkeet

Monille oppilaille ja opiskelijoille tämä aihe näyttää monimutkaiselta ja käsittämättömältä, mutta itse asiassa logaritmit eivät ole niin pelottavia, tärkeintä on ymmärtää niiden yleinen merkitys ja muistaa niiden ominaisuudet ja jotkut säännöt. On olemassa kolmenlaisia ​​logaritmisia lausekkeita:

1. Luonnollinen logaritmi ln a, jossa kanta on Eulerin luku (e = 2,7).
2. Desimaali a, jossa kantaluku on 10.
3. Minkä tahansa luvun b logaritmi kantaan a>1.

Jokainen niistä ratkaistaan ​​tavallisella tavalla, mukaan lukien yksinkertaistaminen, pelkistys ja myöhempi pelkistys yhdeksi logaritmiksi logaritmisilla teoreemoilla. Oikeiden logaritmien arvojen saamiseksi tulee muistaa niiden ominaisuudet ja toimintojen järjestys päätöksissä.

Säännöt ja joitain rajoituksia

Matematiikassa on useita sääntöjä-rajoituksia, jotka hyväksytään aksioomina, eli niistä ei keskustella ja ne ovat totta. Esimerkiksi lukuja on mahdotonta jakaa nollalla, ja on myös mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria negatiivisista luvuista. Logaritmeilla on myös omat sääntönsä, joita noudattamalla opit helposti toimimaan myös pitkien ja tilavien logaritmien lausekkeiden kanssa:

• kanta "a" on aina suurempi kuin nolla, eikä samalla oltava yhtä suuri kuin 1, muuten lauseke menettää merkityksensä, koska "1" ja "0" missä tahansa määrin ovat aina yhtä suuria kuin niiden arvot;
• jos a > 0, niin a b > 0, käy ilmi, että "c":n on oltava suurempi kuin nolla.

Kuinka ratkaista logaritmit?

Esimerkiksi tehtävänä annettiin löytää vastaus yhtälöön 10 x \u003d 100. Se on erittäin helppoa, sinun on valittava tällainen teho, nostamalla numeroa kymmenen, johon saamme 100. Tämä on tietysti 10 2 \u003d 100.

Esitetään nyt tämä lauseke logaritmisena. Saamme log 10 100 = 2. Logaritmeja ratkottaessa kaikki toiminnot käytännöllisesti katsoen konvergoivat sen selvittämiseen, missä määrin logaritmin kanta on syötettävä tietyn luvun saamiseksi.

Jotta voit määrittää tuntemattoman asteen arvon tarkasti, sinun on opittava työskentelemään astetaulukon kanssa. Se näyttää tältä:

Kuten näet, jotkin eksponentit voidaan arvata intuitiivisesti, jos sinulla on tekninen ajattelutapa ja tietoa kertotaulukosta. Suuremmat arvot vaativat kuitenkin tehotaulukon. Sitä voivat käyttää myös ne, jotka eivät ymmärrä yhtään mitään monimutkaisista matemaattisista aiheista. Vasemmassa sarakkeessa on numeroita (kanta a), ylimmällä numerorivillä on potenssin c arvo, johon luku a korotetaan. Solujen leikkauskohdassa määritetään numeroiden arvot, jotka ovat vastaus (a c =b). Otetaan esimerkiksi aivan ensimmäinen solu numerolla 10 ja neliötetään se, saamme arvon 100, joka on merkitty kahden solumme leikkauspisteeseen. Kaikki on niin yksinkertaista ja helppoa, että jopa todellisin humanisti ymmärtää!

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Osoittautuu, että tietyissä olosuhteissa eksponentti on logaritmi. Siksi mitkä tahansa matemaattiset numeeriset lausekkeet voidaan kirjoittaa logaritmisiksi yhtälöiksi. Esimerkiksi 3 4 =81 voidaan kirjoittaa logaritmina 81 kantaan 3, joka on neljä (log 3 81 = 4). varten negatiivisia voimia säännöt ovat samat: 2 -5 \u003d 1/32 kirjoitamme logaritmin muodossa, saamme log 2 (1/32) \u003d -5. Yksi kiehtovimmista matematiikan osista on "logaritmien" aihe. Käsittelemme yhtälöiden esimerkkejä ja ratkaisuja hieman alempana heti niiden ominaisuuksien tutkimisen jälkeen. Katsotaanpa nyt, miltä epäyhtälöt näyttävät ja miten ne voidaan erottaa yhtälöistä.

Esitetään seuraavan muotoinen lauseke: log 2 (x-1) > 3 - se on logaritminen epäyhtälö, koska tuntematon arvo "x" on logaritmin etumerkin alla. Ja myös lausekkeessa verrataan kahta suuruutta: halutun luvun logaritmi kakkoskahdessa on suurempi kuin luku kolme.

Tärkein ero logaritmien yhtälöiden ja epäyhtälöiden välillä on se, että yhtälöt, joissa on logaritmi (esim. logaritmi 2 x = √9) sisältävät yhden tai useamman tietyn numeerisen arvon vastauksessa, kun taas epäyhtälöä ratkaistaessa molemmat hyväksyttävät arvot ja pisteet, jotka rikkovat tämän toiminnon. Tämän seurauksena vastaus ei ole yksinkertainen joukko yksittäisiä lukuja, kuten yhtälön vastauksessa, vaan jatkuva numerosarja tai joukko.

Peruslauseita logaritmeista

Ratkaistaessa primitiivisiä tehtäviä logaritmin arvojen löytämiseksi, sen ominaisuuksia ei ehkä tunneta. Logaritmisista yhtälöistä tai epäyhtälöistä tulee kuitenkin ennen kaikkea ymmärtää ja soveltaa käytännössä kaikki logaritmien perusominaisuudet. Tutustumme yhtälöesimerkkeihin myöhemmin, analysoidaan ensin jokaista ominaisuutta yksityiskohtaisemmin.

1. Perusidentiteetti näyttää tältä: a logaB =B. Sitä sovelletaan vain, jos a on suurempi kuin 0, ei yhtä kuin yksi ja B on suurempi kuin nolla.
2. Tuloksen logaritmi voidaan esittää seuraavalla kaavalla: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Tässä tapauksessa edellytyksenä on: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Voit todistaa tämän logaritmien kaavan esimerkeillä ja ratkaisulla. Olkoon log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, sitten a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saadaan, että s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (asteominaisuudet ), ja edelleen määritelmän mukaan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mikä oli todistettava.
3. Osamäärän logaritmi näyttää tältä: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Kaavan muodossa oleva lause saa seuraavan muodon: log a q b n = n/q log a b.

Tätä kaavaa kutsutaan "logaritmin asteen ominaisuudeksi". Se muistuttaa tavallisten asteiden ominaisuuksia, eikä se ole yllättävää, koska kaikki matematiikka perustuu säännöllisiin postulaatteihin. Katsotaanpa todistetta.

Kirjataan a b \u003d t, niin käy ilmi a t \u003d b. Jos nostat molemmat osat potenssiin m: a tn = b n ;

mutta koska a tn = (a q) nt/q = b n , joten log a q b n = (n*t)/t, niin log a q b n = n/q log a b. Lause on todistettu.

Esimerkkejä ongelmista ja eriarvoisuudesta

Yleisimmät logaritmiongelmien tyypit ovat esimerkkejä yhtälöistä ja epäyhtälöistä. Ne löytyvät lähes kaikista ongelmakirjoista, ja ne sisältyvät myös matematiikan kokeiden pakolliseen osaan. Yliopistoon pääsyä tai läpäisyä varten pääsykokeet matematiikassa sinun on tiedettävä, kuinka ratkaista tällaiset ongelmat oikein.

Valitettavasti logaritmin tuntemattoman arvon ratkaisemiseksi ja määrittämiseksi ei ole olemassa yhtä suunnitelmaa tai suunnitelmaa, mutta jokaista matemaattista epäyhtälöä tai logaritmista yhtälöä voidaan soveltaa tietyt säännöt. Ensinnäkin sinun tulee selvittää, voidaanko lauseke yksinkertaistaa tai pelkistää yleisnäkymä. Yksinkertaista pitkä logaritmiset lausekkeet Voit, jos käytät niiden ominaisuuksia oikein. Tutustutaan heihin pian.

Päätettäessä logaritmiset yhtälöt, on tarpeen määrittää, millainen logaritmi meillä on edessämme: lausekkeen esimerkki voi sisältää luonnollisen logaritmin tai desimaalilogaritmin.

Tässä on esimerkkejä ln100, ln1026. Heidän ratkaisunsa tiivistyy siihen tosiasiaan, että sinun on määritettävä, missä määrin kanta 10 on yhtä suuri kuin 100 ja 1026. Luonnollisten logaritmien ratkaisuissa on käytettävä logaritmisia identiteettejä tai niiden ominaisuuksia. Katsotaanpa esimerkkejä erityyppisten logaritmien ongelmien ratkaisemisesta.

Logaritmikaavojen käyttäminen: Esimerkkejä ja ratkaisuja

Katsotaanpa siis esimerkkejä logaritmien päälauseiden käytöstä.

1. Tuloksen logaritmin ominaisuutta voidaan käyttää tehtävissä, joissa on tarpeen laajentaa hyvin tärkeä luvut b yksinkertaisempiin tekijöihin. Esimerkiksi log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastaus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kuten näette, logaritmin asteen neljättä ominaisuutta käyttämällä onnistuimme ratkaisemaan ensi silmäyksellä monimutkaisen ja ratkaisemattoman lausekkeen. On tarpeen vain kertoa kanta ja ottaa sitten eksponenttiarvot pois logaritmin etumerkistä.

Tehtävät kokeesta

Logaritmeja löytyy usein pääsykokeista, erityisesti paljon logaritmisongelmia Unified State Examissa (valtiokoe kaikille valmistuneille). Yleensä nämä tehtävät eivät ole vain osassa A (kokeen helpoin testiosa), vaan myös osassa C (vaikeimmat ja laajimmat tehtävät). Tentti edellyttää tarkkaa ja täydellistä tietoa aiheesta "Luonnolliset logaritmit".

Esimerkit ja ongelmanratkaisut on otettu virallisilta KÄYTÄ vaihtoehtoja. Katsotaan kuinka tällaiset tehtävät ratkaistaan.

Annettu log 2 (2x-1) = 4. Ratkaisu:
kirjoitetaan lauseke uudelleen yksinkertaistaen sitä hieman log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmin määritelmällä saadaan, että 2x-1 = 2 4 , siis 2x = 17; x = 8,5.

• Kaikki logaritmit on parasta pelkistää samaan kantaan, jotta ratkaisu ei ole hankala ja hämmentävä.
• Kaikki logaritmin etumerkin alla olevat lausekkeet on merkitty positiivisiksi, joten kun otetaan pois lausekkeen eksponentti, joka on logaritmin etumerkin alla ja sen kantana, logaritmin alle jäävän lausekkeen tulee olla positiivinen.

Yksi primitiivisen tason algebran elementeistä on logaritmi. Nimi tuli kreikkalainen sanasta "numero" tai "teho" ja tarkoittaa tehoa, johon on tarpeen nostaa numero pohjassa lopullisen luvun löytämiseksi.

Logaritmien tyypit

• log a b on luvun b logaritmi kantaan a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - desimaalilogaritmi (logaritmin kantaluku 10, a = 10);
• ln b - luonnollinen logaritmi (logaritmin kanta e, a = e).

Kuinka ratkaista logaritmit?

Luvun b logaritmi kantaan a on eksponentti, mikä edellyttää, että kanta a nostetaan luvuksi b. Tulos lausutaan näin: "b:n logaritmi a:n kantaan". Ratkaisu logaritmisihin ongelmiin on, että sinun on määritettävä annettu aste määritetyillä luvuilla olevilla luvuilla. On olemassa joitakin perussääntöjä logaritmin määrittämiseen tai ratkaisemiseen sekä itse merkinnän muuntamiseen. Niiden avulla ratkaistaan ​​logaritmiset yhtälöt, löydetään derivaatat, ratkaistaan ​​integraalit ja suoritetaan monia muita operaatioita. Pohjimmiltaan ratkaisu logaritmiin itsessään on sen yksinkertaistettu merkintä. Alla on tärkeimmät kaavat ja ominaisuudet:

Kaikille a ; a > 0; a ≠ 1 ja mille tahansa x:lle; y > 0.

• a log a b = b on logaritminen perusidentiteetti
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , kun k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - uuteen kantaan siirtymisen kaava
• log a x = 1/log x a

Kuinka ratkaista logaritmit - vaiheittaiset ratkaisuohjeet

• Kirjoita ensin vaadittu yhtälö.

Huomaa: jos peruslogaritmi on 10, tietuetta lyhennetään, saadaan desimaalilogaritmi. Jos on luonnollinen luku e, niin kirjoitetaan muistiin, vähennetään luonnolliseen logaritmiin. Se tarkoittaa, että kaikkien logaritmien tulos on potenssi, johon perusluku nostetaan luvun b saamiseksi.

Suoraan ratkaisu on tämän asteen laskemisessa. Ennen lausekkeen ratkaisemista logaritmilla se on yksinkertaistettava säännön mukaan eli kaavoilla. Löydät tärkeimmät identiteetit palaamalla artikkelissa hieman taaksepäin.

Kun lisäät ja vähennät logaritmeja kahdella eri luvulla, mutta joilla on sama kanta, korvaa yhdellä logaritmilla lukujen b ja c tulolla tai jaolla. Tässä tapauksessa voit soveltaa siirtymäkaavaa toiseen kantaan (katso yllä).

Jos käytät lausekkeita logaritmin yksinkertaistamiseksi, on joitain rajoituksia huomioitava. Ja se on: logaritmin a kanta on vain positiivinen luku, mutta ei yhtä suuri kuin yksi. Numeron b, kuten a, on oltava suurempi kuin nolla.

On tapauksia, joissa lausekkeen yksinkertaistamisen jälkeen et voi laskea logaritmia numeerisessa muodossa. Tapahtuu, että tällaisessa lausekkeessa ei ole järkeä, koska monet asteet ovat irrationaalisia lukuja. Jätä tässä tilanteessa luvun potenssi logaritmiksi.

Logaritmiset lausekkeet, esimerkkien ratkaisu. Tässä artikkelissa tarkastelemme logaritmien ratkaisemiseen liittyviä ongelmia. Tehtävät herättävät kysymyksen lausekkeen arvon löytämisestä. On huomattava, että logaritmin käsitettä käytetään monissa tehtävissä ja on erittäin tärkeää ymmärtää sen merkitys. USE:n osalta logaritmia käytetään yhtälöiden ratkaisemisessa, sovellettavissa tehtävissä sekä funktioiden tutkimiseen liittyvissä tehtävissä.

Tässä on esimerkkejä logaritmin merkityksen ymmärtämiseksi:

Logaritmisen perusidentiteetti:

Logaritmien ominaisuudet, jotka sinun tulee aina muistaa:

*Tulostuksen logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien summa.

* * *

* Osamäärän (murto-osan) logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien erotus.

* * *

* Asteen logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin ja sen kantaluvun logaritmi.

* * *

*Siirtyminen uuteen tukikohtaan

* * *

Lisää kiinteistöjä:

* * *

Logaritmien laskeminen liittyy läheisesti eksponentin ominaisuuksien käyttöön.

Luettelemme joitain niistä:

Tämän ominaisuuden ydin on, että siirrettäessä osoittaja nimittäjään ja päinvastoin eksponentin etumerkki muuttuu päinvastaiseksi. Esimerkiksi:

Tämän ominaisuuden seuraus:

* * *

Kun potenssi nostetaan potenssiksi, kanta pysyy samana, mutta eksponentit kerrotaan.

* * *

Kuten näet, logaritmin käsite on yksinkertainen. Pääasia, että tarvitaan hyvää käytäntöä, joka antaa tietyn taidon. Toki kaavojen tuntemus on pakollista. Jos alkeislogaritmien muuntamisen taitoa ei muodostu, yksinkertaisia ​​tehtäviä ratkaistaessa voidaan helposti tehdä virhe.

Harjoittele, ratkaise ensin matematiikan kurssin yksinkertaisimmat esimerkit ja siirry sitten monimutkaisempiin. Tulevaisuudessa näytän ehdottomasti, kuinka "rumat" logaritmit ratkaistaan, sellaisia ​​​​ei tule kokeessa, mutta ne ovat mielenkiintoisia, älä missaa sitä!

Siinä kaikki! Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Lueteltuja yhtäläisyyksiä muunnettaessa lausekkeita logaritmeilla käytetään sekä oikealta vasemmalle että vasemmalta oikealle.

On syytä huomata, että ominaisuuksien seurauksia ei tarvitse muistaa: muunnoksia suoritettaessa selviää logaritmien perusominaisuuksilla ja muilla tosiasioilla (esim. b≥0:lla), joista vastaavat seuraukset seuraa. Tämän lähestymistavan "sivuvaikutus" on vain, että ratkaisu on hieman pidempi. Esimerkiksi, jotta voidaan tehdä ilman seurausta, joka ilmaistaan ​​kaavalla , ja alkaen vain logaritmien perusominaisuuksista, sinun on suoritettava seuraavan muodon muunnosketju: .

Sama voidaan sanoa yllä olevan luettelon viimeisestä ominaisuudesta, joka vastaa kaavaa , koska se seuraa myös logaritmien perusominaisuuksista. Tärkeintä on ymmärtää, että on aina mahdollista, että positiivisen luvun aste logaritmilla eksponentissa vaihtaa asteen kantaa ja luku logaritmin etumerkin alla. Rehellisyyden nimissä todetaan, että esimerkit tällaisten muunnosten toteuttamisesta ovat käytännössä harvinaisia. Annamme alla muutamia esimerkkejä.

Numeeristen lausekkeiden muuntaminen logaritmeilla

Muistimme logaritmien ominaisuudet, nyt on aika oppia käyttämään niitä käytäntöön lausekkeiden muuntamiseksi. On luonnollista aloittaa numeeristen lausekkeiden muuntamisesta, ei muuttujalausekkeista, koska niillä on mukavampaa ja helpompaa oppia perusasiat. Joten teemme, ja aloitamme hyvin yksinkertaisia ​​esimerkkejä opetella valitsemaan logaritmin haluttu ominaisuus, mutta monimutkaistamme esimerkkejä vähitellen siihen asti, kun lopputuloksen saamiseksi on käytettävä useita ominaisuuksia peräkkäin.

Valitse haluamasi logaritmien ominaisuus

Logaritmien ominaisuuksia ei ole niin vähän, ja on selvää, että sinun on voitava valita niistä sopiva, mikä tässä nimenomaisessa tapauksessa johtaa haluttuun tulokseen. Yleensä tämä ei ole vaikeaa tehdä vertaamalla muunnettavan logaritmin tai lausekkeen muotoa logaritmien ominaisuuksia ilmaisevien kaavojen vasemman ja oikean osan tyyppeihin. Jos jonkin kaavan vasen tai oikea puoli vastaa annettua logaritmia tai lauseketta, niin todennäköisesti juuri tätä ominaisuutta tulisi käyttää muunnoksen aikana. Seuraavat esimerkit osoittavat tämän selvästi.

Aloitetaan esimerkeillä lausekkeiden muuntamisesta logaritmin määritelmän avulla, joka vastaa kaavaa a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Esimerkki.

Laske, jos mahdollista: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Päätös.

Esimerkissä kirjain a) näyttää selkeästi rakenteen a log a b , jossa a=5 , b=4 . Nämä luvut täyttävät ehdot a>0 , a≠1 , b>0 , joten voit turvallisesti käyttää yhtälöä a log a b =b . Meillä on 5 log 5 4=4 .

b) Tässä a=10, b=1+2 π, ehdot a>0, a≠1, b>0 täyttyvät. Tässä tapauksessa tapahtuu yhtälö 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) Ja tässä esimerkissä on kyse asteesta muotoa a log a b , jossa ja b=ln15 . Niin .

Vaikka se kuuluu samaan muotoon a log a b (tässä a=2 , b=−7 ), kirjaimen d) alla olevaa lauseketta ei voida muuntaa kaavalla a log a b =b . Syynä on, että siinä ei ole järkeä, koska se sisältää negatiivisen luvun logaritmimerkin alla. Lisäksi luku b=−7 ei täytä ehtoa b>0, mikä tekee mahdottomaksi turvautua kaavaan a log a b =b, koska se vaatii ehdot a>0, a≠1, b>0. Ei siis voida puhua arvon 2 log 2 (−7) laskemisesta. Tässä tapauksessa 2 log 2 (−7) = −7 kirjoittaminen olisi virhe.

Vastaavasti e)-kirjaimen alla olevassa esimerkissä on mahdotonta antaa muotoa olevaa ratkaisua , koska alkuperäisessä ilmaisussa ei ole järkeä.

Vastaus:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) ilmaisuilla ei ole järkeä.

Usein on hyödyllistä muuntaa positiivinen luku jonkin positiivisen ei-yhden luvun potenssiksi logaritmin eksponentissa. Se perustuu samaan logaritmin määritelmään a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , mutta kaavaa sovelletaan oikealta vasemmalle, eli muodossa b=a log a b . Esimerkiksi 3=e ln3 tai 5=5 log 5 5 .

Siirrytään logaritmien ominaisuuksien käyttöön lausekkeiden muuntamiseen.

Esimerkki.

Laske lausekkeen arvo: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Päätös.

Kirjainten a), b) ja c) alla olevissa esimerkeissä on annettu lausekkeet log −2 1, log 1 1, log 0 1, joissa ei ole järkeä, koska logaritmin kanta ei saa sisältää negatiivista lukua, nolla tai yksi, koska olemme määrittäneet logaritmin vain positiiviselle ja ei-yksikkökantaiselle. Siksi esimerkeissä a) - c) ei voi olla kysymys lausekkeen arvon löytämisestä.

Kaikissa muissa tehtävissä logaritmien kannassa on ilmeisesti positiivisia ja ei-yksikköluvut 7, e, 10, 3,75 ja 5 π 7, ja yksiköt ovat kaikkialla logaritmien etumerkkien alla. Ja tiedämme yksikön logaritmin ominaisuuden: log a 1=0 mille tahansa a>0 , a≠1 . Näin ollen lausekkeiden b) - f) arvot ovat nolla.

Vastaus:

a), b), c) lausekkeissa ei ole järkeä, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0.

Esimerkki.

Laske: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 -2 (5 π 3 -2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Päätös.

On selvää, että meidän on käytettävä kannan logaritmin ominaisuutta, joka vastaa kaavaa log a a=1 kun a>0 , a≠1 . Itse asiassa kaikissa kirjaimissa olevissa tehtävissä logaritmin merkin alla oleva numero on sama kuin sen kanta. Siten haluan heti sanoa, että kunkin annetun lausekkeen arvo on 1 . Älä kuitenkaan kiirehdi johtopäätöksiin: tehtävissä kirjainten a) - d) alla lausekkeiden arvot ovat todella yhtä suuria kuin yksi, ja tehtävissä e) ja f) alkuperäiset lausekkeet eivät ole järkeviä, joten se ei voi sanotaan, että näiden lausekkeiden arvot ovat yhtä suuria kuin 1.

Vastaus:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 -2 (5 π 3 -2) = 1, e), f) ilmaisuilla ei ole järkeä.

Esimerkki.

Etsi arvo: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Päätös.

Ilmeisesti logaritmien etumerkkien alla on joitain kanta-asteita. Tämän perusteella ymmärrämme, että kanta-asteen ominaisuus on hyödyllinen tässä: log a a p =p, missä a>0, a≠1 ja p on mikä tahansa reaaliluku. Tämän huomioon ottaen meillä on seuraavat tulokset: a) log 3 3 11 =11 , b) , sisään) . Voidaanko esimerkille kirjoittaa vastaava yhtälö d)-kirjaimen alle muodossa log −10 (−10) 6 =6? Ei, et voi, koska log −10 (−10) 6:ssa ei ole järkeä.

Vastaus:

a) log 3 3 11 = 11, b) , sisään) d) lausekkeessa ei ole järkeä.

Esimerkki.

Ilmaise lauseke logaritmien summana tai erotuksena samassa kannassa: a) , b) , c) log((-5) (-12)) .

Päätös.

a) Tulo on logaritmin merkin alla ja tiedämme tulon logaritmin ominaisuuden log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . Meidän tapauksessamme logaritmin kannassa oleva luku ja tuotteen luvut ovat positiivisia, eli ne täyttävät valitun ominaisuuden ehdot, joten voimme käyttää sitä turvallisesti: .

b) Tässä käytetään osamäärän logaritmin ominaisuutta, jossa a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . Meidän tapauksessamme logaritmin kanta on positiivinen luku e, osoittaja ja nimittäjä π ovat positiivisia, mikä tarkoittaa, että ne täyttävät ominaisuuden ehdot, joten meillä on oikeus käyttää valittua kaavaa: .

c) Huomaa ensin, että lauseke lg((−5) (−12)) on järkevä. Mutta samalla meillä ei ole oikeutta soveltaa kaavaa tulon logaritmille log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , koska luvut −5 ja −12 ovat negatiivisia eivätkä täytä ehtoja x>0 , y>0 . Eli on mahdotonta suorittaa tällaista muutosta: log((-5)(-12))=log(-5)+log(-12). Mutta mitä tehdä? Tällaisissa tapauksissa alkuperäinen lauseke on esimuunnettava negatiivisten lukujen välttämiseksi. Puhumme yksityiskohtaisesti samanlaisista tapauksista, joissa lausekkeet muunnetaan negatiivisilla luvuilla logaritmin merkin alla yhdessä, mutta toistaiseksi annamme ratkaisun tähän esimerkkiin, joka on selvä etukäteen ja ilman selitystä: lg((-5)(-12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Vastaus:

a) , b) , c) lg((-5) (-12))=lg5+lg12 .

Esimerkki.

Yksinkertaista lauseke: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Päätös.

Tässä meitä auttavat kaikki samat tuotteen logaritmin ja osamäärän logaritmin ominaisuudet, joita käytimme edellisissä esimerkeissä, vain nyt käytämme niitä oikealta vasemmalle. Toisin sanoen muunnamme logaritmien summan tulon logaritmiksi ja logaritmien eron osamäärän logaritmiksi. Meillä on
a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5 = log 3 (0,25 16 0,5) = log 3 2.
b) .

Vastaus:

a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Esimerkki.

Päästä eroon logaritmin merkin alla olevasta asteesta: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Päätös.

On helppo nähdä, että kyse on ilmauksista, kuten log a b p . Logaritmin vastaava ominaisuus on log a b p =p log a b , missä a>0 , a≠1 , b>0 , p on mikä tahansa reaaliluku. Toisin sanoen ehdoilla a>0, a≠1, b>0 astelogaritmista log a b p voidaan mennä tuloon p·log a b . Suoritetaan tämä muunnos annetuilla lausekkeilla.

a) Tässä tapauksessa a=0,7, b=5 ja p=11. Joten log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5 .

b) Tässä ehdot a>0, a≠1, b>0 täyttyvät. siksi

c) Lausekkeella log 3 (−5) 6 on sama rakenne log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Mutta b:lle ehto b>0 ei täyty, mikä tekee mahdottomaksi soveltaa kaavaa log a b p =p log a b . Joten miksi et voi tehdä työtä? Se on mahdollista, mutta lausekkeen alustava muunnos on tarpeen, jota käsittelemme yksityiskohtaisesti alla otsikon alla olevassa kappaleessa. Ratkaisu tulee olemaan seuraava: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 = 6 log 3 5.

Vastaus:

a) log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Melko usein asteen logaritmin kaavaa muunnoksia suoritettaessa on sovellettava oikealta vasemmalle muodossa p log a b \u003d log a b p (tämä vaatii samat ehdot a:lle, b:lle ja p:lle). Esimerkiksi 3 ln5 = ln5 3 ja lg2 log 2 3 = log 2 3 lg2 .

Esimerkki.

a) Laske log 2 5:n arvo, jos tiedetään, että lg2≈0,3010 ja lg5≈0,6990. b) Kirjoita murto-osa logaritmina kantaan 3.

Päätös.

a) Logaritmin uuteen kantaan siirtymisen kaava mahdollistaa tämän logaritmin esittämisen desimaalilogaritmien suhteena, joiden arvot tunnemme: . Jää vain suorittaa laskelmat, meillä on .

b) Tässä riittää, että käytät kaavaa siirtymiseen uuteen kantaan ja käytät sitä oikealta vasemmalle, eli muodossa . Saamme .

Vastaus:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Tässä vaiheessa olemme melko tarkasti pohtineet yksinkertaisimpien lausekkeiden muuntamista logaritmien perusominaisuuksien ja logaritmin määritelmän avulla. Näissä esimerkeissä meidän piti käyttää yhtä ominaisuutta eikä mitään muuta. Nyt voit puhtaalla omallatunnolla siirtyä esimerkkeihin, joiden muuntaminen vaatii logaritmien ja muiden lisämuunnosten useiden ominaisuuksien käyttöä. Käsittelemme niitä seuraavassa kappaleessa. Mutta ennen sitä pysähdytään lyhyesti esimerkkeihin logaritmien perusominaisuuksien seurausten soveltamisesta.

Esimerkki.

a) Päästä eroon juuresta logaritmin merkin alla. b) Muunna murto 5-kantaisen logaritmin arvoksi. c) Päästä eroon logaritmin merkin alla ja sen tyvestä potensseista. d) Laske lausekkeen arvo . e) Korvaa lauseke potenssilla, jonka kantaluku on 3.

Päätös.

a) Jos muistetaan seuraus asteen logaritmin ominaisuudesta , voit vastata heti: .

b) Tässä käytetään kaavaa oikealta vasemmalle, meillä on .

c) Tässä tapauksessa kaava johtaa tulokseen . Saamme .

d) Ja tässä riittää soveltaa seurausta, jota kaava vastaa . Niin .

e) Logaritmin ominaisuus antaa meille mahdollisuuden saavuttaa haluttu tulos: .

Vastaus:

a) . b) . sisään) . G) . e) .

Useiden ominaisuuksien jatkuva soveltaminen

Todelliset tehtävät lausekkeiden muuntamiseksi logaritmien ominaisuuksilla ovat yleensä monimutkaisempia kuin edellisessä kappaleessa käsitellyt tehtävät. Niissä tulos ei pääsääntöisesti saavuteta yhdessä vaiheessa, vaan ratkaisu on jo yhden ominaisuuden peräkkäinen soveltaminen toisensa jälkeen yhdessä identtisten lisämuunnosten kanssa, kuten avaussulkeissa, samankaltaisten termien pienentämisessä, murtolukujen pienentämisessä jne. . Joten mennään lähemmäksi tällaisia ​​esimerkkejä. Tässä ei ole mitään monimutkaista, tärkeintä on toimia huolellisesti ja johdonmukaisesti noudattaen toimintojen suoritusjärjestystä.

Esimerkki.

Laske lausekkeen arvo (log 3 15 - log 3 5) 7 log 7 5.

Päätös.

Suluissa olevien logaritmien ero osamäärän logaritmin ominaisuudella voidaan korvata logaritmilla log 3 (15:5) , ja sitten laskea sen arvo log 3 (15:5)=log 3 3=1 . Ja lausekkeen 7 log 7 5 arvo logaritmin määritelmän mukaan on 5 . Korvaamalla nämä tulokset alkuperäiseen lausekkeeseen, saamme (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Tässä on ratkaisu ilman selitystä:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5 = 1 5 = 5 .

Vastaus:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Esimerkki.

Mikä on numeerisen lausekkeen log 3 log 2 2 3 −1 arvo?

Päätös.

Muunnetaan ensin logaritmi, joka on logaritmin etumerkin alla, asteen logaritmin kaavan mukaan: log 2 2 3 =3. Joten log 3 log 2 2 3 =log 3 3 ja sitten log 3 3 = 1 . Joten log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Vastaus:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Esimerkki.

Yksinkertaista ilmaisu.

Päätös.

Uuteen logaritmin kantaan muuntamisen kaava mahdollistaa logaritmien suhteen yhteen kantaan esittämisen logaritmina 3 5 . Tässä tapauksessa alkuperäinen lauseke on muotoa . Logaritmin määritelmän mukaan 3 log 3 5 =5 , eli , ja tuloksena olevan lausekkeen arvo on saman logaritmin määritelmän nojalla yhtä suuri kuin kaksi.

Tässä lyhyt versio ratkaisu, joka yleensä annetaan: .

Vastaus:

.

Sujuvaa siirtymistä seuraavan kappaleen tietoihin katsotaanpa lausekkeita 5 2+log 5 3 ja lg0.01 . Niiden rakenne ei sovi yhteenkään logaritmien ominaisuuksista. Mitä sitten tapahtuu, jos niitä ei voida muuntaa logaritmien ominaisuuksien avulla? Se on mahdollista, jos teet alustavia muunnoksia, jotka valmistavat nämä lausekkeet logaritmien ominaisuuksien soveltamiseen. Niin 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, ja lg0,01=lg10 −2 = −2 . Lisäksi ymmärrämme yksityiskohtaisesti, kuinka tällainen ilmaisujen valmistelu suoritetaan.

Lausekkeiden valmistelu logaritmien ominaisuuksien soveltamiseksi

Muunnetun lausekkeen logaritmit eroavat hyvin usein merkintärakenteelta logaritmien ominaisuuksia vastaavien kaavojen vasemmasta ja oikeasta osasta. Mutta yhtä usein näiden lausekkeiden muuntamiseen liittyy logaritmien ominaisuuksien käyttö: niiden käyttö vaatii vain alustavaa valmistelua. Ja tämä valmistelu koostuu tiettyjen identtisten muunnosten suorittamisesta, jotka tuovat logaritmit muotoon, joka on kätevä ominaisuuksien soveltamiselle.

Rehellisyyden nimissä huomautamme, että melkein mikä tahansa lausekkeiden muunnos voi toimia alustavina muunnoksina samanlaisten termien banaalista pelkistämisestä sovellukseen. trigonometriset kaavat. Tämä on ymmärrettävää, koska muunnetut lausekkeet voivat sisältää mitä tahansa matemaattisia objekteja: sulkuja, moduuleja, murtolukuja, juuria, asteita jne. Siten on oltava valmis suorittamaan kaikki vaaditut muunnokset, jotta voidaan edelleen hyötyä logaritmien ominaisuuksista.

Sanotaanpa heti, että tässä kappaleessa emme aseta itsellemme tehtäväksi luokitella ja analysoida kaikkia ajateltavissa olevia alustavia muunnoksia, joiden avulla voimme soveltaa logaritmien ominaisuuksia tai logaritmin määritelmää tulevaisuudessa. Keskitymme tässä vain neljään niistä, jotka ovat tyypillisimpiä ja useimmin käytännössä tavattuja.

Ja nyt yksityiskohtaisesti jokaisesta niistä, minkä jälkeen aiheemme puitteissa jää vain käsitellä lausekkeiden muuntamista muuttujilla logaritmien merkkien alla.

Potenssien valinta logaritmin merkin alla ja sen kantaosassa

Aloitetaan heti esimerkillä. Otetaan logaritmi. Ilmeisesti tässä muodossa sen rakenne ei edistä logaritmien ominaisuuksien käyttöä. Onko mahdollista muuttaa tätä lauseketta jotenkin sen yksinkertaistamiseksi tai jopa paremmin laskea sen arvo? Vastataksemme tähän kysymykseen, katsotaanpa tarkemmin numeroita 81 ja 1/9 esimerkkimme yhteydessä. Tässä on helppo nähdä, että nämä luvut voidaan esittää 3:n potenssina, todellakin 81=3 4 ja 1/9=3 −2 . Tässä tapauksessa alkuperäinen logaritmi esitetään muodossa ja kaavaa on mahdollista soveltaa . Niin, .

Analysoidun esimerkin analyysi synnyttää seuraavan ajatuksen: jos mahdollista, voit yrittää nostaa tutkinnon esiin logaritmin merkin alla ja sen pohjalta, jotta voidaan soveltaa asteen logaritmin ominaisuutta tai sen seurausta. Jää vain selvittää, kuinka nämä tutkinnot voidaan erottaa. Annamme joitain suosituksia tästä aiheesta.

Joskus on aivan ilmeistä, että luku logaritmin merkin alla ja/tai sen kannassa edustaa jotakin kokonaislukupotenssia, kuten edellä käsitellyssä esimerkissä. Melkein jatkuvasti joutuu käsittelemään kahden potenssien kanssa, jotka ovat hyvin tuttuja: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512 = 2 9 , 1024 = 2 10 . Samaa voidaan sanoa kolmion astetta: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Yleensä ei haittaa, jos on astetaulukko luonnolliset luvut kymmenen sisällä. Ei myöskään ole vaikeaa työskennellä kymmenen, sadan, tuhannen jne. kokonaislukupotenssien kanssa.

Esimerkki.

Laske arvo tai yksinkertaista lauseke: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Päätös.

a) Ilmeisesti 216=6 3, joten log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Luonnollisten lukujen potenssitaulukon avulla voimme esittää luvut 343 ja 1/243 potenssiina 7 3 ja 3 −4. Siksi seuraava annetun logaritmin muunnos on mahdollinen:

c) Koska 0,000001 = 10 -6 ja 0,001 = 10 -3, niin log 0,000001 0,001 = log 10 -6 10 -3 = (-3)/(-6) = 1/2.

Vastaus:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001 = 1/2 .

Monimutkaisemmissa tapauksissa sinun on turvauduttava numeroiden voiman korostamiseen.

Esimerkki.

Muunna lauseke useammaksi selkeä näky loki 3 648 loki 2 3 .

Päätös.

Katsotaanpa, mikä on luvun 648 hajoaminen alkutekijöiksi:

Eli 648=2 3 3 4 . Tällä tavalla, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Nyt muunnamme tuotteen logaritmin logaritmien summaksi, minkä jälkeen käytämme asteen logaritmin ominaisuuksia:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Kaavaa vastaavan asteen logaritmin ominaisuuden johdosta , tulo log32 log23 on tulo , ja sen tiedetään olevan yhtä suuri kuin yksi. Tämän huomioon ottaen saamme 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Vastaus:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Usein logaritmin merkin alla ja sen kantaosassa olevat lausekkeet ovat joidenkin lukujen juurien ja/tai potenssien tuloja tai suhteita, esimerkiksi , . Samanlaiset lausekkeet voidaan esittää asteina. Tätä varten siirtyminen juurista asteisiin suoritetaan ja niitä sovelletaan. Näiden muunnosten avulla voit valita logaritmin etumerkin alla ja sen kantassa olevat asteet ja soveltaa sitten logaritmien ominaisuuksia.

Esimerkki.

Laske: a) , b).

Päätös.

a) Logaritmin kannassa oleva lauseke on samojen kantalukujen potenssien tulos, meillä olevien potenssien vastaavalla ominaisuudella 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Muunnetaan nyt logaritmin merkin alla oleva murto-osa: siirrytään juuresta asteelle, jonka jälkeen käytämme astesuhteen ominaisuutta samoilla perusteilla: .

On vielä korvattava saadut tulokset alkuperäisellä lausekkeella, käytä kaavaa ja viimeistele muunnos:

b) Koska 729=3 6 ja 1/9=3 −2 , alkuperäinen lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon .

Käytä seuraavaksi eksponentin juuren ominaisuutta, siirry juuresta eksponenttiin ja käytä potenssien suhdeominaisuutta muuntamaan logaritmin kanta potenssiksi: .

Ottaen huomioon viimeinen tulos, meillä on .

Vastaus:

a) , b).

On selvää, että yleisessä tapauksessa logaritmin merkin ja sen pohjan tehojen saamiseksi voidaan tarvita erilaisia ​​muunnoksia eri lausekkeista. Otetaanpa pari esimerkkiä.

Esimerkki.

Mikä on lausekkeen arvo: a) , b) .

Päätös.

Lisäksi todetaan, että annettu lauseke on muotoa log A B p , jossa A=2 , B=x+1 ja p=4 . Numeeriset lausekkeet tämänkaltainen muunnosimme log a b p \u003d p log a b logaritmin ominaisuuden mukaan, joten haluan annetulla lausekkeella tehdä samoin ja siirtyä logaritmista 2 (x + 1) 4 arvoon 4 log 2 (x + 1) . Ja nyt lasketaan alkuperäisen lausekkeen ja muunnoksen jälkeen saadun lausekkeen arvo, esimerkiksi x=−2 . Meillä on log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , ja 4 log 2 (−2+1) = 4 log 2 (−1)- merkityksetön ilmaus. Tämä herättää oikeutetun kysymyksen: "Mitä teimme väärin"?

Ja syy on seuraava: teimme muunnoksen log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , kaavan log a b p =p log a b perusteella, mutta tämä kaava meillä on oikeus hakea vain ehdoilla a>0 , a≠1 , b>0 , p - mikä tahansa reaaliluku. Toisin sanoen tekemämme muunnos tapahtuu, jos x+1>0 , joka on sama x>−1 (A:n ja p:n ehdot täyttyvät). Kuitenkin meidän tapauksessamme alkuperäisen lausekkeen muuttujan x ODZ ei koostu vain välistä x> −1 , vaan myös intervallista x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Tarve ottaa huomioon ODZ

Jatketaan valitsemamme lausekkeen log 2 (x+1) 4 muunnoksen analysointia ja katsotaan nyt mitä tapahtuu ODZ:lle siirryttäessä lausekkeeseen 4 log 2 (x+1) . Edellisessä kappaleessa löysimme alkuperäisen lausekkeen ODZ:n - tämä on joukko (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Etsitään nyt muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue lausekkeelle 4 log 2 (x+1) . Se määräytyy ehdolla x+1>0 , joka vastaa joukkoa (−1, +∞) . On selvää, että siirryttäessä log 2 (x+1) 4:stä 4·log 2 (x+1) arvoon sallittujen arvojen vaihteluväli kapenee. Ja sovimme, että vältämme uudistuksia, jotka johtavat ODZ:n kaventumiseen, koska tämä voi johtaa erilaisiin kielteisiin seurauksiin.

Tässä on syytä huomata itse, että on hyödyllistä hallita ODZ: tä jokaisessa muunnoksen vaiheessa eikä antaa sen kaventaa. Ja jos yhtäkkiä jossain muutoksen vaiheessa ODZ kaventui, on syytä tarkastella erittäin huolellisesti, onko tämä muutos sallittu ja onko meillä oikeus suorittaa se.

Rehellisyyden nimissä sanomme, että käytännössä joudumme yleensä työskentelemään lausekkeiden kanssa, joissa muuttujien ODZ on sellainen, että sen avulla voimme käyttää logaritmien ominaisuuksia ilman rajoituksia meille jo tuntemassamme muodossa, sekä vasemmalta oikealle että alkaen. oikealta vasemmalle muunnoksia suoritettaessa. Tähän tottuu nopeasti ja alat suorittaa muunnoksia mekaanisesti ajattelematta, oliko ne mahdollista suorittaa. Ja sellaisina hetkinä, kuten onni, lipsahtaa läpi monimutkaisempia esimerkkejä, joissa logaritmien ominaisuuksien epätarkka soveltaminen johtaa virheisiin. Joten sinun on oltava aina valppaana ja varmistettava, että ODZ ei kapene.

Ei haittaa erikseen korostaa logaritmien ominaisuuksiin perustuvia päämuunnoksia, jotka on suoritettava erittäin huolellisesti, mikä voi johtaa DPV:n kaventumiseen ja sen seurauksena virheisiin:

Jotkut lausekkeiden muunnokset logaritmien ominaisuuksien mukaan voivat myös johtaa päinvastaiseen - ODZ: n laajenemiseen. Esimerkiksi siirtyminen 4:stä log 2 (x+1) log 2:een (x+1) 4 laajentaa ODZ:n joukosta (−1, +∞) arvoon (−∞, −1)∪(−1, +∞ ) . Tällaisia ​​muunnoksia tapahtuu, jos pysyt alkuperäisen lausekkeen ODZ:ssä. Joten juuri mainittu muunnos 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 tapahtuu ODZ-muuttujalla x alkuperäiselle lausekkeelle 4 log 2 (x+1) eli kun x+1> 0 , joka on sama kuin (−1, +∞) .

Nyt kun olemme keskustelleet vivahteista, joihin sinun on kiinnitettävä huomiota muuntaessasi lausekkeita muuttujilla logaritmien ominaisuuksien avulla, on vielä selvitettävä, kuinka nämä muunnokset tulisi suorittaa oikein.

X+2>0. Toimiiko se meidän tapauksessamme? Vastatakseen tähän kysymykseen katsotaanpa x-muuttujan DPV:tä. Sen määrää epätasa-arvojärjestelmä , joka vastaa ehtoa x+2>0 (katso tarvittaessa artikkeli eriarvoisuusjärjestelmien ratkaisu). Siten voimme turvallisesti soveltaa tutkinnon logaritmin ominaisuutta.

Meillä on
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Voit toimia eri tavalla, koska ODZ antaa sinun tehdä tämän, esimerkiksi näin:

Vastaus:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Ja mitä tehdä, kun logaritmien ominaisuuksiin liittyvät ehdot eivät täyty ODZ: ssä? Käsittelemme tätä esimerkkien avulla.

Vaaditaan yksinkertaistaa lauseke lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Tämän lausekkeen muunnos, toisin kuin edellisen esimerkin lauseke, ei salli asteen logaritmin ominaisuuden vapaata käyttöä. Miksi? Muuttujan x ODZ on tässä tapauksessa kahden välin x>−2 ja x liitto<−2 . При x>−2 voimme turvallisesti soveltaa asteen logaritmin ominaisuutta ja edetä kuten yllä olevassa esimerkissä: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Mutta ODZ sisältää toisen intervallin x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 ja edelleen, johtuen lg|x+2|:n tehoominaisuuksista 4−lg|x+2| 2. Tuloksena oleva lauseke voidaan muuntaa asteen logaritmin ominaisuuden mukaan, koska |x+2|>0 mille tahansa muuttujan arvolle. Meillä on log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Nyt voit päästä eroon moduulista, koska se on tehnyt tehtävänsä. Koska olemme muuntamassa x+2:ssa<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä, jotta moduulien kanssa työskentely olisi tuttua. Ajatellaanpa ilmaisusta siirry lineaaristen binomien x−1 , x−2 ja x−3 logaritmien summaan ja erotukseen. Ensin löydämme ODZ: n:

Välillä (3, +∞) lausekkeiden x−1, x−2 ja x−3 arvot ovat positiivisia, joten voimme turvallisesti soveltaa summan ja erotuksen logaritmin ominaisuuksia:

Ja välissä (1, 2) lausekkeen x−1 arvot ovat positiivisia ja lausekkeiden x−2 ja x−3 arvot negatiivisia. Siksi tarkasteltavalla aikavälillä edustamme x−2 ja x−3 käyttämällä moduloa muodossa −|x−2| ja −|x−3| vastaavasti. Jossa

Nyt voidaan soveltaa tulon logaritmin ja osamäärän ominaisuuksia, koska tarkasteluvälillä (1, 2) lausekkeiden arvot x−1 , |x−2| ja |x−3| -positiivinen.

Meillä on

Saadut tulokset voidaan yhdistää:

Yleensä samanlainen päättely mahdollistaa tuotteen, suhteen ja asteen logaritmin kaavojen perusteella saada kolme käytännössä hyödyllistä tulosta, joita on melko kätevä käyttää:

• Kahden mielivaltaisen lausekkeen X ja Y tulo log a (X·Y) voidaan korvata logaritmien summalla log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
• Erityinen logaritmi log a (X:Y) voidaan korvata logaritmien erolla log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X ja Y ovat mielivaltaisia ​​lausekkeita.
• Jonkin lausekkeen B logaritmista parilliseen potenssiin p muotoon log a B p voidaan siirtyä lausekkeeseen p log a |B| , jossa a>0, a≠1, p on parillinen luku ja B on mielivaltainen lauseke.

Vastaavia tuloksia on saatu mm. M. I. Skanavin toimittamassa eksponentiaali- ja logaritmisyhtälöiden ratkaisuohjeessa yliopistoihin hakijoille tarkoitettujen matematiikan tehtäväkokoelmassa.

Esimerkki.

Yksinkertaista ilmaisu .

Päätös.

Olisi hyvä soveltaa asteen, summan ja erotuksen logaritmin ominaisuuksia. Mutta voimmeko tehdä sen täällä? Jotta voimme vastata tähän kysymykseen, meidän on tiedettävä ODZ.

Määritellään se:

On aivan selvää, että lausekkeet x+4 , x−2 ja (x+4) 13 muuttujan x mahdollisten arvojen alueella voivat saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Siksi meidän on työskenneltävä moduulien kautta.

Moduulin ominaisuuksien avulla voit kirjoittaa uudelleen muotoon , so

Mikään ei myöskään estä sinua käyttämästä tutkinnon logaritmin ominaisuutta ja tuomaan sitten samanlaisia ​​termejä:

Toinen muunnossarja johtaa samaan tulokseen:

ja koska lauseke x−2 voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja ODZ:ssä, kun otetaan parillinen eksponentti 14