Svijet, počevši od najmanjih nevidljivih čestica, i završavajući sa dalekim galaksijama bezgraničnog prostora, prepuna je mnogih nerazjašnjene misterije. Međutim, veo misterije je već podignut nad nekima od njih zahvaljujući radoznalim umovima brojnih naučnika.
Jedan takav primjer je zlatni rez i Fibonačijevi brojevi koje čine njegovu osnovu. Ovaj obrazac je prikazan u matematičkom obliku i često se nalazi u prirodi koja okružuje osobu, još jednom isključujući mogućnost da je nastao kao rezultat slučajnosti.
Fibonačijevi brojevi i njihov niz
Fibonačijev niz brojeva naziva se niz brojeva, od kojih je svaki zbir prethodna dva:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …
Karakteristika ovog niza su numeričke vrijednosti koje se dobijaju dijeljenjem brojeva ovog niza jedni s drugima.
Niz Fibonaccijevih brojeva ima svoje zanimljive obrasce:
- U Fibonačijevom nizu, svaki broj podijeljen sljedećim će pokazati vrijednost koja teži 0,618 . Što su brojevi dalje od početka serije, to će omjer biti tačniji. Na primjer, brojevi uzeti na početku reda 5 i 8 će pokazati 0,625 (5/8=0,625 ). Ako uzmemo brojeve 144 i 233 , tada će pokazati omjer 0.618 .
- Zauzvrat, ako u nizu Fibonaccijevih brojeva podijelimo broj s prethodnim, tada će rezultat dijeljenja težiti 1,618 . Na primjer, korišteni su isti brojevi kao što je gore navedeno: 8/5=1,6 i 233/144=1,618 .
- Broj podijeljen sa sljedećim nakon njega će pokazati vrijednost koja se približava 0,382 . I što su brojevi dalje od početka serije, to je tačnija vrijednost omjera: 5/13=0,385 i 144/377=0,382 . Podjela cifara obrnutim redoslijedom dat će rezultat 2,618 : 13/5=2,6 i 377/144=2,618 .
Koristeći gore navedene metode izračunavanja i povećavajući jaz između brojeva, možete prikazati sljedeće serije vrijednosti: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, što se široko koristi u Fibonacci alatima na Forex tržištu.
Zlatni omjer ili božanska proporcija
„Zlatni presek“ i Fibonačijevi brojevi su vrlo jasno predstavljeni analogijom sa segmentom. Ako se segment AB podijeli točkom C u takvom omjeru da je uvjet ispunjen:
AC / BC \u003d BC / AB, tada će to biti "zlatni presjek"
PROČITAJTE I SLJEDEĆE ČLANKE:
Iznenađujuće, upravo se ovaj omjer može pratiti u nizu Fibonačijevih brojeva. Uzimajući nekoliko brojeva iz serije, možete proračunom provjeriti da je to tako. Na primjer, takav niz Fibonaccijevih brojeva ... 55, 89, 144 ... Neka je broj 144 cijeli segment AB, koji je gore spomenut. Pošto je 144 zbir prethodna dva broja, onda je 55+89=AC+BC=144.
Podjela na segmente će pokazati sljedeće rezultate:
AC/BC=55/89=0,618
BC/AB=89/144=0,618
Ako uzmemo segment AB u cjelini, ili kao jedinicu, tada će AC = 55 biti 0,382 ove cjeline, a BC = 89 će biti jednako 0,618.
Gdje se nalaze Fibonačijevi brojevi?
Pravilan niz Fibonačijevih brojeva bio je poznat Grcima i Egipćanima mnogo prije samog Leonarda Fibonaccija. Ova brojevna serija je dobila takvo ime nakon što je poznati matematičar osigurao široku distribuciju ovog matematičkog fenomena u naučnim rangovima.
Važno je napomenuti da zlatni Fibonačijevi brojevi nisu samo nauka, već matematički prikaz svijeta oko nas. Mnogo prirodne pojave, predstavnici biljnog i životinjskog svijeta imaju "zlatni presjek" u svojim proporcijama. To su spiralni uvojci ljuske, te raspored sjemenki suncokreta, kaktusa, ananasa.
Spirala, čije su proporcije grana podložne zakonima "zlatnog preseka", leži u osnovi formiranja uragana, tkanja mreže od strane pauka, oblika mnogih galaksija, preplitanja molekula DNK i mnoge druge pojave.
Dužina repa guštera u odnosu na tijelo ima omjer 62 prema 38. Izdanak cikorije, prije nego što pusti list, oslobađa. Nakon što se prvi list oslobodi, dolazi do drugog izbacivanja prije oslobađanja drugog lista, jednakog snagom od 0,62 uvjetno prihvaćene jedinice sile prvog izbacivanja. Treći outlier je 0,38, a četvrti je 0,24.
Takođe za trgovca veliki značaj ima činjenicu da je kretanje cijena na Forex tržištu često podložno obrascima zlatnih Fibonačijevih brojeva. Na osnovu ovog niza kreiran je niz alata koje trgovac može koristiti u svom arsenalu.
Često korišten od strane trgovaca, instrument "" može precizno pokazati ciljeve kretanja cijene, kao i nivoe njegove korekcije.
DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA
"SREDNJA ŠKOLA KRIVLYANSKAYA"
ZHABINKO DISTRICT
FIBONACCI BROJEVI I ZLATNI Omjer
Radovi završeni:
Učenik 10. razreda
Baštovanka Valerija Aleksejevna
Supervizor:
Lavrenyuk Larisa Nikolaevna,
nastavnik informatike i
matematika 1 kvalifikacija
Fibonačijevi brojevi i priroda
karakteristična karakteristika struktura biljaka i njihov razvoj je spirala. Čak je i Gete, koji je bio ne samo veliki pesnik, već i prirodnjak, smatrao heličnost jednom od njih karakteristične karakteristike od svih organizama, manifestacija najdublje suštine života. Vitice biljaka se uvijaju u spiralu, tkivo raste spiralno u stablima drveća, sjemenke kod suncokreta su raspoređene u spiralu, uočavaju se spiralni pokreti (nutacije) tokom rasta korijena i izdanaka.
Na prvi pogled može se činiti da broj listova, cvjetova može varirati u vrlo širokom rasponu i poprimiti bilo koju vrijednost. Ali takav zaključak se ispostavlja neodrživim. Istraživanja su pokazala da broj istoimenih organa u biljkama nije proizvoljan, postoje vrijednosti koje se često nalaze i vrijednosti koje su vrlo rijetke.
U divljini su rasprostranjeni oblici zasnovani na peterokutnoj simetriji - morske zvijezde, morski ježevi, cvijeće.
Slika 13. Buttercup
Kamilica ima 55 ili 89 latica.
Slika 14. Kamilica
Feverfew ima 34 latice.
Phot. petnaest. Piretrum
Pogledajmo šišarku. Vage na njegovoj površini su raspoređene na strogo pravilan način - duž dvije spirale koje se sijeku približno pod pravim kutom. Broj takvih spirala u šišarkama je 8 i 13 ili 13 i 21.
Slika 16. Kornet
U korpama suncokreta sjemenke su također raspoređene u dvije spirale, njihov broj je obično 34/55, 55/89.
Slika 17. Suncokret
Hajde da pogledamo školjke. Ako izbrojimo broj "rebara za ukrućenje" za prvu nasumično uzetu školjku - ispostavilo se da je 21. Uzmimo drugu, treću, petu, desetu školjku - sve će imati 21 rebro na površini. Vidi se da mekušci nisu bili samo dobri inženjeri, oni su "znali" Fibonačijeve brojeve.
Slika 18. Shell
Ovdje ponovo vidimo redovnu kombinaciju Fibonačijevih brojeva smještenih jedan pored drugog: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Njihov omjer u granici teži zlatnom rezu, izraženom brojem 0,61803 ...
Fibonačijevi brojevi i životinje
Broj zraka u morskoj zvijezdi odgovara nizu Fibonačijevih brojeva ili vrlo blizu njima i jednak je 5,8, 13.21.34.55.
Slika 19. Morska zvijezda
Moderni zglavkari su vrlo raznoliki. Jastog ima i pet pari nogu, pet pera na repu, trbuh je podijeljen na pet segmenata, a svaka noga se sastoji od pet dijelova.
Phot. dvadeset. jastoga
Kod nekih insekata trbuh se sastoji od osam segmenata, postoje tri para udova, koji se sastoje od osam dijelova, a iz usnog otvora izlazi osam različitih organa nalik na antene. Naš poznati komarac ima tri para nogu, trbuh je podijeljen na osam segmenata, a na glavi ima pet antena. Larva komaraca podijeljena je u 12 segmenata.
Phot. 21. Mosquito
Kod kupusne muhe trbuh je podijeljen na pet dijelova, ima tri para nogu, a larva je podijeljena na osam segmenata. Svako od dva krila je tankim žilama podijeljeno na osam dijelova.
Gusjenice mnogih insekata podijeljene su u 13 segmenata, na primjer, kod jedača kože, brašnara, Mauritanije. Kod većine štetočina, gusjenica je podijeljena na 13 segmenata. Struktura nogu buba je vrlo karakteristična. Svaka noga se sastoji od tri dijela, kao kod viših životinja - od ramena, podlaktice i šape. Tanke, otvorene šape buba podijeljene su na pet dijelova.
Ažurna, prozirna, bestežinska krila vretenca remek-djelo su "inženjerske" vještine prirode. Koje su proporcije u osnovi dizajna ovog malog letećeg automobila? Odnos raspona krila i dužine tijela kod mnogih vretenaca je 4/3. Tijelo vilinog konjica podijeljeno je na dva glavna dijela: masivno tijelo i dugačak tanak rep. Tijelo je podijeljeno na tri dijela: glava, grudni koš, trbuh. Trbuh je podijeljen na pet segmenata, a rep se sastoji od osam dijelova. Ovdje je još potrebno dodati tri para nogu sa njihovom podjelom na tri dijela.
Phot. 22. Dragonfly
Lako je vidjeti u ovom nizu dijeljenja cjeline na dijelove proširenje niza Fibonačijevih brojeva. Dužina repa, tijela i ukupna dužina vretenca međusobno su povezani zlatnim omjerom: omjer dužina repa i tijela jednak je omjeru ukupne dužine i dužine repa.
Nije iznenađujuće što vreten konjic izgleda tako savršeno, jer je stvoren po zakonima zlatnog omjera.
Pogled na kornjaču na pozadini napuklog takira je nevjerovatan fenomen. U sredini karapaksa nalazi se veliko ovalno polje sa velikim sraslim rožnatim pločama, a uz rubove je obrub manjih ploča.
Phot. 23. Kornjača
Uzmite bilo koju kornjaču - od močvarne kornjače blizu nas do džinovskog mora, kornjače za supu - i vidjet ćete da je uzorak na oklopu sličan: na ovalnom polju je 13 spojenih ploča od roga - 5 ploča u sredini i 8 - uz rubove, a na obodu oko 21 ploču (čileanska kornjača ima tačno 21 ploču duž periferije oklopa). Kornjače imaju 5 prstiju na šapama, a kičmeni stub se sastoji od 34 pršljena. Lako je vidjeti da sve ove količine odgovaraju Fibonačijevim brojevima. Shodno tome, razvoj kornjače, formiranje njenog tijela, podjela cjeline na dijelove izvršena je prema zakonu niza Fibonaccijevih brojeva.
Sisavci su najviša vrsta životinja na planeti. Broj rebara kod mnogih životinjskih vrsta jednak je ili blizu trinaest. Kod potpuno različitih sisara - kita, kamile, jelena, tura - broj rebara je 13 ± 1. Broj pršljenova uvelike varira, posebno zbog repova, koji čak i kod iste životinje mogu biti različite dužine. vrste. Ali kod mnogih od njih broj pršljenova je jednak ili blizu 34 i 55. Dakle, 34 pršljena kod divovskog jelena, 55 u kita.
Skelet udova domaćih životinja sastoji se od tri identične koštane karike: humerus (karlične) kosti, kosti podlaktice (goljenica) i kosti šape (stopalo). Stopalo se pak sastoji od tri koštane karike.
Broj zuba kod mnogih domaćih životinja teži Fibonačijevim brojevima: zec ima 14 parova, pas, svinja, konj ima 21 ± 1 par zuba. Kod divljih životinja broj zuba varira šire: kod jednog tobolčarskog grabežljivca iznosi 54, kod hijene - 34, kod jedne od vrsta delfina dostiže 233. Ukupan broj kostiju u kosturu domaćih životinja (uključujući zubi) u jednoj grupi je blizu 230, a u drugoj - na 300. Treba napomenuti da male slušne koščice i nestalne koščice nisu uključene u broj kostiju skeleta. Uzimajući ih u obzir, ukupan broj skeletnih kostiju kod mnogih životinja će postati blizu 233, dok će kod drugih premašiti 300. Kao što vidite, podjelu tijela, praćenu razvojem skeleta, karakteriše diskretna promjena u broju kostiju u raznim organima životinja, a ti brojevi odgovaraju Fibonačijevim brojevima ili su vrlo bliski njima, formirajući niz od 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 Omjer veličina u većini kokošja jaja iznosi 4:3 (neke 3/2), sjemenke bundeve - 3:2, sjemenke lubenice - 3/2. Utvrđeno je da je odnos dužine šišarki i njihovog prečnika 2:1. Veličina listova breze u prosjeku je vrlo blizu, a žira - 5:2.
Vjeruje se da ako je potrebno podijeliti cvjetni travnjak na dva dijela (trava i cvijeće), onda ove trake ne bi trebale biti jednake širine, bit će ljepše ako ih uzmete u omjeru 5: 8 ili 8:13, tj. koristite omjer koji se naziva zlatni omjer.
Fibonačijevi brojevi i fotografija
Primijenjeno na fotografsku umjetnost, pravilo zlatnog presjeka dijeli okvir s dvije horizontalne i dvije vertikalne linije na 9 nejednakih pravokutnika. Kako bi sebi olakšali snimanje uravnoteženih slika, fotografi su malo pojednostavili zadatak i počeli dijeliti kadar na 9 jednakih pravokutnika prema Fibonačijevim brojevima. Tako je pravilo zlatnog preseka pretvoreno u pravilo trećine, koje se odnosi na jedan od principa kompozicije.
Phot. 24. Okvir i zlatni rez
U modernim tražilima digitalni fotoaparati fokusne tačke se nalaze na pozicijama 2/8 ili na zamišljenim linijama koje dijele kadar prema pravilu zlatnog omjera.
Slika 25. Digitalni fotoaparat i tačke fokusa
Slika 26.
Slika 27. Fotografija i fokusne tačke
Pravilo trećine važi za sve kompozicije zapleta: Snimate pejzaž ili portret, mrtvu prirodu ili reportažu. Sve dok vaš osjećaj za harmoniju nije stečen i nesvjestan, pridržavanje jednostavnog pravila trećina omogućit će vam snimanje ekspresivnih, harmoničnih, uravnoteženih slika.
Slika 28. Fotografija i odnos neba i zemlje 1 prema 2.
Najuspješniji primjer za demonstraciju je pejzaž. Princip kompozicije je da nebo i kopno (ili vodena površina) treba da imaju odnos 1:2. Trećinu okvira treba uzeti ispod neba, a dvije trećine ispod zemlje, ili obrnuto.
Slika 29. Fotografija spiralnog cvijeta
Fibonači i prostor
Odnos vode i kopna na planeti Zemlji je 62% i 38%.
Dimenzije Zemlje i Mjeseca su u zlatnom omjeru.
Slika 30. Dimenzije Zemlje i Mjeseca
Slika prikazuje relativne veličine Zemlje i Mjeseca u mjerilu.
Nacrtajmo poluprečnik Zemlje. Nacrtajmo segment od središnje tačke Zemlje do središnje tačke Mjeseca, čija će dužina biti jednaka). Nacrtajmo liniju da spojimo ove dvije linije u trokut. Dobijamo zlatni trougao.
Saturn pokazuje zlatni rez u nekoliko svojih dimenzija
Slika 31. Saturn i njegovi prstenovi
Prečnik Saturna je veoma blizak u odnosu na zlatni prečnik sa prečnikom prstenova, što pokazuju zelene linije.Radijus unutraunutrašnjost prstenova je u omjeru vrlo bliskom vanjskom prečniku prstenova, kao što je prikazano plavom linijom.
Udaljenost planeta od Sunca takođe je podređena zlatnom rezu.
Slika 32. Udaljenost planeta od Sunca
zlatni omjer kod kuce
Zlatni omjer se također koristi za dodavanje stila i privlačnosti marketingu i dizajnu svakodnevnih potrošačkih proizvoda. Primjera je mnogo, ali mi ćemo ilustrovati samo neke.
Slika 33. AmblemToyota
Slika 34. Zlatni rez i odeća
Slika 34. Zlatni omjer i dizajn automobila
Slika 35. AmblemApple
Slika 36. AmblemGoogle
Praktično istraživanje
Sada ćemo stečeno znanje primijeniti u praksi. Hajde da prvo izvršimo mjerenja među učenicima 8. razreda.
U eksperimentu je učestvovalo 7 učenika 8. razreda, 5 devojčica i 2 dečaka. Izmjerena je visina i udaljenost od pupka do poda. Rezultati su prikazani u tabelama. Jedna učenica idealne tjelesne građe za nju je odnos visine i udaljenosti od pupka do poda 1,6185. Još jedan student je veoma blizu zlatnog preseka, . Kao rezultat mjerenja, 29% učesnika ima idealne parametre. Ovi procentualni rezultati su također blizu zlatnog omjera od 68% i 32%. Za prvi predmet vidimo da su 3 omjera od 5 blizu zlatnog omjera, u procentima je 60% prema 40%. A za drugi - 4 od 5, odnosno 80% do 20%.Ako pažljivo pogledate televizijsku sliku, tada će njene dimenzije biti 16 do 9 ili 16 do 10, što je također blizu zlatnog omjera.
Izvođenje mjerenja i konstrukcija u CorelDRAW X4 i koristeći okvir sa kanala vesti Russia 24, možete pronaći sljedeće:
a) odnos dužine i širine okvira je 1,7.
b) osoba u kadru se nalazi tačno na tačkama fokusa koje se nalaze na udaljenosti od 3/8.
Zatim, okrenimo se službenom mikroblogu novina Izvestia, drugim riječima, Twitter stranici. Za ekran monitora sa stranicama 4:3, vidimo da je “zaglavlje” stranice 3/8 ukupne visine stranice.
Ako pažljivo pogledate vojne kape, možete pronaći sljedeće:
a) vezana je kapa ministra odbrane Ruske Federacije specificirani dijelovi 21,73 do 15,52, jednako 1,4.
b) kapa granične straže Republike Bjelorusije ima dimenzije navedenih dijelova 44,42 do 21,33, što je jednako 2,1.
c) kapa iz vremena SSSR-a ima dimenzije navedenih dijelova 49,67 do 31,04, što je jednako 1,6.
Za ovaj model, dužina haljine je 113,13 mm.
Ako haljinu “završite” do “idealne” dužine, dobićemo ovu sliku.
Sva mjerenja imaju neku grešku, budući da su preuzeta sa fotografije, što nas ne sprječava da vidimo trend - sve što je idealno sadrži zlatni rez u ovom ili onom stepenu.
Zaključak
Svijet divljih životinja nam se čini na potpuno drugačiji način - mobilan, promjenjiv i iznenađujuće raznolik. Život nam pokazuje fantastičan karneval različitosti i originalnosti kreativnih kombinacija! Svijet nežive prirode je prije svega svijet simetrije, koji njegovim kreacijama daje stabilnost i ljepotu. Svijet prirode je, prije svega, svijet harmonije, u kojem djeluje "zakon zlatnog preseka".
“Zlatni omjer” se čini kao onaj trenutak istine, bez kojeg, općenito, sve što postoji nije moguće. Šta god da uzmemo kao element istraživanja, „zlatni presek“ će biti svuda; čak i ako nema vidljivog poštovanja toga, onda se to nužno odvija na energetskom, molekularnom ili ćelijskom nivou.
Zaista, ispada da je priroda monotona (i stoga jednolična!) u manifestaciji svojih temeljnih zakona. "Najuspješnija" rješenja koja je pronašla odnose se na najrazličitije objekte, na najrazličitije oblike organizacije. Kontinuitet i diskretnost organizacije proizilazi iz dualnog jedinstva materije – njene korpuskularne i talasne prirode, prodire u hemiju, gde daje zakone celobrojne stehiometrije, hemijska jedinjenja konstantnog i promenljivog sastava. U botanici, kontinuitet i diskretnost nalaze svoj specifičan izraz u filotaksiji, kvantima diskretnosti, kvantima rasta, jedinstvu diskretnosti i kontinuitetu prostorno-vremenske organizacije. A sada se u brojčanim odnosima biljnih organa pojavljuje „princip višestrukih odnosa“ koji je uveo A. Gursky - potpuno ponavljanje osnovnog zakona hemije.
Naravno, izjava da su svi ovi fenomeni izgrađeni na Fibonačijevom nizu zvuči preglasno, ali trend je jasan. A osim toga, i ona je daleko od savršenstva, kao i sve ostalo na ovom svijetu.
Postoji spekulacija da je Fibonačijev niz pokušaj prirode da se prilagodi fundamentalnijem i savršenijem logaritamskom nizu zlatnog preseka, koji je praktično isti, samo počinje niotkuda i ne ide nikuda. Prirodi, s druge strane, svakako treba nekakav cijeli početak, od kojeg se možete odgurnuti, ne može iz ničega stvoriti nešto. Omjeri prvih članova Fibonačijevog niza su daleko od zlatnog preseka. Ali što se dalje krećemo, ta odstupanja se više izglađuju. Za određivanje bilo koje serije dovoljno je poznavati tri njena člana, koji idu jedan za drugim. Ali ne za zlatni niz, dva su mu dovoljna, to je geometrijska i aritmetička progresija u isto vrijeme. Možda mislite da je to osnova za sve ostale sekvence.
Svaki član zlatnog logaritamskog niza je stepen zlatnog omjera (). Dio reda izgleda otprilike ovako:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Ako vrijednost Zlatnog omjera zaokružimo na tri decimale, dobićemo=1,618 , tada red izgleda ovako:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Svaki sljedeći član se može dobiti ne samo množenjem prethodnog sa1,618 , ali i dodavanjem dva prethodna. Dakle, eksponencijalni rast se postiže jednostavnim dodavanjem dva susjedna elementa. Ovo je niz bez početka i kraja, i upravo takav Fibonačijev niz pokušava da bude sličan. Imajući dobro definisan početak, teži idealu, nikad ga ne dostižući. To je život.
Pa ipak, u vezi sa svime viđenim i pročitanim, nameću se sasvim prirodna pitanja:
Odakle ti brojevi? Ko je ovaj arhitekta svemira koji je pokušao da ga učini savršenim? Je li ikada bilo onako kako je želio da bude? I ako jeste, zašto nije uspio? Mutacije? Slobodan izbor? Šta će biti sljedeće? Da li se zavojnica uvija ili odmotava?
Pronalazeći odgovor na jedno pitanje, dobijate sljedeće. Ako ga riješite, dobijate dva nova. Pozabavite se njima, pojavit će se još tri. Nakon što ih riješite, dobit ćete pet neriješenih. Onda osam, pa trinaest, 21, 34, 55...
Spisak korištenih izvora
Vasyutinskiy, N. Golden proportion / Vasyutinskiy N, Moskva, Mlada garda, 1990, - 238 str. - (Eureka).
Vorobyov, N.N. Fibonačijevi brojevi,
Način pristupa: . Datum pristupa: 17.11.2015.
Način pristupa: . Datum pristupa: 16.11.2015.
Način pristupa: . Datum pristupa: 13. 11. 2015.
Zlatni rez i Fibonačijevi redni brojevi. 14. juna 2011
Prije nekog vremena obećao sam da ću prokomentarisati izjavu Tolkačova da je Sankt Peterburg građen po principu zlatnog preseka, a Moskva - po principu simetrije i da je zbog toga razlike u percepciji ova dva grada su tako opipljivi, i zato je jedan sv.“, a Moskovljanin se „razboli glavom“ kada dođe u Sankt Peterburg. Potrebno je neko vrijeme da se prilagodite gradu (kao kada letite u države - morate se prilagoditi s vremenom).
Činjenica je da naše oko gleda - osjeća prostor uz pomoć određenih pokreta očiju - sakade (u prijevodu - pljesak jedra). Oko pravi „pucanje“ i šalje signal mozgu „došlo je do prianjanja na površinu. Sve je uredu. Ovo je informacija." I tokom života oko se navikne na određeni ritam ovih sakada. A kada se ovaj ritam drastično promijeni (od urbanog pejzaža do šume, od zlatnog preseka do simetrije), tada je potreban rad mozga da se rekonfiguriše.
Sada detalji:
Definicija ZS je podjela segmenta na dva dijela u takvom odnosu da se veći dio odnosi na manji, kao što je njihov zbir (cijeli segment) prema većem.
To jest, ako uzmemo cijeli segment c kao 1, tada će segment a biti jednak 0,618, segment b - 0,382. Dakle, ako uzmemo zgradu, na primjer, hram izgrađen po principu GS, onda će sa svojom visinom, recimo, 10 metara, visina bubnja sa kupolom biti 3,82 cm, a visina osnove zgrade će biti 6,18 cm (jasno je da su brojevi koje sam uzeo jednaki radi jasnoće)
I kakav je odnos između GL i Fibonačijevih brojeva?
Brojevi Fibonačijevog niza su:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Obrazac brojeva je da je svaki sljedeći broj jednak zbiru dva prethodna broja.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 itd.
a omjer susjednih brojeva približava se omjeru od 3S.
Dakle, 21:34 = 0,617, a 34:55 = 0,618.
To jest, u srcu ZS su brojevi Fibonačijevog niza.
Ovaj video još jednom jasno demonstrira ovu vezu između AP i Fibonačijevih brojeva
Gdje se još susreću AP princip i Fibonačijevi redni brojevi?
Biljni listovi su opisani Fibonačijevim nizom. sjemenke suncokreta, Šišarke, latice cvijeća, ćelije ananasa su također raspoređene prema Fibonaccijevom nizu.
ptičje jaje
Dužine falangi ljudskih prstiju su približno iste kao i Fibonačijevi brojevi. Zlatni rez se vidi u proporcijama lica.
Emil Rozenov je proučavao ZS u muzici epohe baroka i klasicizma na primjeru djela Bacha, Mocarta, Beethovena.
Poznato je da je Sergej Ajzenštajn veštački izgradio film "Bojni brod Potemkin" prema pravilima Zakonodavne skupštine. Polomio je traku na pet dijelova. AT prva tri radnja se odvija na brodu. U posljednja dva - u Odesi, gdje se odvija ustanak. Ovaj prelazak u grad odvija se tačno na tački zlatnog preseka. Da, i u svakom dijelu postoji prekretnica, koja se događa po zakonu zlatnog preseka. U kadru, sceni, epizodi postoji određeni skok u razvoju teme: zaplet, raspoloženje. Eisenstein je vjerovao da se, budući da je takav prijelaz blizu točke zlatnog presjeka, percipira kao najprirodniji i prirodniji.
Mnogi dekorativni elementi, kao i fontovi, kreirani su pomoću GS-a. Na primjer, font A. Dürera (slovo "A" na slici)
Vjeruje se da je pojam „Zlatni rez“ uveo Leonardo Da Vinci, koji je rekao „neka se niko ko nije matematičar ne usuđuje čitati moja djela“ i pokazao proporcije ljudskog tijela u svom čuvenom crtežu „Vitruvijski čovjek“. ". “Ako ljudsku figuru – najsavršeniju kreaciju Univerzuma – vežemo pojasom, a zatim izmjerimo udaljenost od pojasa do stopala, onda će se ova vrijednost odnositi na udaljenost od istog pojasa do vrha glave, kao čitava visina osobe do dužine od pojasa do stopala.”
Čuveni portret Mona Lize ili Đokonde (1503) nastao je po principu zlatnih trouglova.
Strogo govoreći, sama zvijezda ili pentakl je konstrukcija AP-a.
Niz Fibonačijevih brojeva je vizuelno modeliran (materijalizovan) u obliku spirale
A u prirodi 3S spirala izgleda ovako:
Istovremeno, spirala se uočava posvuda(u prirodi i ne samo):
- Sjeme kod većine biljaka raspoređeno je spiralno
- Pauk plete mrežu u spiralu
- Uragan se vrti
- Uplašeno krdo irvasa se raspršuje u spiralu.
- Molekul DNK je uvrnut u dvostruku spiralu. Molekul DNK se sastoji od dvije vertikalno isprepletene spirale duge 34 angstrema i 21 angstrema široke. Brojevi 21 i 34 slijede jedan za drugim u Fibonačijevom nizu.
- Embrion se razvija u obliku spirale
- Spiralna "kohlea u unutrašnjem uhu"
- Voda ide spiralno niz kanalizaciju
- Spiralna dinamika pokazuje razvoj ličnosti čoveka i njegovih vrednosti u spirali.
- I naravno, sama galaksija ima oblik spirale
Dakle, može se tvrditi da je sama priroda izgrađena na principu zlatnog presjeka, zbog čega se ova proporcija skladnije percipira ljudskim okom. Ne zahtijeva "popravljanje" ili dopunjavanje rezultirajuće slike svijeta.
Sada o zlatnom preseku u arhitekturi
Keopsova piramida predstavlja proporcije GS. (Sviđa mi se fotografija - sa Sfingom posutom peskom).
Prema Le Corbusieru, na reljefu iz hrama faraona Setija I u Abydosu i na reljefu koji prikazuje faraona Ramzesa, proporcije figura odgovaraju zlatnom rezu. Pročelje starogrčkog hrama Partenona također ima zlatne proporcije.
Katedrala Notredam de Paris u Parizu, Francuska.
Jedna od izuzetnih građevina napravljenih po principu AP je Katedrala Smolni u Sankt Peterburgu. Dvije staze vode do katedrale uz rubove, a ako se po njima približite katedrali, onda kao da se diže u zrak.
U Moskvi postoje i zgrade napravljene korišćenjem ZS. Na primjer, katedrala Svetog Vasilija
Međutim, prevladavaju zgrade koje koriste principe simetrije.
Na primjer, Kremlj i Spaska kula.
Visina zidina Kremlja takođe nigde ne odražava princip AP u pogledu visine kula, na primer. Ili uzmite hotel Rusija, ili hotel Kosmos.
Istovremeno, zgrade izgrađene po AP principu predstavljaju veći procenat u Sankt Peterburgu, dok su to ulične zgrade. Liteiny Avenue.
Dakle, zlatni omjer koristi omjer 1,68, a simetrija je 50/50.
Odnosno, simetrične zgrade se grade na principu jednakosti strana.
Još jedna važna karakteristika GS-a je njegova dinamika i želja za razvojem, zbog niza Fibonačijevih brojeva. Dok simetrija, naprotiv, predstavlja stabilnost, stabilnost i nepokretnost.
Osim toga, dodatni ZS u Petrov plan uvodi obilje vodenih prostora, prelivajući grad i diktirajući podređenost grada njihovim zavojima. I sama Peterova shema u isto vrijeme liči na spiralu ili embrion.
Papa je, međutim, izneo drugačiju verziju zašto Moskovljani i stanovnici Sankt Peterburga imaju "glavobolju" kada posećuju prestonice. Papa ovo povezuje sa energijama gradova:
Sankt Peterburg - ima muški rod i, shodno tome, mušku energiju,
Pa, Moskva je ženstvena i ima žensku energiju.
Tako se stanovnici prestonica, koji su se uklopili u svoj određeni balans ženskog i muškog u svom telu, teško obnavljaju kada posete susedni grad, a neko može imati poteškoća sa percepcijom ove ili one energije, i stoga susjedni grad možda uopće nije zaljubljen!
U prilog ovoj verziji stoji i da sve Ruske carice oni su vladali u Sankt Peterburgu, dok je Moskva videla samo muške careve!
Korišteni resursi.
Fibonačijevi brojevi su elementi numeričkog niza.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, u kojima je svaki sljedeći broj jednak zbiru prethodna dva broja. Ime je dobilo po srednjovjekovnom matematičaru Leonardu iz Pize (ili Fibonačiju), koji je živio i radio kao trgovac i matematičar u italijanskom gradu Pizi. On je jedan od najslavnijih evropskih naučnika svog vremena. Među njegovim najveća dostignuća- uvođenje arapskih brojeva, zamjenjujući rimske. Fn=Fn-1+Fn-2
Matematički niz asimptotski (tj. približava se sve sporije) teži konstantnom omjeru. Međutim, ovaj stav je iracionalan; ima beskonačan, nepredvidiv niz decimalnih vrijednosti koji se nižu iza njega. Nikada se ne može tačno izraziti. Ako se svaki broj koji je dio niza podijeli s prethodnom vrijednošću (na primjer, 13-^8 ili 21-FROM), rezultat radnje se izražava u omjeru koji fluktuira oko iracionalnog broja 1,61803398875, nešto više ili nešto manje od susjednih omjera serije. Omjer nikada, u nedogled, neće biti tačan do posljednje cifre (čak i sa najmoćnijim kompjuterima izgrađenim u naše vrijeme). Radi kratkoće, koristićemo broj 1,618 kao Fibonačijev odnos i zamoliti čitaoce da ne zaborave na ovu grešku.
Fibonačijevi brojevi imaju važnost i tokom analize Euklidov algoritam za određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja. Fibonačijevi brojevi dolaze iz Pascalove dijagonalne formule trougla (binomni koeficijenti).
Fibonačijevi brojevi su povezani sa zlatnim omjerom.
Zlatni rez je bio poznat još u prošlosti drevni egipat i Vavilon, Indija i Kina. Šta je "zlatni presek"? Odgovor je još uvijek nepoznat. Fibonačijevi brojevi su zaista relevantni za teoriju prakse našeg vremena. Porast značaja desio se u 20. veku i traje do danas. Upotreba Fibonačijevih brojeva u ekonomiji i informatici privukla je masu ljudi na svoje proučavanje.
Metodologija mog istraživanja sastojala se u proučavanju stručne literature i sumiranju dobijenih informacija, kao iu provođenju vlastitog istraživanja i utvrđivanju svojstava brojeva i obima njihove upotrebe.
Tokom naučno istraživanje definisao sam pojam Fibonačijevih brojeva, njihova svojstva. Otkrio sam i zanimljive obrasce u divljini, direktno u strukturi suncokretovih sjemenki.
Na suncokretu se sjemenke poredaju u spirale, a broj spirala koje idu u drugom smjeru je drugačiji - to su uzastopni Fibonačijevi brojevi.
Ovaj suncokret ima 34 i 55.
Isto se primjećuje i na plodovima ananasa, gdje ima 8 i 14 spirala. jedinstvena nekretnina Fibonačijevi brojevi su povezani sa listovima kukuruza.
Razlomci oblika a/b, koji odgovaraju spiralnom rasporedu listova nogu stabljike biljke, često su omjeri uzastopnih Fibonačijevih brojeva. Za lijesku ovaj odnos je 2/3, za hrast 3/5, za topolu 5/8, za vrbe 8/13 itd.
S obzirom na raspored listova na stabljici biljaka, možete vidjeti da se između svakog para listova (A i C) nalazi treći na mjestu zlatnog presjeka (B)
Još jedno zanimljivo svojstvo Fibonačijevog broja je da proizvod i količnik bilo koja dva različita Fibonačijeva broja osim jednog nikada nije Fibonačijev broj.
Kao rezultat istraživanja došao sam do sljedećih zaključaka: Fibonačijevi brojevi su jedinstveni aritmetička progresija, koji se pojavio u 13. veku nove ere. Ova progresija ne gubi na svom značaju, što sam i potvrdio tokom mog istraživanja. Fibonačijev broj se takođe nalazi u programiranju i ekonomskim prognozama, u slikarstvu, arhitekturi i muzici. Slike takvih poznati umetnici kako Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael i Botticelli kriju magiju zlatnog preseka. Čak je I. I. Shishkin koristio zlatni rez u svojoj slici „Borov gaj“.
Teško je povjerovati, ali zlatni rez se također nalazi u muzička djela velikih kompozitora kao što su Mocart, Beethoven, Chopin, itd.
Fibonačijevi brojevi se takođe nalaze u arhitekturi. Na primjer, zlatni omjer je korišten u izgradnji Partenona i katedrale Notre Dame.
Otkrio sam da se Fibonačijevi brojevi koriste i na našim prostorima. Na primjer, platnene trake kuća, zabata.
- Prevod
Uvod
Programeri Fibonačijevih brojeva bi već trebali biti siti. Primjeri njihovog izračunavanja koriste se posvuda. Sve od onoga što ovi brojevi pružaju najjednostavniji primjer rekurzija. I takođe jesu dobar primjer dinamičko programiranje. Ali da li ih je potrebno ovako izračunavati pravi projekat? Nema potrebe. Ni rekurzija ni dinamičko programiranje nisu idealne opcije. A ne zatvorenu formulu koja koristi brojeve s pomičnim zarezom. Sada ću vam reći pravi način. Ali prvo, prođimo kroz sva poznata rješenja.Kod je za Python 3, iako bi trebao raditi i za Python 2.
Prvo, da vas podsjetim na definiciju:
F n \u003d F n-1 + F n-2
I F 1 = F 2 = 1.
zatvorena formula
Detalje ćemo preskočiti, ali oni koji žele mogu se upoznati sa izvođenjem formule. Ideja je pretpostaviti da postoji neki x za koji je F n = x n , a zatim pronaći x.Šta radi
Reduciramo x n-2
Rješavamo kvadratnu jednačinu:
Odakle raste "zlatni presek" ϕ=(1+√5)/2. Zamjenom originalnih vrijednosti i još nekim proračunima dobijamo:
To je ono što koristimo za izračunavanje F n .
Iz __buduće__ podjela uvoza import math def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)
dobro:
Brzo i jednostavno za male n
Loše:
Potrebne su operacije s pomičnim zarezom. Veći n će zahtijevati veću preciznost.
zlo:
Korišćenje kompleksnih brojeva za izračunavanje F n je lepo sa matematičke tačke gledišta, ali ružno sa kompjuterske.
rekurzija
Najočiglednije rješenje, koje ste već vidjeli mnogo puta - najvjerovatnije kao primjer šta je rekurzija. Ponovit ću to ponovo radi kompletnosti. U Pythonu se može napisati u jednom redu:fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2) ako je n > 2 drugo 1
dobro:
Vrlo jednostavna implementacija koja ponavlja matematičku definiciju
Loše:
Eksponencijalno vrijeme izvođenja. Za veliko n vrlo sporo
zlo:
Stack Overflow
pamćenje
Rekurzivno rješenje ima veliki problem: preklapanje proračuna. Kada se pozove fib(n), broje se fib(n-1) i fib(n-2). Ali kada se izbroji fib(n-1), on će ponovo nezavisno brojati fib(n-2) - to jest, fib(n-2) će se brojati dva puta. Ako nastavimo s rasuđivanjem, vidjet će se da će se fib(n-3) brojati tri puta, i tako dalje. Previše raskrsnica.Stoga samo trebate zapamtiti rezultate kako ih ne biste ponovo brojali. Ovo rješenje troši vrijeme i memoriju na linearni način. U rješenju koristim rječnik, ali bi se mogao koristiti i jednostavan niz.
M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): ako n u M: vrati M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) vrati M[n]
(U Pythonu se to može uraditi i pomoću dekoratora, functools.lru_cache.)
dobro:
Samo pretvorite rekurziju u rješenje za pamćenje. Pretvara eksponencijalno vrijeme izvršenja u linearno vrijeme izvršenja, što troši više memorije.
Loše:
Troši mnogo memorije
zlo:
Moguće prelivanje steka, poput rekurzije
Dinamičko programiranje
Nakon rješavanja sa pamćenjem, postaje jasno da nam nisu potrebni svi prethodni rezultati, već samo posljednja dva. Također, umjesto da počnete od fib(n) i idete unazad, možete početi od fib(0) i ići naprijed. Sljedeći kod ima linearno vrijeme izvršenja i fiksnu upotrebu memorije. U praksi će brzina rješenja biti još veća, jer nema rekurzivnih poziva funkcija i srodnog rada. I kod izgleda jednostavnije.Ovo rješenje se često navodi kao primjer dinamičkog programiranja.
Def fib(n): a = 0 b = 1 za __ u rasponu (n): a, b = b, a + b vraćanje a
dobro:
Brzo za malo n, jednostavan kod
Loše:
Još uvijek linearno vrijeme rada
zlo:
Da, ništa posebno.
Matrična algebra
I, na kraju, najmanje pokriveno, ali najispravnije rješenje koje inteligentno koristi i vrijeme i pamćenje. Također se može proširiti na bilo koji homogeni linearni niz. Ideja je da se koriste matrice. Dovoljno je samo to vidjeti
A generalizacija ovoga je to
Dvije vrijednosti za x koje smo ranije dobili, od kojih je jedna bila zlatni omjer, su vlastite vrijednosti matrice. Stoga je drugi način da se izvede zatvorena formula korištenje matrične jednadžbe i linearne algebre.
Pa zašto je ova fraza korisna? Činjenica da se eksponencijacija može izvršiti u logaritamskom vremenu. To se radi putem kvadriranja. Suština je to
Gdje se prvi izraz koristi za parno A, a drugi za neparan. Ostaje samo organizirati množenje matrica i sve je spremno. Ispada sljedeći kod. Organizirao sam rekurzivnu implementaciju pow jer je lakše razumjeti. Pogledajte iterativnu verziju ovdje.
Def pow(x, n, I, mult): """ Vraća x na stepen n. Pretpostavlja se da je I matrica identiteta koja se množi sa mult i n je pozitivan cijeli broj """ ako je n == 0: vraća I elif n == 1: vrati x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) ako je n % 2: y = mult(x, y) vrati y def identity_matrix (n): """Vraća matricu identiteta n po n""" r = lista(opseg(n)) povratak [ za j u r] def matrix_multiply(A, B): BT = lista(zip(*B) ) return [ za red_a u A] def fib(n): F = pow([, ], n, identity_matrix(2), matrix_multiply) return F
dobro:
Fiksna veličina memorije, logaritamsko vrijeme
Loše:
Kod je komplikovaniji
zlo:
Morate raditi sa matricama, iako nisu tako loše
Poređenje performansi
Vrijedi usporediti samo varijantu dinamičkog programiranja i matricu. Ako ih uporedimo po broju znakova u broju n, ispada da je to matrično rješenje linearno, dok je rješenje za dinamičko programiranje eksponencijalno. Praktični primjer– izračunavanje fib(10 ** 6), broj koji će imati više od dvije stotine hiljada znakova.N=10**6
Izračunaj fib_matrix: fib(n) ima ukupno 208988 cifara, izračunavanje je trajalo 0,24993 sekunde.
Izračunaj fib_dynamic: fib(n) ima ukupno 208988 cifara, izračunavanje je trajalo 11,83377 sekundi.
Teorijske napomene
Nije direktno povezana sa gornjim kodom, ova primjedba je još uvijek zanimljiva. Razmotrite sljedeći grafikon:
Izbrojimo broj puteva dužine n od A do B. Na primjer, za n = 1 imamo jednu putanju, 1. Za n = 2, opet imamo jednu putanju, 01. Za n = 3, imamo dvije putanje , 001 i 101 Može se jednostavno pokazati da je broj puteva dužine n od A do B tačno F n . Nakon što smo napisali matricu susjedstva za graf, dobićemo istu matricu koja je gore opisana. to poznati rezultat iz teorije grafova da je za datu matricu susjedstva A, pojavljivanja u A n broj putanja dužine n u grafu (jedan od problema koji se spominje u filmu Good Will Hunting).
Zašto postoje takve oznake na rubovima? Ispostavilo se da kada uzmete u obzir beskonačan niz simbola na beskonačnom nizu putanja u oba smjera na grafu, dobijate nešto što se zove "podpomaci konačnog tipa", što je tip sistema simboličke dinamike. Konkretno, ovaj podpomak konačnog tipa poznat je kao "pomak zlatnog omjera" i dat je skupom "zabranjene riječi" (11). Drugim riječima, dobićemo binarne sekvence koje su beskonačne u oba smjera i nijedan njihov par neće biti susjedan. Topološka entropija ovoga dinamički sistem jednak je zlatnom preseku ϕ. Zanimljivo je kako se ovaj broj periodično pojavljuje u različitim oblastima matematike.
Oznake: Dodajte oznake
