Pentru a înțelege acest subiect, luați în considerare funcția afișată pe grafic // Să arătăm cum graficul funcției vă permite să determinați proprietățile sale.

Analizăm proprietățile unei funcții folosind un exemplu

Domeniul de aplicare al funcției este yavl. interval [ 3,5; 5.5].

Domeniul funcției yavl. interval [ 1; 3].

1. La x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, valoarea funcției este zero.

Valoarea argumentului, la care valoarea funcției este zero, se numește zero al funcției.

//acestea. pentru aceasta functie numerele -3;-1;1,5; 4,5 sunt zerouri.

2. Pe intervalele [ 4,5; 3) și (1; 1.5) și (4.5; 5.5] graficul funcției f este situat deasupra axei absciselor, iar la intervale (-3; -1) și (1.5; 4.5) sub axa absciselor, aceasta este explicat astfel - pe intervalele [ 4,5; 3) și (1; 1,5) și (4,5; 5,5] funcția ia valori pozitive, iar pe intervalele (-3; -1) și ( 1,5; 4,5) sunt negative.

Fiecare dintre intervalele indicate (unde funcția ia valori de același semn) se numește interval de semn constant al funcției f.//i.e. de exemplu, dacă luăm intervalul (0; 3), atunci nu este un interval cu semn constant al funcției date.

În matematică, când se caută intervale cu semn constant al unei funcții, se obișnuiește să se indice intervale de lungime maximă. //Acestea. intervalul (2; 3) este interval de constanță funcția f, dar răspunsul trebuie să includă intervalul [ 4,5; 3) conţinând intervalul (2; 3).

3. Dacă vă deplasați de-a lungul axei x de la 4,5 la 2, veți observa că graficul funcției scade, adică valorile funcției scad. //La matematică, se obișnuiește să se spună că pe intervalul [ 4,5; 2] funcția este în scădere.

Pe măsură ce x crește de la 2 la 0, graficul funcției crește, adică. valorile funcției cresc. //La matematică, se obișnuiește să se spună că pe intervalul [ 2; 0] funcția este în creștere.

Funcția f este numită dacă pentru oricare două valori ale argumentului x1 și x2 din acest interval astfel încât x2 > x1, inegalitatea f (x2) > f (x1) este satisfăcută. // sau Funcția este apelată crescând într-un anumit interval, dacă pentru orice valoare a argumentului din acest interval, valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției.//i.e. cu cât mai mult x, cu atât mai mult y.

Se apelează funcția f scăzând într-un anumit interval, dacă pentru oricare două valori ale argumentului x1 și x2 din acest interval astfel încât x2 > x1, inegalitatea f(x2) descrescătoare pe un anumit interval este satisfăcută, dacă pentru orice valoare a argumentului din acest interval este satisfăcută o mai mare valoarea argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției. //acestea. cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y.

Dacă o funcție crește pe întregul domeniu de definiție, atunci este numită crescând.

Dacă o funcție este în scădere pe întregul domeniu de definiție, atunci este numită în scădere.

Exemplul 1 grafic al funcțiilor crescătoare și, respectiv, descrescătoare.

Exemplul 2

Definiți yavl. funcția liniară f(x) = 3x + 5 crește sau descrește?

Dovada. Să folosim definițiile. Fie x1 și x2 valori arbitrare ale argumentului și x1< x2., например х1=1, х2=7

Date de referință pentru functie exponentiala- proprietăți de bază, grafice și formule. Sunt luate în considerare următoarele aspecte: domeniul definiției, setul de valori, monotonitatea, funcția inversă, derivata, integrala, extinderea seriei de puteri și reprezentarea prin intermediul numerelor complexe.

Definiție

Functie exponentiala este o generalizare a produsului a n numere egal cu a :
y (n) = a n = a a a a,
la multimea numerelor reale x :
y (x) = x.
Aici a este un număr real fix, care este numit baza functiei exponentiale.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponențial la baza a.

Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,... , funcția exponențială este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietățile (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. La zero și valori negative numere întregi , funcția exponențială este determinată de formulele (1.9-10). Pentru valorile fracționale x = m/n ale numerelor raționale, , se determină prin formula (1.11). Pentru real, funcția exponențială este definită ca limită de secvență:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x : .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), precum și pentru x natural.

O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și o demonstrație a proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.

Proprietățile funcției exponențiale

Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale () :
(1.1) este definită și continuă, pentru , pentru toți ;
(1.2) când a ≠ 1 are multe semnificații;
(1.3) strict crește la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Alte formule utile
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de putere diferită:

Pentru b = e , obținem expresia funcției exponențiale în termeni de exponent:

Valori private

, , , , .

Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = x
pentru patru valori baze de grad:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 și a = 1/8 . Se vede că pentru un > 1 funcția exponențială crește monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0 < a < 1 funcția exponențială este monoton în scădere. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.

Urcând, coborând

Funcția exponențială la este strict monotonă, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domeniu	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y= 0	Nu	Nu
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Funcție inversă

Reciproca unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este logaritmul cu baza a.

Daca atunci
.
Daca atunci
.

Diferențierea funcției exponențiale

Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul derivatelor și regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.

Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe. Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă

Apoi

Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z ):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Derivată a funcției exponențiale

.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale

Aflați derivata unei funcții
y= 35 x

Soluţie

Exprimăm baza funcției exponențiale în termeni de număr e.
3 = e log 3
Apoi
.
Introducem o variabilă
.
Apoi

Din tabelul derivatelor găsim:
.
Pentru că 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.

Răspuns

Integral

Expresii în termeni de numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = az
unde z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argumentul φ :
a = r e i φ
Apoi


.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. În general
φ = φ 0 + 2 pn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) este, de asemenea, ambiguă. Adesea considerată importanța sa principală
.

Extindere în serie

.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Zerourile funcției
Zero al funcției este valoarea X, la care funcția devine 0, adică f(x)=0.

Zerourile sunt punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa Oh.

Paritatea funcției
O funcție este apelată chiar dacă pentru oricare X din domeniul definiției, egalitatea f(-x) = f(x)

O funcție pară este simetrică față de axă OU

Funcție ciudată
O funcție se numește impar dacă pentru oricare X din domeniul definiției se satisface egalitatea f(-x) = -f(x).

O funcție impară este simetrică față de origine.
O funcție care nu este nici pară, nici impară se numește funcție generală.

Funcție de creștere
Funcția f(x) se numește crescător dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției, adică.

Funcția descrescătoare
Funcția f(x) se numește descrescătoare dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției, adică.

Se numesc intervalele la care funcția fie doar scade, fie doar crește intervale de monotonie. Funcția f(x) are 3 intervale de monotonitate:

Găsiți intervale de monotonitate folosind serviciul Intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare

Maxim local
Punct x 0 se numește punct maxim local dacă există X dintr-o vecinătate a unui punct x 0 următoarea inegalitate este valabilă: f(x 0) > f(x)

Minimum local
Punct x 0 se numește un punct minim local dacă există X dintr-o vecinătate a unui punct x 0 următoarea inegalitate este valabilă: f(x 0)< f(x).

Punctele maxime locale și punctele minime locale sunt numite puncte extreme locale.

punctele extreme locale.

Periodicitatea funcției
Funcția f(x) se numește periodică, cu perioadă T, dacă pentru vreunul X f(x+T) = f(x) .

Intervale de constanță
Intervalele în care funcția este fie numai pozitivă, fie numai negativă se numesc intervale cu semn constant.

Continuitatea funcției
Funcția f(x) se numește continuă în punctul x 0 dacă limita funcției ca x → x 0 este egală cu valoarea funcției în acest punct, adică. .

puncte de pauză
Punctele în care condiția de continuitate este încălcată se numesc puncte de discontinuitate ale funcției.

x0- punctul limita.

Schema generală de reprezentare a funcțiilor

1. Găsiți domeniul funcției D(y).

2. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcțiilor cu axele de coordonate.

3. Investigați funcția pentru par sau impar.

4. Investigați funcția pentru periodicitate.

5. Găsiți intervale de monotonitate și puncte extreme ale funcției.

6. Aflați intervale de convexitate și puncte de inflexiune ale funcției.

7. Găsiți asimptotele funcției.

8. Pe baza rezultatelor studiului, construiți un grafic.

Exemplu: Explorează funcția și construiește graficul acesteia: y = x 3 - 3x

1) Funcția este definită pe întreaga axă reală, adică domeniul ei de definiție este D(y) = (-∞; +∞).

2) Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate:

cu axa OX: rezolvați ecuația x 3 - 3x \u003d 0

cu axa ОY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Aflați dacă funcția este pară sau impară:

y(-x) = (-x) 3 - 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 - 3x) = -y(x)

Rezultă că funcția este impară.

4) Funcția este neperiodică.

5) Aflați intervalele de monotonitate și punctele extreme ale funcției: y’ = 3x 2 - 3.

Puncte critice: 3x 2 - 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Aflați intervalele de convexitate și punctele de inflexiune ale funcției: y'' = 6x

Puncte critice: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Funcția este continuă, nu are asimptote.

8) Pe baza rezultatelor studiului, vom construi un grafic al funcției.

Funcția y=x^2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Forma generală parabola este prezentată în figura de mai jos.

funcţie pătratică

Fig 1. Vedere generală a parabolei

După cum se poate observa din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe pe diagramă. Apoi intersectează parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte la axa y va fi aceeași.

Axa de simetrie împarte graficul parabolei, parcă, în două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul parabolei care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct sunt (0;0).

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

1. Pentru x=0, y=0 și y>0 pentru x0

2. Valoarea minima funcția pătratică ajunge la vârful ei. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că valoarea maximă a funcției nu există.

3. Funcția scade pe interval (-∞; 0] și crește pe intervalul )