Fie cunoscute probabilitățile lor și probabilitățile condiționate corespunzătoare. Atunci probabilitatea producerii evenimentului este:

Această formulă se numește formule de probabilitate totală. În manuale, ea este formulată printr-o teoremă a cărei demonstrație este elementară: conform algebra evenimentelor, (evenimentul a avut loc și sau s-a întâmplat un eveniment și după ce a venit evenimentul sau s-a întâmplat un eveniment și după ce a venit evenimentul sau …. sau s-a întâmplat un eveniment și eveniment urmat). Din moment ce ipotezele sunt incompatibile, iar evenimentul este dependent, apoi conform teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile (primul pas)și teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor dependente (al doilea pas):

Probabil, mulți anticipează conținutul primului exemplu =)

Oriunde scuipi - peste tot urna:

Sarcina 1

Sunt trei urne identice. Prima urnă conține 4 bile albe și 7 negre, a doua urnă conține doar bile albe, iar a treia urnă conține doar bile negre. O urna este aleasa la intamplare si se extrage o minge din ea la intamplare. Care este probabilitatea ca această minge să fie neagră?

Soluţie: luați în considerare evenimentul - o bilă neagră va fi extrasă dintr-o urna aleasă aleatoriu. Acest eveniment poate apărea ca urmare a implementării uneia dintre următoarele ipoteze:
– se va alege prima urna;
– se va alege a 2-a urna;
– se va alege a 3-a urna.

Deoarece urna este aleasă la întâmplare, alegerea oricăreia dintre cele trei urne la fel de posibil, Prin urmare:

Rețineți că se formează ipotezele de mai sus grup complet de evenimente, adică, în funcție de condiție, o minge neagră poate apărea doar din aceste urne și, de exemplu, nu zbura de la o masă de biliard. Să facem o verificare intermediară simplă:
OK, să trecem mai departe:

Prima urna contine 4 albe + 7 negre = 11 bile, fiecare definiție clasică:
este probabilitatea de a extrage o bilă neagră cu conditia că se va alege prima urnă.

A doua urnă conține doar bile albe, deci dacă este ales aspectul unei bile negre devine imposibil: .

Și, în sfârșit, în a treia urnă sunt doar bile negre, ceea ce înseamnă că corespunzătoare probabilitate condițională extragerea bilei negre va fi (evenimentul este sigur).

este probabilitatea ca o bilă neagră să fie extrasă dintr-o urna aleasă aleatoriu.

Răspuns:

Exemplul analizat sugerează din nou cât de important este să ÎNȚELEGEȚI CONDIȚIA. Să luăm aceleași probleme cu urnele și bile - cu similitudinea lor externă, metodele de rezolvare pot fi complet diferite: undeva este necesar să se aplice numai definiția clasică a probabilității, undeva evenimente independent, undeva dependent, iar undeva vorbim de ipoteze. În același timp, nu există un criteriu formal clar pentru alegerea unei căi de soluție - aproape întotdeauna trebuie să te gândești la asta. Cum să-ți îmbunătățești abilitățile? Rezolvăm, rezolvăm și rezolvăm din nou!

Sarcina 2

Există 5 puști diferite în poligonul de tragere. Probabilitățile de a lovi ținta pentru un anumit trăgător sunt, respectiv, egale cu 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 și 0,4. Care este probabilitatea de a lovi ținta dacă trăgătorul trage o lovitură dintr-o pușcă aleasă aleatoriu?

Soluție rapidăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Cel mai sarcini tematice Desigur, ipotezele nu sunt la fel de probabile:

Sarcina 3

Există 5 puști în piramidă, dintre care trei sunt echipate cu o vizor optic. Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta când este tras de la o pușcă cu o vizor telescopic este de 0,95; pentru o pușcă fără vizor telescopic, această probabilitate este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie lovită dacă trăgătorul trage o lovitură dintr-o pușcă luată la întâmplare.

Soluţie: în această problemă, numărul de puști este exact același ca în cea precedentă, dar există doar două ipoteze:
- trăgătorul va alege o pușcă cu vizor optic;
- trăgătorul va selecta o pușcă fără o vizor telescopic.
De definiția clasică a probabilității: .
Control:

Luați în considerare evenimentul: - trăgătorul lovește ținta cu o pușcă aleasă aleatoriu.
După condiție: .

Conform formulei probabilității totale:

Răspuns: 0,85

În practică, un mod scurtat de proiectare a unei sarcini, cu care sunteți familiarizat, este destul de acceptabil:

Soluţie: conform definiției clasice: sunt probabilitățile de a alege o pușcă cu și, respectiv, o optic.

După condiție, – probabilități de lovire a țintei cu tipurile respective de puști.

Conform formulei probabilității totale:
este probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta cu o pușcă aleasă aleatoriu.

Răspuns: 0,85

Următoarea sarcină pentru o soluție independentă:

Sarcina 4

Motorul funcționează în trei moduri: normal, forțat și ralanti. În modul inactiv, probabilitatea eșecului său este de 0,05, în modul normal - 0,1 și în modul forțat - 0,7. 70% din timp motorul funcționează în modul normal și 20% în modul forțat. Care este probabilitatea defecțiunii motorului în timpul funcționării?

Pentru orice eventualitate, permiteți-mi să vă reamintesc - pentru a obține probabilitățile, procentele trebuie împărțite la 100. Fiți foarte atenți! Conform observațiilor mele, condițiile problemelor pentru formula probabilității totale sunt adesea încercate să fie confundate; și am ales în mod special un astfel de exemplu. Îți spun un secret - aproape m-am încurcat și eu =)

Soluție la sfârșitul lecției (formulată pe scurt)

Probleme pentru formulele Bayes

Materialul este strâns legat de conținutul paragrafului anterior. Fie ca evenimentul să se producă ca urmare a implementării uneia dintre ipoteze . Cum se determină probabilitatea ca o anumită ipoteză să aibă loc?

Cu conditia acel eveniment sa întâmplat deja, probabilități de ipoteze supraestimat după formulele care au primit numele preotului englez Thomas Bayes:

- probabilitatea ca ipoteza să fi avut loc;
- probabilitatea ca ipoteza să fi avut loc;
…
este probabilitatea ca ipoteza să fie adevărată.

La prima vedere, pare o absurditate totală - de ce să recalculăm probabilitățile ipotezelor, dacă acestea sunt deja cunoscute? Dar, de fapt, există o diferență:

- aceasta este a priori(estimat inainte de teste) probabilităţi.

- aceasta este a posteriori(estimat după teste) probabilitățile acelorași ipoteze, recalculate în legătură cu „împrejurări nou descoperite” - ținând cont de faptul că evenimentul s-a întâmplat.

Să aruncăm o privire la această diferență exemplu concret:

Sarcina 5

Depozitul a primit 2 loturi de produse: primul - 4000 de bucăți, al doilea - 6000 de bucăți. Procentul mediu de produse non-standard în primul lot este de 20%, iar în al doilea - 10%. Luat aleatoriu din depozit, produsul s-a dovedit a fi standard. Aflați probabilitatea ca acesta să fie: a) din primul lot, b) din al doilea lot.

Prima parte solutii constă în folosirea formulei probabilităţii totale. Cu alte cuvinte, calculele sunt efectuate în ipoteza că testul neprodus încăși eveniment „produsul s-a dovedit a fi standard” până vine.

Să luăm în considerare două ipoteze:
- un produs luat la întâmplare va fi din primul lot;
- un produs luat la întâmplare va fi din al 2-lea lot.

Total: 4000 + 6000 = 10000 articole în stoc. Conform definiției clasice:
.

Control:

Luați în considerare evenimentul dependent: – un articol luat la întâmplare din depozit va fi standard.

În primul lot 100% - 20% = 80% produse standard, prin urmare: cu conditia că aparține părții I.

În mod similar, în al doilea lot 100% - 10% = 90% produse standard și este probabilitatea ca un articol selectat aleatoriu din depozit să fie un articol standard cu conditia că aparține părții a 2-a.

Conform formulei probabilității totale:
este probabilitatea ca un produs ales la întâmplare din depozit să fie un produs standard.

Partea a doua. Să presupunem că un produs luat la întâmplare din depozit s-a dovedit a fi standard. Această expresie este scrisă direct în condiție și afirmă faptul că evenimentul s-a întâmplat.

Conform formulelor lui Bayes:

a) - probabilitatea ca produsul standard selectat să aparțină lotului I;

b) - probabilitatea ca produsul standard selectat să aparțină lotului al 2-lea.

După reevaluare ipotezele, desigur, încă se formează grup complet:
(examinare;-))

Răspuns:

Ivan Vasilyevich, care și-a schimbat din nou profesia și a devenit directorul fabricii, ne va ajuta să înțelegem sensul reevaluării ipotezelor. El știe că astăzi primul magazin a expediat 4000 de articole la depozit, iar al 2-lea magazin - 6000 de produse și vine să se asigure de asta. Să presupunem că toate produsele sunt de același tip și sunt în același recipient. Desigur, Ivan Vasilyevici a calculat anterior că produsul pe care acum l-ar elimina pentru verificare va fi cel mai probabil produs de primul atelier și cu o probabilitate de al doilea. Dar după ce elementul selectat se dovedește a fi standard, el exclamă: „Ce șurub mișto! - a fost mai degrabă lansat de al 2-lea atelier. Astfel, probabilitatea celei de-a doua ipoteze este supraestimată în partea mai buna, iar probabilitatea primei ipoteze este subestimată: . Și această supraestimare nu este nerezonabilă - la urma urmei, al 2-lea atelier nu numai că a produs mai multe produse, dar funcționează și de 2 ori mai bine!

Spui, subiectivism pur? Parțial - da, în plus, a interpretat însuși Bayes a posteriori probabilitati ca nivel de încredere. Cu toate acestea, nu totul este atât de simplu - există o granulă obiectivă în abordarea bayesiană. La urma urmei, probabilitatea ca produsul să fie standard (0,8 și 0,9 pentru primul și, respectiv, al doilea magazin) aceasta este preliminar(a priori) și mediu estimări. Dar, vorbind filozofic, totul curge, totul se schimbă, inclusiv probabilitățile. Este foarte posibil ca la momentul studiului al 2-lea magazin mai de succes a crescut procentul de produse standard (și/sau primul magazin redus), iar dacă verificați mai multe sau toate cele 10 mii de articole din stoc, atunci valorile supraestimate vor fi mult mai aproape de adevăr.

Apropo, dacă Ivan Vasilyevich extrage o piesă nestandard, atunci invers - el va „bănui” primul magazin mai mult și mai puțin - al doilea. Vă sugerez să verificați singur:

Sarcina 6

Depozitul a primit 2 loturi de produse: primul - 4000 de bucăți, al doilea - 6000 de bucăți. Procentul mediu de produse non-standard în primul lot este de 20%, în al doilea - 10%. Un produs luat la întâmplare din depozit s-a dovedit a fi nu standard. Aflați probabilitatea ca acesta să fie: a) din primul lot, b) din al doilea lot.

Condiția se va distinge prin două litere, pe care le-am evidențiat cu caractere aldine. Problema poate fi rezolvată de la zero sau puteți folosi rezultatele calculelor anterioare. În eșantion, am realizat o soluție completă, dar pentru a evita o suprapunere formală cu Sarcina nr. 5, evenimentul „Un produs luat la întâmplare din depozit va fi nestandard” marcat cu .

Schema bayesiană de reevaluare a probabilităților se găsește peste tot și este, de asemenea, exploatată activ de diferite tipuri de escroci. Luați în considerare o societate pe acțiuni de trei litere care a devenit un nume de familie, care atrage depozite de la populație, se presupune că le investește undeva, plătește în mod regulat dividende etc. Ce se întâmplă? Trece zi după zi, lună după lună și tot mai multe fapte noi, transmise prin publicitate și prin gură în gură, nu fac decât să mărească nivelul de încredere în piramida financiară. (reevaluare Bayesiană posterioară din cauza evenimentelor trecute!). Adică, în ochii deponenților, există o creștere constantă a probabilității ca „Acesta este un birou serios”; în timp ce probabilitatea ipotezei opuse („aceștia sunt escroci obișnuiți”), desigur, scade și scade. Restul, cred, este clar. Este de remarcat faptul că reputația câștigată le oferă organizatorilor timp să se ascundă cu succes de Ivan Vasilyevich, care a rămas nu numai fără un lot de șuruburi, ci și fără pantaloni.

Vom reveni la exemple nu mai puțin interesante puțin mai târziu, dar pentru moment, probabil cel mai frecvent caz cu trei ipoteze este următorul:

Sarcina 7

Lămpile electrice sunt fabricate în trei fabrici. Prima fabrică produce 30% din numărul total de lămpi, a 2-a - 55%, iar a 3-a - restul. Produsele primei fabrici conțin 1% lămpi defecte, a 2-a - 1,5%, a 3-a - 2%. Magazinul primește produse de la toate cele trei fabrici. Lampa pe care am cumparat-o era defecta. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost produs de planta 2?

Rețineți că în problemele pe formule Bayes în stare neapărat niste Ce s-a întâmplat un eveniment, în acest caz, achiziționarea unei lămpi.

Evenimentele au crescut și soluţie este mai convenabil să aranjați într-un stil „rapid”.

Algoritmul este exact același: la primul pas, găsim probabilitatea ca lampa achiziționată să o facă va fi defect.

Folosind datele inițiale, traducem procentele în probabilități:
sunt probabilitățile ca lampa să fie produsă de fabricile 1, 2 și, respectiv, 3.
Control:

În mod similar: - probabilităţile de fabricare a unei lămpi defecte pentru fabricile respective.

Conform formulei probabilității totale:

- probabilitatea ca lampa achizitionata sa fie defecta.

Pasul doi. Lăsați lampa achiziționată să fie defectă (evenimentul a avut loc)

Conform formulei Bayes:
- probabilitatea ca lampa defectă achiziționată să fie fabricată de a doua fabrică

Răspuns:

De ce a crescut probabilitatea inițială a celei de-a doua ipoteze după reevaluare? La urma urmei, a doua fabrică produce lămpi de calitate medie (prima este mai bună, a treia este mai proastă). Deci de ce a crescut a posteriori probabilitatea ca lampa defectă să fie din a 2-a fabrică? Acest lucru nu se mai datorează „reputației”, ci dimensiunii. Din moment ce uzina numărul 2 a produs cel mai mult un numar mare de lămpi, apoi îl învinuiesc (cel puțin subiectiv): „Cel mai probabil, această lampă defectă este de acolo”.

Este interesant de observat că probabilitățile primei și a treia ipoteze au fost supraestimate în direcțiile așteptate și au devenit egale:

Control: , care urma să fie verificat.

Apropo, despre subestimat și supraestimat:

Sarcina 8

În grupul de studenți au 3 persoane nivel inalt pregătire, 19 persoane - mediu și 3 - scăzut. Probabilitățile de promovare cu succes a examenului pentru acești studenți sunt, respectiv: 0,95; 0,7 și 0,4. Se știe că un student a promovat examenul. Care este probabilitatea ca:

a) era foarte bine pregătit;
b) a fost moderat preparat;
c) a fost prost pregătit.

Efectuează calcule și analizează rezultatele reevaluării ipotezelor.

Sarcina este aproape de realitate și este plauzibilă mai ales pentru un grup de studenți cu fracțiune de normă, unde profesorul practic nu cunoaște abilitățile unuia sau aceluia elev. În acest caz, rezultatul poate provoca consecințe destul de neașteptate. (mai ales pentru examenele din semestrul I). Dacă un elev prost pregătit este suficient de norocos pentru a obține un bilet, atunci profesorul este probabil să-l considere un elev bun sau chiar un student puternic, ceea ce va aduce dividende bune în viitor (desigur, trebuie să „ridicați ștacheta” și să vă mențineți imaginea). Dacă un student a studiat, a înghesuit, a repetat timp de 7 zile și 7 nopți, dar a avut pur și simplu ghinion, atunci evenimentele ulterioare se pot dezvolta în cel mai rău mod posibil - cu numeroase reluări și echilibrări în pragul plecării.

Inutil să spun că reputația este capitalul cel mai important, nu întâmplător multe corporații poartă numele și prenumele părinților lor fondatori, care au condus afacerea acum 100-200 de ani și au devenit faimoși pentru reputația lor impecabilă.

Da, abordarea bayesiană este subiectivă într-o anumită măsură, dar... așa funcționează viața!

Să consolidăm materialul cu un exemplu industrial final, în care voi vorbi despre subtilitățile tehnice ale soluției care nu au fost încă întâlnite:

Sarcina 9

Trei ateliere ale fabricii produc piese de același tip, care sunt asamblate într-un container comun pentru asamblare. Se știe că primul magazin produce de 2 ori mai multe piese decât al doilea magazin și de 4 ori mai multe decât al treilea magazin. În primul atelier, defectul este de 12%, în al doilea - 8%, în al treilea - 4%. Pentru control, o parte este luată din container. Care este probabilitatea ca acesta să fie defect? Care este probabilitatea ca piesa defectă extrasă să fi fost produsă de atelierul 3?

Taki Ivan Vasilyevich este din nou călare =) Filmul trebuie să aibă un final fericit =)

Soluţie: spre deosebire de Sarcinile nr. 5-8, aici este pusă în mod explicit o întrebare, care este rezolvată folosind formula probabilității totale. Dar, pe de altă parte, condiția este puțin „criptată”, iar îndemânarea școlii de a compune cele mai simple ecuații ne va ajuta să rezolvăm acest rebus. Pentru „x” este convenabil să luați cea mai mică valoare:

Să fie ponderea pieselor produse de al treilea atelier.

Conform condiției, primul atelier produce de 4 ori mai mult decât al treilea atelier, deci ponderea primului atelier este de .

În plus, primul atelier produce de 2 ori mai multe produse decât al doilea atelier, ceea ce înseamnă că ponderea acestuia din urmă: .

Să facem și să rezolvăm ecuația:

Astfel: - probabilitățile ca piesa scoasă din container să fie eliberată de atelierele 1, 2 și, respectiv, 3.

Control: . În plus, nu va fi de prisos să ne uităm din nou la frază „Se știe că primul atelier produce produse de 2 ori mai mult de o secundă magazin și de 4 ori mai mult decât al treilea magazin"și asigurați-vă că probabilitățile obținute corespund cu adevărat acestei condiții.

Pentru „X” a fost inițial posibil să luați cota primului magazin sau cota celui de-al doilea magazin - probabilitățile vor ieși la fel. Dar, într-un fel sau altul, cea mai dificilă secțiune a fost trecută, iar soluția este pe drumul cel bun:

Din starea găsim:
- probabilitatea producerii unei piese defectuoase pentru atelierele corespunzătoare.

Conform formulei probabilității totale:
este probabilitatea ca o parte extrasă aleatoriu din container să fie nestandard.

Întrebarea a doua: care este probabilitatea ca piesa defectă extrasă să fie produsă de al 3-lea magazin? Această întrebare presupune că piesa a fost deja îndepărtată și se constată că este defectă. Reevaluăm ipoteza folosind formula Bayes:
este probabilitatea dorită. Destul de așteptat - la urma urmei, al treilea atelier produce nu numai cea mai mică parte de piese, ci și lider în calitate!

În acest caz, a trebuit simplificați fracția cu patru etaje, ceea ce în probleme cu formulele Bayes trebuie făcut destul de des. Dar pentru această lecție, am luat cumva din greșeală exemple în care multe calcule pot fi făcute fără fracții obișnuite.

Deoarece nu există puncte „a” și „fi” în condiție, este mai bine să oferiți răspunsul cu comentarii de text:

Răspuns: - probabilitatea ca piesa scoasă din recipient să fie defectă; - probabilitatea ca piesa defecta extrasa sa fie eliberata de catre atelierul 3.

După cum puteți vedea, problemele privind formula probabilității totale și formulele Bayes sunt destul de simple și, probabil, din acest motiv încearcă atât de des să complice condiția, despre care am menționat-o deja la începutul articolului.

Exemple suplimentare sunt în fișierul cu soluții gata făcute pentru F.P.V. și formule Bayes, în plus, probabil că sunt cei care doresc să se familiarizeze mai profund cu acest subiect în alte surse. Și subiectul este într-adevăr foarte interesant - ce merită singur paradoxul bayes, ceea ce justifică sfatul de zi cu zi că, dacă o persoană este diagnosticată cu o boală rară, atunci are sens ca acesta să efectueze oa doua și chiar două examinări independente repetate. S-ar părea că o fac doar din disperare... - dar nu! Dar să nu vorbim despre lucruri triste.

este probabilitatea ca un elev ales aleatoriu să promoveze examenul.
Lăsați studentul să treacă examenul. Conform formulelor lui Bayes:
A) - probabilitatea ca elevul care a promovat examenul să fi fost pregătit foarte bine. Probabilitatea inițială obiectivă este supraestimată, deoarece aproape întotdeauna unii „medii” au noroc la întrebări și răspund foarte puternic, ceea ce dă impresia eronată de pregătire impecabilă.
b) este probabilitatea ca elevul care a promovat examenul să fi fost moderat pregătit. Probabilitatea inițială se dovedește a fi ușor supraestimată, deoarece elevii cu un nivel mediu de pregătire sunt de obicei majoritari, în plus, profesorul va include aici „elevi excelenți” cărora li s-a răspuns fără succes și, ocazional, un elev cu performanțe slabe care a avut mare noroc cu un bilet.
în) - probabilitatea ca elevul care a promovat examenul să fie prost pregătit. Probabilitatea inițială a fost supraestimată în rău. Nesurprinzător.
Examinare:
Răspuns :

La derivarea formulei probabilității totale, s-a presupus că probabilitățile ipotezelor sunt cunoscute înainte de experiment. Formula lui Bayes permite reevaluarea ipotezelor inițiale în lumina noilor informații despre eveniment s-a întâmplat. Prin urmare, formula Bayes se numește formula de rafinare a ipotezei.

Teorema (formula Bayes). Dacă evenimentul poate apărea numai cu una dintre ipoteze
, care formează grup complet evenimente, apoi probabilitatea ipotezelor, cu condiția ca evenimentul întâmplat, se calculează prin formula

,
.

Dovada.

Formula Bayes sau abordarea bayesiană a evaluării ipotezelor joacă rol importantîn economie, pentru că face posibilă corectarea deciziilor manageriale, estimărilor unor parametri necunoscuți ai distribuției caracteristicilor studiate în analiza statistică etc.

Exemplu. Lămpile electrice sunt fabricate în două fabrici. Prima fabrică produce 60% din numărul total de lămpi electrice, a doua - 40%. Produsele primei fabrici conțin 70% din lămpi standard, a doua - 80%. Magazinul primește produse de la ambele fabrici. Becul cumpărat din magazin s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca lampa să fi fost fabricată în prima fabrică.

Să notăm starea problemei, introducând notația corespunzătoare.

Dat: eveniment este că lampa este standard.

Ipoteză
este că lampa este fabricată la prima fabrică

Ipoteză
este că lampa este fabricată la a doua fabrică

Găsi
.

Soluţie.

5. Teste independente repetate. formula Bernoulli

Luați în considerare schema teste independente sau Schema Bernoulli, care are o valoare științifică importantă și diverse aplicații practice.

Lasă-l să fie produs teste independente, în fiecare dintre ele poate apărea un eveniment .

Definiție. Teste numitindependent , dacă în fiecare dintre ele evenimentul

, indiferent dacă evenimentul a apărut sau nu a apărut
în alte încercări.

Exemplu. Pe bancul de testare au fost puse 20 de lămpi cu incandescență, care sunt testate sub sarcină timp de 1000 de ore. Probabilitatea ca o lampă să treacă testul este de 0,8 și nu depinde de ceea ce s-a întâmplat cu celelalte lămpi.

În acest exemplu, testul se referă la verificarea capacității lămpii de a rezista la o sarcină timp de 1000 de ore. Deci numărul de încercări este
. În fiecare studiu individual, sunt posibile doar două rezultate:

Definiție. O serie de teste independente repetate, în fiecare dintre ele un eveniment
apare cu aceeași probabilitate
, independent de numărul de test, este numitSchema Bernoulli.

Probabilitatea evenimentului opus desemna
și, așa cum sa arătat mai sus,

Teorema. În condițiile schemei Bernoulli, probabilitatea ca la eveniment de testare independent va aparea
ori, este determinat de formula

Unde
numărul de teste independente efectuate;

numărul de apariții ale evenimentului
;

probabilitatea producerii unui eveniment
într-un proces separat;

probabilitatea ca un eveniment să nu se producă
într-un proces separat;

La derivarea formulei probabilității totale, s-a presupus că evenimentul DAR, a cărei probabilitate urma să fie determinată, s-ar putea întâmpla cu unul dintre evenimente H 1 , N 2 , ... , H n, formând un grup complet de evenimente incompatibile în perechi. Probabilitățile acestor evenimente (ipoteze) erau cunoscute dinainte. Să presupunem că a fost efectuat un experiment, în urma căruia evenimentul DAR a venit. Acest Informații suplimentare vă permite să reevaluaţi probabilităţile ipotezelor Bună , având calculat P(Hi/A).

sau, folosind formula probabilității totale, obținem

Această formulă se numește formula Bayes sau teorema ipotezei. Formula lui Bayes vă permite să „revizuiți” probabilitățile ipotezelor după ce devine rezultat cunoscut experiența care a dus la eveniment DAR.

Probabilități Р(Н i) sunt probabilitățile a priori ale ipotezelor (au fost calculate înainte de experiment). Probabilitățile P(H i /A) sunt probabilitățile a posteriori ale ipotezelor (se calculează după experiment). Formula Bayes vă permite să calculați probabilitățile posterioare din probabilitățile lor anterioare și din probabilitățile condiționate ale evenimentului DAR.

Exemplu. Se știe că 5% din toți bărbații și 0,25% dintre toate femeile sunt daltonici. O persoană aleasă aleatoriu după numărul cardului medical suferă de daltonism. Care este probabilitatea ca acesta să fie bărbat?

Soluţie. Eveniment DAR Persoana este daltonică. Spațiul evenimentelor elementare pentru experiment - o persoană este selectată după numărul cardului medical - Ω = ( H 1 , N 2 ) constă din 2 evenimente:

H 1 - este selectat un bărbat,

H 2 - este selectată o femeie.

Aceste evenimente pot fi alese ca ipoteze.

În funcție de starea problemei (alegere aleatorie), probabilitățile acestor evenimente sunt aceleași și egale cu P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

În acest caz, probabilitățile condiționate ca o persoană să sufere de daltonism sunt egale, respectiv:

TIGAIE 1 ) = 0.05 = 1/20; TIGAIE 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Deoarece se știe că persoana selectată este daltonică, adică evenimentul a avut loc, folosim formula Bayes pentru a reevalua prima ipoteză:

Exemplu. Sunt trei cutii identice. Prima cutie conține 20 de bile albe, a doua cutie conține 10 bile albe și 10 negre, iar a treia cutie conține 20 de bile negre. Dintr-o cutie aleasa la intamplare se extrage o bila alba. Calculați probabilitatea ca mingea să fie extrasă din prima casetă.

Soluţie. Notează prin DAR eveniment - apariția unei mingi albe. Se pot face trei ipoteze (ipoteze) cu privire la alegerea casetei: H 1 ,H 2 , H 3 - selectarea primei, a doua și, respectiv, a treia casetă.

Deoarece alegerea oricăreia dintre casete este la fel de posibilă, probabilitățile ipotezelor sunt aceleași:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

În funcție de starea problemei, probabilitatea de a extrage o minge albă din prima casetă

Probabilitatea de a extrage o minge albă din a doua casetă

Probabilitatea de a extrage o minge albă din a treia casetă

Găsim probabilitatea dorită folosind formula Bayes:

Repetarea testelor. formula Bernoulli.

Există n încercări, în fiecare dintre ele evenimentul A poate să apară sau nu, iar probabilitatea evenimentului A în fiecare încercare individuală este constantă, de exemplu. nu se schimba de la experienta la experienta. Știm deja cum să găsim probabilitatea unui eveniment A într-un experiment.

De interes deosebit este probabilitatea de apariție a unui anumit număr de ori (m ori) a evenimentului A în n experimente. astfel de probleme sunt ușor de rezolvat dacă testele sunt independente.

Def. Sunt numite mai multe teste independent față de evenimentul A dacă probabilitatea evenimentului A în fiecare dintre ele nu depinde de rezultatele altor experimente.

Probabilitatea P n (m) de apariție a evenimentului A de exact de m ori (neapariție de n-m ori, eveniment ) în aceste n încercări. Evenimentul A apare într-o varietate de secvențe de m ori).

- Formula lui Bernoulli.

Următoarele formule sunt evidente:

P n (m Mai puțin k ori în n încercări.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - probabilitatea de apariție a evenimentului A Mai mult k ori în n încercări.