2017-2018 Lucrare de pregatire la matematica, clasa a 11-a

Opțiunea 2 (de bază)

Răspunsul la fiecare sarcină este final zecimal, un număr întreg sau o succesiune de cifre. Notați răspunsurile la sarcini în câmpul de răspuns în textul lucrării, apoi transferați-le în formularul de răspuns nr. 1 din dreapta numărului sarcinii corespunzătoare. Dacă răspunsul este o succesiune de numere, atunci scrieți această secvență în formularul de răspuns nr. 1fără spații, virgule sau alte caractere suplimentare. Scrieți fiecare număr, semnul minus și virgulă într-o casetă separată. Nu este nevoie să scrieți unități de măsură.

1

Răspuns: _________________.

2 . Găsiți sensul expresiei:

Răspuns: _________________.

3 . La școală, fetele reprezintă 51% din totalul elevilor. Câte fete sunt în această școală dacă sunt cu 8 mai multe decât băieți?

Răspuns: _________________.

4 . Media armonică a trei numereA , b ȘiCu, calculat prin formula Aflați media armonică a numerelor

Răspuns: _________________.

5. Calculati:

Răspuns: _________________.

6 . În căminul bărbătesc al institutului nu pot fi cazate mai mult de trei persoane în fiecare cameră. Care este cel mai mic număr de camere necesare pentru a găzdui 79 de studenți din afara orașului?

Răspuns: _________________.

7 .Găsiți rădăcina ecuației

Răspuns: _________________.

8 . Apartamentul este format din doua camere, o bucatarie, un hol si o baie (vezi desen). Prima cameră măsoară 4 m pe 4 m, a doua cameră măsoară 4 m pe 3,5 m, bucătăria măsoară 4 m pe 3,5 m, iar baia măsoară 1,5 m pe 2 m. Găsiți zona coridorului. Dați răspunsul în metri pătrați.

Răspuns: _________________.

9 . Stabiliți o corespondență între cantități și valorile lor posibile: pentru fiecare element din prima coloană, selectați elementul corespunzător din a doua coloană.

VALORI VALORI

A) volum sertar cufă 1) 0,75 l

B) volumul de apă din Marea Caspică 2) 78200 km 3

C) volumul pachetului ryazhenka 3) 96 l

D) volumul unui vagon de cale ferată 4) 90 m 3

În tabel, sub fiecare literă corespunzătoare unei valori, indicați numărul valorii posibile a acesteia.

Răspuns:

Răspuns: _________________.

10 . La olimpiada de limbă rusă, participanții sunt așezați în trei audiențe. În primele două sunt câte 130 de persoane, restul fiind duși într-o sală de rezervă dintr-o altă clădire. La numărare, s-a dovedit că au fost 400 de participanți în total. Găsiți probabilitatea ca un participant selectat aleatoriu să fi scris competiția într-o sală de clasă liberă.

Răspuns: _________________.

11 . Figura prezintă un grafic al valorilor presiunii atmosferice într-un anumit oraș pe parcursul a trei zile. Zilele săptămânii și ora sunt indicate pe orizontală, iar valorile presiunii atmosferice în milimetri de mercur sunt indicate pe verticală. Aflați presiunea atmosferică miercuri la ora 12. Dați răspunsul în milimetri de mercur.

Răspuns: ____________.

12. Din punct de vedereA la punctulD Sunt trei drumuri. Prin punctÎN Un camion circulă cu o viteză medie de 44 km/h printr-un punctCU Un autobuz circulă cu o viteză medie de 36 km/h. Al treilea drum - fără puncte intermediare și se deplasează de-a lungul acestuia o mașină cu o viteză medie de 48 km/h. Diagrama arată distanța dintre puncte în kilometri. Autobuzul, camionul și mașina au părăsit punctul în același timpA . La ce mașină a ajunsD mai tarziu decat altii? În răspunsul tău, indicați câte ore a fost pe drum.

Răspuns: _________________.

13. O piramidă hexagonală regulată cu muchia 1 a fost lipită de o prismă hexagonală regulată cu muchia 1, astfel încât marginile bazelor să coincidă. Câte fețe are poliedrul rezultat (marginile invizibile nu sunt prezentate în figură)?

Răspuns: _________________.

14. Figura prezintă graficul funcției PuncteA, B, C, DȘiEaşezat pe axăX patru intervale. Folosind graficul, potriviți fiecare interval cu o caracteristică a funcției sau a derivatei sale.

INTERVALE DE CARACTERISTICI ALE UNEI FUNCȚII SAU DERIVAT

A) (A; B) 1) funcția își schimbă semnul din „–” în „+”

B) (B; C) 2) derivata își schimbă semnul din „–” în „+”

B) (C;D) 3) derivata își schimbă semnul de la „+” la „–”

G) (D; E) 4) funcția este pozitivă și crescătoare

În tabel, sub fiecare literă, indicați numărul corespunzător.

15 . Pe un cerc cu centruDESPRE puncte marcateA ȘiÎN astfel încât lungimea arcului minorAB este egal cu 3. Aflați lungimea arcului mai mare.

Răspuns: _________________.

16 . S-au dat două cutii în formă de prismă patruunghiulară obișnuită. Prima casetă este de patru ori și jumătate mai mică decât a doua, iar a doua este de trei ori mai îngustă decât prima. De câte ori este volumul primei cutii mai mare decât volumul celei de-a doua?

Răspuns: _________________.

17. Fiecare dintre cele patru inegalități din coloana din stânga corespunde uneia dintre soluțiile din coloana din dreapta. Stabiliți corespondența între inegalități și soluțiile acestora.

SOLUȚII DE INEGALITATE

A)

B)

ÎN)

G)

Introduceți numărul soluției corespunzător în tabelul dat în răspuns sub fiecare literă.

Răspuns:

18 . La Jocurile Olimpice de iarnă, echipa rusă a câștigat mai multe medalii decât echipa canadiană, echipa canadiană a câștigat mai multe decât echipa germană, iar echipa norvegiană a câștigat mai puține medalii decât echipa canadiană.

Selectați afirmațiile care sunt adevărate în condițiile date.

1) Dintre echipele nominalizate, echipa canadiană a ocupat locul doi la numărul de medalii.

2) Printre echipele numite, sunt trei care au câștigat cantitate egală medalii.

3) Echipa germană a câștigat mai multe medalii decât echipa rusă.

4) Echipa rusă a câștigat mai multe medalii decât fiecare dintre celelalte trei echipe.

Vă rugăm să indicați numerele din răspunsul dvs. afirmatii adevarateîn ordine crescătoare.

Răspuns: _________________.

19 . Cuplurinumăr din trei cifreA este format din numere 3; 4; 8; 9, acuplurinumăr din trei cifreIN - din numerele 6; 7; 8; 9. Se ştie căÎN = 2 A. Găsiți numărulA. În răspunsul dvs., indicați oricare dintre aceste cifre, cu excepția numărului 3489.

Răspuns: _________________.

20 . Dreptunghiul este împărțit în patru dreptunghiuri mici prin două tăieturi drepte. Perimetrele a trei dintre ele, începând din stânga sus și apoi în sensul acelor de ceasornic, sunt 17, 15 și 18. Aflați perimetrul celui de-al patrulea dreptunghi.

17

15

?

18

Probleme combinatorii

1 . Katya, Masha și Ira se joacă cu o minge. Fiecare dintre ei trebuie să arunce mingea către fiecare prieten o dată. De câte ori ar trebui fiecare fată să arunce mingea? De câte ori va fi aruncată mingea? Stabiliți de câte ori va fi aruncată mingea dacă la joc iau parte următoarele persoane: patru copii; cinci copii.

2 . Sunt date trei fațade și două acoperișuri, având aceeași formă, dar vopsite în culori diferite: fațadele sunt galbene, albastre și roșii, iar acoperișurile sunt albastre și roșii. Ce fel de case se pot construi? Câte combinații există în total?

3 . Sunt date trei fațade de case de aceeași formă: albastru, galben și roșu - și trei acoperișuri: albastru, galben și roșu. Ce fel de case se pot construi? Câte combinații există în total?

4 . Desenele de pe steaguri pot fi sub formă de cerc, pătrat, triunghi sau stea și pot fi colorate în verde sau roșu. Câte steaguri diferite pot fi?

5. În cantina școlii se preparau pentru prânz carne, cotlet și pește ca feluri secunde. Pentru desert - inghetata, fructe si placinta. Puteți alege un fel principal și un fel de desert. Câte opțiuni diferite de prânz există?

6. La cantina școlii, la prânz s-au pregătit ciorbă cu carne și supă vegetariană la fel de întâi, carne, cotlet și pește la felul al doilea, iar la desert înghețată, fructe și plăcintă. Câte opțiuni diferite există pentru o masă cu trei feluri?

7. În câte moduri pot fi așezați trei elevi la rând pe scaune? Notează toate cazurile posibile.

8 . În câte moduri pot sta patru (cinci) persoane la rând?

9 . Trei poteci urcă dealul din părți diferite și converg în vârf. Creați mai multe rute pentru a urca și a coborî dealul. Rezolvați aceeași problemă dacă trebuie să urcați și să coborâți pe căi diferite.

10 . Există trei drumuri care duc de la Akulovo la Rybnitsa și patru drumuri de la Rybnitsa la Kitovo. În câte moduri puteți călători de la Akulovo la Kitovo prin Rybnitsa?

11 . O silabă se numește deschisă dacă începe cu o consoană și se termină cu o vocală. Câte silabe deschise de două litere pot fi scrise folosind literele „a”, „b”, „c”, „d”, „e”, „i”, „o”? Notează aceste silabe.

12. Câte costume diferite pot fi făcute dintr-o bluză și o fustă dacă sunt 4 bluze și 4 fuste?

13. Când Petya merge la școală, se întâlnește uneori cu unul sau mai mulți dintre prietenii săi: Vasya, Lenya, Tolya. Enumerați toate cazurile posibile care pot apărea.

14 . Notați toate numerele posibile din două cifre folosind numerele 7 și 4.

15 . Misha a plănuit să cumpere: un creion, o riglă, un blocnotes și un caiet. Astăzi a cumpărat doar două articole diferite. Ce putea să cumpere Misha, presupunând că magazinul avea toate rechizitele educaționale de care avea nevoie?

16 . Cei patru oameni și-au dat mâna. Câte strângeri de mână au fost în total?

17 . Câte numere din două cifre există care nu conțin cifra 0?

18 . Notați toate numerele posibile din trei cifre care pot fi făcute din numerele 1 și 2.

19 . Notați toate numerele posibile chiar și din trei cifre, formate din cifrele 1 și 2.

20 . Notați toate numerele posibile din două cifre care folosesc numerele 2, 8 și 5.

21 . Câte numere diferite din două cifre există, ale căror cifre sunt impare?

22 . Ce numere din trei cifre pot fi scrise folosind numerele 3, 7 și 1, cu condiția ca numărul să nu conțină cifre identice? Câte astfel de numere?

23 . Câte numere din trei cifre pot fi făcute din cifrele 1, 2, 4, 6 dacă nicio cifră nu este folosită de mai multe ori? Câte dintre aceste numere vor fi pare? Câte ciudate?

24 . În mașină sunt cinci locuri. În câte moduri pot intra cinci persoane în această mașină dacă doar doi dintre ei pot ocupa locul șoferului?

25. Există 5 birouri individuale în sala de clasă. În câte moduri pot fi așezați pe ei doi (trei) școlari nou sosiți?

26 . Amintiți-vă de fabula „Cvartetul” a lui I. Krylov:

Maimuța obraznică, Măgarul, Capra și Ursul cu picior sticlă au început să cânte un Cvartet. Ei lovesc arcurile, se bat, dar nu are rost. „Opriți-vă, fraților, opriți-vă! - strigă maimuța. - Aștepta! Cum ar trebui să meargă muzica? Nu așa stai.” Câți căi diferite pot acești muzicieni să încerce să se așeze? Ar putea acest lucru să îmbunătățească calitatea jocului lor?

27 . Băieții și fetele sunt așezate la rând pe locuri consecutive, băieții pe locuri impare și fetele pe locuri pare. În câte moduri se poate face acest lucru dacă:

a) 3 băieți și 3 fete sunt așezați în 6 locuri;

b) 5 băieți și 5 fete sunt așezați în 10 locuri?

28 . Pe o tablă de dame goală trebuie să plasați două dame - alb și negru. Câte posturi diferite pot ocupa pe tablă?

29. Lăsați numărul mașinii să fie format din două litere urmate de două numere, de exemplu AB-53. Câte numere diferite poți face dacă folosești 5 litere și 6 numere?

30 . Numărul mașinii este format din trei litere și patru cifre. Câte plăcuțe de înmatriculare diferite există (trei litere sunt luate din cele 29 de litere ale alfabetului rus)?

31 . Să presupunem că trebuia să mergi la bibliotecă, la casă de economii, la oficiu poștal și să-ți faci reparații pantofilor. Pentru a alege ruta cea mai scurtă, trebuie să luați în considerare toate opțiunile posibile. Câte rute posibile există dacă biblioteca, casa de economii, oficiul poștal și cizmarul sunt situate departe una de alta?

32. Să presupunem că trebuia să mergi la bibliotecă, la casă de economii, la oficiu poștal și să-ți faci reparații pantofilor. Pentru a alege ruta cea mai scurtă, trebuie să luați în considerare toate opțiunile posibile. Câte trasee rezonabile există dacă biblioteca și oficiul poștal sunt în apropiere, dar sunt departe de casa de economii și cizmar, care sunt departe?

33. S-a purtat o discuție plină de viață între pasagerii care călătoreau în vagon despre patru reviste. S-a dovedit că toată lumea este abonată la două reviste, iar fiecare dintre combinațiile posibile a două reviste este abonată de o persoană. Câte persoane erau în acest grup?

34 . Există cinci cuburi care diferă între ele doar prin culoare: 2 roșii, 1 alb și 2 negre. Există două cutii A și B, iar A conține 2 cuburi, iar B deține 3. În câte moduri diferite pot fi plasate aceste cuburi în cutiile A și B?

35. Pentru a aduce mere întineritoare Tatălui-Țar, Ivan Tsarevich trebuie să găsească singura cale adevărată către grădina magică. Ivan Tsarevich a întâlnit un corb bătrân la bifurcația pe trei drumuri și acesta este sfatul pe care a auzit de la el:

1) mergeți acum pe drumul cel bun;

2) la următoarea bifurcație, nu o luați pe drumul cel bun;

3) la a treia bifurcație, nu luați poteca din stânga.

Un porumbel care zbura pe lângă i-a șoptit lui Ivan Tsarevich că doar unul dintre sfaturile corbului este corect și că este necesar să urmeze cărări în direcții diferite. Eroul nostru a finalizat sarcina și a ajuns într-o grădină magică. Ce traseu a luat?

Trebuie remarcat faptul că combinatoria este o ramură independentă a matematicii superioare (și nu face parte din terver) și s-au scris manuale grele pe această disciplină, al căror conținut, uneori, nu este mai ușor decât algebra abstractă. Cu toate acestea, o mică parte de cunoștințe teoretice ne va fi suficientă, iar în acest articol voi încerca să analizez într-o formă accesibilă bazele temei cu probleme tipice combinatorii. Și mulți dintre voi mă veți ajuta ;-)

Ce vom face? ÎN în sens restrâns combinatoria este calculul diferitelor combinații care se pot face dintr-o anumită mulțime discret obiecte. Prin obiecte se înțelege orice obiect izolat sau ființă vii - oameni, animale, ciuperci, plante, insecte etc. În același timp, combinatoriei nu îi pasă deloc că setul este format dintr-o farfurie de terci de gris, un fier de lipit și o broască de mlaștină. Este esențial important ca aceste obiecte să poată fi enumerate - sunt trei dintre ele (discretență)și important este că niciuna dintre ele nu este identică.

Ne-am ocupat de multe, acum despre combinații. Cele mai comune tipuri de combinații sunt permutările de obiecte, selecția lor dintr-un set (combinație) și distribuția (plasarea). Să vedem cum se întâmplă asta chiar acum:

Permutări, combinații și plasări fără repetare

Nu vă fie teamă de termeni obscuri, mai ales că unii dintre ei chiar nu sunt foarte buni. Să începem cu coada titlului - ce înseamnă „ fara repetitii"? Aceasta înseamnă că în această secțiune vom lua în considerare seturi care constau din variat obiecte. De exemplu, ... nu, nu o sa ofer terci cu fier de lipit si broasca, mai bine sa ai ceva mai gustos =) Imagineaza-ti ca pe masa din fata ta s-au materializat un mar, o para si o banana ( dacă le aveți, situația poate fi simulată în realitate). Așezăm fructele de la stânga la dreapta în următoarea ordine:

mar / para / banana

Întrebarea unu: În câte moduri pot fi rearanjate?

O combinație a fost deja scrisă mai sus și nu există probleme cu restul:

mar / banana / para
para / mar / banana
pară / banană / măr
banană / măr / pere
banană / peră / măr

Total: 6 combinații sau 6 permutări.

Bine, nu a fost dificil să enumerați toate cazurile posibile, dar dacă există mai multe obiecte? Cu doar patru fructe diferite, numărul de combinații va crește semnificativ!

Vă rugăm să deschideți materialul de referință (este convenabil să tipăriți manualul) iar la punctul nr. 2, găsiți formula pentru numărul de permutări.

Fără bătăi de cap - 3 obiecte pot fi rearanjate în moduri diferite.

Întrebarea doi: În câte moduri poți alege a) un fruct, b) două fructe, c) trei fructe, d) cel puțin un fruct?

De ce alege? Așa că ne-am făcut pofta de mâncare la punctul anterior - pentru a mânca! =)

a) Un fruct poate fi ales, evident, în trei moduri - luați fie un măr, o peră, fie o banană. Calculul formal se efectuează conform formula pentru numărul de combinații:

Intrarea în acest caz trebuie înțeleasă după cum urmează: „în câte moduri poți alege 1 fruct din trei?”

b) Să enumerăm toate combinațiile posibile de două fructe:

măr și pere;
măr și banane;
pere și banane.

Numărul de combinații poate fi verificat cu ușurință folosind aceeași formulă:

Intrarea este înțeleasă într-un mod similar: „în câte moduri poți alege 2 fructe din trei?”

c) Și, în sfârșit, există o singură modalitate de a alege trei fructe:

Apropo, formula pentru numărul de combinații rămâne semnificativă pentru o probă goală:
În acest fel, nu puteți alege niciun fruct - de fapt, nu luați nimic și atât.

d) În câte moduri poți lua cel puțin unul fructe? Condiția „cel puțin unul” implică faptul că suntem mulțumiți cu 1 fruct (oricare) sau cu oricare 2 fructe sau cu toate cele 3 fructe:
folosind aceste metode poți alege cel puțin un fruct.

Cititorii care au studiat cu atenție lecția introductivă despre teoria probabilității, am ghicit deja ceva. Dar mai multe despre semnificația semnului plus mai târziu.

Pentru a răspunde la următoarea întrebare am nevoie de doi voluntari... ...Ei bine, din moment ce nimeni nu vrea, atunci te voi chema la consiliu =)

Întrebarea trei: În câte moduri puteți distribui câte un fruct pentru Dasha și Natasha?

Pentru a distribui două fructe, mai întâi trebuie să le selectați. Conform paragrafului „fi” din întrebarea anterioară, acest lucru se poate face în moduri, le voi rescrie:

măr și pere;
măr și banane;
pere și banane.

Dar acum vor fi de două ori mai multe combinații. Luați în considerare, de exemplu, prima pereche de fructe:
Pe Dasha o poți trata cu un măr și pe Natasha cu o peră;
sau invers - Dasha va primi para, iar Natasha va primi mărul.

Și o astfel de permutare este posibilă pentru fiecare pereche de fructe.

Luați în considerare același grup de studenți care a mers la dans. În câte moduri pot fi împerecheați un băiat și o fată?

În moduri puteți selecta 1 tânăr;
moduri în care poți alege o fată.

Astfel, un tânăr Și Puteți alege o fată: moduri.

Când se selectează 1 obiect din fiecare set, este valabil următorul principiu pentru numărarea combinațiilor: „ fiecare un obiect dintr-un set poate forma o pereche cu fiecare obiect al altui set”.

Adică, Oleg poate invita oricare dintre cele 13 fete la dans, Evgeny poate invita și oricare dintre cele treisprezece, iar restul tinerilor au o alegere similară. Total: posibile perechi.

Trebuie remarcat faptul că în în acest exemplu„istoria” formării perechii nu contează; totusi, daca tinem cont de initiativa, numarul de combinatii trebuie dublat, intrucat fiecare dintre cele 13 fete poate invita si orice baiat la dans. Totul depinde de condițiile unei anumite sarcini!

Un principiu similar este valabil și pentru combinații mai complexe, de exemplu: în câte moduri poți alege doi tineri? Și două fete să participe la o scenetă KVN?

Uniune ȘI sugerează clar că combinațiile trebuie înmulțite:

Posibile grupuri de artiști.

Cu alte cuvinte, fiecare cu o pereche de băieți (45 de perechi unice) se poate performa orice o pereche de fete (78 de perechi unice). Și dacă luăm în considerare distribuția rolurilor între participanți, vor exista și mai multe combinații. ...Îmi doresc foarte mult, dar tot mă voi abține să continui pentru a nu vă insufla o aversiune față de viața de student =).

Regula de înmulțire a combinațiilor se aplică și unui număr mai mare de multiplicatori:

Problema 8

Câte numere din trei cifre sunt divizibile cu 5?

Soluţie: pentru claritate, să notăm acest număr cu trei asteriscuri: ***

ÎN sute de loc Puteți scrie oricare dintre numere (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9). Zero nu este potrivit, deoarece în acest caz numărul încetează să fie format din trei cifre.

Dar în locul zecilor(„în mijloc”) puteți alege oricare dintre cele 10 cifre: .

Conform condiției, numărul trebuie să fie divizibil cu 5. Un număr este divizibil cu 5 dacă se termină cu 5 sau 0. Astfel, ne mulțumim cu 2 cifre în cifra cea mai puțin semnificativă.

În total, există: numere din trei cifre care sunt divizibile cu 5.

În acest caz, lucrarea este descifrată astfel: „9 moduri în care puteți alege un număr sute de loc Și 10 moduri de a alege un număr în locul zecilor Și 2 moduri de intrare Unități digitale»

Sau chiar mai simplu: „ fiecare de la 9 cifre la sute de loc combine cu fiecare de 10 cifre locul zecilor si cu fiecare de la două cifre la Unități digitale».

Răspuns: 180

Si acum…

Da, aproape că am uitat de comentariul promis la problema nr. 5, în care Bor, Dima și Volodya pot primi câte o carte în moduri diferite. Înmulțirea aici are același sens: modalități de a elimina 3 cărți din pachet ȘI în fiecare eșantion rearanjați-le în moduri.

Și acum o problemă de rezolvat pe cont propriu... acum voi veni cu ceva mai interesant... să fie despre aceeași versiune rusă a blackjack-ului:

Problema 9

Câte combinații câștigătoare de 2 cărți există atunci când joci „punct”?

Pentru cei care nu știu: combinația câștigătoare este 10 + ACE (11 puncte) = 21 de puncte și, să numărăm combinație câștigătoare din doi ași.

(ordinea cărților din orice pereche nu contează)

Soluție rapidăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Apropo, nu considerați exemplul primitiv. Blackjack-ul este aproape singurul joc pentru care există un algoritm bazat pe matematică care vă permite să învingeți cazinoul. Cei interesați pot găsi cu ușurință o mulțime de informații despre strategia și tacticile optime. Adevărat, astfel de maeștri ajung destul de repede pe lista neagră a tuturor unităților =)

Este timpul să consolidăm materialul acoperit cu câteva sarcini solide:

Problema 10

Vasya are 4 pisici acasă.

a) în câte moduri pot fi așezate pisicile în colțurile camerei?
b) în câte moduri poți lăsa pisicile să iasă la plimbare?
c) în câte moduri poate ridica Vasya două pisici (una în stânga, cealaltă în dreapta)?

Să decidem: în primul rând, ar trebui să acordați din nou atenție faptului că problema se ocupă diferit obiecte (chiar dacă pisicile sunt gemeni identici). Aceasta este o condiție foarte importantă!

a) Tăcerea pisicilor. Sub rezerva acestei executii toate pisicile deodată
+ locația lor este importantă, așa că există permutări aici:
folosind aceste metode poți așeza pisicile în colțurile camerei.

Repet că la permutare contează doar numărul de obiecte diferite și pozițiile lor relative. În funcție de starea de spirit a lui Vasya, ea poate așeza animalele într-un semicerc pe canapea, la rând pe pervaz etc. – în toate cazurile vor exista 24 de permutări.Pentru comoditate, cei interesați își pot imagina că pisicile sunt multicolore (de exemplu, alb, negru, roșu și tabby) și să enumere toate combinațiile posibile.

b) În câte moduri poți lăsa pisicile să iasă la plimbare?

Se presupune că pisicile merg la plimbare doar pe ușă, iar întrebarea implică indiferență în ceea ce privește numărul de animale - 1, 2, 3 sau toate cele 4 pisici pot ieși la plimbare.

Numărăm toate combinațiile posibile:

În feluri, puteți lăsa o pisică (oricare dintre cele patru) să iasă la plimbare;
modalități în care puteți lăsa două pisici să iasă la plimbare (enumerați singur opțiunile);
în feluri în care poți lăsa trei pisici să iasă la plimbare (una dintre cele patru stă acasă);
Astfel poți elibera toate pisicile.

Probabil ați ghicit că valorile rezultate ar trebui să fie rezumate:
moduri prin care poți lăsa pisicile să meargă la plimbare.

Pentru entuziaști, ofer o versiune complicată a problemei - atunci când orice pisică din orice probă poate ieși aleatoriu afară, atât prin ușă, cât și prin fereastra de la etajul 10. Va fi o creștere vizibilă a combinațiilor!

c) În câte moduri poate ridica Vasya două pisici?

Situația presupune nu numai alegerea a 2 animale, ci și plasarea lor în fiecare mână:
În aceste moduri puteți ridica 2 pisici.

A doua soluție: puteți alege două pisici folosind metode Și moduri de a planta fiecare un cuplu la indemana:

Răspuns: a) 24, b) 15, c) 12

Ei bine, ca să-ți lamurești conștiința, ceva mai specific despre înmulțirea combinațiilor... Lasă Vasya să aibă 5 pisici suplimentare =) În câte moduri poți lăsa 2 pisici să iasă la plimbare? Și 1 pisica?

Adică cu fiecare câteva pisici pot fi eliberate fiecare pisică.

Un alt acordeon cu butoane pentru soluție independentă:

Problema 11

Trei pasageri s-au urcat în liftul unei clădiri cu 12 etaje. Toată lumea, indiferent de ceilalți, poate ieși la orice (începând de la etajul 2) cu probabilitate egală. În câte moduri:

1) pasagerii pot coborî la același etaj (Ordinea de ieșire nu contează);
2) două persoane pot coborî la un etaj, iar o a treia la celălalt;
3) oamenii pot ieși pe etaje diferite;
4) pot pasagerii să iasă din lift?

Și aici se întreabă des din nou, mă lamuresc: dacă la același etaj ies 2 sau 3 persoane, atunci ordinea de ieșire nu contează. Gândește, folosește formule și reguli pentru a adăuga/înmulți combinații. În caz de dificultăți, este util ca pasagerii să dea nume și să speculeze în ce combinații pot ieși din lift. Nu este nevoie să fii supărat dacă ceva nu merge, de exemplu, punctul nr. 2 este destul de insidios.

Soluție completă cu comentarii detaliate la sfârșitul lecției.

Ultimul paragraf este dedicat combinațiilor care apar și destul de des - conform evaluării mele subiective, în aproximativ 20-30% dintre problemele combinatorii:

Permutări, combinații și plasări cu repetări

Tipurile de combinații enumerate sunt prezentate în paragraful nr. 5 material de referinta Formule de bază ale combinatoriei Cu toate acestea, unele dintre ele pot să nu fie foarte clare la prima lectură. În acest caz, este mai întâi recomandabil să vă familiarizați cu exemple practiceși abia atunci înțelegeți formularea generală. Merge:

Permutări cu repetări

În permutările cu repetări, ca în permutările „obișnuite”, toate multele obiecte deodată, dar există un lucru: în această mulțime se repetă unul sau mai multe elemente (obiecte). Îndeplinește următorul standard:

Problema 12

Câte combinații diferite de litere pot fi obținute prin rearanjarea cardurilor cu următoarele litere: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Soluţie: în cazul în care toate literele ar fi diferite, atunci ar trebui aplicată o formulă banală, dar este complet clar că pentru setul de cărți propus unele manipulări vor funcționa „inactiv”, de exemplu, dacă schimbați oricare două cărți cu literele „K” „ în orice cuvânt, obțineți același cuvânt. Mai mult, fizic cărțile pot fi foarte diferite: una poate fi rotundă cu litera „K” imprimată pe ea, cealaltă poate fi pătrată cu litera „K” desenată pe ea. Dar, în funcție de sensul sarcinii, chiar și astfel de cărți sunt considerate la fel, deoarece condiția întreabă despre combinațiile de litere.

Totul este extrem de simplu - doar 11 cărți, inclusiv litera:

K – repetat de 3 ori;
O – repetat de 3 ori;
L – repetat de 2 ori;
b – repetat 1 dată;
H – repetat 1 dată;
Și - repetat 1 dată.

Verificați: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, ceea ce trebuia verificat.

Conform formulei numărul de permutări cu repetări:
pot fi obținute diferite combinații de litere. Mai mult de jumătate de milion!

Pentru a calcula rapid o valoare factorială mare, este convenabil să utilizați funcția standard Excel: introduceți în orice celulă =FACT (11)și apăsați introduce.

În practică, este destul de acceptabil să nu scrieți formula generală și, în plus, să omiteți factorii unitari:

Dar sunt necesare comentarii preliminare despre scrisorile repetate!

Răspuns: 554400

Un alt exemplu tipic de permutări cu repetare apare în problema de plasare a pieselor de șah, care poate fi găsită în depozit. soluții gata făcuteîn pdf-ul corespunzător. Și pentru o soluție independentă, am venit cu o sarcină mai puțin formulă:

Problema 13

Alexey face sport și 4 zile pe săptămână - atletism, 2 zile - exerciții de forță si se odihneste 1 zi. În câte moduri își poate crea un program săptămânal?

Formula nu funcționează aici, deoarece ia în considerare schimburile întâmplătoare (de exemplu, schimbarea exercițiilor de forță de miercuri cu exercițiile de forță de joi). Și din nou - de fapt, aceleași 2 sesiuni de antrenament de forță pot fi foarte diferite unele de altele, dar în contextul sarcinii (din punct de vedere al programului) sunt considerate aceleași elemente.

Soluție pe două rânduri și răspuns la sfârșitul lecției.

Combinații cu repetări

Caracteristică Acest tip de combinație constă în faptul că eșantionul este extras din mai multe grupuri, fiecare dintre ele constând din obiecte identice.

Toată lumea a muncit din greu astăzi, așa că este timpul să vă împrospătați:

Problema 14

Cantina studențească vinde cârnați în aluat, cheesecake și gogoși. În câte moduri puteți cumpăra cinci plăcinte?

Soluţie: acordați atenție imediat criteriului tipic pentru combinațiile cu repetări - în funcție de condiție, nu este un set de obiecte ca atare oferit la alegere, ci tipuri diferite obiecte; se presupune că sunt la vânzare cel puțin cinci hot dog, 5 cheesecake și 5 gogoși. Plăcintele din fiecare grupă sunt, desigur, diferite - deoarece gogoșile absolut identice pot fi simulate doar pe computer =) Cu toate acestea, caracteristicile fizice ale plăcintelor nu sunt semnificative în scopul problemei, iar hot-dog-urile / cheesecake-urile / gogoșile din grupurile lor sunt considerate la fel.

Ce ar putea fi în eșantion? În primul rând, trebuie menționat că cu siguranță vor exista plăcinte identice în probă (deoarece alegem 5 bucăți și există 3 tipuri din care să alegeți). Există opțiuni aici pentru toate gusturile: 5 hot dog, 5 cheesecake, 5 gogoși, 3 hot dog + 2 cheesecake, 1 hot dog + 2 cheesecake + 2 gogoși etc.

Ca și în cazul combinațiilor „obișnuite”, ordinea selecției și plasarea plăcintelor în selecție nu contează - ați ales doar 5 bucăți și atât.

Folosim formula numărul de combinații cu repetări:
Puteți cumpăra 5 plăcinte folosind această metodă.

Poftă bună!

Răspuns: 21

Ce concluzie se poate trage din multe probleme combinatorii?

Uneori, cel mai greu este să înțelegeți starea.

Un exemplu similar pentru o soluție independentă:

Problema 15

Este destul în portofel un numar mare de Monede de 1, 2, 5 și 10 ruble. În câte moduri pot fi scoase trei monede dintr-un portofel?

În scopuri de autocontrol, răspundeți la un cuplu întrebări simple:

1) Toate monedele din eșantion pot fi diferite?
2) Numiți combinația de monede „cea mai ieftină” și cea mai „scumpe”.

Soluție și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Din a mea experienta personala, pot spune că combinațiile cu repetiții sunt cel mai rar invitat în practică, ceea ce nu se poate spune despre următorul tip de combinații:

Plasări cu repetări

Dintr-un set format din elemente, elementele sunt selectate, iar ordinea elementelor în fiecare selecție este importantă. Și totul ar fi bine, dar o glumă destul de neașteptată este că putem selecta orice obiect din setul original de câte ori vrem. Figurat vorbind, „mulțimea nu va scădea”.

Când se întâmplă asta? Un exemplu tipic este un lacăt cu combinație cu mai multe discuri, dar din cauza dezvoltărilor tehnologice, este mai relevant să luăm în considerare descendentul său digital:

Problema 16

Câte coduri PIN din patru cifre există?

Soluţie: de fapt, pentru a rezolva problema, cunoașterea regulilor combinatoriei este suficientă: în moduri puteți selecta prima cifră a codului PIN Și moduri - a doua cifră a codului PIN Șiîn tot atâtea feluri – al treilea Și același număr - al patrulea. Astfel, conform regulii înmulțirii combinațiilor, un cod PIN din patru cifre poate fi compus în: moduri.

Și acum folosind formula. Conform condiției, ni se oferă un set de numere, din care numerele sunt selectate și aranjate într-o anumită ordine, în timp ce numerele din eșantion pot fi repetate (adică orice cifră a setului original poate fi folosită de un număr arbitrar de ori). Conform formulei pentru numărul de plasări cu repetări:

Răspuns: 10000

Ce îmi vine în minte aici... ...dacă ATM-ul „mâncă” cardul după a treia încercare nereușită de a introduce codul PIN, atunci șansele de a-l ridica la întâmplare sunt foarte mici.

Și cine a spus că în combinatorică nu există sens practic? O sarcină cognitivă pentru toți cititorii site-ului:

Problema 17

Conform standard de stat, o plăcuță de înmatriculare a mașinii este formată din 3 cifre și 3 litere. În acest caz, un număr cu trei zerouri este inacceptabil, iar literele sunt selectate din setul A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (se folosesc doar acele litere chirilice a căror ortografie coincide cu literele latine).

Câte plăcuțe de înmatriculare diferite pot fi create pentru o regiune?

Nu atât de mulți dintre ei, apropo. ÎN regiuni mari această cantitate nu este suficientă și, prin urmare, pentru ei există mai multe coduri pentru inscripția RUS.

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției. Nu uitați să folosiți regulile combinatoriei ;-) ...Am vrut să arăt ceea ce era exclusiv, dar s-a dovedit că nu este exclusiv =) M-am uitat pe Wikipedia - acolo sunt calcule, deși fără comentarii. Deși în scop educațional, probabil, puțini oameni au rezolvat-o.

Lecția noastră interesantă s-a încheiat și, în sfârșit, vreau să spun că nu ți-ai pierdut timpul - pentru că formulele de combinatorie își găsesc o altă aplicație practică vitală: se găsesc în diverse probleme în teoria probabilității,
si in probleme care implică determinarea clasică a probabilităţii– mai ales des =)

Vă mulțumim tuturor pentru participarea activă și ne vedem curând!

Soluții și răspunsuri:

Sarcina 2: Soluţie: găsiți numărul tuturor permutărilor posibile a 4 cărți:

Când un card cu zero este plasat pe primul loc, numărul devine din trei cifre, așa că aceste combinații ar trebui excluse. Fie zero pe primul loc, apoi celelalte 3 cifre din cifrele inferioare pot fi rearanjate în moduri diferite.

Notă : deoarece Deoarece există doar câteva cărți, este ușor să enumerați toate opțiunile aici:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Astfel, din setul propus putem realiza:
24 – 6 = 18 numere din patru cifre
Răspuns : 18

Sarcina 4: Soluţie: în moduri puteți alege 3 cărți din 36.
Răspuns : 7140

Sarcina 6: Soluţie: moduri.
O alta solutie : moduri prin care puteți selecta două persoane din grup și și
2) Setul „cel mai ieftin” conține 3 monede de ruble, iar cel mai „scump” este de 3 zece ruble.

Problema 17: Soluţie: folosind aceste metode, puteți crea o combinație digitală a unui număr de mașină, în timp ce unul dintre ele (000) ar trebui exclus: .
folosind aceste metode puteți crea o combinație de litere a unui număr de înmatriculare.
Conform regulii înmulțirii combinațiilor, totalul se poate face:
plăcuțe de înmatriculare
(fiecare combinația digitală este combinată cu fiecare combinație de litere).
Răspuns : 1726272

Ofer cititorilor Habrahabr o traducere a publicației „100 Prisoners Escape Puzzle”, pe care am găsit-o pe site-ul DataGenetics. Vă rugăm să trimiteți orice erori cu privire la acest articol în mesaje private.

Conform problemei, în închisoare sunt 100 de prizonieri, fiecare dintre ei numar personal de la 1 la 100. temnicerul decide să le dea prizonierilor șansa de a fi eliberați și se oferă să treacă la un test pe care l-a inventat. Dacă toți prizonierii reușesc, atunci sunt liberi, dacă măcar unul eșuează, toți vor muri.

Sarcină

Temnicerul merge în camera secretă și pregătește 100 de cutii cu capace. Pe fiecare cutie pune numere numerotate de la 1 la 100. Apoi aduce câte 100 de tăblițe de hârtie, după numărul deținuților, și numește aceste tăblițe de la 1 la 100. După aceasta, amestecă 100 de tăblițe și pune câte o tăbliță în fiecare cutie, închiderea capacului. Prizonierii nu văd temnicerul efectuând toate aceste acțiuni.

Competiția începe, temnicerul duce pe fiecare prizonier unul câte unul într-o cameră cu cutii și le spune prizonierilor că trebuie să găsească o cutie care să conțină un semn cu numărul prizonierului. Prizonierii încearcă să-și găsească plăcuța de înmatriculare deschizând cutiile. Fiecare persoană are voie să deschidă până la 50 de cutii; dacă fiecare dintre prizonieri își găsește numărul, atunci prizonierii vor fi eliberați, dacă cel puțin unul dintre ei nu își găsește numărul în 50 de încercări, atunci toți prizonierii vor muri.

Pentru ca prizonierii să fie eliberați, TOȚI deținuții trebuie să treacă testul.

Deci, care este șansa ca prizonierii să fie grațiați?

• După ce cutia a fost deschisă de prizonier și acesta a verificat semnul, acesta este pus înapoi în cutie și capacul este închis din nou;
• Plăcile nu pot fi schimbate pe alocuri;
• Prizonierii nu pot lăsa indicii unul pentru celălalt sau nu pot interacționa între ei în niciun fel odată ce testul începe;
• Deținuților li se permite să discute despre strategie înainte de începerea testului.

Care este strategia optimă pentru deținuți?

Intrebare suplimentara:

Dacă un coleg de deținut (nu este un participant la test) va avea ocazia să intre în camera secretă înainte de începerea testului, examinați toate semnele din toate casetele și (opțional, dar nu obligatoriu) schimbați două semne din două casete ( în acest caz, prietenul nu va avea ocazia să - informeze prizonierii despre rezultatul acțiunilor sale), ce strategie ar trebui să ia pentru a crește șansele de salvare ale prizonierilor?

Soluția este puțin probabilă?

La prima vedere, această sarcină pare aproape fără speranță. Se pare că șansa ca fiecare prizonier să-și găsească propriul semn este microscopic mică. În plus, prizonierii nu pot face schimb de informații între ei în timpul testului.

Șansele unui prizonier sunt de 50:50. Sunt 100 de cutii în total și poate deschide până la 50 de cutii în căutarea semnului său. Dacă deschide cutiile la întâmplare și deschide jumătate din toate cutiile, își va găsi semnul în jumătatea deschisă a cutiilor, sau semnul său va rămâne în cele 50 de cutii închise. Șansele lui de succes sunt ½.

Să luăm doi prizonieri. Dacă ambii aleg casete la întâmplare, șansele pentru fiecare dintre ele vor fi ½, iar pentru ambele ½x½=¼.
(pentru doi prizonieri, succesul va fi într-un caz din patru).

Pentru trei prizonieri, șansele vor fi ½ × ½ × ½ = ⅛.

Pentru 100 de prizonieri, șansele sunt: ​​½ × ½ × … ½ × ½ (înmulțit de 100 de ori).

Aceasta este egală

Pr ≈ 0,000000000000000000000000000000008

Adică, aceasta este o șansă foarte mică. În această situație, cel mai probabil, toți prizonierii vor fi morți.

Incredibil raspuns

Dacă fiecare prizonier ar deschide cutiile la întâmplare, ar fi puțin probabil să treacă testul. Există o strategie în care prizonierii se pot aștepta la succes mai mult de 30% din timp. Acesta este un rezultat uimitor de incredibil (dacă nu ați auzit până acum de această problemă de matematică).

Mai mult de 30% pentru toți cei 100 de prizonieri! Da, aceasta este chiar mai bună decât șansele pentru doi prizonieri, cu condiția să deschidă cutiile la întâmplare. Dar cum este posibil acest lucru?

Este clar că unul pentru fiecare deținut, șansele nu pot fi mai mari de 50% (la urma urmei, nu există nicio cale de comunicare între deținuți). Dar nu uitați că informațiile sunt stocate în aranjamentul plăcilor din interiorul cutiilor. Nimeni nu amestecă semnele între vizitele individuale ale deținutului în cameră, așa că putem folosi aceste informații.

Soluţie

În primul rând, vă voi spune soluția, apoi vă voi explica de ce funcționează.

Strategia este extrem de ușoară. Primul prizonier deschide cutia cu numărul scris pe haine. De exemplu, prizonierul numărul 78 deschide o cutie cu numărul 78. Dacă își găsește numărul pe un semn din interiorul cutiei, atunci grozav! Dacă nu, se uită la numărul de pe plăcuță din caseta „lui” și apoi deschide următoarea casetă cu acel număr. După ce a deschis a doua cutie, se uită la numărul plăcuței din interiorul acestei cutii și deschide a treia cutie cu acest număr. Apoi, pur și simplu transferăm această strategie în casetele rămase. Pentru claritate, priviți imaginea:

În cele din urmă, prizonierul fie își va găsi numărul, fie va ajunge la limita de 50 de cutii. La prima vedere, acest lucru pare inutil în comparație cu alegerea pur și simplu a unei cutii la întâmplare (și pentru un prizonier individual este așa), dar, deoarece toți cei 100 de prizonieri vor folosi același set de cutii, are sens.

Frumusețea acestei probleme de matematică nu este doar cunoașterea rezultatului, ci și înțelegerea De ce această strategie funcționează.

Deci, de ce funcționează strategia?

Fiecare cutie conține un semn - iar acest semn este unic. Aceasta înseamnă că placa se află într-o cutie cu același număr sau indică o cutie diferită. Deoarece toate semnele sunt unice, pentru fiecare casetă există un singur semn care indică spre ea (și o singură cale de a ajunge la acea casetă).

Dacă te gândești bine, cutiile formează un lanț circular închis. O casetă poate face parte dintr-un singur lanț, deoarece în interiorul unei casete există doar un indicator către următoarea și, în consecință, în caseta anterioară există doar un indicator către o casetă dată (programatorii pot vedea analogia cu listele legate) .

Dacă cutia nu indică spre sine (numărul cutiei este egal cu numărul plăcii din ea), atunci va fi în lanț. Unele lanțuri pot consta din două cutii, altele sunt mai lungi.

Deoarece toți prizonierii încep cu o cutie cu același număr cu hainele lor, ei sunt, prin definiție, așezați pe un lanț care conține semnul lor (există un singur semn care indică acea cutie).

Explorând cutiile într-un cerc de-a lungul acestui lanț, ei au garanția că în cele din urmă își vor găsi semnul.

Singura întrebare rămâne dacă își vor găsi semnul în 50 de mișcări.

Lungimea lanțului

Pentru ca toți prizonierii să treacă testul, lungimea maximă a lanțului trebuie să fie mai mică de 50 de cutii. Dacă lanțul este mai lung de 50 de cutii, prizonierii cu numere din aceste lanțuri vor pisa testul - și toți prizonierii vor fi morți.

Dacă lungimea maximă a celui mai lung lanț este mai mică de 50 de cutii, atunci toți prizonierii vor trece testul!

Gândește-te la asta pentru o secundă. Se dovedește că poate exista un singur lanț care este mai lung de 50 de cutii în orice aspect al plăcilor (avem doar 100 de cutii, deci dacă un lanț este mai lung de 50, restul va fi mai scurt de 50 în final) .

Șansele unui aspect cu un lanț lung

Odată ce te-ai convins că pentru a reuși, lungimea maximă a lanțului trebuie să fie mai mică sau egală cu 50 și nu poate exista decât un singur lanț lung în orice set, putem calcula probabilitatea de a trece testul:

Mai multă matematică

Deci, de ce avem nevoie pentru a ne da seama de probabilitatea existenței unui lanț lung?

Pentru un lanț cu lungimea l, probabilitatea ca casetele să fie în afara acestui lanț este egală cu:

Există (l-1) în această colecție de numere! modalități de a plasa semne.

Semnele rămase pot fi localizate (100-l)! modalități (nu uitați că lungimea lanțului nu depășește 50).

Având în vedere acest lucru, numărul de permutări care conțin un lanț de lungime exactă l: (>50)

Rezultă că există 100(!) moduri de aranjare a semnelor, deci probabilitatea existenței unui lanț de lungime l este egală cu 1/l. Apropo, acest rezultat nu depinde de numărul de cutii.

După cum știm deja, poate exista o singură opțiune în care există un lanț de lungime > 50, astfel încât probabilitatea de succes este calculată folosind această formulă:

Rezultat

31,18% - probabilitatea ca dimensiunea celui mai lung lanț să fie mai mică de 50 și fiecare dintre prizonieri să-și poată găsi semnul, având în vedere limita de 50 de încercări.

Probabilitatea ca toți deținuții să-și găsească semnele și să treacă testul este de 31,18%

Mai jos este un grafic care arată probabilitățile (pe axa y) pentru toate lanțurile de lungime l (pe axa x). Culoarea roșie reprezintă toate „eșecurile” (curba dată aici este doar un grafic 1/l). Culoarea verdeînseamnă „succes” (calculul este puțin mai complicat pentru această parte a graficului, deoarece există mai multe moduri de a determina lungimea maximă<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Număr armonic (această parte a articolului este pentru tocilari)

În matematică, al n-lea număr armonic este suma reciprocelor primelor n numere consecutive din seria naturală.

Să calculăm limita dacă în loc de cutii de 100a avem un număr mare arbitrar de cutii (să presupunem că avem 2n cutii în total).

Constanta Euler-Mascheroni este o constantă definită ca limita diferenței dintre suma parțială a unei serii armonice și logaritmul natural al unui număr.

Pe măsură ce numărul deținuților crește, dacă gardianul permite prizonierilor să deschidă jumătate din toate cutiile, atunci șansa de salvare tinde spre 30,685%

(Dacă ați luat o decizie în care prizonierii ghicesc cutiile aleatoriu, atunci pe măsură ce numărul deținuților crește, probabilitatea de salvare tinde spre zero!)

Întrebare suplimentară

Își amintește cineva de întrebarea următoare? Ce poate face partenerul nostru de ajutor pentru a ne crește șansele de supraviețuire?

Acum știm deja soluția, așa că strategia de aici este simplă: trebuie să studieze toate semnele și să găsească cel mai lung lanț de cutii. Dacă cel mai lung lanț este mai mic de 50, atunci nu trebuie să schimbe deloc plăcile sau să le schimbe astfel încât cel mai lung lanț să nu devină mai lung de 50. Totuși, dacă găsește un lanț mai lung de 50 de cutii, tot ce trebuie să facă este să schimbe conținutul a două cutii din acel lanț pentru a împărți lanțul în două lanțuri mai scurte.

Ca urmare a acestei strategii, nu vor exista lanțuri lungi și toți prizonierii au garantat să-și găsească semnul și salvarea. Deci, schimbând cele două semne, reducem probabilitatea de mântuire la 100%!