Funcții trigonometrice sunt funcţii elementare al căror argument este colţ. Prin utilizarea funcții trigonometrice descrie relația dintre laturile și unghiurile ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic. Domeniile de aplicare a funcțiilor trigonometrice sunt extrem de diverse. Deci, de exemplu, orice proces periodic poate fi reprezentat ca o sumă de funcții trigonometrice (seria Fourier). Aceste funcții apar adesea la rezolvarea ecuațiilor diferențiale și funcționale.
Funcțiile trigonometrice includ următoarele 6 funcții: sinusurilor, cosinus, tangentă, cotangentă, secantăși cosecant. Pentru fiecare dintre aceste funcții, există o funcție trigonometrică inversă.
Definiția geometrică a funcțiilor trigonometrice este introdusă convenabil folosind cerc unitar. Figura de mai jos arată un cerc cu o rază r= 1. Un punct este marcat pe cerc M(X y). Unghiul dintre vectorul rază OMși direcția pozitivă a axei Bou egală α .
sinusurilor unghi α y puncte M(X y) la rază r: păcat α = y/r. Pentru că r= 1, atunci sinusul este egal cu ordonata punctului M(X y).
cosinus unghi α X puncte M(X y) la rază r: cos α = X/r = X
tangentă unghi α se numește raportul ordonatei y puncte M(X y) la abscisa ei X:tan α = y/X, X ≠ 0
Cotangentă unghi α numit raportul abscisei X puncte M(X y) la ordonata sa y: pisică α = X/y, y ≠ 0
Secantă unghi α este raportul razei r până la abscisă X puncte M(X y): sec α = r/X = 1/X, X ≠ 0
Cosecant unghi α este raportul razei r la ordonata y puncte M(X y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0
Într-un singur cerc de proiecție X, y puncte M(X y) și raza r formează un triunghi dreptunghic în care X y sunt picioare, și r− ipotenuză. Prin urmare, definițiile de mai sus ale funcțiilor trigonometrice aplicate unui triunghi dreptunghic sunt formulate după cum urmează: sinusurilor unghi α este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. cosinus unghi α este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză. tangentă unghi α numit piciorul opus celui adiacent. Cotangentă unghi α numit piciorul adiacent la opus.
graficul funcției sinus y= păcat X, domeniu: X ∈ ℜ , interval: −1 ≤ sin X ≤ 1
Graficul funcției cosinus y= cos X, domeniu: X ∈ ℜ , interval: −1 ≤ cos X ≤ 1
graficul funcției tangente y= ttg X, domeniu: X ∈ ℜ , X ≠ (2k + 1)π /2, interval: −∞< tg X < ∞
Graficul funcției cotangente y=ctg X, domeniu: X ∈ ℜ , X ≠ kπ, interval: −∞< ctg X < ∞
Unghiurile sunt măsurate în grade sau radiani. Este important să înțelegem relația dintre aceste unități de măsură. Înțelegerea acestei relații vă permite să operați cu unghiuri și să faceți tranziția de la grade la radiani și invers. În acest articol, obținem o formulă pentru conversia gradelor în radiani și radianii în grade, precum și analizăm câteva exemple din practică.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Relația dintre grade și radiani
Pentru a stabili o relație între grade și radiani, trebuie să cunoașteți gradul și măsura în radiani a unui unghi. De exemplu, să luăm un unghi central care se bazează pe diametrul unui cerc cu raza r. Pentru a calcula măsura în radiani a acestui unghi, trebuie să împărțiți lungimea arcului la lungimea razei cercului. Unghiul considerat corespunde lungimii arcului egală cu jumătate din lungimea cercului π · r . Împărțiți lungimea arcului la rază și obțineți măsura în radian a unghiului: π · r r = π rad.
Deci unghiul în cauză este π radiani. Pe de altă parte, este un unghi drept egal cu 180°. Prin urmare 180° = π rad.
Relația dintre grade și radiani
Relația dintre radiani și grade este exprimată prin formula
π radiani = 180°
Formule pentru conversia radianilor în grade și invers
Din formula obținută mai sus se pot deriva și alte formule pentru conversia unghiurilor din radiani în grade și din grade în radiani.
Exprimă un radian în grade. Pentru a face acest lucru, împărțim părțile din stânga și din dreapta ale razei cu pi.
1 rad \u003d 180 π ° - gradul de măsurare a unui unghi în 1 radian este de 180 π.
De asemenea, puteți exprima un grad în radiani.
1 ° = π 180 r a d
Puteți face calcule aproximative ale valorilor unghiurilor în radiani și invers. Pentru a face acest lucru, luăm valorile numărului π până la zece miimi și le înlocuim în formulele rezultate.
1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °
Deci sunt aproximativ 57 de grade într-un radian.
1 ° = π 180 rad = 3,1416 180 rad = 0,0175 rad
Un grad conține 0,0175 radiani.
Formula pentru transformarea radianilor în grade
x ra d = x 180 π °
Pentru a converti un unghi din radiani în grade, înmulțiți unghiul în radiani cu 180 și împărțiți cu pi.
Exemple de conversie a gradelor în radiani și a radianilor în grade
Luați în considerare un exemplu.
Exemplul 1: Conversia din radiani în grade
Fie α = 3 , 2 rad. Trebuie să știți măsura gradului acestui unghi.
Să avem un cerc unitar centrat în punctul O. Să desenăm o tangentă verticală la el în punctul P. Să presupunem că această tangentă este o axă numerică, cu începutul în punctul P și să fie direcția pozitivă în sus. Să luăm raza cercului nostru ca unitate de lungime pe axa numerică. Acum să marchem câteva puncte ±1, ±pi/2, ±3, ±pi pe axa reală. Aici pi ≈3,1415 este un număr irațional.
Ce înseamnă măsura în radian
Acum, să înfășurăm mental linia numerică în jurul cercului. Apoi punctele cu coordonatele 1, pi/2, -1, -2 și altele vor merge respectiv la punctele M1, M2, M3, M4 de pe cerc. În acest caz, lungimea arcului PM1 va fi egală cu 1, lungimea lui PM2 = pi/2 etc.
Am asociat fiecare punct de pe linie cu un punct de pe cerc.
În acest caz, ei spun că unghiurile sunt măsurate în radian, iar unghiul POM1 este considerat un unghi de 1 radian (1 rad).
Să considerăm un cerc cu raza R și să marchem pe el un arc RM de lungime egală cu R. Se marchează și unghiul ROM.
Unghiul central, care se bazează pe un arc a cărui lungime este egală cu raza, se numește unghi de un radian (1 rad).
Calculați gradul de măsură a unghiului în 1 radian.
Lungimea arcului unui semicerc este egală cu pi*R. Acest arc are un unghi central de 180 de grade. Prin urmare, un arc de lungime egală cu R subtinde un unghi pi ori mai mic de 180 de grade. Acesta este,
1 radian = (180/pi) grade.
Se știe că pi≈3,14, apoi 1 rad ≈ 57,3 grade.
Dacă se știe că un unghi conține x radiani, atunci se folosește următoarea formulă pentru a calcula măsura gradului său:
X radiani = ((180*x)/pi) grade.
Tabelul unghiurilor de bază exprimate în măsura în radiani
Când se desemnează măsura radianilor unghiurilor, numele „rad” este de obicei omis.
Cunoscând măsura în radian a unghiului (a), puteți calcula lungimea arcului (l) pe care o subține acest unghi folosind următoarea formulă: l=a*R.
Să ne uităm la poză. Vectorul \(AB \) s-a „întors” în raport cu punctul \(A \) cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi unghi \(\alpha \).
Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, unități de unghi, desigur!
Unghiul, atât în geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.
Un unghi în \(1()^\circ \) (un grad) este un unghi central într-un cerc bazat pe un arc de cerc egal cu partea \(\dfrac(1)(360) \) a cercului.
Deci întregul cerc este alcătuit din \(360 \) „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este \(360()^\circ \) .
Adică, figura de mai sus arată unghiul \(\beta \) egal cu \(50()^\circ \) , adică acest unghi se bazează pe un arc de cerc de dimensiunea \(\dfrac(50)(360). ) \) a circumferinței.
Un unghi în \(1 \) radiani este un unghi central într-un cerc, bazat pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului.
Deci, figura arată unghiul \(\gamma \) egal cu \(1 \) radian, adică acest unghi se bazează pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea \ (AB \) este egală cu lungimea \(BB"\) sau raza \(r \) este egală cu lungimea arcului \(l \) ) Astfel, lungimea arcului se calculează prin formula:
\(l=\theta \cdot r \) , unde \(\theta \) este unghiul central în radiani.
Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani conține un unghi descris de un cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferința unui cerc. Acolo e:
\(L=2\pi \cdot r\)
Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să obținem că unghiul descris de cerc este \(2\pi \) . Adică, corelând valoarea în grade și radiani, obținem că \(2\pi =360()^\circ \) . În consecință, \(\pi =180()^\circ \) . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.
În acest articol, vom stabili o relație între unitățile de bază de măsurare a unghiului - grade și radiani. Această conexiune ne va permite în cele din urmă să realizăm transformarea gradelor în radiani și invers. Pentru ca aceste procese să nu creeze dificultăți, vom obține o formulă de conversie a grade în radiani și o formulă de conversie din radiani în grade, după care vom analiza în detaliu soluțiile exemplelor.
Navigare în pagină.
Relația dintre grade și radiani
Legătura dintre grade și radiani se va stabili dacă se cunosc atât măsura în grade, cât și în radiani a unui unghi (măsura în grade și radiani a unui unghi poate fi găsită în secțiune).
Luați unghiul central pe baza diametrului unui cerc cu raza r. Putem calcula măsura acestui unghi în radiani: pentru aceasta trebuie să împărțim lungimea arcului la lungimea razei cercului. Acest unghi corespunde unei lungimi de arc egală cu jumătate circumferinţă, acesta este, . Împărțind această lungime la lungimea razei r, obținem măsura în radiani a unghiului pe care l-am luat. Deci unghiul nostru este rad. Pe de altă parte, acest unghi este extins, este egal cu 180 de grade. Prin urmare, pi radiani este de 180 de grade.
Deci, se exprimă prin formula π radiani = 180 de grade, acesta este, 
.
Formule pentru conversia grade în radiani și radiani în grade
Din egalitatea formei , pe care am obținut-o în paragraful anterior, este ușor de derivat formule de conversie a radianilor în grade și a gradelor în radiani.
Împărțind ambele părți ale ecuației la pi, obținem o formulă care exprimă un radian în grade: 
. Această formulă înseamnă că gradul de măsură a unui unghi de un radian este 180/π. Dacă schimbăm părțile din stânga și din dreapta ale egalității, apoi împărțim ambele părți la 180, atunci obținem o formulă de forma 
. Exprimă un grad în radiani.
Pentru a ne satisface curiozitatea, calculăm valoarea aproximativă a unui unghi de un radian în grade și valoarea unui unghi de un grad în radiani. Pentru a face acest lucru, luați valoarea numărului pi cu precizie la zece miimi, înlocuiți-o în formule și , și faceți calculele. Avem 
și . Deci, un radian este de aproximativ 57 de grade, iar un grad este de 0,0175 radiani.
În fine, din relaţiile obţinute și să trecem la formulele de conversie a radianilor în grade și invers și să luăm în considerare și exemple de aplicare a acestor formule.
Formula pentru transformarea radianilor în grade se pare ca: 
. Astfel, dacă se cunoaște valoarea unghiului în radiani, atunci înmulțind-o cu 180 și împărțind cu pi, obținem valoarea acestui unghi în grade.
Exemplu.
Dat un unghi de 3,2 radiani. Care este măsura acestui unghi în grade?
Soluţie.
Folosim formula pentru conversia din radiani în grade, avem 
Răspuns:
.
Formula pentru transformarea gradelor în radiani are forma 
. Adică, dacă se cunoaște valoarea unghiului în grade, atunci înmulțind-o cu pi și împărțind la 180, obținem valoarea acestui unghi în radiani. Să luăm în considerare un exemplu de soluție.
