Acest articol este dedicat unui studiu detaliat formule trigonometrice turnate. Dan lista plina se prezintă formule de reducere, se arată exemple de utilizare a acestora, se dă dovada corectitudinii formulelor. Articolul oferă, de asemenea, o regulă mnemonică care vă permite să obțineți formule de reducere fără a vă aminti fiecare formulă.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formule de turnare. Listă
Formulele de reducere vă permit să reduceți funcțiile trigonometrice de bază ale unghiurilor de mărime arbitrară la funcții ale unghiurilor situate în intervalul de la 0 la 90 de grade (de la 0 la π 2 radiani). Operarea cu unghiuri de la 0 la 90 de grade este mult mai convenabilă decât lucrul cu valori arbitrar mari, astfel încât formulele de reducere sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor de trigonometrie.
Înainte de a scrie formulele în sine, vom clarifica câteva puncte care sunt importante pentru înțelegere.
- Argumentele funcțiilor trigonometrice din formulele de reducere sunt unghiuri de forma ± α + 2 π · z , π 2 ± α + 2 π · z , 3 π 2 ± α + 2 π · z . Aici z este orice număr întreg și α este un unghi de rotație arbitrar.
- Nu este necesar să învățați toate formulele de reducere, al căror număr este destul de impresionant. Există o regulă mnemonică care facilitează obținerea formulei dorite. Regula mnemonică va fi discutată mai târziu.
Acum să trecem direct la formulele de reducere.
Formulele de turnare vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare și arbitrar mari la lucrul cu unghiuri cuprinse între 0 și 90 de grade. Să scriem toate formulele sub forma unui tabel.
Formule turnate
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
În acest caz, formulele sunt scrise în radiani. Cu toate acestea, le puteți scrie și folosind grade. Este suficient să convertiți radianii în grade înlocuind π cu 180 de grade.
Exemple de utilizare a formulelor turnate
Vom arăta cum să folosiți formulele de reducere și cum sunt utilizate aceste formule în rezolvarea exemplelor practice.
Unghiul sub semnul funcției trigonometrice poate fi reprezentat nu într-unul, ci în mai multe moduri. De exemplu, argumentul unei funcții trigonometrice poate fi reprezentat ca ± α + 2 π z , π 2 ± α + 2 π z , π ± α + 2 π z , 3 π 2 ± α + 2 π z . Să demonstrăm asta.
Să luăm unghiul α = 16 π 3 . Acest unghi poate fi scris astfel:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
În funcție de reprezentarea unghiului, se folosește formula de reducere corespunzătoare.
Să luăm același unghi α = 16 π 3 și să-i calculăm tangenta
Exemplul 1: Utilizarea formulelor de turnare
α \u003d 16 π 3, t g α \u003d?
Să reprezentăm unghiul α = 16 π 3 ca α = π + π 3 + 2 π 2
Această reprezentare a unghiului va corespunde formulei de reducere
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Cu ajutorul tabelului, indicăm valoarea tangentei
Acum folosim o altă reprezentare a unghiului α = 16 π 3 .
Exemplul 2: Utilizarea formulelor de turnare
α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3
În cele din urmă, pentru a treia reprezentare a unghiului scriem
Exemplul 3: Utilizarea formulelor de turnare
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3
Acum să dăm un exemplu de utilizare a formulelor de reducere mai complicate
Exemplul 4: Utilizarea formulelor de turnare
Să reprezentăm sin 197 ° în ceea ce privește sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit.
Pentru a putea aplica formulele de reducere este necesar să se reprezinte unghiul α = 197 ° într-una din formele
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. În funcție de starea problemei, unghiul trebuie să fie acut. Prin urmare, avem două moduri de a o reprezenta:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Primim
sin 197° = sin(180° + 17°) sin 197° = sin(270° - 73°)
Acum să ne uităm la formulele de reducere pentru sinusuri și să le alegem pe cele potrivite.
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin(270° - 73° + 360° z) = - cos 73°
Regulă mnemonică
Există multe formule de casting și, din fericire, nu este nevoie să le memorezi. Există modele prin care puteți obține formule de reducere pentru diferite unghiuri și funcții trigonometrice. Aceste modele sunt numite reguli mnemonice. Mnemonica este arta memorării. Regula mnemonică constă din trei părți sau conține trei etape.
Regulă mnemonică
1. Argumentul funcției originale este reprezentat într-una din forme
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Unghiul α trebuie să fie între 0 și 90 de grade.
2. Se determină semnul funcției trigonometrice inițiale. Funcția scrisă în partea dreaptă a formulei va avea același semn.
3. Pentru unghiurile ± α + 2 πz și π ± α + 2 πz, denumirea funcției originale rămâne neschimbată, iar pentru unghiurile π 2 ± α + 2 πz și, respectiv, 3 π 2 ± α + 2 πz, se modifică la „cofuncționare”. Sinus la cosinus. Tangent la cotangent.
Pentru a utiliza regula mnemonică pentru formulele de reducere, trebuie să fiți capabil să determinați semnele funcțiilor trigonometrice de-a lungul sferturilor cercului unitar. Să ne uităm la exemple de aplicare a regulii mnemonice.
Exemplul 1: Utilizarea unei reguli mnemonice
Să notăm formulele de reducere pentru cos π 2 - α + 2 πz și t g π - α + 2 πz . α - unghiul primului sfert.
1. Deoarece prin condiția α este logul primului trimestru, sărim peste primul paragraf al regulii.
2. Să determinăm semnele funcțiilor cos π 2 - α + 2 πz și t g π - α + 2 πz . Unghiul π 2 - α + 2 πz este, de asemenea, unghiul primului sfert, iar unghiul π - α + 2 πz este în al doilea sfert. În primul trimestru, funcția cosinus este pozitivă, iar tangenta din al doilea trimestru are semnul minus. Să scriem cum vor arăta formulele dorite în această etapă.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Conform punctului al treilea, pentru unghiul π 2 - α + 2 π numele funcției se schimbă în Confucius, iar pentru unghiul π - α + 2 πz rămâne același. Hai să scriem:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Acum să ne uităm la formulele de mai sus și să ne asigurăm că regula mnemonică funcționează.
Luați în considerare un exemplu cu un unghi specific α = 777°. Aducem sinusul alfa la funcția trigonometrică a unui unghi ascuțit.
Exemplul 2: Utilizarea unei reguli mnemonice
1. Să reprezentăm unghiul α = 777 ° în forma cerută
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Unghiul inițial - unghiul primului sfert. Deci sinusul unghiului are semn pozitiv. Ca urmare, avem:
3. sin 777° = sin(57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin(90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Acum să ne uităm la un exemplu care arată cât de important este să determinați corect semnul funcției trigonometrice și să reprezentăm corect unghiul atunci când folosiți regula mnemonică. Să o repetăm din nou.
Important!
Unghiul α trebuie să fie ascuțit!
Să calculăm tangenta unghiului 5 π 3 . Din tabelul de valori ale principalelor funcții trigonometrice, puteți lua imediat valoarea t g 5 π 3 = - 3, dar vom aplica regula mnemonică.
Exemplul 3: Utilizarea unei reguli mnemonice
Reprezentăm unghiul α = 5 π 3 în forma cerută și folosim regula
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Dacă reprezentăm unghiul alfa sub forma 5 π 3 = π + 2 π 3, atunci rezultatul aplicării regulii mnemonice va fi incorect.
t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3
Rezultatul incorect se datorează faptului că unghiul 2 π 3 nu este acut.
Dovada formulelor de reducere se bazează pe proprietățile de periodicitate și simetrie ale funcțiilor trigonometrice, precum și pe proprietatea deplasării cu unghiurile π 2 și 3 π 2 . Dovada validității tuturor formulelor de reducere poate fi efectuată fără a lua în considerare termenul 2 πz, deoarece denotă o modificare a unghiului cu un număr întreg de rotații complete și reflectă doar proprietatea periodicității.
Primele 16 formule decurg direct din proprietățile funcțiilor trigonometrice de bază: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.
Prezentăm dovada formulelor de reducere pentru sinusuri și cosinusuri
sin π 2 + α = cos α și cos π 2 + α = - sin α
Să ne uităm la cercul unitar, al cărui punct inițial, după întoarcerea prin unghiul α, a trecut în punctul A 1 x , y , iar după întoarcerea prin unghiul π 2 + α - până la punctul A 2 . Din ambele puncte desenăm perpendiculare pe axa x.
Două triunghi dreptunghic O A 1 H 1 și O A 2 H 2 sunt egale în ceea ce privește ipotenuza și unghiurile adiacente acesteia. Din locația punctelor de pe cerc și egalitatea triunghiurilor, putem concluziona că punctul A 2 are coordonatele A 2 - y, x. Folosind definițiile sinusului și cosinusului, scriem:
sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y
sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - sin α
Ținând cont de identitățile de bază ale trigonometriei și de ceea ce tocmai s-a dovedit, putem scrie
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - tgα
Pentru a demonstra formule de reducere cu un argument π 2 - α, acesta trebuie reprezentat ca π 2 + (- α) . De exemplu:
cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - sin (- α) \u003d sin α
Demonstrarea folosește proprietățile funcțiilor trigonometrice cu argumente opuse în semn.
Toate celelalte formule de reducere pot fi dovedite pe baza celor scrise mai sus.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Există două reguli pentru utilizarea formulelor de turnare.
1. Dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π/2 ±a) sau (3*π/2 ±a), atunci se modifică numele funcției sin la cos, cos la sin, tg la ctg, ctg la tg. Dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π ±a) sau (2*π ±a), atunci numele funcției rămâne neschimbat.
Priviți figura de mai jos, arată schematic când trebuie schimbat semnul și când nu.
2. Regula „cum ai fost, așa rămâi”.
Semnul funcției reduse rămâne același. Dacă funcția inițială avea semnul plus, atunci funcția redusă are și semnul plus. Dacă funcția inițială avea semnul minus, atunci funcția redusă are și semnul minus.
În figura de mai jos sunt prezentate semnele principalelor funcții trigonometrice în funcție de trimestru.
Calculați Sin(150˚)
Să folosim formulele de reducere:
Sin(150˚) este în al doilea trimestru, putem vedea din figură că semnul păcatului în acest trimestru este +. Aceasta înseamnă că funcția de mai sus va avea și un semn plus. Am aplicat a doua regulă.
Acum 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ este π/2. Adică avem de-a face cu cazul π / 2 + 60, prin urmare, conform primei reguli, schimbăm funcția din sin în cos. Ca rezultat, obținem Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
Dacă se dorește, toate formulele de reducere pot fi rezumate într-un singur tabel. Dar este totuși mai ușor să-ți amintești aceste două reguli și să le folosești.
Ai nevoie de ajutor cu studiile tale?
Subiect anterior:
Trigonometrie Formule de reducere.
Formulele de turnare nu trebuie predate, ele trebuie înțelese. Înțelegeți algoritmul pentru rezultatul lor. Este foarte ușor!
Să luăm un cerc unitar și să plasăm pe el toate măsurile de grade (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).
Să analizăm funcțiile sin(a) și cos(a) în fiecare trimestru.
Amintiți-vă că ne uităm la funcția sin (a) de-a lungul axei Y și la funcția cos (a) de-a lungul axei X.
În primul trimestru, se poate observa că funcția sin(a)>0
Și funcționalitate cos(a)>0
Primul trimestru poate fi descris în termeni de măsura gradului, cum ar fi (90-α) sau (360+α).
În al doilea trimestru, se poate observa că funcția sin(a)>0, deoarece axa y este pozitivă în acel trimestru.
O functie cos(a) deoarece axa x este negativă în acel trimestru.
Al doilea trimestru poate fi descris printr-o măsură a gradului, ca (90+α) sau (180-α).
În al treilea trimestru, se poate observa că funcțiile păcat(a) Al treilea trimestru poate fi descris în termeni de grade ca (180+α) sau (270-α).
În al patrulea trimestru, se poate observa că funcția sin(a) deoarece axa y este negativă în acel trimestru.
O functie cos(a)>0, deoarece axa x este pozitivă în acel trimestru.
Al patrulea trimestru poate fi descris în termeni de grade ca (270+α) sau (360-α).
Acum să ne uităm la formulele de reducere în sine.
Să ne amintim un simplu algoritm:
1. Sfert.(Uită-te mereu la ce trimestru te afli).
2. Semn.(Pentru un sfert, a se vedea funcțiile cosinus sau sinus pozitiv sau negativ).
3. Dacă aveți (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci modificări ale funcției.
Și așa începem să dezasamblam acest algoritm în sferturi.
Aflați cu ce va fi egală expresia cos(90-α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul unu.
Va fi cos(90-α) = sin(α)
Aflați cu ce va fi egală expresia sin (90-α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul unu.
Va fi sin(90-α) = cos(α)
Aflați cu ce va fi egală expresia cos(360+α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul unu.
2. În primul trimestru, semnul funcției cosinus este pozitiv.
Va fi cos(360+α) = cos(α)
Aflați cu ce va fi egală expresia sin (360 + α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul unu.
2. În primul trimestru, semnul funcției sinus este pozitiv.
3. Nu există (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci funcția nu se schimbă.
Va fi sin(360+α) = sin(α)
Aflați cu ce va fi egală expresia cos(90+α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul doi.
3. Există (90 ° sau π / 2) între paranteze, apoi funcția se schimbă de la cosinus la sinus.
Va fi cos(90+α) = -sin(α)
Aflați cu ce va fi egală expresia sin (90 + α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul doi.
3. Există (90 ° sau π / 2) între paranteze, apoi funcția se schimbă de la sinus la cosinus.
Va fi sin(90+α) = cos(α)
Aflați cu ce va fi egală expresia cos(180-α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul doi.
2. În al doilea trimestru, semnul funcției cosinus este negativ.
3. Nu există (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci funcția nu se schimbă.
Va fi cos(180-α) = cos(α)
Aflați cu ce va fi egală expresia sin (180-α).
Să vorbim despre algoritm:
1. Sfertul doi.
2. În al doilea trimestru, semnul funcției sinus este pozitiv.
3. Nu există (90° sau π/2) și (270° sau 3π/2) între paranteze, atunci funcția nu se schimbă.
Va fi sin(180-α) = sin(α)
Vorbesc despre al treilea și al patrulea trimestru într-un mod similar, vom face un tabel:
Abonati-va pe canalul de pe YOUTUBEși urmăriți videoclipul, pregătiți-vă pentru examenele de matematică și geometrie cu noi.
Formulele de reducere sunt rapoarte care vă permit să treceți de la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă cu unghiuri `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la aceleași funcții ale unghiului `\alpha`, care se află în primul sfert al cercului unitar. Astfel, formulele de reducere ne „determină” să lucrăm cu unghiuri în intervalul de la 0 la 90 de grade, ceea ce este foarte convenabil.
Toate împreună există 32 de formule de reducere. Fără îndoială că vor veni la îndemână la examen, examene, teste. Dar vă vom avertiza imediat că nu este nevoie să le memorați! Trebuie să petreceți puțin timp și să înțelegeți algoritmul pentru aplicarea lor, atunci nu vă va fi dificil să obțineți egalitatea necesară la momentul potrivit.
Mai întâi, să notăm toate formulele de reducere:
Pentru unghiul (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) sau (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;`` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`\pi \pm \alpha`) sau (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pentru unghiul (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) sau (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;`` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`2\pi \pm \alpha`) sau (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;`` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;`` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Puteți găsi adesea formule de reducere sub forma unui tabel, unde unghiurile sunt scrise în radiani:
Pentru a-l folosi, trebuie să selectați rândul cu funcția de care avem nevoie și coloana cu argumentul dorit. De exemplu, pentru a folosi un tabel pentru a afla ce va fi ` sin(\pi + \alpha)`, este suficient să găsiți răspunsul la intersecția rândului ` sin \beta` și a coloanei ` \pi + \ alfa`. Obținem ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Și al doilea tabel similar, unde unghiurile sunt scrise în grade:
Regula mnemonică a formulelor de turnare sau cum să le amintim
După cum am menționat deja, nu este necesar să memorați toate rapoartele de mai sus. Dacă te-ai uitat atent la ele, probabil că ai observat câteva modele. Ele ne permit să formulăm o regulă mnemonică (mnemonic - memorați), cu ajutorul căreia puteți obține cu ușurință oricare dintre formulele de reducere.
Observăm imediat că, pentru a aplica această regulă, trebuie să fii capabil să determine (sau să reții) semnele funcțiilor trigonometrice în diferite sferturi ale cercului unitar. 
Grefa în sine conține 3 etape:
- Argumentul funcției trebuie să aibă forma `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, unde `\alpha` este întotdeauna un unghi ascuțit (de la 0 la 90 de grade).
- Pentru argumentele `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` functie trigonometrica a expresiei convertite se schimbă într-o cofuncție, adică invers (sinus la cosinus, tangentă la cotangentă și invers). Pentru argumentele `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` funcția nu se modifică.
- Se determină semnul funcției inițiale. Funcția rezultată din partea dreaptă va avea același semn.
Pentru a vedea cum poate fi aplicată această regulă în practică, să transformăm câteva expresii:
1. `cos(\pi + \alpha)`.
Funcția nu este inversată. Unghiul ` \pi + \alpha` este în al treilea cadran, cosinusul din acest cadran are semnul „-”, deci funcția convertită va avea și semnul „-”.
Răspuns: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Conform regulii mnemonice, funcția va fi inversată. Unghiul `\frac (3\pi)2 - \alpha` este în al treilea cadran, sinusul aici are semnul „-”, deci rezultatul va fi și cu semnul „-”.
Răspuns: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Să reprezentăm `3\pi` ca `2\pi+\pi`. `2\pi` este perioada funcției.
Important: Funcțiile `cos \alpha` și `sin \alpha` au o perioadă de `2\pi` sau `360^\circ`, valorile lor nu se vor schimba dacă argumentul este mărit sau micșorat cu aceste valori.
Pe baza acestui lucru, expresia noastră poate fi scrisă astfel: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Aplicând regula mnemonică de două ori, obținem: `cos (\pi+(\frac(\). pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Răspuns: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
regula calului
Al doilea punct al regulii mnemonice de mai sus se mai numește și regula calului a formulelor de reducere. Mă întreb de ce cai?
Deci avem funcții cu argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, punctele `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sunt puncte cheie, sunt situate pe axele de coordonate. `\pi` și `2\pi` sunt pe axa x orizontală, iar `\frac (\pi)2` și `\frac (3\pi)2` sunt pe axa verticală y.
Ne punem întrebarea: „Funcția se schimbă într-o cofuncție?”. Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să vă mișcați capul de-a lungul axei pe care se află punctul cheie.
Adică, pentru argumentele cu puncte cheie situate pe axa orizontală, răspundem „nu” dând din cap în lateral. Iar pentru colțurile cu puncte cheie situate pe axa verticală, răspundem „da” dând din cap de sus în jos, ca un cal 🙂
Vă recomandăm să urmăriți un tutorial video în care autorul explică în detaliu cum să memorați formulele de reducere fără să le memorați.
Exemple practice de utilizare a formulelor de turnare
Folosirea formulelor de reducere începe în clasele a IX-a și a X-a. O mulțime de sarcini cu utilizarea lor sunt supuse examenului. Iată câteva dintre sarcinile în care va trebui să aplicați aceste formule:
- sarcini pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic;
- conversii numerice și alfabetice expresii trigonometrice, calculul valorilor acestora;
- probleme stereometrice.
Exemplul 1. Folosiți formulele de reducere pentru a calcula a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Rezolvare: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Exemplul 2. După ce a exprimat cosinusul prin sinus folosind formulele de reducere, comparați numerele: 1) `sin \frac (9\pi)8` și `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` și `cos \frac (3\pi)10`.
Rezolvare: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Mai întâi demonstrăm două formule pentru sinusul și cosinusul argumentului `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` și ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Restul sunt derivate din ele. Luați un cerc unitar și punctul A pe el cu coordonatele (1,0). Lasă după pornire Din definiția tangentei și cotangentei, obținem ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` și ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, ceea ce demonstrează reducerea formule pentru tangenta si cotangenta unghiului `\frac (\pi)2 + \alpha`. Pentru a demonstra formule cu argumentul `\frac (\pi)2 - \alpha`, este suficient să-l reprezentăm ca `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` și să urmați aceeași cale ca mai sus. De exemplu, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Unghiurile `\pi + \alpha` și `\pi - \alpha` pot fi reprezentate ca `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` și `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respectiv. Și `\frac (3\pi)2 + \alpha` și `\frac (3\pi)2 - \alpha` ca `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` și `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Ele aparțin secțiunii „trigonometrie” a matematicii. Esența lor este de a aduce funcțiile trigonometrice ale unghiurilor într-o formă mai „simplu”. Se pot scrie multe despre importanța cunoștințelor lor. Există 32 dintre aceste formule! Nu-ți face griji, nu trebuie să le înveți, ca multe alte formule din cursul de matematică. Nu trebuie să vă umpleți capul cu informații inutile, trebuie să memorați „cheile” sau legile, iar amintirea sau derivarea formulei dorite nu va fi o problemă. Apropo, când scriu în articole „... trebuie să înveți !!!” - asta înseamnă că este cu adevărat necesar să-l înveți. Dacă nu sunteți familiarizat cu formulele de reducere, atunci simplitatea derivării lor vă va surprinde în mod plăcut - există o „lege” cu care este ușor să faceți acest lucru. Și vei scrie oricare dintre cele 32 de formule în 5 secunde. Voi enumera doar câteva dintre sarcinile care vor fi la examen la matematică, unde fără cunoașterea acestor formule există o mare probabilitate de a eșua la soluție. De exemplu: - probleme pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic, unde vorbim de un unghi exterior, si probleme pentru unghiuri interne, unele dintre aceste formule sunt si ele necesare. - sarcini pentru calcularea valorilor expresiilor trigonometrice; transformări ale expresiilor trigonometrice numerice; transformări ale expresiilor trigonometrice literale. - sarcini asupra tangentei și semnificația geometrică a tangentei, este necesară o formulă de reducere a tangentei, precum și alte sarcini. - probleme stereometrice, în cursul rezolvării este adesea necesar să se determine sinusul sau cosinusul unui unghi care se află în intervalul de la 90 la 180 de grade. Și acestea sunt doar acele puncte care se referă la examen. Și în cursul algebrei în sine există multe probleme, în soluția cărora, fără cunoașterea formulelor de reducere, este pur și simplu imposibil de realizat. Deci, la ce duce și cum formulele stipulate ne simplifică rezolvarea problemelor? De exemplu, trebuie să determinați sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta oricărui unghi între 0 și 450 de grade: unghiul alfa variază de la 0 la 90 de grade * * *
Deci, este necesar să înțelegeți „legea” care funcționează aici: 1. Determinați semnul funcției în trimestrul corespunzător. Să le reamintesc: 2. Amintiți-vă următoarele: funcția se schimbă în cofuncție
funcția nu se schimbă în cofuncție
Ce înseamnă conceptul - o funcție se transformă într-o cofuncție?
Răspuns: sinusul se schimbă în cosinus sau invers, tangentă la cotangentă sau invers.
Asta e tot! Acum, conform legii prezentate, scriem mai multe formule de reducere independent: Acest unghi se află în al treilea sfert, cosinusul în al treilea sfert este negativ. Nu schimbăm funcția pentru cofuncție, deoarece avem 180 de grade, ceea ce înseamnă: Unghiul se află în primul sfert, sinusul în primul sfert este pozitiv. Nu schimbăm funcția într-o cofuncție, deoarece avem 360 de grade, ceea ce înseamnă: Iată o altă confirmare suplimentară că sinusurile unghiurilor adiacente sunt egale: Unghiul se află în al doilea sfert, sinusul în al doilea trimestru este pozitiv. Nu schimbăm funcția într-o cofuncție, deoarece avem 180 de grade, ceea ce înseamnă: În viitor, folosind proprietatea de periodicitate, uniformitate (ciudățenie), puteți determina cu ușurință valoarea oricărui unghi: 1050 0 , -750 0 , 2370 0 și oricare altele. Va apărea un articol despre asta în viitor, nu-l ratați! Când folosesc formule de reducere în rezolvarea problemelor, cu siguranță mă voi referi la acest articol, astfel încât să puteți reîmprospăta oricând teoria prezentată mai sus în memorie. Asta e tot. Sper că materialul ți-a fost de folos. Obțineți materialul articolului în format PDF Cu stimă, Alexandru.
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.
colțul `\alpha` va merge la punctul `A_1(x, y)`, iar după ce se întoarce prin unghiul `\frac (\pi)2 + \alpha` până la punctul `A_2(-y,x)` . Lăsând perpendicularele din aceste puncte la dreapta OX, vedem că triunghiurile `OA_1H_1` și `OA_2H_2` sunt egale, deoarece ipotenuzele lor și unghiurile adiacente sunt egale. Apoi, pe baza definițiilor sinusului și cosinusului, putem scrie `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Cum se poate scrie că ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` și ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, ceea ce demonstrează reducerea formule pentru sinusul și cosinusul unghiului `\frac (\pi)2 + \alpha`.
