Geometria ca știință s-a format în Egiptul antic si a ajuns nivel inalt dezvoltare. Celebrul filozof Platon a fondat Academia, unde s-a acordat o atenție deosebită sistematizării cunoștințelor existente. Conul ca una dintre figurile geometrice a fost menționat pentru prima dată în faimosul tratat al lui Euclid „Elemente”. Euclid era familiarizat cu operele lui Platon. În zilele noastre, puțini oameni știu că cuvântul „con” este tradus din limba greacă reprezintă " Con de brad„Matematicianul grec Euclid, care a trăit în Alexandria, este considerat pe bună dreptate fondatorul algebrei geometrice. Grecii antici nu numai că au devenit succesorii cunoștințelor egiptenilor, dar și-au extins semnificativ teoria.

Istoria definiției unui con

Geometria ca știință a apărut din cerințele practice ale construcției și observațiilor naturii. Treptat, cunoștințele experimentale au fost generalizate, iar proprietățile unor corpuri au fost dovedite prin altele. Grecii antici au introdus conceptul de axiome și dovezi. O axiomă este o afirmație obținută prin mijloace practice și nu necesită dovezi.

În cartea sa, Euclid a dat o definiție a unui con ca fiind o figură care se obține prin rotație triunghi dreptunghicîn jurul unuia dintre picioare. El deține și teorema principală care determină volumul unui con. Această teoremă a fost dovedită de matematicianul grec antic Eudoxus din Cnidus.

Un alt matematician Grecia antică, Apollonius din Perga, care a fost un student al lui Euclid, a dezvoltat și a expus teoria suprafețelor conice în cărțile sale. El deține definiția unei suprafețe conice și a unei secante a acesteia. Elevii de astăzi studiază geometria euclidiană, care a păstrat teoremele și definițiile de bază din cele mai vechi timpuri.

Definiții de bază

Un con circular drept este format prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unui picior. După cum puteți vedea, conceptul de con nu s-a schimbat de pe vremea lui Euclid.

Se formează ipotenuza AS a triunghiului dreptunghic AOS atunci când este rotit în jurul catetei OS suprafata laterala con, deci numit generator. Piciorul OS al triunghiului se transformă simultan în înălțimea conului și a axei acestuia. Punctul S devine vârful conului. Piciorul AO, după ce a descris un cerc (bază), s-a transformat în raza unui con.

Dacă desenați un plan de sus prin vârful și axa conului, puteți vedea că secțiunea axială rezultată este un triunghi isoscel, în care axa este înălțimea triunghiului.

Unde C- circumferinta bazei, l— lungimea generatricei conului; R— raza bazei.

Formula pentru calcularea volumului unui con

Pentru a calcula volumul unui con, utilizați următoarea formulă:

unde S este aria bazei conului. Deoarece baza este un cerc, aria sa se calculează după cum urmează:

Asta implică:

unde V este volumul conului;

n este un număr egal cu 3,14;

R este raza bazei corespunzătoare segmentului AO din figura 1;

H este înălțimea egală cu segmentul OS.

Trunchi de con, volum

Există un con circular drept. Dacă tăiați partea superioară cu un plan perpendicular pe înălțime, obțineți un trunchi de con. Cele două baze ale sale au forma unui cerc cu raze R1 și R2.

Dacă se formează un con drept prin rotirea unui triunghi dreptunghic, atunci se formează un trunchi de con prin rotirea unui trapez dreptunghiular în jurul unei laturi drepte.

Volumul unui trunchi de con se calculează folosind următoarea formulă:

V=n*(R12+R22+R1*R2)*H/3.

Conul și secțiunea lui în plan

Vechiul matematician grec Apollonius din Perga a scris lucrarea teoretică Secțiuni conice. Datorită muncii sale în geometrie, au apărut definiții ale curbelor: parabolă, elipsă, hiperbolă. Să ne uităm la ce legătură are conul cu el.

Să luăm un con circular drept. Dacă planul îl intersectează perpendicular pe axă, atunci se formează un cerc în secțiune. Când o secantă intersectează un con la un unghi față de axă, se obține o elipsă în secțiune.

Un plan de tăiere perpendicular pe bază și paralel cu axa conului formează o hiperbolă la suprafață. Un plan care taie conul la un unghi față de bază și paralel cu tangenta la con creează o curbă pe suprafață, care se numește parabolă.

Rezolvarea problemei

Chiar și sarcina simplă de a face o găleată de o anumită dimensiune necesită cunoștințe. De exemplu, trebuie să calculați dimensiunile unei găleți astfel încât să aibă un volum de 10 litri.

V=10 l=10 dm3;

Dezvoltarea conului are forma prezentată schematic în Figura 3.

L este generatria conului.

Pentru a afla suprafața găleții, care se calculează folosind următoarea formulă:

S=n*(R1 +R2)*L,

este necesar să se calculeze generatorul. O găsim din valoarea volumului V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Prin urmare, H=3V/n*(R12+R22+R1*R2).

Un trunchi de con se formează prin rotirea unui trapez dreptunghiular, în care latura este generatoarea conului.

L2 =(R2-R1)2+H2.

Acum avem toate datele pentru a construi un desen al unei găleți.

De ce gălețile de foc au formă de con?

Cine s-a întrebat vreodată de ce gălețile de foc au o formă conică aparent ciudată? Și asta nu este doar așa. Se dovedește că o găleată conică la stingerea unui incendiu are multe avantaje față de una obișnuită, în formă de trunchi de con.

În primul rând, după cum se dovedește, găleata de foc se umple cu apă mai repede și nu se varsă atunci când este transportată. Un con cu un volum mai mare decât o găleată obișnuită vă permite să transferați mai multă apă la un moment dat.

În al doilea rând, apa din acesta poate fi aruncată pe o distanță mai mare decât dintr-o găleată obișnuită.

În al treilea rând, dacă găleata conică îți cade din mâini și cade în foc, atunci toată apa este turnată pe sursa focului.

Toți acești factori economisesc timp - factorul principal la stingerea unui incendiu.

Uz practic

Elevii au adesea întrebări despre motivul pentru care ar trebui să învețe cum să calculeze volumul diferit corpuri geometrice, inclusiv con.

Iar inginerii proiectanți se confruntă în mod constant cu nevoia de a calcula volumul pieselor conice ale pieselor mașinii. Acestea sunt vârfuri de găurit, piese de strung și mașini de frezat. Forma conului va permite burghiilor să intre cu ușurință în material fără a necesita marcarea inițială cu un instrument special.

Volumul unui con este un morman de nisip sau pământ turnat pe pământ. Dacă este necesar, luând măsurători simple, puteți calcula volumul acestuia. Unii pot fi confuzi de întrebarea cum să aflați raza și înălțimea unui morman de nisip. Înarmați cu o bandă de măsurare, măsuram circumferința movilei C. Folosind formula R=C/2n aflăm raza. Aruncând o frânghie (bandă de măsurare) peste vârf, găsim lungimea generatricei. Și calcularea înălțimii folosind teorema lui Pitagora și volumul nu este dificilă. Desigur, acest calcul este aproximativ, dar vă permite să determinați dacă ați fost înșelat aducând o tonă de nisip în loc de un cub.

Unele clădiri au forma unui trunchi de con. De exemplu, turnul TV Ostankino se apropie de forma unui con. Poate fi imaginat ca fiind format din două conuri așezate unul peste altul. Cupolele castelelor și catedralelor antice reprezintă un con, al cărui volum arhitecții antici l-au calculat cu o acuratețe uimitoare.

Dacă te uiți cu atenție la obiectele din jur, multe dintre ele sunt conuri:

• Pâlnii pentru turnarea lichidelor;
• claxon-difuzor;
• conuri de parcare;
• abajur pentru lampadare;
• bradul obișnuit;
• instrumente muzicale de suflat.

După cum se poate observa din exemplele date, capacitatea de a calcula volumul unui con și suprafața acestuia este necesară în mediul profesional și Viata de zi cu zi. Noi sperăm asta va veni articolulîn ajutorul tău.

Volumul unui con este exprimat prin aceeași formulă ca și volumul unei piramide: V = 1 / 3 S h,

unde V este volumul conului, S este aria bazei conului, h- high lui.

În cele din urmă V = 1 / 3 πR 2 h, unde R este raza bazei conului.

Obținerea formulei pentru volumul unui con poate fi explicată prin următorul raționament:

Să se dea un con (fig). Să înscriem o piramidă regulată în ea, adică vom construi o piramidă în interiorul conului al cărei vârf coincide cu vârful conului, iar baza este un poligon regulat înscris în baza conului.

Volumul acestei piramide este exprimat prin formula: V’ = 1 / 3 S’ h, unde V este volumul piramidei,

S’ este aria bazei sale, h- inaltimea piramidei.

Dacă luăm ca bază a piramidei un poligon cu un număr foarte mare de laturi, atunci aria bazei piramidei va diferi foarte puțin de aria cercului, iar volumul piramidei va fi diferă foarte puţin de volumul conului. Dacă neglijăm aceste diferențe de dimensiune, atunci volumul conului este exprimat prin următoarea formulă:

V=1/3S h, unde V este volumul conului, S este aria bazei conului, h- inaltimea conului.

Înlocuind S prin πR 2, unde R este raza cercului, obținem formula: V = 1 / 3 πR 2 h, exprimând volumul conului.

Notă.În formula V = 1 / 3 S h se pune un semn de egalitate exactă, nu aproximativă, deși pe baza raționamentului efectuat l-am putea considera aproximativ, dar în liceu liceu se dovedeşte că egalitatea

V=1/3S h exact, nu aproximativ.

Volumul unui con arbitrar

Teorema. Volumul unui con arbitrar este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea, acestea.

V = 1/3 QH, (1)

unde Q este aria bazei și H este înălțimea conului.

Considerăm un con cu vârful S și baza Ф (Fig.).

Fie ca aria bazei Φ să fie egală cu Q, iar înălțimea conului să fie egală cu H. Atunci există șiruri de poligoane Φ nși F' n cu zonele Q nși Q' n astfel încât

F n⊂ Ф n⊂ Ф' nși \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= Q.

Este evident că o piramidă cu vârful S și baza F' n va fi înscris într-un con dat, iar o piramidă cu vârful S și baza Ф n- descris în jurul conului.

Volumele acestor piramide sunt, respectiv, egale

V n= 1/3 Q n H, V' n= 1 / 3 Q' n H

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V’ n= 1/3 QH

atunci formula (1) este dovedită.

Consecinţă. Volumul unui con, a cărui bază este o elipsă cu semi-axele a și b, se calculează prin formula

V = 1/3π ab H (2)

În special, volumul unui con a cărui bază este un cerc de rază R, calculate prin formula

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

unde H este înălțimea conului.

După cum se știe, aria unei elipse cu semi-axe AȘi b egal cu π ab, și prin urmare formula (2) se obține din (1) cu Q = π ab. Dacă a = b= R, atunci se obține formula (3).

Volumul unui con circular drept

Teorema 1. Volumul unui con circular drept cu înălțimea H și raza bazei R se calculează prin formula

V = 1 / 3 π R 2 H

Acest con poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi cu vârfuri în punctele O(0; 0), B(H; 0), A(H; R) în jurul axei. Oh(orez.).

Triunghiul OAB este un trapez curbiliniu corespunzător funcției

y = R/H X, X∈ . Prin urmare, folosind formula binecunoscută, obținem

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$

Consecinţă. Volumul unui con circular drept este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea, adică

unde Q - zona de bază, si H - înălțimea conului.

Teorema 2. Volumul unui trunchi de con cu razele de bază r și R și înălțimea H se calculează prin formula

V = 1 / 3 πH( r 2 + R2 + r R).

Un trunchi de con poate fi obținut prin rotirea în jurul unei axe Oh trapez O ABC (fig.).

Linia dreaptă AB trece prin punctele (0; r) și (H; R), deci are ecuația

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

primim

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

Pentru a calcula integrala, facem înlocuirea

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r, du=\frac(R-r)(H)dx $$

Evident când X variază de la 0 la H, variabilă Și variază de la r la R și, prin urmare

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(array)(c)R\\\\ r\end(array)\right.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- r^3)=\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$

O sferă al cărei volum este 8π este înscrisă într-un cub. Aflați volumul cubului.

Soluţie

Fie a latura cubului. Atunci volumul cubului este V = a 3.

Deoarece bila este înscrisă într-un cub, raza bilei este egală cu jumătate din marginea cubului, adică R = a/2 (vezi figura).

Volumul bilei este egal cu V w = (4/3)πR 3 și egal cu 8π, prin urmare

(4/3)πR 3 = 8π,

Și volumul cubului este egal cu V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Sarcina B9 (Opțiuni tipice 2015)

Volumul conului este de 32. Prin mijlocul înălțimii, paralel cu baza conului, se desenează o secțiune, care este baza unui con mai mic cu același vârf. Aflați volumul conului mai mic.

Soluţie

Să luăm în considerare sarcinile:

72353. Volumul conului este 10. Prin mijlocul înălțimii este trasată o secțiune paralelă cu baza conului, care este baza unui con mai mic cu același vârf. Aflați volumul conului mai mic.

Să observăm imediat că conul original și cel tăiat sunt similare și dacă luăm în considerare conul tăiat în raport cu cel inițial, putem spune așa: conul mai mic este similar cu cel mai mare cu un coeficient egal cu o jumătate sau 0,5. . Putem scrie:

S-ar putea scrie:

S-ar putea gândi așa!

Să luăm în considerare conul original în raport cu cel tăiat. Putem spune că conul mai mare este similar cu cel tăiat cu un coeficient egal cu doi, să scriem:

Acum priviți soluția fără a utiliza proprietăți de similaritate.

Volumul unui con este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea acestuia:

Luați în considerare proiecția laterală (vedere laterală) cu secțiunea transversală indicată:

Fie raza conului mai mare egală cu R, înălțimea egală cu H. Secțiunea (baza conului mai mic) trece prin mijlocul înălțimii, ceea ce înseamnă că înălțimea sa va fi egală cu H/2. Și raza bazei este egală cu R/2, aceasta rezultă din asemănarea triunghiurilor.

Să notăm volumul conului original:

Volumul conului tăiat va fi egal cu:

Asa de soluții detaliate sunt prezentate astfel încât să puteți vedea cum poate fi construit raționamentul. Acționați în orice fel - principalul lucru este că înțelegeți esența deciziei. Chiar dacă calea pe care ai ales-o nu este rațională, rezultatul (rezultatul corect) este important.

Răspuns: 1,25

318145. Într-un vas în formă de con, nivelul lichidului atinge jumătate din înălțime. Volumul lichidului este de 70 ml. Câți mililitri de lichid trebuie adăugați pentru a umple complet recipientul?

Această sarcină este similară cu cea anterioară. Chiar dacă aici vorbim despre un lichid, principiul soluției este același.

Avem două conuri - acesta este vasul în sine și conul „mic” (umplut cu lichid), sunt similare. Se știe că volumele unor astfel de corpuri sunt legate după cum urmează:

Conul (vasul) inițial este similar cu un con umplut cu lichid cu un coeficient egal cu 2, deoarece se spune că nivelul lichidului atinge jumătate din înălțime. Puteți scrie mai detaliat:

Calculam:

Astfel, trebuie să adăugați:

Alte probleme cu lichidele.

74257. Aflați volumul V al unui con, a cărui generatrie este egală cu 44 și este înclinată față de planul bazei la un unghi de 30 0. Vă rugăm să indicați V/Pi în răspunsul dvs.

Volumul conului:

Găsim înălțimea conului folosind proprietatea unui triunghi dreptunghic.

Piciorul situat opus unghiului de 30° este egal cu jumătate din ipotenuză. Ipotenuza, în acest caz, este generatorul conului. Prin urmare, înălțimea conului este de 22.

Găsim pătratul razei bazei folosind teorema lui Pitagora:

*Avem nevoie de pătratul razei, nu de raza în sine.

Corpurile de rotație studiate în școală sunt cilindrul, conul și bila.

Dacă într-o problemă la examenul de stat unificat de matematică trebuie să calculați volumul unui con sau aria unei sfere, considerați-vă norocos.

Aplicați formule pentru volumul și suprafața unui cilindru, con și sfere. Toate sunt în masa noastră. Invata pe derost. Aici începe cunoașterea stereometriei.

Uneori este bine să desenezi vederea de sus. Sau, ca în această problemă, de jos.

2. De câte ori este volumul unui con circumscris în jurul unei piramide patruunghiulare obișnuite mai mare decât volumul unui con înscris în această piramidă?

Este simplu - desenați vederea de jos. Vedem că raza cercului mai mare este de ori mai mare decât raza celui mai mic. Înălțimile ambelor conuri sunt aceleași. Prin urmare, volumul conului mai mare va fi de două ori mai mare.

O alta punct important. Amintiți-vă că în problemele părții B Opțiuni pentru examenul de stat unificatîn matematică răspunsul este scris ca un număr întreg sau finit zecimal. Prin urmare, nu ar trebui să existe niciunul sau în răspunsul dvs. în partea B. Nu este nevoie să înlocuiți nici valoarea aproximativă a numărului! Trebuie neapărat să se micșoreze! În acest scop, în unele probleme, sarcina este formulată, de exemplu, după cum urmează: „Găsiți aria suprafeței laterale a cilindrului împărțită la.”

Unde mai sunt folosite formulele pentru volumul și suprafața corpurilor de revoluție? Desigur, în problema C2 (16). Vă vom spune și despre asta.

1. Calculul volumului cubului

A- partea cubului

Formula pentru volumul unui cub, ( V ):

2. Aflați prin formulă volumul unui paralelipiped dreptunghic

a, b, c- laturile unui paralelipiped

Uneori, latura unui paralelipiped se numește muchie.

Formula pentru volumul unui paralelipiped, ( V):

3. Formula de calcul al volumului unei mingi, sfere

R — raza bilei

Folosind formula, dacă este dată raza, puteți găsi volumul mingii, ( V):

4. Cum se calculează volumul unui cilindru?

h- inaltimea cilindrului

r- raza bazei

Folosind formula, găsiți volumul unui cilindru dacă raza și înălțimea bazei sunt cunoscute, ( V):

5. Cum se află volumul unui con?

R— raza bazei

H—înălțimea conului

Formula pentru volumul unui con dacă se cunosc raza și înălțimea ( V):

7. Formula pentru volumul unui trunchi de con

r — raza superioară a bazei

R— raza de jos

h -înălțimea conului

Formula pentru volumul unui trunchi de con, dacă se cunoaște - raza bazei inferioare, raza bazei superioare și înălțimea conului ( V):

8. Volumul unui tetraedru regulat

Un tetraedru regulat este o piramidă ale cărei fețe sunt triunghiuri echilaterale.

A- marginea unui tetraedru

Formula pentru calcularea volumului unui tetraedru regulat ( V):

9. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate

O piramidă cu bază pătrată și laturi egale, isoscele triunghiulare se numește piramidă patruunghiulară obișnuită.

A- partea de bază

h- inaltimea piramidei

Formula pentru calcularea volumului unei piramide patruunghiulare obișnuite, ( V):

10. Volumul unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă a cărei bază este un triunghi echilateral și ale cărei laturi sunt egale, triunghiuri isoscele se numește piramidă triunghiulară regulată.

A- partea de bază

h- inaltimea piramidei

Formula pentru volumul unei piramide triunghiulare regulate, având în vedere înălțimea și latura bazei ( V):

11. Aflați volumul unei piramide obișnuite

O piramidă cu un poligon regulat și triunghiuri egale la bază se numește regulată.

h- inaltimea piramidei

A- laterala bazei piramidei

n- numărul de laturi ale poligonului de la bază

Formula pentru volumul unei piramide obișnuite, cunoscând înălțimea, latura bazei și numărul acestor laturi ( V):

Toate formulele pentru volume de corpuri geometrice
Geometrie, Algebră, Fizică

Formule de volum

Volum figură geometrică — caracteristică cantitativă spațiu ocupat de un corp sau substanță. În cele mai simple cazuri, volumul se măsoară prin numărul de cuburi unitare care se potrivesc în corp, adică cuburi cu muchia egală cu o lungime unitatea. Volumul corpului sau capacitatea vasului este determinată de forma și dimensiunile liniare ale acestuia.

Formula pentru volumul unui cub

1) Volumul unui cub este egal cu cubul muchiei acestuia.

V- volumul cubului

H— înălțimea marginii cubului

Formula pentru volumul unei piramide

1) Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre aria bazei S (ABCD) și înălțimea h (OS).

V- volumul piramidei

S- zona bazei piramidei

h- inaltimea piramidei

Formule pentru volumul unui con

1) Volumul unui con este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

2) Volumul conului este egal cu o treime din produsul lui pi (3,1415) cu pătratul razei bazei și al înălțimii.

V- volumul conului

S- zona bazei conului

h— înălțimea conului

π — numărul pi (3,1415)

r— raza conului

Formule de volum cilindric

1) Volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

2) Volumul cilindrului este egal cu produsul lui pi (3,1415) cu pătratul razei bazei și înălțimea.

V- volumul cilindrului

S- zona bazei cilindrului

h- inaltimea cilindrului

π — numărul pi (3,1415)

r— raza cilindrului

Formula pentru volumul unei mingi

1) Volumul mingii se calculează folosind formula de mai jos.

V- volumul mingii

π — numărul pi (3,1415)

R- raza mingii

Formula volumului tetraedrului

1) Volumul unui tetraedru este egal cu fracția la numărătorul căreia rădăcina pătrată a lui doi înmulțită cu cubul lungimii muchiei tetraedrului și la numitorul doisprezece.

Formule de volum
Formule de volum și programe online pentru a calcula volumul

Formula de volum.

Formula de volum necesar pentru a calcula parametrii și caracteristicile unei figuri geometrice.

Volumul figurii este o caracteristică cantitativă a spațiului ocupat de un corp sau substanță. În cele mai simple cazuri, volumul se măsoară prin numărul de cuburi unitare care se potrivesc în corp, adică cuburi cu muchia egală cu o lungime unitatea. Volumul corpului sau capacitatea vasului este determinată de forma și dimensiunile liniare ale acestuia.

Paralelipiped.

Volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Cilindru.

Volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Volumul cilindrului este egal cu produsul lui pi (3,1415) cu pătratul razei bazei și înălțimea.

Piramidă.

Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre aria bazei S (ABCDE) și înălțimea h (OS).

Piramida corectă- aceasta este o piramidă, la baza căreia se află un poligon regulat, iar înălțimea trece prin centrul cercului înscris la bază.

Piramidă triunghiulară regulată este o piramidă a cărei bază este un triunghi echilateral și laturile sale sunt triunghiuri isoscele egale.

Piramidă patruunghiulară obișnuită este o piramidă a cărei bază este un pătrat și laturile sale sunt triunghiuri isoscele egale.

Tetraedru este o piramidă ale cărei fețe sunt triunghiuri echilaterale.

Piramida trunchiată.

Volumul unei trunchi de piramidă este egal cu o treime din produsul înălțimii h (OS) cu suma ariilor bazei superioare S 1 (abcde), baza inferioară a trunchiului piramidei S 2 (ABCDE) și media proporțională dintre ele.

Este ușor să calculați volumul unui cub - trebuie să înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea. Deoarece un cub are lungimea egală cu lățimea și egală cu înălțimea sa, volumul cubului este egal cu s 3 .

Con este un corp în spațiul euclidian obținut prin combinarea tuturor razelor emanate dintr-un punct (vârful conului) și care trec printr-o suprafață plană.

Frustum va funcționa dacă desenați o secțiune în con paralelă cu baza.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

Volumul sferei este de o ori și jumătate mai mic decât volumul cilindrului circumscris în jurul acesteia.

Prismă.

Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei prismei și înălțimea acesteia.

Sectorul mingii.

Volumul unui sector sferic este egal cu volumul unei piramide, a cărei bază are aceeași zonă ca și porțiunea suprafeței sferice decupată de sector, iar înălțimea este egală cu raza bilei.

Strat de minge- aceasta este partea bilei închisă între două plane paralele secante.

Segment de minge- această parte a mingii, tăiată de ea de un plan, se numește segment sferic sau sferic

Formula de volum
Formula pentru volumul unui cub, sferă, piramidă, paralelogram, cilindru, tetraedru, con, prismă și volume ale altor forme geometrice.

Într-un curs de stereometrie, una dintre întrebările principale este cum se calculează volumul unui anumit corp geometric. Totul începe cu un paralelipiped simplu și se termină cu o minge.

Și în viață, de multe ori trebuie să te confrunți cu probleme similare. De exemplu, pentru a calcula volumul de apă care se potrivește într-o găleată sau butoi.

Proprietăți valabile pentru volumul fiecărui corp

1. Această valoare este întotdeauna un număr pozitiv.
2. Dacă corpul poate fi împărțit în părți, astfel încât să nu existe intersecții, atunci volumul total se dovedește a fi egal cu suma volumelor părților.
3. Corpurile egale au volume egale.
4. Dacă un corp mai mic este complet cuprins într-unul mai mare, atunci volumul primului este mai mic decât cel al celui de-al doilea.

Denumiri generale pentru toate organele

Fiecare dintre ele are margini și baze, iar înălțimile sunt construite în ele. Prin urmare, astfel de elemente sunt desemnate în mod egal pentru ele. Exact așa sunt scrise în formule. Vom învăța în continuare cum să calculăm volumul fiecărui corp și să aplicăm noi abilități în practică.

Unele formule au alte cantități. Desemnarea lor va fi discutată atunci când va apărea o astfel de nevoie.

Prismă, paralelipiped (drept și înclinat) și cub

Aceste corpuri sunt combinate deoarece arată foarte asemănător, iar formulele pentru calcularea volumului sunt identice:

V = S * h.

Doar S va diferi. În cazul unui paralelipiped, acesta se calculează ca pentru un dreptunghi sau pătrat. Într-o prismă, baza poate fi un triunghi, un paralelogram, un patrulater arbitrar sau un alt poligon.

Pentru un cub, formula este simplificată semnificativ, deoarece toate dimensiunile sale sunt egale:

V = a 3.

Piramidă, tetraedru, trunchi de piramidă

Pentru primul dintre aceste corpuri, există o formulă pentru a calcula volumul:

V = 1/3 * S * n.

Un tetraedru este un caz special al unei piramide triunghiulare. Toate marginile din el sunt egale. Prin urmare, din nou obținem o formulă simplificată:

V = (a 3 * √2) / 12 sau V = 1/ 3 S h

O piramidă devine trunchiată atunci când partea superioară este tăiată. Prin urmare, volumul său este egal cu diferența dintre două piramide: cea care ar fi intactă și vârful îndepărtat. Dacă este posibil să aflați ambele baze ale unei astfel de piramide (S 1 - mai mare și S 2 - cu atât mai mic), atunci este convenabil să utilizați această formulă pentru a calcula volumul:

Cilindru, con și trunchi de con

V =π * r 2 * h.

Situația cu un con este ceva mai complicată. Există o formulă pentru el:

V = 1/3 π * r 2 * h. Este foarte asemănător cu cel indicat pentru cilindru, doar valoarea este redusă de trei ori.

La fel ca în cazul unei piramide trunchiate, situația nu este ușoară și cu un con, care are două baze. Formula pentru calcularea volumului unui trunchi de con arată astfel:

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2). Aici r 1 este raza bazei inferioare, r 2 este raza bazei superioare (mai mică).

Minge, segmente de minge și sector

Acestea sunt cele mai dificile formule de reținut. Pentru volumul mingii arată astfel:

V = 4/3 π *r 3 .

În probleme există adesea o întrebare despre cum se calculează volumul unui segment sferic - o parte a unei sfere care este, parcă, tăiată paralel cu diametrul. În acest caz, următoarea formulă va veni în ajutor:

V = π h 2 * (r - h/3).În ea, înălțimea segmentului este luată ca h, adică partea care merge de-a lungul razei mingii.

Sectorul este împărțit în două părți: un con și un segment sferic. Prin urmare, volumul său este definit ca suma acestor corpuri. Formula după transformări arată astfel:

V = 2/3 πr 2 * h. Aici h este și înălțimea segmentului.

Exemple de probleme

Despre volumele unui cilindru, sfere și con

Condiție: diametrul cilindrului (corpul 1) este egal cu înălțimea acestuia, diametrul bilei (corpul 2) și înălțimea conului (corpul 3), verificați proporționalitatea volumelor V 1: V 2: V 3 = 3:2:1

Soluţie. Mai întâi trebuie să scrieți trei formule pentru volume. Apoi luați în considerare că raza este jumătate din diametru. Adică înălțimea va fi egală cu două raze: h = 2r. Făcând o înlocuire simplă, se dovedește că formulele pentru volume vor arăta astfel:

V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. Formula pentru volumul unei mingi nu se modifică deoarece înălțimea nu apare în ea.

Acum rămâne să scrieți rapoartele de volum și să efectuați reducerea 2π și r 3. Rezultă că V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Aceste numere pot fi scrise cu ușurință ca 3:2:1.

Despre volumul mingii

Condiție: Sunt doi pepeni verzi cu raze de 15 si 20 cm, care este mai profitabil sa ii consumi: primul cu patru persoane sau al doilea cu opt?

Soluţie. Pentru a răspunde la această întrebare, va trebui să găsiți raportul dintre volumele părților care vor veni din fiecare pepene verde. Ținând cont că sunt sfere, trebuie să notăm două formule pentru volume. Apoi țineți cont de faptul că din prima toată lumea va primi doar o a patra parte, iar din a doua - o opta.

Rămâne să notăm raportul dintre volumele pieselor. Va arata asa:

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). După transformare, rămâne doar fracția: (2 r 1 3) / r 2 3. După înlocuirea valorilor și calculul, se obține fracția 6750/8000. Din aceasta reiese clar că porția din primul pepene verde va fi mai mică decât din al doilea.

Răspuns. Este mai profitabil să mănânci o optime dintr-un pepene verde cu o rază de 20 cm.

Despre volumele piramidei și ale cubului

Condiție: exista o piramida din lut cu baza dreptunghiulara 8X9 cm si inaltimea de 9 cm, din aceeasi bucata de lut s-a facut un cub, care este marginea ei?

Soluţie. Dacă desemnăm laturile dreptunghiului cu literele b și c, atunci aria bazei piramidei este calculată ca produsul lor. Atunci formula pentru volumul său este:

Formula pentru volumul unui cub este scrisă în articolul de mai sus. Aceste două valori sunt egale: V 1 = V 2 . Tot ce rămâne este să echivalezi părțile din dreapta ale formulelor și să faci calculele necesare. Se pare că marginea cubului va fi egală cu 6 cm.

Despre volumul unui paralelipiped

Condiție: trebuie să faceți o cutie cu o capacitate de 0,96 m 3, lățimea și lungimea ei sunt cunoscute - 1,2 și 0,8 metri, care ar trebui să fie înălțimea ei?

Soluţie. Deoarece baza unui paralelipiped este un dreptunghi, aria sa este definită ca produsul dintre lungimea (a) și lățimea (b). Prin urmare, formula pentru volum arată astfel:

Din aceasta este ușor să determinați înălțimea împărțind volumul la suprafață. Se pare că înălțimea ar trebui să fie de 1 m.

Răspuns.Înălțimea cutiei este de un metru.

Cum se calculează volumul diferitelor corpuri geometrice?
Într-un curs de stereometrie, una dintre sarcinile principale este cum se calculează volumul unui anumit corp geometric. Totul începe cu un paralelipiped simplu și se termină cu o minge.