Definiție. Prismă este un poliedru, ale cărui vârfuri sunt situate în două plane paralele, iar în aceleași două plane se află două fețe ale prismei, care sunt poligoane egale cu laturile paralele corespunzătoare, iar toate muchiile care nu se află în aceste plane sunt paralele.

Se numesc două fețe egale baze de prisme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Toate celelalte fețe ale prismei sunt numite fetele laterale(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Toate fețele laterale se formează suprafata laterala a prismei .

Toate fețele laterale ale prismei sunt paralelograme .

Marginile care nu se află la baze se numesc marginile laterale ale prismei ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonala prismei este un segment ale cărui capete sunt două vârfuri ale unei prisme care nu se află pe aceeași față (AD 1).

Se numește lungimea segmentului care leagă bazele prismei și perpendicular pe ambele baze în același timp înălțimea prismei .

Desemnare:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Mai întâi, în ordinea traversării, sunt indicate vârfurile unei baze, iar apoi, în aceeași ordine, vârfurile alteia; capetele fiecărei margini laterale sunt desemnate prin aceleași litere, sunt desemnate doar vârfurile aflate într-o bază. prin litere fără index, iar în celălalt - cu index)

Numele prismei este asociat cu numărul de unghiuri din figura aflată la baza acesteia, de exemplu, în figura 1 există un pentagon la bază, deci prisma se numește prismă pentagonală. Dar pentru că o astfel de prismă are 7 fețe, apoi ea heptaedru(2 fețe - bazele prismei, 5 fețe - paralelograme, - fețele sale laterale)

Dintre prismele drepte se remarcă un anumit tip: prismele regulate.

Se numește prismă dreaptă corect, dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

Paralelipiped

Paralepiped dreptunghiular- un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi.

Proprietăți și teoreme:

,

unde d este diagonala pătratului;
a este latura pătratului.

O idee a unei prisme este dată de:

• variat structuri arhitecturale;
• Jucării pentru copii;
• cutii de ambalare;
• articole de designer etc.

Aria suprafeței totale și laterale a prismei

S plin = S lateral + 2S principal,

Unde S plin- suprafata totala, partea S- suprafata laterala, S baza- suprafata de baza

Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.

partea S= P de bază * h,

Unde partea S-aria suprafeței laterale a unei prisme drepte,

P principal - perimetrul bazei unei prisme drepte,

h este înălțimea prismei drepte, egală cu marginea laterală.

Volumul prismei

Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

ÎN curiculumul scolar curs de stereometrie cifrele volumetrice de obicei începe cu un corp geometric simplu - un poliedru prismă. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri, dacă prisma nu este înclinată).

Cum arată o prismă?

O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, ale cărui baze sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru asta figură geometrică- paralelipiped drept.

Mai jos este prezentat un desen care prezintă o prismă pătrangulară.

Se vede si in poza cele mai importante elemente care alcătuiesc corp geometric . Acestea includ:

Uneori, în problemele de geometrie, puteți întâlni conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric aparținând unui plan de tăiere. Secțiunea poate fi perpendiculară (intersectează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară, se consideră și o secțiune diagonală ( suma maxima secțiuni care pot fi construite - 2), trecând prin 2 margini și diagonale ale bazei.

Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.

Pentru găsirea elementelor prismatice reduse se folosesc diverse relații și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).

Suprafața și volumul

Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea acesteia:

V = Sbas h

Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura A, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:

V = a²·h

Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime, lățime și înălțime egale, volumul se calculează după cum urmează:

Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați dezvoltarea acesteia.

Din desen se poate observa ca suprafata laterala este formata din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:

Sside = Posn h

Ținând cont că perimetrul pătratului este egal cu P = 4a, formula ia forma:

Sside = 4a h

Pentru cub:

Sside = 4a²

Pentru a calcula suprafața totală a prismei, trebuie să adăugați 2 zone de bază în zona laterală:

Full = Sside + 2Smain

În raport cu o prismă regulată patruunghiulară, formula arată astfel:

Stotal = 4a h + 2a²

Pentru suprafața unui cub:

Plin = 6a²

Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.

Găsirea elementelor prisme

Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:

• lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• înălțimea sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
• suprafata de baza: Sbas = V/h;
• zona feței laterale: Latură gr = Sside / 4.

Pentru a determina câtă zonă are secțiunea diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Prin urmare:

Sdiag = ah√2

Pentru a calcula diagonala unei prisme, utilizați formula:

dprize = √(2a² + h²)

Pentru a înțelege cum să aplicați relațiile date, puteți exersa și rezolva mai multe sarcini simple.

Exemple de probleme cu soluții

Iată câteva sarcini găsite la examenele finale de stat la matematică.

Exercitiul 1.

Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă patruunghiulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm.Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o bază de două ori mai lungă?

Ar trebui motivat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea recipient nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți nota lungimea bazei cu A. În acest caz, pentru prima casetă volumul substanței va fi:

V₁ = ha² = 10a²

Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Deoarece V₁ = V2, putem echivala expresiile:

10a² = 4ha²

După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:

Ca urmare nou nivel nisipul va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Sarcina 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă corectă. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.

Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.

Deoarece vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că la bază există un pătrat cu diagonala 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași dimensiune, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat, egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.

Lungimea oricărei muchii este determinată printr-o diagonală cunoscută:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Suprafața totală este găsită folosind formula pentru un cub:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Sarcina 3.

Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m. Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?

Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.

Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.

Zona va fi acoperită cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².

Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50·30 = 1500 ruble

Astfel, pentru a rezolva probleme care implică o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.

Cum să găsiți aria unui cub

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt securizate, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.