Leçon et présentation sur le thème : "Fonctions de puissance. Propriétés. Graphes"

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Fonctions puissance, domaine de définition.

Les gars, dans la dernière leçon, nous avons appris à travailler avec des nombres avec un exposant rationnel. Dans cette leçon, nous allons considérer des fonctions puissances et nous limiter au cas où l'exposant est rationnel.
Nous allons considérer des fonctions de la forme : $y=x^(\frac(m)(n))$.
Considérons d'abord les fonctions dont l'exposant est $\frac(m)(n)>1$.
Donnons-nous une fonction spécifique $y=x^2*5$.
D'après la définition donnée dans la dernière leçon : si $x≥0$, alors le domaine de notre fonction est le rayon $(x)$. Représentons schématiquement notre graphe de fonctions.

Propriétés de la fonction $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. N'est ni pair ni impair.
3. Augmente de $$,
b) $(2,10)$,
c) sur le rayon $$.
La solution.
Les gars, vous souvenez-vous comment nous avons trouvé la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un segment en 10e année ?
C'est vrai, nous avons utilisé la dérivée. Résolvons notre exemple et répétons l'algorithme pour trouver la plus petite et la plus grande valeur.
1. Trouvez la dérivée de la fonction donnée :
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. La dérivée existe sur tout le domaine de la fonction originale, alors points critiques non. Trouvons les points stationnaires :
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ et $x_2=\sqrt(64)=4$.
Une seule solution $x_2=4$ appartient au segment donné.
Construisons un tableau des valeurs de notre fonction aux extrémités du segment et au point extremum :
Réponse : $y_(nom)=-862,65$ avec $x=9$ ; $y_(max)=38.4$ pour $x=4$.

Exemple. Résolvez l'équation : $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
La solution. Le graphique de la fonction $y=x^(\frac(4)(3))$ est croissant, tandis que le graphique de la fonction $y=24-x$ est décroissant. Les gars, vous et moi le savons : si une fonction augmente et l'autre diminue, alors elles se croisent en un seul point, c'est-à-dire que nous n'avons qu'une seule solution.
Noter:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Autrement dit, pour $х=8$ nous avons obtenu l'égalité correcte $16=16$, c'est la solution de notre équation.
Réponse : $x=8$.

Exemple.
Tracez la fonction : $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
La solution.
Le graphique de notre fonction est obtenu à partir du graphique de la fonction $y=x^(\frac(3)(4))$, en le décalant de 3 unités vers la droite et de 2 unités vers le haut.

Exemple. Écrire l'équation de la tangente à la droite $y=x^(-\frac(4)(5))$ au point $x=1$.
La solution. L'équation tangente est déterminée par la formule que nous connaissons :
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Dans notre cas $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Trouvons la dérivée :
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Calculons :
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Trouvez l'équation de la tangente :
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Réponse : $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Tâches pour une solution indépendante

1. Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction : $y=x^\frac(4)(3)$ sur le segment :
a) $$.
b) (4,50) $.
c) sur le rayon $$.
3. Résolvez l'équation : $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Représentez graphiquement la fonction : $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Écrivez l'équation de la tangente à la droite $y=x^(-\frac(3)(7))$ au point $x=1$.

Des données de référence sur la fonction exponentielle sont données - propriétés de base, graphiques et formules. Les problèmes suivants sont abordés : domaine de définition, ensemble de valeurs, monotonicité, fonction inverse, dérivée, intégrale, développement de séries de puissances et représentation au moyen de nombres complexes.

Définition

Fonction exponentielle est une généralisation du produit de n nombres égal à a :
y (n) = une n = une une une une,
à l'ensemble des nombres réels x :
y (x) = x.
Ici a est un nombre réel fixe, qui s'appelle la base de la fonction exponentielle.
Une fonction exponentielle de base a est aussi appelée exponentielle en base a.

La généralisation s'effectue comme suit.
Pour x naturel = 1, 2, 3,... , la fonction exponentielle est le produit de x facteurs :
.
De plus, il possède les propriétés (1,5-8) (), qui découlent des règles de multiplication des nombres. Aux valeurs nulles et négatives des entiers , la fonction exponentielle est déterminée par les formules (1.9-10). Pour les valeurs fractionnaires x = m/n de nombres rationnels, , il est déterminé par la formule (1.11). Pour real , la fonction exponentielle est définie comme limite de séquence:
,
où est une suite arbitraire de nombres rationnels convergeant vers x : .
Avec cette définition, la fonction exponentielle est définie pour tout , et satisfait les propriétés (1.5-8), ainsi que pour x naturel.

Une formulation mathématique rigoureuse de la définition d'une fonction exponentielle et une preuve de ses propriétés sont données à la page "Définition et preuve des propriétés d'une fonction exponentielle".

Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle y = a x a les propriétés suivantes sur l'ensemble des nombres réels () :
(1.1) est définie et continue, pour , pour tout ;
(1.2) quand un ≠ 1 a plusieurs significations;
(1.3) augmente strictement à , diminue strictement à ,
est constant à ;
(1.4) à ;
à ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Autres formules utiles
.
La formule de conversion en une fonction exponentielle avec une base de puissance différente :

Pour b = e , on obtient l'expression de la fonction exponentielle en fonction de l'exposant :

Valeurs privées

, , , , .

La figure montre des graphiques de la fonction exponentielle
y (x) = x
pour quatre valeurs bases de diplômes:a= 2 , un = 8 , un = 1/2 et un = 1/8 . On voit que pour un > 1 fonction exponentielle est croissante de façon monotone. Plus la base du degré a est grande, plus la croissance est forte. À 0 < a < 1 la fonction exponentielle est monotone décroissante. Plus l'exposant a est petit, plus la diminution est forte.

Ascendant descendant

La fonction exponentielle at est strictement monotone, elle n'a donc pas d'extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.

	y = une X , une > 1	y = x, 0 < a < 1
Domaine	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Plage de valeurs	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotone	augmente de façon monotone	diminue de façon monotone
Zéros, y= 0	Non	Non
Points d'intersection avec l'axe y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Fonction inverse

L'inverse d'une fonction exponentielle de base de degré a est le logarithme de base a.

Si donc
.
Si donc
.

Différenciation de la fonction exponentielle

Pour dériver une fonction exponentielle, il faut réduire sa base au nombre e, appliquer le tableau des dérivées et la règle de dérivation d'une fonction complexe.

Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété des logarithmes
et la formule du tableau des dérivées :
.

Donnons une fonction exponentielle :
.
Nous l'amenons à la base e:

On applique la règle de différentiation d'une fonction complexe. Pour ce faire, nous introduisons une variable

Alors

D'après le tableau des dérivées, nous avons (remplacer la variable x par z ):
.
Puisque est une constante, la dérivée de z par rapport à x est
.
Selon la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.

Dérivée de la fonction exponentielle

.
Dérivée du nième ordre :
.
Dérivation de formules > > >

Un exemple de différenciation d'une fonction exponentielle

Trouver la dérivée d'une fonction
y= 35x

La solution

Nous exprimons la base de la fonction exponentielle en fonction du nombre e.
3 = e log 3
Alors
.
Nous introduisons une variable
.
Alors

Du tableau des dérivées, nous trouvons:
.
Parce que le 5ln 3 est une constante, alors la dérivée de z par rapport à x est :
.
D'après la règle de différenciation d'une fonction complexe, on a :
.

Réponse

Intégral

Expressions en termes de nombres complexes

Considérez la fonction de nombre complexe z:
F (z) = az
où z = x + iy ; je 2 = - 1 .
Nous exprimons la constante complexe a en fonction du module r et de l'argument φ :
une = r e je φ
Alors


.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. À vue générale
φ = φ 0 + 2 pn,
où n est un entier. Par conséquent, la fonction f (z) est également ambigu. Souvent considéré comme son importance principale
.

Extension en série

.

Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.

1) Étendue des fonctions et plage de fonctions.

La portée d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs valides valides de l'argument X(variable X) pour laquelle la fonction y = f(x) défini. La plage d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles y que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l'ensemble des nombres réels.

2) Fonction zéros.

Le zéro de la fonction est la valeur de l'argument à laquelle la valeur de la fonction est égale à zéro.

3) Intervalles de constance de signe d'une fonction.

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont de tels ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction ne sont que positives ou que négatives.

4) Monotonie de la fonction.

Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Fonction décroissante (dans un certain intervalle) - une fonction dans laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus petite valeur de la fonction.

5) Fonctions paires (impaires).

Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de définition l'égalité f(-x) = f(x). Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de définition l'égalité f(-x) = - f(x). Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

6) Fonctions limitées et illimitées.

Une fonction est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x . S'il n'y a pas un tel nombre, alors la fonction est illimitée.

7) Périodicité de la fonction.

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre non nul T tel que pour tout x du domaine de la fonction, f(x+T) = f(x). Ce plus petit nombre est appelé la période de la fonction. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

19. Fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et leurs graphiques. Application des fonctions dans l'économie.

Fonctions élémentaires de base. Leurs propriétés et graphiques

1. Fonction linéaire.

Fonction linéaire est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, et et b sont des nombres réels.

Numéro un appelée pente d'une droite, elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de cette droite à la direction positive de l'axe des abscisses. Le graphique d'une fonction linéaire est une droite. Il est défini par deux points.

Propriétés de la fonction linéaire

1. Domaine de définition - l'ensemble de tous les nombres réels: D (y) \u003d R

2. L'ensemble des valeurs est l'ensemble de tous les nombres réels : E(y)=R

3. La fonction prend une valeur nulle pour ou.

4. La fonction augmente (diminue) sur tout le domaine de définition.

5. La fonction linéaire est continue sur tout le domaine de définition, différentiable et .

2. Fonction quadratique.

Une fonction de la forme, où x est une variable, les coefficients a, b, c sont des nombres réels, est appelée quadratique.

Les propriétés et les graphiques des fonctions puissance sont présentés pour différentes valeurs indicateur de degré. Formules de base, domaines et ensembles de valeurs, parité, monotonie, augmentation et diminution, extrema, convexité, inflexions, points d'intersection avec les axes de coordonnées, limites, valeurs particulières.

Formules de fonction de puissance

Sur le domaine de la fonction puissance y = x p, les formules suivantes sont valables :
; ;
;
; ;
; ;
; .

Propriétés des fonctions puissances et leurs graphiques

Fonction puissance avec exposant égal à zéro, p = 0

Si l'exposant de la fonction puissance y = x p est égal à zéro, p = 0 , alors la fonction puissance est définie pour tout x ≠ 0 et est constante, égale à un :
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Fonction puissance avec exposant naturel impair, p = n = 1, 3, 5, ...

Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant naturel impair n = 1, 3, 5, ... . Un tel indicateur peut aussi s'écrire : n = 2k + 1, où k = 0, 1, 2, 3, ... est un entier non négatif. Vous trouverez ci-dessous les propriétés et les graphiques de ces fonctions.

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant impair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 1, 3, 5, ... .

Domaine: -∞ < x < ∞
Valeurs multiples : -∞ < y < ∞
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: augmente de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à -∞< x < 0 выпукла вверх
à 0< x < ∞ выпукла вниз
Points d'arrêt : x=0, y=0
x=0, y=0
Limites:
;
Valeurs privées :
à x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pour x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = 1 , la fonction est inverse d'elle-même : x = y
pour n ≠ 1, la fonction inverse est une racine de degré n :

Fonction puissance avec exposant pair naturel, p = n = 2, 4, 6, ...

Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant pair naturel n = 2, 4, 6, ... . Un tel indicateur peut aussi s'écrire : n = 2k, où k = 1, 2, 3, ... est un nombre naturel. Les propriétés et les graphiques de ces fonctions sont donnés ci-dessous.

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant pair naturel pour différentes valeurs de l'exposant n = 2, 4, 6, ... .

Domaine: -∞ < x < ∞
Valeurs multiples : 0 ≤ y< ∞
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
pour x ≤ 0 décroît de façon monotone
pour x ≥ 0 augmente de manière monotone
Extrêmes : minimum, x=0, y=0
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pour x = 0, y(0) = 0 n = 0
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = 2, racine carrée :
pour n ≠ 2, racine de degré n :

Fonction puissance avec exposant négatif entier, p = n = -1, -2, -3, ...

Considérons une fonction puissance y = x p = x n avec un exposant entier négatif n = -1, -2, -3, ... . Si nous posons n = -k, où k = 1, 2, 3, ... est un nombre naturel, alors il peut être représenté par :

Graphique d'une fonction puissance y = x n avec un exposant entier négatif pour différentes valeurs de l'exposant n = -1, -2, -3, ... .

Exposant impair, n = -1, -3, -5, ...

Voici les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif impair n = -1, -3, -5, ... .

Domaine: x ≠ 0
Valeurs multiples : y ≠ 0
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: diminue de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à x< 0 : выпукла вверх
pour x > 0 : convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Pancarte:
à x< 0, y < 0
pour x > 0, y > 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées :
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = -1,
pour n< -2 ,

Exposant pair, n = -2, -4, -6, ...

Voici les propriétés de la fonction y = x n avec un exposant négatif pair n = -2, -4, -6, ... .

Domaine: x ≠ 0
Valeurs multiples : y > 0
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
à x< 0 : монотонно возрастает
pour x > 0 : monotone décroissant
Extrêmes : Non
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Pancarte: y > 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées :
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :
pour n = -2,
pour n< -2 ,

Fonction puissance avec exposant rationnel (fractionnel)

Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel (fractionnel), où n est un entier, m > 1 est un nombre naturel. De plus, n, m n'ont pas de diviseurs communs.

Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est impair

Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire impair : m = 3, 5, 7, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p est définie à la fois pour valeurs négatives argument x. Considérez les propriétés de ces fonctions de puissance lorsque l'exposant p est dans certaines limites.

p est négatif, p< 0

Soit l'exposant rationnel (de dénominateur impair m = 3, 5, 7, ... ) inférieur à zéro : .

Graphiques de fonctions exponentielles avec un exposant négatif rationnel pour différentes valeurs de l'exposant , où m = 3, 5, 7, ... est impair.

Numérateur impair, n = -1, -3, -5, ...

Voici les propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant négatif rationnel , où n = -1, -3, -5, ... est un entier négatif impair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair.

Domaine: x ≠ 0
Valeurs multiples : y ≠ 0
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: diminue de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à x< 0 : выпукла вверх
pour x > 0 : convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Pancarte:
à x< 0, y < 0
pour x > 0, y > 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :

Numérateur pair, n = -2, -4, -6, ...

Propriétés d'une fonction puissance y = x p avec un exposant négatif rationnel, où n = -2, -4, -6, ... est un entier négatif pair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair .

Domaine: x ≠ 0
Valeurs multiples : y > 0
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
à x< 0 : монотонно возрастает
pour x > 0 : monotone décroissant
Extrêmes : Non
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Pancarte: y > 0
Limites:
; ; ;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pour x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fonction inverse :

La valeur de p est positive, inférieure à un, 0< p < 1

Graphique d'une fonction puissance avec un exposant rationnel (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numérateur impair, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domaine: -∞ < x < +∞
Valeurs multiples : -∞ < y < +∞
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: augmente de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à x< 0 : выпукла вниз
pour x > 0 : convexe vers le haut
Points d'arrêt : x=0, y=0
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Pancarte:
à x< 0, y < 0
pour x > 0, y > 0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = -1
pour x = 0, y(0) = 0
pour x = 1, y(1) = 1
Fonction inverse :

Numérateur pair, n = 2, 4, 6, ...

Les propriétés de la fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel , étant à moins de 0 sont présentées.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domaine: -∞ < x < +∞
Valeurs multiples : 0 ≤ y< +∞
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
à x< 0 : монотонно убывает
pour x > 0 : croissant de façon monotone
Extrêmes : minimum à x = 0, y = 0
Convexe: convexe vers le haut en x ≠ 0
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Pancarte: pour x ≠ 0, y > 0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = 1
pour x = 0, y(0) = 0
pour x = 1, y(1) = 1
Fonction inverse :

L'exposant p est supérieur à un, p > 1

Graphique d'une fonction puissance avec un exposant rationnel (p > 1 ) pour différentes valeurs de l'exposant , où m = 3, 5, 7, ... est impair.

Numérateur impair, n = 5, 7, 9, ...

Propriétés d'une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel supérieur à un : . Où n = 5, 7, 9, ... est un nombre naturel impair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair.

Domaine: -∞ < x < ∞
Valeurs multiples : -∞ < y < ∞
Parité: impair, y(-x) = - y(x)
Monotone: augmente de façon monotone
Extrêmes : Non
Convexe:
à -∞< x < 0 выпукла вверх
à 0< x < ∞ выпукла вниз
Points d'arrêt : x=0, y=0
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = -1
pour x = 0, y(0) = 0
pour x = 1, y(1) = 1
Fonction inverse :

Numérateur pair, n = 4, 6, 8, ...

Propriétés d'une fonction puissance y = x p avec un exposant rationnel supérieur à un : . Où n = 4, 6, 8, ... est un nombre naturel pair, m = 3, 5, 7 ... est un nombre naturel impair.

Domaine: -∞ < x < ∞
Valeurs multiples : 0 ≤ y< ∞
Parité: pair, y(-x) = y(x)
Monotone:
à x< 0 монотонно убывает
pour x > 0 augmente de manière monotone
Extrêmes : minimum à x = 0, y = 0
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
;
Valeurs privées :
pour x = -1, y(-1) = 1
pour x = 0, y(0) = 0
pour x = 1, y(1) = 1
Fonction inverse :

Le dénominateur de l'indicateur fractionnaire est pair

Soit le dénominateur de l'exposant fractionnaire pair : m = 2, 4, 6, ... . Dans ce cas, la fonction puissance x p n'est pas définie pour les valeurs négatives de l'argument. Ses propriétés coïncident avec celles d'une fonction puissance avec un exposant irrationnel (voir la section suivante).

Fonction puissance avec exposant irrationnel

Considérons une fonction puissance y = x p avec un exposant irrationnel p . Les propriétés de telles fonctions diffèrent de celles considérées ci-dessus en ce qu'elles ne sont pas définies pour les valeurs négatives de l'argument x. Pour les valeurs positives de l'argument, les propriétés dépendent uniquement de la valeur de l'exposant p et ne dépendent pas du fait que p soit entier, rationnel ou irrationnel.

y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p .

Fonction puissance avec p négatif< 0

Domaine: x > 0
Valeurs multiples : y > 0
Monotone: diminue de façon monotone
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : Non
Limites: ;
valeur privée : Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1

Fonction puissance avec exposant positif p > 0

L'indicateur est inférieur à un 0< p < 1

Domaine: x ≥ 0
Valeurs multiples : y ≥ 0
Monotone: augmente de façon monotone
Convexe: convexe vers le haut
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
Valeurs privées : Pour x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1

L'indicateur est supérieur à un p > 1

Domaine: x ≥ 0
Valeurs multiples : y ≥ 0
Monotone: augmente de façon monotone
Convexe: convexe vers le bas
Points d'arrêt : Non
Points d'intersection avec axes de coordonnées : x=0, y=0
Limites:
Valeurs privées : Pour x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pour x = 1, y(1) = 1 p = 1

Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.