Cette calculatrice mathématique en ligne vous aidera si vous en avez besoin calculer la limite d'une fonction. Programme limites de la solution non seulement donne la réponse au problème, mais cela conduit solution détaillée avec des explications, c'est à dire. affiche le processus de calcul de limite.

Ce programme peut être utile aux lycéens écoles secondaires en préparation pour essais et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié, permettant aux parents de contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement le faire le plus rapidement possible ? devoirs en mathématiques ou en algèbre ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou votre propre formation. frères plus jeunes ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.

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Un peu de théorie.

Limite de la fonction à x->x 0

Soit la fonction f(x) définie sur un ensemble X et soit le point \(x_0 \in X\) ou \(x_0 \notin X\)

Prenons de X une suite de points différente de x 0 :
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
convergeant vers x*. Les valeurs de fonction aux points de cette séquence forment également une séquence numérique
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
et on peut se poser la question de l'existence de sa limite.

Définition. Le nombre A est appelé limite de la fonction f(x) au point x = x 0 (ou à x -> x 0), si pour toute séquence (1) de valeurs de l'argument x différente de x 0 convergeant vers x 0, la séquence correspondante (2) de fonction de valeurs converge vers le nombre A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

La fonction f(x) ne peut avoir qu'une seule limite au point x 0. Cela découle du fait que la séquence
(f(x n)) n’a qu’une seule limite.

Il existe une autre définition de la limite d'une fonction.

Définition Le nombre A est appelé limite de la fonction f(x) au point x = x 0 si pour tout nombre \(\varepsilon > 0\) il existe un nombre \(\delta > 0\) tel que pour tout \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), satisfaisant l'inégalité \(|x-x_0| En utilisant des symboles logiques, cette définition peut s'écrire sous la forme
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Notez que les inégalités \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| La première définition est basée sur le concept de limite d'une suite de nombres, c'est pourquoi elle est souvent appelée la définition « dans le langage des séquences ». \(\varepsilon - \delta \)”.
Ces deux définitions de la limite d'une fonction sont équivalentes et vous pouvez utiliser l'une ou l'autre selon celle qui convient le mieux pour résoudre un problème particulier.

A noter que la définition de la limite d'une fonction « dans le langage des séquences » est aussi appelée définition de la limite d'une fonction selon Heine, et la définition de la limite d'une fonction « dans le langage \(\varepsilon - \delta \) » est aussi appelée la définition de la limite d’une fonction selon Cauchy.

Limite de la fonction à x->x 0 - et à x->x 0 +

Dans ce qui suit, nous utiliserons les notions de limites unilatérales d'une fonction, qui sont définies comme suit.

Définition Le nombre A est appelé limite droite (gauche) de la fonction f(x) au point x 0 si pour toute séquence (1) convergeant vers x 0, dont les éléments x n sont supérieurs (inférieurs à) x 0, le la séquence correspondante (2) converge vers A.

Symboliquement, cela s'écrit ainsi :
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

On peut donner une définition équivalente des limites unilatérales d’une fonction « dans le langage \(\varepsilon - \delta \) » :

Définition un nombre A est appelé la limite droite (gauche) de la fonction f(x) au point x 0 si pour tout \(\varepsilon > 0\) il existe \(\delta > 0\) tel que pour tout x satisfaisant les inégalités \(x_0 Entrées symboliques :

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Nombre constant UN appelé limite séquences(x n ), si pour tout nombre positif arbitrairement petitε > 0 il existe un nombre N qui a toutes les valeurs xn, pour lequel n>N, satisfait l'inégalité

|x n - une|< ε. (6.1)

Écrivez-le comme suit : ou x n → un.

L'inégalité (6.1) équivaut à la double inégalité

une- ε< x n < a + ε, (6.2)

ce qui veut dire que les points xn, à partir d'un certain nombre n>N, se situe à l'intérieur de l'intervalle (a-ε, une+ ε ), c'est à dire. tomber dans n'importe quel petitε -quartier d'un point UN.

Une suite ayant une limite est appelée convergent, sinon - divergent.

Le concept de limite de fonction est une généralisation du concept de limite de séquence, puisque la limite d'une séquence peut être considérée comme la limite d'une fonction x n = f(n) d'un argument entier n.

Soit la fonction f(x) et soit un - point limite domaine de définition de cette fonction D(f), c'est-à-dire un tel point, dont tout voisinage contient des points de l'ensemble D(f) autres que un. Point un peut ou non appartenir à l’ensemble D(f).

Définition 1.Le nombre constant A s’appelle limite les fonctions f(x) à x →a, si pour toute séquence (x n ) de valeurs d'argument tendant à UN, les séquences correspondantes (f(x n)) ont la même limite A.

Cette définition s'appelle en définissant la limite d'une fonction selon Heine, ou " en langage séquentiel”.

Définition 2. Le nombre constant A s’appelle limite les fonctions f(x) à x →a, si, en spécifiant un nombre positif arbitrairement petit ε, on peut trouver un tel δ>0 (en fonction de ε), qui s'adresse à tout le monde X, couché dansε-quartiers du nombre UN, c'est à dire. Pour X, satisfaisant l'inégalité
0 < x-a< ε , les valeurs de la fonction f(x) se situeront dansε-voisinage du nombre A, c'est-à-dire|f(x)-UNE|< ε.

Cette définition s'appelle en définissant la limite d'une fonction selon Cauchy, ou « dans la langue ε - δ “.

Les définitions 1 et 2 sont équivalentes. Si la fonction f(x) comme x →un a limite, égal à A, cela s'écrit sous la forme

. (6.3)

Dans le cas où la séquence (f(x n)) augmente (ou diminue) sans limite pour toute méthode d'approximation Xà ta limite UN, alors nous dirons que la fonction f(x) a limite infinie, et écris-le sous la forme :

Une variable (c'est-à-dire une séquence ou une fonction) dont la limite est zéro est appelée infiniment petit.

Une variable dont la limite est égale à l'infini s'appelle infiniment grand.

Pour trouver la limite en pratique, les théorèmes suivants sont utilisés.

Théorème 1 . Si toutes les limites existent

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commentaire. Des expressions comme 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sont incertains, par exemple le rapport de deux quantités infiniment petites ou infiniment grandes, et trouver une limite de ce type est appelé « découvrir des incertitudes ».

Théorème 2. (6.7)

ceux. on peut aller à la limite basée sur la puissance à exposant constant, notamment, ;

(6.8)

(6.9)

Théorème 3.

(6.10)

(6.11)

Où e » 2.7 - la base du logarithme népérien. Les formules (6.10) et (6.11) sont appelées les premières merveilleuse limite et la deuxième limite remarquable.

Les conséquences de la formule (6.11) sont également utilisées en pratique :

(6.12)

(6.13)

(6.14)

en particulier la limite,

Si x → a et en même temps x > a, alors écrivez x→a + 0. Si, en particulier, a = 0, alors au lieu du symbole 0+0, écrivez +0. De même si x→a et en même temps x a-0. Nombres et sont appelés en conséquence limite droite Et limite gauche les fonctions f(x) à ce point UN. Pour qu'il y ait une limite de la fonction f(x) comme x→a est nécessaire et suffisant pour que . La fonction f(x) est appelée continu à ce point x 0 si limite

. (6.15)

La condition (6.15) peut être réécrite comme suit :

,

c'est-à-dire que le passage à la limite sous le signe d'une fonction est possible si elle est continue en un point donné.

Si l’égalité (6.15) est violée, alors on dit que à x = xo fonction f(x) Il a écart. Considérons la fonction y = 1/x. Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble R., sauf pour x = 0. Le point x = 0 est un point limite de l'ensemble D(f), puisque dans n'importe quel voisinage de celui-ci, c'est-à-dire dans tout intervalle ouvert contenant le point 0, il y a des points de D(f), mais il n'appartient pas lui-même à cet ensemble. La valeur f(x o)= f(0) n'est pas définie, donc au point x o = 0 la fonction a une discontinuité.

La fonction f(x) est appelée continu à droite au point x o si la limite

,

Et continu à gauche au point x o, si la limite

.

Continuité d'une fonction en un point x oéquivaut à sa continuité en ce point aussi bien à droite qu'à gauche.

Pour que la fonction soit continue au point x o, par exemple, à droite, il faut, d'une part, qu'il y ait une limite finie, et d'autre part, que cette limite soit égale à f(x o). Ainsi, si au moins une de ces deux conditions n’est pas remplie, alors la fonction présentera une discontinuité.

1. Si la limite existe et n'est pas égale à f(x o), alors on dit que fonction f(x) à ce point x o a rupture du premier type, ou saut.

2. Si la limite est+∞ ou -∞ ou n'existe pas, alors ils disent que dans indiquer x o la fonction a une discontinuité deuxième espèce.

Par exemple, fonction y = lit bébé x à x→ +0 a une limite égale à +∞, ce qui signifie qu'au point x=0 il présente une discontinuité du deuxième type. Fonction y = E(x) (partie entière de X) en des points à abscisses entières présente des discontinuités du premier type, ou sauts.

Une fonction continue en tout point de l’intervalle est appelée continu V. Une fonction continue est représentée par une courbe pleine.

De nombreux problèmes associés à la croissance continue d’une certaine quantité conduisent à la deuxième limite remarquable. Ces tâches comprennent, par exemple : la croissance des gisements selon la loi des intérêts composés, la croissance de la population du pays, la désintégration des substances radioactives, la prolifération des bactéries, etc.

Considérons exemple de Ya. I. Perelman, donnant une interprétation du nombre e dans le problème des intérêts composés. Nombre e il existe une limite . Dans les caisses d’épargne, les intérêts sont ajoutés chaque année au capital fixe. Si l'adhésion est effectuée plus souvent, le capital croît plus rapidement, puisqu'un montant plus important est impliqué dans la formation des intérêts. Prenons un exemple purement théorique et très simplifié. Que 100 deniers soient déposés à la banque. unités sur la base de 100 % par an. Si les intérêts ne sont ajoutés au capital fixe qu'après un an, alors à cette période, 100 deniers. unités se transformera en 200 unités monétaires. Voyons maintenant ce que deviendront 100 denize. unités, si les intérêts sont ajoutés au capital fixe tous les six mois. Après six mois, 100 deniers. unités passera à 100× 1,5 = 150, et après encore six mois - à 150× 1,5 = 225 (den. unités). Si l'adhésion se fait tous les 1/3 de l'année, alors après un an 100 den. unités deviendra 100× (1 +1/3) 3 " 237 (unités den.). Nous augmenterons les conditions d'ajout d'intérêts à 0,1 an, à 0,01 an, à 0,001 an, etc. Puis sur 100 deniers. unités au bout d'un an ce sera :

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unités den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unités den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unités den.).

Avec une réduction illimitée des modalités d'ajout des intérêts, le capital accumulé ne croît pas indéfiniment, mais se rapproche d'une certaine limite égale à environ 271. Le capital déposé à 100 % par an ne peut augmenter de plus de 2,71 fois, même si les intérêts courus ont été ajoutés au capital chaque seconde car la limite

Exemple 3.1.À l’aide de la définition de la limite d’une suite de nombres, prouver que la suite x n =(n-1)/n a une limite égale à 1.

Solution.Nous devons prouver que, quoi qu'il arriveε > 0, peu importe ce que l'on prend, pour cela il existe un nombre naturel N tel que pour tout n N l'inégalité est vraie|xn-1|< ε.

Prenons n'importe quel e > 0. Puisque ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, alors pour trouver N il suffit de résoudre l'inégalité 1/n< e. Donc n>1/ e et, par conséquent, N peut être considéré comme une partie entière de 1/ e , N = E(1/ e ). Nous avons ainsi prouvé que la limite .

Exemple 3.2 . Trouver la limite d'une séquence donnée par un terme commun .

Solution.Appliquons la limite du théorème de la somme et trouvons la limite de chaque terme. Quand n→ ∞ le numérateur et le dénominateur de chaque terme tendent vers l'infini, et on ne peut pas appliquer directement le théorème limite du quotient. Par conséquent, nous transformons d’abord xn, en divisant le numérateur et le dénominateur du premier terme par n°2, et le deuxième sur n. Ensuite, en appliquant la limite du quotient et la limite du théorème de la somme, on trouve :

.

Exemple 3.3. . Trouver .

Solution. .

Ici, nous avons utilisé le théorème de la limite du degré : la limite d'un degré est égale au degré de la limite de la base.

Exemple 3.4 . Trouver ( ).

Solution.Il est impossible d'appliquer le théorème de la limite des différences, puisque nous avons une incertitude de la forme ∞-∞ . Transformons la formule du terme général :

.

Exemple 3.5 . La fonction f(x)=2 1/x est donnée. Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution.Utilisons la définition 1 de la limite d'une fonction à travers une séquence. Prenons une suite ( x n ) convergeant vers 0, c'est-à-dire Montrons que la valeur f(x n)= se comporte différemment pour différentes séquences. Soit x n = 1/n. Évidemment, alors la limite Choisissons maintenant comme xn une séquence avec un terme commun x n = -1/n, tendant également vers zéro. Il n’y a donc aucune limite.

Exemple 3.6 . Prouvez qu’il n’y a pas de limite.

Solution.Soit x 1 , x 2 ,..., x n ,... une suite pour laquelle
. Comment se comporte la séquence (f(x n)) = (sin x n) pour différents x n → ∞

Si x n = p n, alors sin x n = sin p n = 0 pour tout n et la limite Si
xn =2 p n+ p /2, alors péché x n = péché(2 p n+ p /2) = péché p /2 = 1 pour tout n et donc la limite. Donc ça n'existe pas.

Widget pour calculer les limites en ligne

Dans la fenêtre supérieure, au lieu de sin(x)/x, saisissez la fonction dont vous souhaitez rechercher la limite. Dans la fenêtre inférieure, entrez le nombre vers lequel x tend et cliquez sur le bouton Calculer, obtenez la limite souhaitée. Et si dans la fenêtre de résultats vous cliquez sur Afficher les étapes dans le coin supérieur droit, vous obtiendrez une solution détaillée.

Règles de saisie des fonctions : sqrt(x) - racine carrée, cbrt(x) - racine cubique, exp(x) - exposant, ln(x) - logarithme naturel, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangente, cot(x) - cotangente, arcsin(x) - arc sinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangente. Signes : * multiplication, / division, ^ exponentiation, à la place infini Infini. Exemple : la fonction est saisie sous la forme sqrt(tan(x/2)).

Membre de la séquence.

Un nombre a est appelé limite de la suite (xn) si pour tout ε>0 il existe un nombre n=n(ε), à partir duquel |xn-a |

Exemple 2. Montrer que dans l'exemple 1 le nombre a=1 n'est pas la limite de la séquence de l'exemple précédent. Solution. Simplifiez à nouveau le terme commun de la séquence. Prenons ε=1 (c'est n'importe quel nombre >

Les problèmes de calcul direct de la limite d’une séquence sont assez monotones. Ils contiennent tous des relations de polynômes par rapport à n ou des expressions par rapport à ces polynômes. Au début de la résolution, retirez des parenthèses (signe radical) le composant situé en tête . Supposons que cela conduise à l'apparition d'un multiplicateur a^p pour le numérateur de l'expression originale, et b^q pour le dénominateur. Évidemment, tous les termes restants ont la forme C/(n-k) et tendent vers zéro lorsque n>

La première façon de calculer la limite d’une séquence repose sur sa définition. Certes, il ne faut pas oublier qu'il ne fournit pas de moyens de rechercher directement la limite, mais permet uniquement de prouver que tout nombre a est (ou n'est pas) une limite. Exemple 1. Montrer que la séquence (xn)=(. (3n^2-2n -1)/(n^2-n-2)) a une limite a=3.Solution. Procédez en appliquant la définition dans l’ordre inverse. C'est-à-dire de droite à gauche. Vérifiez d’abord s’il est possible de simplifier la formule pour xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/(( n+2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Considérons l'inégalité |(3n+1)/(n+2)-3|0, vous pouvez trouver n'importe quel naturel nombre nε supérieur à -2+ 5/ε.

Exemple 2. Montrer que dans l'exemple 1 le nombre a=1 n'est pas la limite de la séquence de l'exemple précédent. Solution. Simplifiez à nouveau le terme commun de la séquence. Prenez ε=1 (c'est n'importe quel nombre >0). Écrivez l'inégalité finale de la définition générale |(3n+1)/(n+2)-1|.

Les problèmes de calcul direct de la limite d’une séquence sont assez monotones. Ils contiennent tous des relations de polynômes par rapport à n ou des expressions par rapport à ces polynômes. Au début de la résolution, retirez des parenthèses (signe radical) le composant situé en tête. Supposons que cela conduise à l'apparition d'un multiplicateur a^p pour le numérateur de l'expression originale, et b^q pour le dénominateur. Évidemment, tous les termes restants ont la forme C/(n-k) et tendent vers zéro lorsque n>k (n tend vers l'infini). Après cela, notez la réponse : 0 si pq.

Indiquons une méthode non traditionnelle pour trouver la limite d'une suite et de sommes infinies. Nous utiliserons des séquences fonctionnelles (leurs termes de fonction définis sur un intervalle (a,b)). Exemple 3. Trouvez une somme de la forme 1+1/2 ! +1/3 ! +…+1/n ! +…=s .Solution. N'importe quel nombre a^0=1. Fixez 1=exp(0) et considérez la séquence fonctionnelle (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Astuce 2 : Dans quel ordre dois-je regarder les films Marvel sur les Avengers ?

L'univers Marvel est basé sur des bandes dessinées publiées par Marvel, mais toutes les adaptations de bandes dessinées ne font pas partie de l'univers cinématographique. Comprend uniquement les films produits par ou en collaboration avec Marvel Studios. L'univers cinématographique Marvel est divisé en phases, chaque film y ayant sa propre place. Cependant, les séries et les courts métrages, faisant partie de l'univers, peuvent se situer entre des phases dans la chronologie. Ceux. peuvent ne pas appartenir à des parties spécifiques de l’univers cinématographique.

Les séries Netflix et ABC sont différentes de l'univers Marvel. L'univers cinématographique présente deux caractéristiques :

• chaque film a sa propre histoire ;
• l'intrigue globale se déplace d'un film à l'autre, et finalement chacun d'eux fait avancer cette intrigue.

Les séries de la chaîne ABC sont liées à l'intrigue globale de l'univers cinématographique, mais n'en font pas la promotion, mais la complètent seulement. Les séries Netflix sont des histoires complètement indépendantes, avec leur propre intrigue et leur propre monde global.

Au fil des années, l’univers Marvel s’est agrandi et continue de s’étendre. Par conséquent, il est difficile pour une personne non préparée de comprendre la chronologie de ses films, car tout le monde ne comprend pas qu'on ne peut pas regarder "Iron Man 3" immédiatement après "Iron Man 2". Et pour comprendre, il faut étudier la chronologie, qui comprend trois phases.

Première phase:

1. Le film "Iron Man", 2008. Cette image pose les bases et le ton général des adaptations cinématographiques suivantes ; son action se déroule en 2010.
2. Le film L'Incroyable Hulk, 2008. Dans cette adaptation cinématographique, les spectateurs comprennent que les histoires de deux héros différents se déroulent dans le même univers, puisque « Iron Man » et « L'Incroyable Hulk » mentionnent le S.H.I.E.L.D., le programme « super-soldat », on retrouve le logo StarkIndusries, etc. . Le film se déroule en 2011. Le film ne poursuit pas l'histoire du film Hulk de 2003.
3. Film "Iron Man 2", 2010. Cette histoire est en quelque sorte une graine pour les Avengers, introduisant Black Widow dans l'intrigue, donnant beaucoup d'informations sur les projets futurs et parlant des nouveaux problèmes auxquels Tony Stark a été confronté un an après la première partie d'Iron Man.
4. Le film "Thor", 2011. C'est aussi une préparation pour les Avengers, et l'objectif principal du film est de présenter au spectateur Thor et Loki. L'intrigue se déroule en parallèle avec l'histoire de L'Incroyable Hulk et Iron Man 2.
5. Le film "Le Premier Vengeur", 2011. Il raconte l’histoire de Captain America, le premier super-héros sur Terre, qui, comme Hulk, est apparu grâce au sérum « super soldat ». Les première et dernière scènes du film se déroulent en 2011, et les principales actions se déroulent entre 1943 et 1945. Le Tesseract, l'une des six Infinity Stones, apparaît dans le film, et il s'avère que le « père » du S.H.I.E.L.D. était l'organisation SSR (Strategic Scientific Reserve).
6. Court métrage « Consultant », 2011. La scène finale de L'Incroyable Hulk est expliquée ici.
7. Court métrage « Un drôle d’incident sur le chemin du marteau de Thor », 2011.
8. Le film "Les Vengeurs", 2012. L'histoire se déroule en 2012, lorsque le S.H.I.E.L.D. Dans l’intérêt de sauver le monde, il annonce une « assemblée générale ».

Seconde phase:

1. Film "Iron Man 3", 2013. L'action se déroule à l'hiver 2012, lorsque Tony Stark rentre chez lui après la bataille de New York, mais est tourmenté par des cauchemars. Il n'arrive pas à dormir et consacre son temps à créer de nouveaux costumes.
2. La série « Agents du S.H.I.E.L.D. », 2013.
3. Film "Thor 2 : Le Monde des Ténèbres", 2013. Le film raconte comment Thor rentra chez lui et découvrit que les neuf mondes étaient dans le chaos. Et sur la façon dont Thor a rétabli l'ordre.
4. Court métrage « Longue vie au roi », 2014. C'est l'histoire de Trevor Slattery, qui se déroule après les événements d'Iron Man 3.
5. Film "Captain America : Le Soldat de l'Hiver", 2014. C'est l'histoire de Captain America, qui ne peut pas rentrer chez lui, alors il cherche un nouvel emploi et devient agent du S.H.I.E.L.D., travaillant en équipe avec Black Widow. Il est préférable de regarder le film entre les épisodes 16 et 17 d'Agents du S.H.I.E.L.D.
6. Film "Les Gardiens de la Galaxie", 2014. À regarder absolument après la saison 1 des Agents du S.H.I.E.L.D. C'est l'histoire de criminels extra-terrestres qui forment une équipe pour empêcher le criminel le plus dangereux, Ronan, d'obtenir la Pierre d'Infinité.
7. La série « Agents du S.H.I.E.L.D. », deuxième saison, 2014.
8. Série télévisée "Agent Carter", 2016. C'est l'histoire de la façon dont Peggy Carter et le majordome Edwin Jarvis aident Howard Stark à retrouver sa réputation.
9. Film "Avengers : L'ère d'Ultron", 2015. Dans ce film, les Avengers se sont à nouveau réunis pour sauver le monde, mais cette fois ils sont devenus une équipe à part entière. Il est préférable de regarder entre les épisodes 19 et 20 de la deuxième saison d'Agents du S.H.I.E.L.D.
10. Le film "Ant-Man", 2015. Regardez la saison 2 des Agents du S.H.I.E.L.D.

Troisième phase :

1. Film "Captain America : Guerre Civile", 2016. Après le traité de Sokovie, les Vengeurs sont obligés d'obéir au gouvernement, mais cela les divise en deux camps : ceux qui sont pour l'enregistrement et ceux qui sont contre.

Ce sont tous des films déjà sortis. Mais ce n'est pas toute l'histoire. Quatorze films supplémentaires sont prévus dans la troisième phase, suivie d'une quatrième phase.

Article associé

Pour ceux qui veulent apprendre à trouver des limites, dans cet article nous vous en parlerons. Nous n’approfondirons pas la théorie ; les enseignants la donnent généralement lors de cours. La « théorie ennuyeuse » devrait donc être notée dans vos cahiers. Si ce n'est pas le cas, vous pouvez lire des manuels tirés de la bibliothèque de l'établissement d'enseignement ou d'autres ressources Internet.

Ainsi, le concept de limite est très important dans l'étude d'un cours de mathématiques supérieur, surtout lorsque vous découvrez le calcul intégral et comprenez le lien entre la limite et l'intégrale. Le matériel actuel examinera des exemples simples, ainsi que des moyens de les résoudre.

Exemples de solutions

Exemple 1

Calculer a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Solution

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Les gens nous envoient souvent ces limites en nous demandant d’aider à les résoudre. Nous avons décidé de les souligner à titre d'exemple distinct et d'expliquer que ces limites doivent simplement être rappelées, en règle générale. Si vous ne parvenez pas à résoudre votre problème, envoyez-le-nous. Nous fournirons une solution détaillée. Vous pourrez visualiser la progression du calcul et obtenir des informations. Cela vous aidera à obtenir votre note de votre professeur en temps opportun !

Répondre

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0$$

Que faire de l'incertitude de la forme : $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Exemple 3

Résoudre $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Solution

Comme toujours, nous commençons par substituer la valeur $ x $ dans l'expression sous le signe limite. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Quelle est la prochaine étape maintenant ? Que devrait-il se passer à la fin ? Puisqu’il s’agit d’une incertitude, ce n’est pas encore une réponse et nous continuons le calcul. Puisque nous avons un polynôme dans les numérateurs, nous allons le factoriser en utilisant la formule familière à tout le monde à l'école $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vous souvenez-vous? Super! Maintenant, allez-y et utilisez-le avec la chanson :) On trouve que le numérateur $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Nous continuons à résoudre en tenant compte de la transformation ci-dessus : $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Répondre

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Poussons la limite des deux derniers exemples à l'infini et considérons l'incertitude : $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Exemple 5

Calculer $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Solution

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ce qu'il faut faire? Que dois-je faire? Pas de panique, car l'impossible est possible. Il faut retirer le x au numérateur et au dénominateur, puis le réduire. Après cela, essayez de calculer la limite. Essayons... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ En utilisant la définition de l'exemple 2 et en remplaçant x par l'infini, nous obtenons : $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

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$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algorithme de calcul des limites

Alors, résumons brièvement les exemples et créons un algorithme pour résoudre les limites :

1. Remplacez le point x dans l'expression qui suit le signe limite. Si un certain nombre ou l’infini est obtenu, alors la limite est complètement résolue. Sinon, nous avons une incertitude : « zéro divisé par zéro » ou « l'infini divisé par l'infini » et passons aux étapes suivantes des instructions.
2. Pour éliminer l’incertitude de « zéro divisé par zéro », vous devez factoriser le numérateur et le dénominateur. Réduisez les similaires. Remplacez le point x dans l'expression sous le signe limite.
3. Si l’incertitude est « l’infini divisé par l’infini », alors nous supprimons au maximum le numérateur et le dénominateur x. Nous raccourcissons les X. Nous substituons les valeurs de x sous la limite dans l'expression restante.

Dans cet article, vous avez appris les bases de la résolution des limites, souvent utilisées dans le cours de calcul. Bien entendu, il ne s’agit pas de tous les types de problèmes proposés par les examinateurs, mais seulement des limites les plus simples. Nous parlerons d'autres types de tâches dans les prochains articles, mais vous devez d'abord apprendre cette leçon pour pouvoir passer à autre chose. Discutons de ce qu'il faut faire s'il y a des racines, des degrés, étudions les fonctions équivalentes infinitésimales, merveilleuses limites, la règle de L'Hôpital.

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