Progression arithmétique nommer une séquence de nombres (membres d'une progression)
Dans lequel chaque terme suivant diffère du précédent par un terme d'acier, également appelé différence de pas ou de progression.
Ainsi, en fixant le pas de la progression et son premier terme, on peut retrouver n'importe lequel de ses éléments à l'aide de la formule
Propriétés d'une progression arithmétique
1) Chaque membre de la progression arithmétique, à partir du deuxième nombre, est la moyenne arithmétique du membre précédent et suivant de la progression
L'inverse est également vrai. Si la moyenne arithmétique des membres impairs (pairs) voisins de la progression est égale au membre qui se trouve entre eux, alors cette séquence de nombres est une progression arithmétique. Par cette assertion, il est très facile de vérifier n'importe quelle séquence.
Aussi par la propriété de progression arithmétique, la formule ci-dessus peut être généralisée à la suivante
Ceci est facile à vérifier si nous écrivons les termes à droite du signe égal
Il est souvent utilisé dans la pratique pour simplifier les calculs dans les problèmes.
2) La somme des n premiers termes d'une progression arithmétique est calculée par la formule
Rappelez-vous bien la formule de la somme d'une progression arithmétique, elle est indispensable dans les calculs et est assez courante dans les situations simples de la vie.
3) Si vous avez besoin de trouver non pas la somme entière, mais une partie de la séquence à partir de son k -ème membre, alors la formule de somme suivante vous sera utile
4) L'intérêt pratique est de trouver la somme de n membres d'une progression arithmétique à partir du k-ième nombre. Pour ce faire, utilisez la formule
C'est là que le matériel théorique se termine et nous passons à la résolution de problèmes courants dans la pratique.
Exemple 1. Trouver le quarantième terme de la progression arithmétique 4;7;...
La solution:
Selon la condition, nous avons
Définir le pas de progression
Selon la formule bien connue, on trouve le quarantième terme de la progression
Exemple2. Progression arithmétique est donnée par ses troisième et septième membres. Trouvez le premier terme de la progression et la somme de dix.
La solution:
On écrit les éléments donnés de la progression selon les formules
Nous soustrayons la première équation de la deuxième équation, en conséquence nous trouvons le pas de progression
La valeur trouvée est substituée dans l'une des équations pour trouver le premier terme de la progression arithmétique
Calculer la somme des dix premiers termes de la progression
Sans appliquer de calculs complexes, nous avons trouvé toutes les valeurs requises.
Exemple 3. Une progression arithmétique est donnée par le dénominateur et l'un de ses membres. Trouvez le premier terme de la progression, la somme de ses 50 termes à partir de 50 et la somme des 100 premiers.
La solution:
Écrivons la formule du centième élément de la progression
et trouver le premier
A partir du premier, on trouve le 50ème terme de la progression
Trouver la somme de la partie de la progression
et la somme des 100 premiers
La somme de la progression est 250.
Exemple 4
Trouver le nombre de membres d'une progression arithmétique si :
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
La solution:
Nous écrivons les équations en fonction du premier terme et du pas de la progression et nous les définissons
Nous substituons les valeurs obtenues dans la formule de somme pour déterminer le nombre de membres dans la somme
Faire des simplifications
et résoudre l'équation quadratique
Des deux valeurs trouvées, seul le chiffre 8 convient à l'état du problème. Ainsi la somme des huit premiers termes de la progression est 111.
Exemple 5
résous l'équation
1+3+5+...+x=307.
Solution : Cette équation est la somme d'une progression arithmétique. Nous écrivons son premier terme et trouvons la différence de la progression
Si tout nombre naturel n correspondre à un nombre réel un , alors ils disent que étant donné séquence de nombres :
un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un , . . . .
Ainsi, une suite numérique est fonction d'un argument naturel.
Numéro un 1 appelé le premier membre de la séquence , Numéro un 2 — le deuxième membre de la séquence , Numéro un 3 — troisième etc. Numéro un appelé nième membre séquences , et l'entier naturel n — son numéro .
De deux membres voisins un et un +1 séquences de membres un +1 appelé subséquent (envers un ), un un — précédent (envers un +1 ).
Pour spécifier une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de trouver un membre de séquence avec n'importe quel nombre.
Souvent la séquence est donnée avec formules à nième terme , c'est-à-dire une formule qui vous permet de déterminer un membre de la séquence par son numéro.
Par exemple,
la suite de nombres impairs positifs peut être donnée par la formule
un= 2n- 1,
et la séquence d'alternance 1 et -1 - formule
b n = (-1)n +1 . ◄
La séquence peut être déterminée formule récurrente, c'est-à-dire une formule qui exprime n'importe quel membre de la séquence, en commençant par certains, jusqu'aux membres précédents (un ou plusieurs).
Par exemple,
si un 1 = 1 , un un +1 = un + 5
un 1 = 1,
un 2 = un 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
un 3 = un 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
un 4 = un 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
un 5 = un 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Si un un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , puis les sept premiers membres de la séquence numérique sont définis comme suit :
un 1 = 1,
un 2 = 1,
un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,
un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,
un 6 = un 4 + un 5 = 3 + 5 = 8,
un 7 = un 5 + un 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Les séquences peuvent être final et sans fin .
La suite s'appelle ultime s'il a un nombre fini de membres. La suite s'appelle sans fin s'il a une infinité de membres.
Par exemple,
suite de deux chiffres nombres naturels:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Suite de nombres premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
sans fin. ◄
La suite s'appelle en augmentant , si chacun de ses membres, à partir du second, est supérieur au précédent.
La suite s'appelle déclin , si chacun de ses membres, à partir du second, est inférieur au précédent.
Par exemple,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . est une suite ascendante ;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . est une suite descendante. ◄
Une suite dont les éléments ne diminuent pas avec le nombre croissant, ou, au contraire, ne croissent pas, est appelée séquence monotone .
Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes.
Progression arithmétique
Progression arithmétique une séquence est appelée, dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.
un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un, . . .
est une progression arithmétique si pour tout nombre naturel n condition est remplie :
un +1 = un + ré,
où ré - un certain nombre.
Ainsi, la différence entre le membre suivant et le membre précédent d'une progression arithmétique donnée est toujours constante :
un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = un +1 - un = ré.
Numéro ré appelé la différence d'une progression arithmétique.
Pour fixer une progression arithmétique, il suffit de préciser son premier terme et sa différence.
Par exemple,
si un 1 = 3, ré = 4 , alors les cinq premiers termes de la suite se trouvent comme suit :
un 1 =3,
un 2 = un 1 + ré = 3 + 4 = 7,
un 3 = un 2 + ré= 7 + 4 = 11,
un 4 = un 3 + ré= 11 + 4 = 15,
un 5 = un 4 + ré= 15 + 4 = 19. ◄
Pour une progression arithmétique avec le premier terme un 1 et différence ré son n
un = un 1 + (n- 1)ré.
Par exemple,
trouver le trentième terme d'une suite arithmétique
1, 4, 7, 10, . . .
un 1 =1, ré = 3,
un 30 = un 1 + (30 - 1)ré= 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = un 1 + (n- 2)ré,
un= un 1 + (n- 1)ré,
un +1 = un 1 + nd,
alors évidemment
| un=
| un n-1 + un n+1
|
| 2
|
chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.
les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.
Par exemple,
un = 2n- 7 , est une progression arithmétique.
Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:
un = 2n- 7,
un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Par conséquent,
| un n+1 + un n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = un,
|
| 2
| 2
|
◄
Notez que n -ième membre d'une progression arithmétique peut être trouvé non seulement à travers un 1 , mais aussi tout précédent un k
un = un k + (n- k)ré.
Par exemple,
pour un 5 peut être écrit
un 5 = un 1 + 4ré,
un 5 = un 2 + 3ré,
un 5 = un 3 + 2ré,
un 5 = un 4 + ré. ◄
un = un n-k + kd,
un = un n+k - kd,
alors évidemment
| un=
| un nk
+ un n+k
|
| 2
|
tout membre d'une suite arithmétique, à partir du second, est égal à la moitié de la somme des membres de cette suite arithmétique également espacés de celle-ci.
De plus, pour toute progression arithmétique, l'égalité est vraie :
une m + une n = une k + une l,
m + n = k + l.
Par exemple,
en progression arithmétique
1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;
2) 28 = un 10 = un 3 + 7ré= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;
4) une 2 + une 12 = une 5 + une 9, car
un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,
un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ un,
première n membres d'une progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes :
De là, en particulier, il résulte que s'il faut sommer les termes
un k, un k +1 , . . . , un,
alors la formule précédente conserve sa structure :
Par exemple,
en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités un 1 , un, ré, n etS n liés par deux formules :
Par conséquent, si Trois de ces grandeurs sont données, puis les valeurs correspondantes des deux autres grandeurs sont déterminées à partir de ces formules combinées en un système de deux équations à deux inconnues.
Une progression arithmétique est une suite monotone. Où:
- si ré > 0 , alors il est croissant ;
- si ré < 0 , alors il est décroissant ;
- si ré = 0 , alors la suite sera stationnaire.
Progression géométrique
progression géométrique on appelle une suite dont chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
est une progression géométrique si pour tout entier naturel n condition est remplie :
b n +1 = b n · q,
où q ≠ 0 - un certain nombre.
Ainsi, le rapport du prochain terme de cette progression géométrique au précédent est un nombre constant :
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Numéro q appelé dénominateur d'une progression géométrique.
Pour fixer une progression géométrique, il suffit de préciser son premier terme et son dénominateur.
Par exemple,
si b 1 = 1, q = -3 , alors les cinq premiers termes de la suite se trouvent comme suit :
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 et dénominateur q son n -ème terme peut être trouvé par la formule :
b n = b 1 · q n -1 .
Par exemple,
trouver le septième terme d'une progression géométrique 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
alors évidemment
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
chaque membre de la progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.
Puisque la réciproque est également vraie, l'assertion suivante est vraie :
les nombres a, b et c sont des membres consécutifs d'une progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.
Par exemple,
montrons que la suite donnée par la formule b n= -3 2 n , est une progression géométrique. Utilisons la déclaration ci-dessus. Nous avons:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Par conséquent,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
ce qui prouve l'assertion demandée. ◄
Notez que n ème terme d'une progression géométrique peut être trouvé non seulement par b 1 , mais aussi tout terme antérieur b k , pour laquelle il suffit d'utiliser la formule
b n = b k · q n - k.
Par exemple,
pour b 5 peut être écrit
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
alors évidemment
b n 2 = b n - k· b n + k
le carré de tout membre d'une suite géométrique, à partir du second, est égal au produit des membres de cette suite équidistants de celle-ci.
De plus, pour toute progression géométrique, l'égalité est vraie :
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ je.
Par exemple,
exponentiellement
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , car
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
première n membres d'une progression géométrique avec un dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :
Et quand q = 1 - selon la formule
S n= n.b. 1
Notez que si nous devons additionner les termes
b k, b k +1 , . . . , b n,
alors la formule est utilisée:
| S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Par exemple,
exponentiellement 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Si une progression géométrique est donnée, alors les quantités b 1 , b n, q, n et S n liés par deux formules :
Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules combinées dans un système de deux équations à deux inconnues.
Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et dénominateur q ce qui suit a lieu propriétés de monotonie :
- la progression est croissante si l'une des conditions suivantes est remplie :
b 1 > 0 et q> 1;
b 1 < 0 et 0 < q< 1;
- Une progression est décroissante si l'une des conditions suivantes est remplie :
b 1 > 0 et 0 < q< 1;
b 1 < 0 et q> 1.
Si un q< 0 , alors la progression géométrique est à signes alternés : ses termes impairs sont de même signe que son premier terme, et les termes pairs sont de signe opposé. Il est clair qu'une progression géométrique alternée n'est pas monotone.
Produit du premier n les termes d'une progression géométrique peuvent être calculés par la formule :
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Par exemple,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progression géométrique décroissante à l'infini
Progression géométrique décroissante à l'infini est appelée une progression géométrique infinie dont le module dénominateur est inférieur à 1 , C'est
|q| < 1 .
Notez qu'une progression géométrique décroissante à l'infini peut ne pas être une séquence décroissante. Cela correspond au cas
1 < q< 0 .
Avec un tel dénominateur, la séquence est en alternance de signes. Par exemple,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante nommer le nombre auquel la somme des premiers n termes de la progression avec une augmentation illimitée du nombre n . Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Par exemple,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques
Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Considérons seulement deux exemples.
un 1 , un 2 , un 3 , . . . ré , alors
b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . b d .
Par exemple,
1, 3, 5, . . . — progression arithmétique avec différence 2 et
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . est une progression géométrique avec un dénominateur 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . est une progression géométrique avec un dénominateur q , alors
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — progression arithmétique avec différence enregistrer unq .
Par exemple,
2, 12, 72, . . . est une progression géométrique avec un dénominateur 6 et
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — progression arithmétique avec différence lg 6 . ◄
Premier niveau
Progression arithmétique. Théorie détaillée avec des exemples (2019)
Séquence numérique
Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, eux). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel d'entre eux est le premier, lequel est le second, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :
Séquence numérique
Par exemple, pour notre séquence :
Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de séquence. En d'autres termes, il n'y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le -ième nombre) est toujours le même.
Le nombre avec le nombre est appelé le -ème membre de la séquence.
Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence - la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .
Dans notre cas: 
Disons que nous avons une séquence numérique dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.
Par exemple: 
etc.
Une telle séquence numérique est appelée une progression arithmétique.
Le terme « progression » a été introduit par l'auteur romain Boèce dès le VIe siècle et a été compris dans un sens plus sens large, comme une suite de nombres infinis. Le nom "arithmétique" a été transféré de la théorie des proportions continues, dans laquelle les anciens Grecs étaient engagés.
Il s'agit d'une séquence numérique dont chaque membre est égal au précédent, additionné du même nombre. Ce nombre est appelé la différence d'une progression arithmétique et est noté.
Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :
un)
b)
c)
ré)
J'ai compris? Comparez nos réponses :
Est progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.
Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème membre. Existe deux moyen de le trouver.
1. Méthode
Nous pouvons ajouter à la valeur précédente du numéro de progression jusqu'à ce que nous atteignions le ème terme de la progression. C'est bien que nous n'ayons pas grand-chose à résumer - seulement trois valeurs :
Ainsi, le -ème membre de la progression arithmétique décrite est égal à.
2 voies
Et s'il fallait trouver la valeur du ième terme de la progression ? La sommation nous aurait pris plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous n'aurions pas fait d'erreurs lors de l'addition des chiffres.
Bien sûr, les mathématiciens ont trouvé un moyen de ne pas avoir à ajouter la différence d'une progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez attentivement l'image dessinée ... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain schéma, à savoir:
Voyons par exemple ce qui constitue la valeur du -ème membre de cette progression arithmétique : 
Autrement dit:
Essayez de trouver de cette manière indépendamment la valeur d'un membre de cette progression arithmétique.
Calculé? Comparez vos entrées avec la réponse :
Faites attention que vous obteniez exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque l'on ajoutait successivement les membres d'une progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule- l'amener à Forme générale et obtenir:
|
Équation de progression arithmétique. |
Les progressions arithmétiques sont soit croissantes soit décroissantes.
En augmentant- progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est supérieure à la précédente.
Par exemple:
Descendant- progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est inférieure à la précédente.
Par exemple:
La formule dérivée est utilisée dans le calcul des termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions-le en pratique.
On nous donne une progression arithmétique consistant en numéros suivants: Vérifions ce que donnera le -ème nombre de cette progression arithmétique si nous utilisons notre formule pour le calculer :
Depuis:
Ainsi, nous étions convaincus que la formule fonctionne aussi bien en progression arithmétique décroissante qu'en progression arithmétique croissante.
Essayez de trouver par vous-même les -ième et -ième membres de cette progression arithmétique.
Comparons les résultats :
Propriété de progression arithmétique
Compliquons la tâche - nous déduisons la propriété d'une progression arithmétique.
Supposons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
C'est facile, dites-vous, et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :
Soit, a, alors :
Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier numéro et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors il n'y a rien de compliqué à ce sujet, mais que se passe-t-il si on nous donne des nombres dans la condition ? D'accord, il y a une possibilité de faire des erreurs dans les calculs.
Pensez maintenant, est-il possible de résoudre ce problème en une seule étape en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr, oui, et nous allons essayer de le faire ressortir maintenant.
Désignons le terme souhaité de la progression arithmétique comme, nous connaissons la formule pour le trouver - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, alors:
- le membre précédent de la progression est :
- le terme suivant de la progression est :
Résumons les membres précédents et suivants de la progression :
Il s'avère que la somme des membres précédents et suivants de la progression est le double de la valeur du membre de la progression situé entre eux. En d'autres termes, pour trouver la valeur d'un membre de progression avec des valeurs précédentes et successives connues, il faut les additionner et diviser par.
C'est vrai, nous avons le même numéro. Fixons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, car ce n'est pas difficile du tout.
Bien fait! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste plus qu'à découvrir une seule formule, qui, selon la légende, l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le "roi des mathématiciens" - Karl Gauss, a facilement déduit pour lui-même ...
Lorsque Carl Gauss avait 9 ans, l'enseignant, occupé à vérifier le travail des élèves des autres classes, a demandé la tâche suivante à la leçon : "Calculer la somme de tous les nombres naturels de jusqu'à (selon d'autres sources jusqu'à) inclus. " Quelle a été la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) après une minute a donné la bonne réponse à la tâche, alors que la plupart des camarades de classe du casse-cou après de longs calculs ont reçu le mauvais résultat ...
Le jeune Carl Gauss a remarqué un schéma que vous pouvez facilement remarquer.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de membres -ti : nous devons trouver la somme des membres donnés de la progression arithmétique. Bien sûr, nous pouvons additionner manuellement toutes les valeurs, mais que se passe-t-il si nous devons trouver la somme de ses termes dans la tâche, comme le recherchait Gauss ?
Décrivons la progression qui nous est donnée. Regardez attentivement les nombres en surbrillance et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux. 
A essayé? Qu'avez-vous remarqué ? Correctement! Leurs sommes sont égales
Répondez maintenant, combien y aura-t-il de telles paires dans la progression qui nous est donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les nombres, c'est-à-dire.
Sur la base du fait que la somme de deux membres d'une progression arithmétique est égale, et des paires égales similaires, nous obtenons que la somme totale est égale à :
.
Ainsi, la formule de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :
Dans certains problèmes, nous ne connaissons pas le ème terme, mais nous connaissons la différence de progression. Essayez de substituer dans la formule de somme, la formule du ème membre.
Qu'est-ce que vous obtenez?
Bien fait! Revenons maintenant au problème qui a été confié à Carl Gauss : calculez vous-même quelle est la somme des nombres à partir du -ème, et la somme des nombres à partir du -ème.
Combien avez-vous obtenu?
Gauss s'est avéré que la somme des termes est égale, et la somme des termes. C'est comme ça que tu as décidé ?
En fait, la formule de la somme des membres d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophantus au 3ème siècle, et tout au long de cette période, des personnes pleines d'esprit ont utilisé les propriétés d'une progression arithmétique avec force et force.
Par exemple, imaginez l'Égypte ancienne et le plus grand chantier de construction de cette époque - la construction d'une pyramide ... La figure en montre un côté. 
Où est la progression ici me direz-vous ? Regardez attentivement et trouvez un modèle dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide. 
Pourquoi pas une progression arithmétique ? Comptez le nombre de blocs nécessaires pour construire un mur si des blocs de briques sont placés dans la base. J'espère que vous ne compterez pas en déplaçant votre doigt sur l'écran, vous souvenez-vous de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?
Dans ce cas, la progression ressemble à ceci :
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de membres d'une progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (nous comptons le nombre de blocs de 2 manières).
Méthode 1.
Méthode 2.
Et maintenant, vous pouvez également calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. C'était d'accord ? Bravo, vous maîtrisez la somme des ème termes d'une progression arithmétique.
Bien sûr, vous ne pouvez pas construire une pyramide à partir des blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur avec cette condition.
Avez-vous réussi?
La bonne réponse est blocs :
Entraînement
Tâches:
- Masha se prépare pour l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats de. Combien de fois Masha s'accroupira-t-elle en semaines si elle a fait des squats lors du premier entraînement.
- Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus dans.
- Lors du stockage des bûches, les bûcherons les empilent de manière à ce que chacune couche supérieure contient un journal de moins que le précédent. Combien y a-t-il de bûches dans une maçonnerie, si la base de la maçonnerie est constituée de bûches.
Réponses:
- Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
(semaines = jours).Réponse: Dans deux semaines, Masha devrait s'accroupir une fois par jour.
- Premier nombre impair, dernier nombre.
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de nombres impairs dans - la moitié, cependant, vérifiez ce fait en utilisant la formule pour trouver le -ème membre d'une progression arithmétique :Les nombres contiennent des nombres impairs.
Nous substituons les données disponibles dans la formule :Réponse: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale à.
- Rappelez-vous le problème des pyramides. Pour notre cas, a , étant donné que chaque couche supérieure est réduite d'un log, il n'y a qu'un tas de couches, c'est-à-dire.
Remplacez les données dans la formule :Réponse: Il y a des bûches dans la maçonnerie.
Résumé
- - une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est la même et égale. Il augmente et diminue.
- Trouver la formuleème membre d'une progression arithmétique est écrit par la formule - , où est le nombre de nombres dans la progression.
- Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où - le nombre de numéros dans la progression.
- La somme des membres d'une progression arithmétique peut être trouvée de deux manières :
, où est le nombre de valeurs.
PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN
Séquence numérique
Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais vous pouvez toujours dire lequel d'entre eux est le premier, lequel est le second, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.
Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.
En d'autres termes, chaque nombre peut être associé à un certain nombre naturel, et à un seul. Et nous n'attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.
Le nombre avec le nombre est appelé le -ème membre de la séquence.
Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence - la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .
C'est très pratique si le -ième membre de la séquence peut être donné par une formule. Par exemple, la formule
définit la séquence :
Et la formule est la séquence suivante :
Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme ici est égal, et la différence). Ou (, différence).
formule du nième terme
On appelle récurrente une formule dans laquelle, pour connaître le -ème terme, il faut connaître le précédent ou plusieurs précédents :
Pour trouver, par exemple, le ième terme de la progression à l'aide d'une telle formule, il faut calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez. Alors:
Eh bien, maintenant c'est clair quelle est la formule?
Dans chaque ligne, nous ajoutons à, multiplié par un certain nombre. Pour quelle raison? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :
Beaucoup plus confortable maintenant, non ? Nous vérifions:
Décider vous-même:
Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.
La solution:
Le premier membre est égal. Et quelle est la différence? Et voici quoi :
(après tout, on l'appelle la différence car elle est égale à la différence des membres successifs de la progression).
Donc la formule est :
Alors le centième terme est :
Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?
Selon la légende, le grand mathématicien Carl Gauss, étant un garçon de 9 ans, a calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et du dernier nombre est égale, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du 3e à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y a-t-il de telles paires ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, c'est-à-dire. Alors,
La formule générale pour la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :
Exemple:
Trouver la somme de tous les multiples à deux chiffres.
La solution:
Le premier de ces nombres est celui-ci. Chaque suivant est obtenu en ajoutant un nombre au précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.
La formule du ème terme de cette progression est :
Combien y a-t-il de termes dans la progression s'ils doivent tous être à deux chiffres ?
Très facile: .
Le dernier terme de la progression sera égal. Puis la somme :
Réponse: .
Décidez maintenant par vous-même :
- Chaque jour, l'athlète court 1 m de plus que la veille. Combien de kilomètres parcourra-t-il en semaines s'il a couru km m le premier jour ?
- Un cycliste parcourt plus de kilomètres chaque jour que le précédent. Le premier jour, il a parcouru km. Combien de jours doit-il conduire pour parcourir un kilomètre ? Combien de kilomètres parcourra-t-il le dernier jour du voyage ?
- Le prix d'un réfrigérateur dans le magasin est réduit du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix d'un réfrigérateur a diminué chaque année si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il a été vendu pour des roubles.
Réponses:
- La chose la plus importante ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Il faut déterminer la somme des premiers termes de cette progression :
.
Réponse: - Ici c'est donné :, il faut trouver.
Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans le problème précédent :
.
Remplacez les valeurs :La racine ne correspond évidemment pas, donc la réponse.
Calculons la distance parcourue le dernier jour à l'aide de la formule du -ème terme :
(km).
Réponse: - Donné: . Trouver: .
Rien de plus simple :
(frotter).
Réponse:
PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. EN BREF SUR LE PRINCIPAL
Il s'agit d'une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est identique et égale.
La progression arithmétique est croissante () et décroissante ().
Par exemple:
La formule pour trouver le n-ième membre d'une progression arithmétique
s'écrit sous forme de formule, où est le nombre de nombres dans la progression.
Propriété des membres d'une progression arithmétique
Il est facile de trouver un membre de la progression si ses membres voisins sont connus - où est le nombre de numéros dans la progression.
La somme des membres d'une progression arithmétique
Il existe deux manières de trouver la somme :
Où est le nombre de valeurs.
Où est le nombre de valeurs.
Bon, le sujet est clos. Si vous lisez ces lignes, alors vous êtes très cool.
Parce que seulement 5% des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous avez lu jusqu'au bout, alors vous êtes dans les 5% !
Maintenant la chose la plus importante.
Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et, je le répète, c'est... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.
Le problème c'est que cela risque de ne pas suffire...
Pour quelle raison?
Pour réussir réussir l'examen, pour l'admission à l'institut sur le budget et, SURTOUT, à vie.
Je ne vous convaincrai de rien, je dirai juste une chose...
Les gens qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que ceux qui ne l'ont pas reçue. Ce sont des statistiques.
Mais ce n'est pas l'essentiel.
L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que beaucoup plus d'opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...
Mais pense par toi-même...
Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen et d'être finalement... plus heureux ?
REMPLISSEZ VOTRE MAIN, RÉSOLVANT LES PROBLÈMES SUR CE SUJET.
À l'examen, on ne vous demandera pas de théorie.
Tu auras besoin de résoudre les problèmes à temps.
Et, si vous ne les avez pas résolus (BEAUCOUP !), vous ferez certainement une erreur stupide quelque part ou ne le ferez tout simplement pas à temps.
C'est comme dans le sport - vous devez répéter plusieurs fois pour gagner à coup sûr.
Trouvez une collection où vous voulez nécessairement avec des solutions analyse détaillée et décidez, décidez, décidez !
Vous pouvez utiliser nos tâches (pas nécessaire) et nous les recommandons certainement.
Afin d'obtenir un coup de main avec l'aide de nos tâches, vous devez aider à prolonger la durée de vie du manuel YouClever que vous lisez actuellement.
Comment? Il y a deux options :
- Débloquez l'accès à toutes les tâches cachées dans cet article - 299 roubles.
- Débloquez l'accès à toutes les tâches cachées dans les 99 articles du didacticiel - 999 roubles.
Oui, nous avons 99 articles de ce type dans le manuel et l'accès à toutes les tâches et à tous les textes cachés qu'ils contiennent peut être ouvert immédiatement.
Dans le deuxième cas nous vous donnerons simulateur "6000 tâches avec solutions et réponses, pour chaque sujet, pour tous les niveaux de complexité." C'est certainement suffisant pour mettre la main sur la résolution de problèmes sur n'importe quel sujet.
En fait, c'est bien plus qu'un simple simulateur - tout un programme de formation. Si nécessaire, vous pouvez également l'utiliser GRATUITEMENT.
L'accès à tous les textes et programmes est assuré pendant toute la durée de vie du site.
En conclusion...
Si vous n'aimez pas nos tâches, trouvez-en d'autres. Ne vous arrêtez pas à la théorie.
« J'ai compris » et « Je sais résoudre » sont des compétences complètement différentes. Vous avez besoin des deux.
Trouvez des problèmes et résolvez-les!
Avant de commencer à décider problèmes de progression arithmétique, considérez ce qu'est une suite de nombres, puisqu'une progression arithmétique est un cas particulier d'une suite de nombres.
Une séquence de nombres est un ensemble de nombres dont chaque élément a son propre numéro de série . Les éléments de cet ensemble sont appelés membres de la séquence. Le nombre ordinal d'un élément de séquence est indiqué par un indice :
Le premier élément de la séquence ;
Le cinquième élément de la séquence ;
- "nième" élément de la séquence, c'est-à-dire l'élément « debout dans la file d'attente » au numéro n.
Il existe une dépendance entre la valeur d'un élément de séquence et son numéro ordinal. On peut donc considérer une suite comme une fonction dont l'argument est le nombre ordinal d'un élément de la suite. Autrement dit, on peut dire que la suite est fonction de l'argument naturel :
La séquence peut être spécifiée de trois manières :
1 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'un tableau. Dans ce cas, nous définissons simplement la valeur de chaque membre de la séquence.
Par exemple, Quelqu'un a décidé de gérer son temps personnel et, pour commencer, de calculer le temps qu'il passe sur VKontakte au cours de la semaine. En écrivant l'heure dans un tableau, il obtiendra une séquence composée de sept éléments :
La première ligne du tableau contient le numéro du jour de la semaine, la seconde - l'heure en minutes. Nous voyons que, c'est-à-dire lundi Quelqu'un a passé 125 minutes sur VKontakte, c'est-à-dire jeudi - 248 minutes, et, c'est-à-dire vendredi, seulement 15.
2 . La séquence peut être spécifiée à l'aide de la formule du nième membre.
Dans ce cas, la dépendance de la valeur d'un élément de séquence à son numéro s'exprime directement sous forme de formule.
Par exemple, si , alors
Pour trouver la valeur d'un élément de séquence avec un nombre donné, nous substituons le numéro d'élément dans la formule pour le nième membre.
Nous faisons de même si nous avons besoin de trouver la valeur d'une fonction si la valeur de l'argument est connue. Nous substituons la valeur de l'argument à la place dans l'équation de la fonction :
Si, par exemple, 
, alors
Encore une fois, je note que dans une séquence, contrairement à une fonction numérique arbitraire, seul un nombre naturel peut être un argument.
3 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'une formule qui exprime la dépendance de la valeur du membre de la séquence avec le numéro n sur la valeur des membres précédents. Dans ce cas, il ne nous suffit pas de connaître uniquement le numéro d'un membre de la séquence pour trouver sa valeur. Nous devons spécifier le premier membre ou les premiers membres de la séquence.
Par exemple, considérons la séquence 
, 
On peut trouver les valeurs des membres d'une séquence en séquence, à partir de la troisième :
C'est-à-dire qu'à chaque fois pour trouver la valeur du nième membre de la séquence, on revient aux deux précédents. Ce mode de séquençage s'appelle récurrent, du mot latin récurrent- revenir.
Nous pouvons maintenant définir une progression arithmétique. Une progression arithmétique est un cas particulier simple d'une suite numérique.
Progression arithmétique est appelée une séquence numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, additionné du même nombre.
Le numéro s'appelle la différence d'une progression arithmétique. La différence d'une progression arithmétique peut être positive, négative ou nulle.
Si titre="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} en augmentant.
Par exemple, 2 ; 5 ; huit; Onze;...
Si , alors chaque terme de la progression arithmétique est inférieur au précédent, et la progression est déclin.
Par exemple, 2 ; -une; -quatre ; -sept;...
Si , alors tous les membres de la progression sont égaux au même nombre, et la progression est Stationnaire.
Par exemple, 2;2;2;2;...
La principale propriété d'une progression arithmétique :
Regardons l'image.
On voit ça
, et en même temps
En additionnant ces deux égalités, on obtient :
.
Divisez les deux membres de l'équation par 2 :
Ainsi, chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique de deux voisins :
De plus, depuis
, et en même temps
, alors
, et donc
Chaque membre de la progression arithmétique commençant par title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
formule du ème membre.
On voit que pour les membres de la progression arithmétique, les relations suivantes sont vérifiées :
et enfin
Nous avons formule du nième terme.
IMPORTANT! Tout membre d'une progression arithmétique peut être exprimé en termes de et . Connaissant le premier terme et la différence d'une progression arithmétique, vous pouvez trouver n'importe lequel de ses membres.
La somme de n membres d'une progression arithmétique.
Dans une progression arithmétique arbitraire, les sommes de termes équidistants des extrêmes sont égales entre elles :
Considérons une progression arithmétique à n membres. Soit la somme des n membres de cette progression égale à .
Organisez les termes de la progression d'abord dans l'ordre croissant des nombres, puis dans l'ordre décroissant :
Associons-le :
La somme entre parenthèses est , le nombre de paires est n.
On a:
Alors, la somme de n membres d'une progression arithmétique peut être trouvée à l'aide des formules :
Envisager résoudre des problèmes de progression arithmétique.
1 . La suite est donnée par la formule du nième membre : . Montrer que cette suite est une suite arithmétique.
Montrons que la différence entre deux membres adjacents de la séquence est égale au même nombre.
Nous avons obtenu que la différence de deux membres adjacents de la séquence ne dépend pas de leur nombre et est une constante. Par définition, cette séquence est donc une progression arithmétique.
2 . Soit une progression arithmétique -31 ; -27;...
a) Trouvez les 31 termes de la progression.
b) Détermine si le nombre 41 est inclus dans cette progression.
un) On voit ça ;
Écrivons la formule du nième terme de notre progression.
En général 
Dans notre cas 
, c'est pourquoi 
Les problèmes de progression arithmétique existent depuis l'Antiquité. Ils sont apparus et ont exigé une solution, car ils avaient un besoin pratique.
Ainsi, dans l'un des papyrus l'Egypte ancienne, qui a un contenu mathématique - le papyrus Rhind (XIXe siècle av. J.-C.) - contient la tâche suivante : diviser dix mesures de pain en dix personnes, à condition que la différence entre chacune d'elles soit d'un huitième de mesure.
Et dans les travaux mathématiques des anciens Grecs, il existe d'élégants théorèmes liés à la progression arithmétique. Ainsi, Hypsicles d'Alexandrie (2e siècle, qui a compilé de nombreux problèmes intéressants et a ajouté le quatorzième livre aux « Éléments » d'Euclide, a formulé l'idée : « Dans une progression arithmétique avec un nombre pair de membres, la somme des membres de la 2e moitié plus que le montant membres du 1er sur le carré 1/2 du nombre de membres.
La suite an est notée. Les numéros de la séquence sont appelés ses membres et sont généralement désignés par des lettres avec des indices qui indiquent le numéro de série de ce membre (a1, a2, a3... il se lit : "un 1er", "un 2ème", "un 3ème " et ainsi de suite).
La suite peut être infinie ou finie.
Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ? Il s'entend comme obtenu en additionnant le terme précédent (n) avec le même nombre d, qui est la différence de la progression.
Si d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, alors une telle progression est considérée comme croissante.
Une progression arithmétique est dite finie si seuls quelques-uns de ses premiers termes sont pris en compte. A très en grand nombre membres est déjà une progression infinie.
Toute progression arithmétique est donnée par la formule suivante :
an =kn+b, tandis que b et k sont des nombres.
L'énoncé, qui est le contraire, est absolument vrai : si la suite est donnée par une formule similaire, alors c'est exactement une progression arithmétique, qui a les propriétés :
- Chaque membre de la progression est la moyenne arithmétique du membre précédent et du suivant.
- Inversement : si, à partir du 2, chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant, c'est-à-dire si la condition est remplie, alors la séquence donnée est une progression arithmétique. Cette égalité est en même temps un signe de progression, c'est pourquoi on l'appelle généralement une propriété caractéristique de la progression.
De même, le théorème qui reflète cette propriété est vrai : une suite n'est une progression arithmétique que si cette égalité est vraie pour l'un quelconque des membres de la suite, à partir du 2ème.
La propriété caractéristique de quatre nombres quelconques d'une progression arithmétique peut être exprimée par la formule an + am = ak + al si n + m = k + l (m, n, k sont les nombres de la progression).
Dans une progression arithmétique, tout terme nécessaire (Nième) peut être trouvé en appliquant la formule suivante :
Par exemple : le premier terme (a1) d'une progression arithmétique est donné et vaut trois, et la différence (d) vaut quatre. Vous devez trouver le quarante-cinquième terme de cette progression. a45 = 1+4(45-1)=177
La formule an = ak + d(n - k) permet de déterminer nième membre progression arithmétique à travers l'un de ses k-ème termes, à condition qu'il soit connu.
La somme des membres d'une progression arithmétique (en supposant les n premiers membres de la progression finale) est calculée comme suit :
Sn = (a1+an) n/2.
Si le 1er terme est également connu, alors une autre formule est pratique pour le calcul :
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
La somme d'une progression arithmétique qui contient n termes est calculée comme suit :
Le choix des formules de calcul dépend des conditions des tâches et des données initiales.
Série naturelle de n'importe quel nombre comme 1,2,3,...,n,...- l'exemple le plus simple progression arithmétique.
En plus de la progression arithmétique, il existe également une progression géométrique, qui a ses propres propriétés et caractéristiques.
