Toiminnan raja- numero a on jonkin muuttujan arvon raja, jos tämä muuttuja lähestyy muuttuessaan loputtomasti a.

Tai toisin sanoen numero A on toiminnon raja y=f(x) pisteessä x0, jos jollekin funktion määritelmäalueen pistejonosta ei ole yhtä suuri x0, ja joka konvergoi asiaan x 0 (lim x n = x0), funktion vastaavien arvojen sarja konvergoi numeroon A.

Kuvaaja funktiosta, jonka raja äärettömyyteen pyrkivällä argumentilla on L:

Merkitys MUTTA On funktion raja (raja-arvo). f(x) pisteessä x0 jos jollekin pistesarjalle , joka supistuu x0, mutta joka ei sisällä x0 yhtenä sen elementteistä (eli puhjennetulla alueella x0), funktion arvojen sarja yhtyy A.

Funktion raja Cauchyn mukaan.

Merkitys A tulee olemaan toimintoraja f(x) pisteessä x0 jos jollekin eteenpäin otetulle ei-negatiiviselle numerolle ε ei-negatiivinen vastaava luku löytyy δ = δ(ε) niin että jokaiselle väitteelle x, ehtoa tyydyttävä 0 < | x - x0 | < δ , eriarvoisuutta | f(x) A |< ε .

Se on hyvin yksinkertaista, jos ymmärrät rajan olemuksen ja sen löytämisen perussäännöt. Se on toiminnon raja f(x) klo x tavoitteleva a on yhtä suuri A, on kirjoitettu näin:

Lisäksi arvo, johon muuttuja pyrkii x, voi olla paitsi luku, myös ääretön (∞), joskus +∞ tai -∞, tai rajaa ei ehkä ole ollenkaan.

Ymmärtääksesi kuinka löytää funktion rajat, on parasta nähdä esimerkkejä ratkaisuista.

Meidän on löydettävä funktion rajat f(x) = 1/x osoitteessa:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Etsitään ensimmäisen rajan ratkaisu. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti korvaamalla x numero, johon se pyrkii, ts. 2, saamme:

Etsi funktion toinen raja. Korvaa tässä puhtaassa muodossa 0 sen sijaan x se on mahdotonta, koska ei voida jakaa 0:lla. Mutta voimme ottaa arvot lähellä nollaa, esimerkiksi 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 ja niin edelleen funktion arvolla f(x) kasvaa: 100; 1000; 10 000; 100 000 ja niin edelleen. Siten voidaan ymmärtää, että milloin x→ 0 rajamerkin alla olevan funktion arvo kasvaa loputtomasti, ts. pyrkiä äärettömyyteen. Joka tarkoittaa:

Mitä tulee kolmanteen rajaan. Sama tilanne kuin edellisessä tapauksessa, sitä ei voida korvata ∞ puhtaimmassa muodossaan. Meidän on harkittava rajattoman korotuksen tapausta x. Korvaamme vuorotellen 1000; 10 000; 100000 ja niin edelleen, meillä on, että funktion arvo f(x) = 1/x laskee: 0,001; 0,0001; 0,00001; ja niin edelleen, taipuen nollaan. Siksi:

On tarpeen laskea funktion raja

Aloittaessamme toisen esimerkin ratkaisemisen näemme epävarmuuden. Täältä löydämme osoittajan ja nimittäjän korkeimman asteen - tämä on x 3, otamme sen pois suluista osoittajassa ja nimittäjässä ja pienennämme sitä sitten sillä:

Vastaus

Ensimmäinen askel sisään löytää tämä raja, korvaa arvo 1 sen sijaan x, mikä johtaa epävarmuuteen . Sen ratkaisemiseksi hajotamme osoittajan tekijöiksi , teemme tämän etsimällä juuret toisen asteen yhtälö x 2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Joten osoittaja olisi:

Vastaus

Tämä on sen määritelmä erityinen merkitys tai tietty alue, johon funktio osuu ja jota raja rajoittaa.

Päättääksesi rajat, noudata sääntöjä:

Ymmärrettyään ydin ja pääasia rajoittaa päätössääntöjä, saat perustiedot niiden ratkaisemisesta.

Tyyppi- ja muotoepävarmuus ovat yleisimpiä epävarmuustekijöitä, jotka on otettava huomioon rajoja ratkaistaessa.

Suurin osa opiskelijoille kohdistetuista rajojen tehtävistä sisältää vain sellaisia ​​epävarmuustekijöitä. Niiden paljastamiseksi tai tarkemmin sanoen epäselvyyksien välttämiseksi on olemassa useita keinotekoisia menetelmiä rajamerkin alla olevan lausekkeen muodon muuntamiseksi. Nämä tekniikat ovat seuraavat: osoittajan ja nimittäjän termikohtainen jako muuttujan suurimmalla potenssilla, kertominen konjugaattilausekkeella ja tekijöiden jakaminen myöhempää pelkistystä varten käyttämällä toisen asteen yhtälöiden ratkaisuja ja lyhennettyjä kertolaskukaavoja.

Lajien epämääräisyys

Esimerkki 1

n on yhtä suuri kuin 2. Siksi jaamme osoittajan ja nimittäjän termillä seuraavasti:

.

Kommentoi lausekkeen oikealle puolelle. Nuolet ja numerot osoittavat, mitä murtoluvuilla on taipumus korvata sen sijaan näärettömät arvot. Tässä, kuten esimerkissä 2, tutkinto n nimittäjässä on enemmän kuin osoittajassa, minkä seurauksena koko murto-osa pyrkii äärettömään pieneen arvoon tai "super pieniin lukuihin".

Saamme vastauksen: tämän funktion raja äärettömyyteen pyrkivällä muuttujalla on .

Esimerkki 2 .

Ratkaisu. Tässä muuttujan suurin teho x on yhtä suuri kuin 1. Siksi jaamme osoittajan ja nimittäjän termin termillä x:

Kommentti ratkaisun etenemisestä. Osoittimessa ajetaan "x" kolmannen asteen juuren alle ja jotta sen alkuaste (1) pysyy muuttumattomana, annamme sille saman asteen kuin juurelle, eli 3. Ei ole nuolia ja ylimääräisiä numeroita tässä merkinnässä, joten yritä mielessä, mutta määritä analogisesti edellisen esimerkin kanssa, mitä osoittajassa ja nimittäjässä olevilla lausekkeilla on taipumus korvata "x" äärettömällä.

Saimme vastauksen: tämän funktion raja äärettömyyteen pyrkivällä muuttujalla on yhtä suuri kuin nolla.

Lajien epämääräisyys

Esimerkki 3 Selvitä epävarmuus ja löydä raja.

Ratkaisu. Osoittaja on kuutioiden erotus. Otetaan se kertoimella käyttämällä lyhennettyä kertolaskua koulun matematiikan kurssista:

Nimittäjä on neliötrinomi, jonka kerromme ratkaisemalla toisen asteen yhtälön (jälleen viittaus toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen):

Kirjataan muistiin muunnosten tuloksena saatu lauseke ja selvitetään funktion raja:

Esimerkki 4 Selvitä epävarmuus ja löydä raja

Ratkaisu. Osamäärärajalause ei päde tässä, koska

Siksi muunnamme murto-osan identtisesti: kertomalla osoittaja ja nimittäjä binomikonjugaatilla nimittäjään ja vähentämällä x+1. Lauseen 1 seurauksen mukaan saamme lausekkeen, jonka ratkaisemalla löydämme halutun rajan:

Esimerkki 5 Selvitä epävarmuus ja löydä raja

Ratkaisu. Suora arvonkorvaus x= 0 tiettyyn funktioon johtaa muotoa 0/0 olevaan määrittelemättömyyteen. Sen paljastamiseksi suoritamme identtiset muunnokset ja tuloksena saamme halutun rajan:

Esimerkki 6 Laskea

Ratkaisu: käytä rajalauseita

Vastaus: 11

Esimerkki 7 Laskea

Ratkaisu: tässä esimerkissä osoittajan ja nimittäjän rajat ovat 0:

; . Näin ollen osamäärärajalausetta ei voida soveltaa.

Kerroimme osoittajan ja nimittäjän pienentääksemme murtolukua yhteisellä nollaan pyrkivällä kertoimella ja mahdollistaa siten Lauseen 3 soveltamisen.

Laajennamme osoittajan neliötrinomia kaavalla, jossa x 1 ja x 2 ovat trinomin juuria. Kerroin ja nimittäjä, vähennä murtolukua (x-2) ja käytä sitten Lause 3.

Vastaus:

Esimerkki 8 Laskea

Ratkaisu: Sillä , osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömyyteen, joten kun sovelletaan lausetta 3 suoraan, saadaan lauseke , joka edustaa epävarmuutta. Päästäksesi eroon tällaisesta epävarmuudesta, jaa osoittaja ja nimittäjä argumentin suurimmalla potenssilla. AT tämä esimerkki on jaettava X:

Vastaus:

Esimerkki 9 Laskea

Ratkaisu: x 3:

Vastaus: 2

Esimerkki 10 Laskea

Ratkaisu: Osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömään. Jaamme osoittajan ja nimittäjän argumentin suurimmalla potenssilla, ts. x 5:

=

Murtoluvun osoittaja pyrkii 1:een, nimittäjä 0:aan, joten murto-osa pyrkii äärettömyyteen.

Vastaus:

Esimerkki 11. Laskea

Ratkaisu: Osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömään. Jaamme osoittajan ja nimittäjän argumentin suurimmalla potenssilla, ts. x 7:

Vastaus: 0

Johdannainen.

Funktion y = f(x) derivaatta argumentin x suhteen sen inkrementin y ja argumentin x lisäyksen x suhteen rajaa kutsutaan, kun argumentin inkrementti pyrkii nollaan: . Jos tämä raja on äärellinen, niin funktio y = f(x) kutsutaan differentioituvaksi pisteessä x. Jos tämä raja on olemassa, sanomme, että funktio y = f(x) on ääretön derivaatta kohdassa x.

Pääosan johdannaiset perustoiminnot:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

Erottamisen säännöt:

a)

Esimerkki 1 Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu: Jos löydämme toisen termin derivaatan murtoluvun differentiaatiosäännöllä, niin ensimmäinen termi on monimutkainen funktio, jonka derivaatta löytyy kaavasta:

Missä , sitten

Ratkaisussa käytettiin seuraavia kaavoja: 1,2,10, a, c, d.

Vastaus:

Esimerkki 21. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu: molemmat termit ovat monimutkaisia ​​funktioita, joissa ensimmäiselle , , ja toiselle , sitten

Vastaus:

Johdannaiset sovellukset.

1. Nopeus ja kiihtyvyys

Olkoon funktio s(t) kuvaava asema objekti jossain koordinaattijärjestelmässä hetkellä t. Tällöin funktion s(t) ensimmäinen derivaatta on hetkellinen nopeus esine:
v=s′=f′(t)
Funktion s(t) toinen derivaatta on hetkellinen kiihtyvyys esine:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangenttiyhtälö
y-y0=f'(x0)(x-x0),
missä (x0,y0) ovat kosketuspisteen koordinaatit, f′(x0) on funktion f(x) derivaatan arvo kosketuspisteessä.

3. Normaali yhtälö
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

missä (x0,y0) ovat sen pisteen koordinaatit, johon normaali piirretään, f′(x0) on funktion f(x) derivaatan arvo annetussa pisteessä.

4. Toiminto nouseva ja laskeva
Jos f′(x0)>0, niin funktio kasvaa pisteessä x0. Alla olevassa kuvassa funktio kasvaa x:llä x2.
Jos f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Jos f′(x0)=0 tai derivaatta ei ole olemassa, niin tämä ominaisuus ei salli funktion monotonisuuden luonnetta pisteessä x0.

5. Toiminnon paikallinen ääripää
Funktiolla f(x) on paikallinen maksimi pisteessä x1, jos pisteen x1 naapurusto on olemassa siten, että kaikille tämän naapuruston x:ille epäyhtälö f(x1)≥f(x) pätee.
Vastaavasti funktiolla f(x) on paikallinen minimi pisteessä x2, jos pisteen x2 naapurusto on olemassa siten, että kaikille tämän naapuruston x:ille epäyhtälö f(x2)≤f(x) pätee.

6. Kriittiset kohdat
Piste x0 on Kriittinen piste funktio f(x), jos derivaatta f′(x0) siinä on nolla tai sitä ei ole olemassa.

7. Ensimmäinen riittävä merkki ääripään olemassaolosta
Jos funktio f(x) kasvaa (f′(x)>0) kaikilla x:illä jollain välillä (a,x1] ja pienenee (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) kaikille x:lle väliltä )