Problem B7 daje izraz koji treba pojednostaviti. Rezultat bi trebao biti običan broj koji se može upisati na listu za odgovore. Svi izrazi su uslovno podeljeni u tri tipa:

1. logaritamski,
2. demonstracija,
3. Kombinovano.

Eksponencijalni i logaritamski izrazi u njihovom čistom obliku se gotovo nikada ne nalaze. Međutim, neophodno je znati kako se oni izračunavaju.

Generalno, problem B7 je riješen prilično jednostavno i sasvim je u moći prosječnog diplomca. Nedostatak jasnih algoritama nadoknađuje se njegovim standardom i uniformnošću. Možete naučiti kako riješiti takve probleme jednostavno veliki broj workouts.

Logaritamski izrazi

Velika većina B7 problema sadrži logaritme u ovom ili onom obliku. Ova tema se tradicionalno smatra teškom, jer se obično izučava u 11. razredu - eri masovne pripreme za završne ispite. Kao rezultat toga, mnogi diplomci imaju vrlo nejasnu ideju o logaritmima.

Ali u ovom zadatku nikome nije potrebno duboko teorijsko znanje. Susrećemo se samo s najjednostavnijim izrazima koji zahtijevaju jednostavno rezonovanje i koji se mogu samostalno savladati. Ispod su osnovne formule koje trebate znati da biste se bavili logaritmima:

Osim toga, mora biti u stanju zamijeniti korijene i razlomke potencijama s racionalnim eksponentom, inače u nekim izrazima jednostavno neće biti ništa za vađenje ispod znaka logaritma. Zamjenske formule:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Prva dva izraza se pretvaraju kao razlika logaritama:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Da biste izračunali treći izraz, morat ćete odabrati stupnjeve - iu bazi iu argumentu. Prvo, pronađimo unutrašnji logaritam:

Zatim - eksterno:

Konstrukcije poput log a log b x mnogima se čine komplikovanim i neshvaćenim. U međuvremenu, ovo je samo logaritam logaritma, tj. log a (log b x ). Prvo se izračunava unutrašnji logaritam (stavite log b x = c ), a zatim spoljašnji: log a c .

eksponencijalni izrazi

Eksponencijalnim izrazom nazvat ćemo svaku konstrukciju oblika a k , gdje su brojevi a i k proizvoljne konstante, a a > 0. Metode rada sa takvim izrazima su prilično jednostavne i razmatrane su na časovima algebre u 8. razredu.

Ispod su osnovne formule koje morate znati. Primjena ovih formula u praksi, po pravilu, ne stvara probleme.

1. a n a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n ) m = a n m ;
4. (a b) n = a n b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Ako se susreće sa složenim izrazom sa moćima, a nije jasno kako mu pristupiti, koristi se univerzalna tehnika - dekompozicija na osnovne faktore. Kao rezultat toga, veliki brojevi u bazama stupnjeva zamjenjuju se jednostavnim i razumljivim elementima. Zatim ostaje samo primijeniti gornje formule - i problem će biti riješen.

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Rješenje. Sve baze potencija rastavljamo na osnovne faktore:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinovani zadaci

Ako znate formule, onda se svi eksponencijalni i logaritamski izrazi rješavaju doslovno u jednom redu. Međutim, u zadatku B7, potencije i logaritmi se mogu kombinovati u prilično jake kombinacije.

Uputstvo

Zapišite dati logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam od 10, tada se njegova notacija skraćuje i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam ima broj e kao bazu, tada se piše izraz: ln b je prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat bilo kojeg stepena na koji se osnovni broj mora podići da bi se dobio broj b.

Prilikom pronalaženja zbroja dvije funkcije, samo ih trebate razlikovati jednu po jednu i dodati rezultate: (u+v)" = u"+v";

Prilikom pronalaženja derivacije umnoška dviju funkcija potrebno je derivaciju prve funkcije pomnožiti s drugom i dodati izvod druge funkcije, pomnoženu s prvom funkcijom: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Da bi se pronašao izvod količnika dvije funkcije, potrebno je, od umnožaka izvoda dividende pomnoženog sa funkcijom djelitelja, oduzeti umnožak izvoda djelitelja pomnoženog s funkcijom djelitelja i podijeliti sve to pomoću funkcije djelitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ako je data kompleksna funkcija, onda je potrebno pomnožiti izvod unutrašnje funkcije i izvod vanjske. Neka je y=u(v(x)), zatim y"(x)=y"(u)*v"(x).

Koristeći gore dobiveno, možete razlikovati gotovo svaku funkciju. Pa pogledajmo nekoliko primjera:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Postoje i zadaci za izračunavanje derivacije u tački. Neka je data funkcija y=e^(x^2+6x+5), potrebno je pronaći vrijednost funkcije u tački x=1.
1) Pronađite izvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunajte vrijednost funkcije u dati poen y"(1)=8*e^0=8

Povezani video zapisi

Korisni savjeti

Naučite tablicu elementarnih derivata. Ovo će uštedjeti mnogo vremena.

Izvori:

• konstantni derivat

Dakle, koja je razlika između iracionalne jednačine i racionalne? Ako je nepoznata varijabla ispod predznaka kvadratnog korijena, onda se jednačina smatra iracionalnom.

Uputstvo

Glavna metoda za rješavanje ovakvih jednačina je metoda podizanja oba dijela jednačine u kvadrat. Kako god. ovo je prirodno, prvi korak je da se riješite znaka. Tehnički, ova metoda nije teška, ali ponekad može dovesti do problema. Na primjer, jednadžba v(2x-5)=v(4x-7). Kvadriranjem obe strane dobijate 2x-5=4x-7. Takvu jednačinu nije teško riješiti; x=1. Ali broj 1 neće biti dat jednačine. Zašto? Zamijenite jedinicu u jednačini umjesto vrijednosti x. A desna i lijeva strana će sadržavati izraze koji nemaju smisla, tj. Takva vrijednost nije važeća za kvadratni korijen. Prema tome, 1 je strani korijen, i stoga ova jednadžba nema korijena.

Dakle, iracionalna jednačina se rješava metodom kvadriranja oba njena dijela. I nakon rješavanja jednadžbe, potrebno je odrezati strane korijene. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u izvornoj jednadžbi.

Razmotrite još jednu.
2x+vx-3=0
Naravno, ova jednačina se može riješiti korištenjem iste jednadžbe kao i prethodna. Transfer Compounds jednačine, koji nemaju kvadratni korijen, na desnu stranu i zatim koristite metodu kvadrature. riješiti rezultirajuću racionalnu jednadžbu i korijene. Ali još jedan, elegantniji. Unesite novu varijablu; vx=y. Shodno tome, dobićete jednačinu kao što je 2y2+y-3=0. Odnosno, uobičajeno kvadratna jednačina. Pronađite njegove korijene; y1=1 i y2=-3/2. Zatim riješite dva jednačine vx=1; vx \u003d -3/2. Druga jednadžba nema korijen, iz prve nalazimo da je x=1. Ne zaboravite na potrebu provjere korijena.

Rješavanje identiteta je prilično jednostavno. To zahtijeva identične transformacije dok se cilj ne postigne. Tako će uz pomoć najjednostavnijih aritmetičkih operacija zadatak biti riješen.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovku.

Uputstvo

Najjednostavnije takve transformacije su algebarska skraćena množenja (kao što je kvadrat zbira (razlika), razlika kvadrata, zbir (razlika), kocka zbira (razlika)). Osim toga, ima ih mnogo trigonometrijske formule, koji su u suštini isti identiteti.

Zaista, kvadrat zbira dva člana jednak je kvadratu prvog plus dvostruki proizvod prvog i drugog plus kvadrat drugog, to jest, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Pojednostavite oboje

Opšti principi rješenja

Ponovite udžbenik matematička analiza ili višu matematiku, što je definitivni integral. Kao što znate, rešenje definitivni integral postoji funkcija čiji će izvod dati integrand. Ova funkcija naziva se primitivnim. Po ovom principu konstruišu se osnovni integrali.
Odredite oblikom integranda koji je od tabličnih integrala prikladan u ovom slučaju. Nije uvijek moguće to odmah utvrditi. Često, tabelarni oblik postaje uočljiv tek nakon nekoliko transformacija kako bi se integrand pojednostavio.

Metoda zamjene varijable

Ako je integrand trigonometrijska funkcija, čiji je argument neki polinom, a zatim pokušajte koristiti metodu zamjene varijable. Da biste to učinili, zamijenite polinom u argumentu integranda nekom novom varijablom. Na osnovu omjera između nove i stare varijable odredite nove granice integracije. Razlikovanjem ovog izraza pronađite novi diferencijal u . Tako ćete dobiti nova vrsta prethodni integral, blizak ili čak korespondirajući sa bilo kojim tabelarnim.

Rješenje integrala druge vrste

Ako je integral integral druge vrste, vektorski oblik integranda, tada ćete morati koristiti pravila za prelazak sa ovih integrala na skalarne. Jedno takvo pravilo je Ostrogradsky-Gaussov omjer. Ovaj zakon omogućava prelazak sa rotorskog toka neke vektorske funkcije na trostruki integral preko divergencije datog vektorskog polja.

Zamjena granica integracije

Nakon pronalaženja antiderivata, potrebno je zamijeniti granice integracije. Prvo, zamijenite vrijednost gornje granice u izraz za antiderivativ. Dobićete neki broj. Zatim od rezultujućeg broja oduzmite drugi broj, rezultirajuću donju granicu antiderivata. Ako je jedna od granica integracije beskonačnost, onda je zamijenite u antiderivativna funkcija potrebno je ići do granice i pronaći čemu izraz teži.
Ako je integral dvodimenzionalan ili trodimenzionalan, tada ćete morati predstaviti geometrijske granice integracije da biste razumjeli kako izračunati integral. Zaista, u slučaju, recimo, trodimenzionalnog integrala, granice integracije mogu biti cijele ravni koje ograničavaju volumen koji treba integrirati.

proizilazi iz njegove definicije. I tako logaritam broja b razumom a definiran kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x=log a b, je ekvivalentno rješavanju jednačine ax=b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepena broja.

Sa logaritmima, kao i sa svakim brojevima, možete izvesti operacije sabiranja, oduzimanja i transformisati na svaki mogući način. Ali s obzirom na činjenicu da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede njihova posebna pravila, koja se nazivaju osnovna svojstva.

Sabiranje i oduzimanje logaritama.

Uzmite dva logaritma sa istom bazom: log x i log a y. Zatim uklonite moguće je izvršiti operacije sabiranja i oduzimanja:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Od teoreme kvocijentnog logaritma može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Dobro je poznat taj dnevnik a 1= 0, dakle,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Dakle, postoji jednakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi dva međusobno recipročna broja po istoj osnovi će se razlikovati jedno od drugog samo u znaku. dakle:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Nastavljamo da proučavamo logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo se pozabaviti izračunavanjem logaritama po definiciji. Zatim razmotrite kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se zadržati na izračunavanju logaritama kroz početno date vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, naučimo kako koristiti tablice logaritama. Cijela teorija je opskrbljena primjerima sa detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima moguće je brzo i lako izvesti nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo bliže kako se ovaj proces odvija.

Njegova suština je da se broj b predstavi u obliku a c , odakle je, prema definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, pronalaženje logaritma odgovara sljedećem lancu jednakosti: log a b=log a a c =c .

Dakle, izračunavanje logaritma, po definiciji, svodi se na pronalaženje takvog broja c da je a c \u003d b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

S obzirom na informacije iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma dat nekim stepenom osnove logaritma, tada možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Hajde da pokažemo primere.

Primjer.

Pronađite log 2 2 −3 , i izračunajte prirodni logaritam od e 5.3 .

Rješenje.

Definicija logaritma nam omogućava da odmah kažemo da je log 2 2 −3 = −3 . Zaista, broj pod znakom logaritma jednak je osnovici 2 na stepen −3.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5.3 =5.3.

odgovor:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 =5,3 .

Ako broj b pod znakom logaritma nije dat kao stepen osnove logaritma, onda morate pažljivo razmisliti da li je moguće doći do prikaza broja b u obliku a c. Često je ovaj prikaz prilično očigledan, posebno kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen od 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Rješenje.

Lako je vidjeti da je 25=5 2 , ovo vam omogućava da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Nastavljamo s izračunavanjem drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen od 7: (pogledajte ako je potrebno). shodno tome, .

Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti , odakle to zaključujemo . Dakle, po definiciji logaritma .

Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

odgovor:

log 5 25=2 , i .

Kada je pod znakom logaritma dovoljno velika vrijednost prirodni broj, onda ne škodi razložiti ga na osnovne faktore. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neki stepen baze logaritma, i stoga, izračunati ovaj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Rješenje.

Neka svojstva logaritama vam omogućavaju da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja, jednaka bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1. Odnosno, kada je broj 1 ili broj a pod znakom logaritma, jednak osnovici logaritma, tada su u ovim slučajevima logaritmi 0 i 1, respektivno.

Primjer.

Koji su logaritmi i lg10?

Rješenje.

Budući da , to slijedi iz definicije logaritma .

U drugom primjeru, broj 10 pod znakom logaritma poklapa se sa njegovom bazom, pa je decimalni logaritam od deset jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1 .

odgovor:

I lg10=1 .

Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo raspravljali u prethodnom paragrafu) podrazumijeva korištenje jednakosti log a a p =p , što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao stepen nekog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu , što odgovara jednom od svojstava logaritma. Razmotrimo primjer pronalaženja logaritma, koji ilustruje upotrebu ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam od .

Rješenje.

odgovor:

.

Svojstva logaritama koja nisu spomenuta također se koriste u proračunu, ali ćemo o tome govoriti u sljedećim paragrafima.

Pronalaženje logaritama u terminima drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju na temu korištenja svojstava logaritama u njihovom proračunu. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje originalnog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Uzmimo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963 , onda možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće morate koristiti širi arsenal svojstava logaritama da biste izračunali originalni logaritam u smislu datih.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako je poznato da je log 60 2=a i log 60 5=b .

Rješenje.

Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27=3 3 , a originalni logaritam, zbog svojstva logaritma stepena, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Sada da vidimo kako se log 60 3 može izraziti u terminima poznatih logaritma. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućava vam da zapišete dnevnik jednakosti 60 60=1 . S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Na ovaj način, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. shodno tome, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Konačno, izračunavamo originalni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

odgovor:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odvojeno, vrijedi spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se sa originalnog logaritma, prema formuli tranzicije, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za ove baze postoje tablice logaritama koje omogućavaju izračunavanje njihovih vrijednosti ​​​​​tačnosti. U sljedećem odjeljku ćemo pokazati kako se to radi.

Tablice logaritama, njihova upotreba

Za približno izračunavanje vrijednosti logaritama, može se koristiti logaritamske tablice. Najčešće se koriste tablica logaritama baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sistemu, zgodno je koristiti tablicu logaritama na osnovu deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tabela omogućava, sa tačnošću od jedne desetohiljadinke, da se pronađu vrednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (sa tri decimale). Princip nalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama analizirat će se u konkretan primjer- mnogo jasnije. Nađimo lg1,256 .

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije cifre broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (broj 5) nalazi se u prvom ili posljednjem redu lijevo od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka originalnog broja 1.256 (broj 6) nalazi se u prvom ili posljednjem redu desno od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen zelenom bojom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tabele logaritama na preseku označenog reda i označenih kolona (ovi brojevi su istaknuti narandžasta). Zbir označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma do četvrte decimale, tj. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Da li je moguće, koristeći gornju tablicu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalnog zareza, a također prelaze granice od 1 do 9.999? Da, možeš. Pokažimo kako se to radi na primjeru.

Izračunajmo lg102.76332 . Prvo treba da napišete broj u standardnom obliku: 102.76332=1.0276332 10 2 . Nakon toga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, dok je originalni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sada primijenite svojstva logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Konačno, nalazimo vrijednost logaritma lg1.028 prema tabeli decimalnih logaritama lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

U zaključku, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je koristiti formulu prijelaza za prelazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale proračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tabele decimalnih logaritama nalazimo lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Na ovaj način, .

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule i demonstrirati primjeri rješenja.

Sami po sebi, oni podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene logaritamskih formula na rješenje, podsjećamo za vas, prvo sva svojstva:

Sada, na osnovu ovih formula (osobina), prikazujemo primjeri rješavanja logaritma.

Primjeri rješavanja logaritama na osnovu formula.

Logaritam pozitivan broj b u bazi a (označen log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, sa b > 0, a > 0 i 1.

Prema definiciji log a b = x, što je ekvivalentno a x = b, pa log a a x = x.

Logaritmi, primjeri:

log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8

log 7 49 = 2 jer 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritam je običan logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.

log 10 100 = 2 jer 10 2 = 100

prirodni logaritam- također uobičajeni logaritamski logaritam, ali s bazom e (e = 2,71828 ... - iracionalan broj). Pominje se kao ln.

Poželjno je zapamtiti formule ili svojstva logaritama, jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamske jednačine i nejednakosti. Proradimo ponovo kroz svaku formulu s primjerima.

• Osnovni logaritamski identitet
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritam količnika jednak je razlici logaritama
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Svojstva stepena logaritamskog broja i osnovice logaritma

  Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b

  Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ako je m = n, dobijamo log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Prelazak na novu osnovu
  log a b = log c b / log c a,

  ako je c = b, dobijamo log b b = 1

  tada je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kao što vidite, formule logaritma nisu tako komplikovane kao što se čine. Sada, nakon razmatranja primjera rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo razmotriti primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!

Ako i dalje imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.

Napomena: odlučio sam se kao opciju školovati na drugom razrednom studiju u inostranstvu.