51. Slika prikazuje grafikon y=f "(x)- derivirajuća funkcija f(x), definisano na intervalu (− 4; 6). Pronađite apscisu tačke u kojoj je tangenta na graf funkcije y=f(x) je paralelna pravoj y=3x ili odgovara.

Odgovor: 5

52. Slika prikazuje grafikon y=F(x) f(x) f(x) pozitivno?

Odgovor: 7

53. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f(x) i osam tačaka je označeno na x-osi: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. U koliko od ovih tačaka funkcija f(x) negativan?

Odgovor: 3

54. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f(x) i deset tačaka na x-osi je označeno: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. U koliko od ovih tačaka funkcija f(x) pozitivno?

Odgovor: 6

55. Slika prikazuje grafikon y=F(x f(x), definisano na intervalu (− 7; 5). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednadžbe f(x)=0 na intervalu [− 5; 2].

Odgovor: 3

56. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f (x), definisano na intervalu (− 8; 7). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednadžbe f(x)= 0 na intervalu [− 5; 5].

Odgovor: 4

57. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f(x) definisan na intervalu (1;13). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednadžbe f (x)=0 na segmentu .

Odgovor: 4

58. Slika prikazuje grafik neke funkcije y=f(x)(dvije grede sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F(−1)−F(−8), gdje F(x) f(x).

Odgovor: 20

59. Slika prikazuje grafik neke funkcije y=f(x) (dva zraka sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F(−1)−F(−9), gdje F(x)- jedan od antiderivata funkcije f(x).

Odgovor: 24

60. Slika prikazuje grafik neke funkcije y=f(x). Funkcija

-jedan od antiderivata funkcije f(x). Pronađite površinu zasjenjene figure.

Odgovor: 6

61. Slika prikazuje grafik neke funkcije y=f(x). Funkcija

Jedan od antiderivata funkcije f(x). Pronađite površinu zasjenjene figure.

Odgovor: 14.5

paralelno sa tangentom na graf funkcije

Odgovor: 0,5

Pronađite apscisu dodirne tačke.

Odgovor: -1

je tangenta na graf funkcije

Nađi c.

Odgovor: 20

je tangenta na graf funkcije

Nađi a.

Odgovor: 0,125

je tangenta na graf funkcije

Nađi b, s obzirom da je apscisa dodirne tačke veća od 0.

Odgovor: -33

67. Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

gdje x t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njena brzina bila jednaka 96 m/s?

Odgovor: 18

68. Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njena brzina bila jednaka 48 m/s?

Odgovor: 9

69. Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

gdje x t t=6 With.

Odgovor: 20

70. Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u m/s) u tom trenutku t=3 With.

Odgovor: 59

Prava y=3x+2 tangenta je na graf funkcije y=-12x^2+bx-10. Naći b , s obzirom da je apscisa dodirne tačke manja od nule.

Prikaži rješenje

Rješenje

Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, tj. y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tačka tangente pripada i grafu funkcije i tangenta, tj. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(slučajevi)

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, dodirne tačke su manje od nule, dakle x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Odgovori

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) (koja je izlomljena linija sastavljena od tri pravolinijska segmenta). Koristeći sliku, izračunajte F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata f(x).

Prikaži rješenje

Rješenje

Prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), jednaka je površini krivolinijskog trapeza ograničenog grafikom funkcije y=f(x), prave linije y=0, x=9 i x=5. Prema grafikonu utvrđujemo da je navedeni krivolinijski trapez trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Njegova površina je jednaka \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Na slici je prikazan graf y = f "(x) - derivacija funkcije f (x), definirane na intervalu (-4; 10). Pronađite intervale opadajuće funkcije f (x). U svom odgovoru , označava dužinu najvećeg od njih.

Prikaži rješenje

Rješenje

Kao što znate, funkcija f (x) opada na tim intervalima, u čijoj je svakoj tački derivacija f"(x) manja od nule. S obzirom da je potrebno pronaći dužinu najvećeg od njih, tri takva intervala se prirodno razlikuju od slike: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Dužina najvećeg od njih - (5; 9) jednaka je 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Slika prikazuje grafik y = f "(x) - derivaciju funkcije f (x), definiranu na intervalu (-8; 7). Pronađite broj maksimalnih točaka funkcije f (x) koja pripada na interval [-6; -2].

Prikaži rješenje

Rješenje

Grafikon pokazuje da derivacija f "(x) funkcije f (x) mijenja predznak s plusa na minus (u takvim tačkama će biti maksimum) u tačno jednoj tački (između -5 i -4) iz intervala [ -6; -2 Dakle, postoji tačno jedna maksimalna tačka na intervalu [-6;-2].

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) definirane na intervalu (-2; 8). Odrediti broj tačaka u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka 0.

Prikaži rješenje

Rješenje

Ako je izvod u nekoj tački jednak nuli, tada je tangenta na graf funkcije nacrtane u ovoj tački paralelna sa Ox osom. Dakle, nalazimo takve tačke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna sa Ox osom. Na ovaj grafikon takve tačke su tačke ekstrema (maksimalne ili minimalne tačke). Kao što vidite, postoji 5 ekstremnih tačaka.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Prava y=-3x+4 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Pronađite apscisu dodirne tačke.

Prikaži rješenje

Rješenje

Nagib linije prema grafu funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj tački x_0 je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, tako da je y"(x_0)=- 2x_0+5.Ugaoni koeficijent prave y=-3x+4 specificiran u uslovu je -3.Paralelne prave imaju iste nagibe.Zbog toga nalazimo takvu vrijednost x_0 da je =-2x_0 +5=-3.

Dobijamo: x_0 = 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) i označene tačke -6, -1, 1, 4 na x-osi. U kojoj od ovih tačaka je vrijednost derivacije najmanja? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.

Zdravo, prijatelji! U ovom članku ćemo razmotriti zadatke za primitivce. Ovi zadaci su uključeni u ispit iz matematike. Unatoč činjenici da su sami dijelovi - diferencijacija i integracija prilično prostrani u toku algebre i zahtijevaju odgovoran pristup razumijevanju, sami zadaci koji su uključeni u otvorenu banku zadataka iz matematike i koji će se naći na ispitu su izuzetno jednostavne i rješavaju se u jednom ili dva koraka.

Važno je razumjeti suštinu antiderivata i, posebno, geometrijsko značenje integrala. Razmotrimo ukratko teorijske osnove.

Geometrijsko značenje integrala

Ukratko o integralu, možemo reći ovo: integral je površina.

Definicija: Neka je graf pozitivne funkcije f date na intervalu dat na koordinatnoj ravni. Podgraf (ili krivolinijski trapez) je lik ograničen grafikom funkcije f, ravnim linijama x = a i x = b i x-osom.

Definicija: Neka je data pozitivna funkcija f definirana na konačnom intervalu. Integral funkcije f na segmentu je površina njegovog podgrafa.

Kao što je već spomenuto, F (x) = f (x).Šta možemo zaključiti?

On je jednostavan. Moramo odrediti koliko tačaka ima na ovom grafu u kojima je F′(x) = 0. Znamo da je u onim tačkama gdje je tangenta na graf funkcije paralelna sa x-osom. Pokažimo ove tačke na intervalu [–2;4]:

Ovo su tačke ekstrema date funkcije F(x). Ima ih deset.

Odgovor: 10

323078. Slika prikazuje grafik neke funkcije y = f (x) (dvije zrake sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F(8) – F(2), gdje je F(x) jedan od antiderivata f(x).

Prepišimo Newton-Leibnizovu teoremu:Neka f datu funkciju, F je njegov proizvoljni antiderivat. Onda

A ovo je, kao što je već spomenuto, područje podgrafa funkcije.

Dakle, zadatak se svodi na pronalaženje površine trapeza (interval od 2 do 8):

Nije ga teško izračunati po ćelijama. Dobijamo 7. Predznak je pozitivan, jer se figura nalazi iznad x-ose (ili u pozitivnoj poluravnini y-ose).

Čak i u ovom slučaju, moglo bi se reći ovo: razlika u vrijednostima antiderivata u tačkama je površina figure.

Odgovor: 7

323079. Slika prikazuje grafik neke funkcije y = f (x). Funkcija F (x) \u003d x 3 +30x 2 +302x–1,875 jedan je od antiderivata funkcije y = f (x). Pronađite površinu zasjenjene figure.

Kao što je već pomenuto o geometrijskog smisla integral, ovo je površina figure ograničena grafikom funkcije f (x), ravnim linijama x = a i x = b i osom ox.

Teorema (Newton–Leibniz):

Dakle, problem se svodi na kalkulaciju definitivni integral ove funkcije na intervalu od -11 do -9, ili drugim riječima, trebamo pronaći razliku između vrijednosti antiderivata izračunatih u naznačenim tačkama:

Odgovor: 6

323080. Slika prikazuje grafik neke funkcije y = f (x).

Funkcija F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 je jedan od antiderivata funkcije f (x). Pronađite površinu zasjenjene figure.

Teorema (Newton–Leibniz):

Zadatak se svodi na izračunavanje definitivnog integrala ove funkcije u intervalu od –10 do –8:

Odgovor: 4 Možete pogledati .

Derivati ​​i pravila diferencijacije još uvijek postoje. Neophodno ih je poznavati, ne samo za rješavanje ovakvih zadataka.

Također možete vidjeti pozadinske informacije na web stranici i

Pogledajte kratak video, ovo je odlomak iz filma " Nevidljiva strana". Možemo reći da je ovo film o studijama, o milosrđu, o važnosti navodno “slučajnih” susreta u našim životima... Ali ove riječi neće biti dovoljne, preporučujem da pogledate sam film, toplo ga preporučujem.

Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.