Logaritamske jednadžbe. Od jednostavnog do složenog.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta je logaritamska jednačina?
Ovo je jednadžba sa logaritmima. Iznenađen sam, zar ne?) Onda ću pojasniti. Ovo je jednadžba u kojoj se nalaze nepoznanice (x) i izrazi s njima unutar logaritma. I samo tamo! Važno je.
Evo nekoliko primjera logaritamske jednačine:
log 3 x = log 3 9
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Pa razumes... )
Bilješka! Locirani su najraznovrsniji izrazi sa X-ovima isključivo unutar logaritma. Ako se iznenada pojavi X negdje u jednadžbi vani, Na primjer:
log 2 x = 3+x,
ovo će već biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine nemaju jasna pravila za njihovo rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Usput, postoje jednadžbe gdje su unutar logaritma samo brojevi. Na primjer:
Šta da kažem? Imaš sreće ako naiđeš na ovo! Logaritam sa brojevima je neki broj. To je sve. Za rješavanje takve jednačine dovoljno je poznavati svojstva logaritma. Poznavanje posebnih pravila, tehnika prilagođenih posebno za rješavanje logaritamske jednadžbe, ovdje nije potrebno.
dakle, šta je logaritamska jednačina- Shvatili smo.
Kako riješiti logaritamske jednadžbe?
Rješenje logaritamske jednačine- stvar zapravo nije baš jednostavna. Dakle, naša sekcija je četiri... Potrebna je pristojna količina znanja o svim vrstama srodnih tema. Osim toga, u ovim jednačinama postoji posebna karakteristika. A ova karakteristika je toliko važna da se može sa sigurnošću nazvati glavnim problemom u rješavanju logaritamskih jednadžbi. Ovaj problem ćemo se detaljno pozabaviti u sljedećoj lekciji.
Za sada, ne brini. Ići ćemo pravim putem od jednostavnog do složenog. On konkretni primjeri. Glavna stvar je da se udubite u jednostavne stvari i ne budite lijeni pratiti linkove, stavio sam ih tamo s razlogom... I sve će vam uspjeti. Neophodno.
Počnimo s najelementarnijim, najjednostavnijim jednadžbama. Da biste ih riješili, preporučljivo je imati ideju o logaritmu, ali ništa više. Samo nemam pojma logaritam, doneti odluku logaritamski jednadžbe - nekako čak i nespretne... Vrlo hrabro, rekao bih).
Najjednostavnije logaritamske jednadžbe.
Ovo su jednadžbe oblika:
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2x-3) = log 7 x
3. log 7 (50x-1) = 2
Proces rješenja bilo koja logaritamska jednadžba sastoji se u prijelazu iz jednadžbe s logaritmima u jednačinu bez njih. U najjednostavnijim jednačinama ovaj prijelaz se izvodi u jednom koraku. Zato su i najjednostavniji.)
A takve logaritamske jednačine je iznenađujuće lako riješiti. Uvjerite se sami.
Da riješimo prvi primjer:
log 3 x = log 3 9
Da biste riješili ovaj primjer, ne morate znati gotovo ništa, da... Čisto intuicija!) Šta nam treba posebno ne sviđa vam se ovaj primjer? Šta-šta... Ne volim logaritme! U redu. Pa hajde da ih se rešimo. Pažljivo pogledamo primjer i u nama se javlja prirodna želja... Baš neodoljiva! Uzmite i izbacite logaritme u potpunosti. A ono što je dobro je to Može uradi! Matematika dozvoljava. Logaritmi nestaju odgovor je:
Odlično, zar ne? To se uvijek može (i treba) učiniti. Eliminacija logaritama na ovaj način jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Naravno, postoje pravila za takvu likvidaciju, ali ih je malo. Zapamtite:
Možete bez straha eliminisati logaritme ako imaju:
a) iste numeričke baze
c) logaritmi s lijeva na desno su čisti (bez koeficijenata) i u sjajnoj su izolaciji.
Dozvolite mi da pojasnim poslednju tačku. U jednačini, recimo
log 3 x = 2log 3 (3x-1)
Logaritmi se ne mogu ukloniti. Dvojica sa desne strane to ne dozvoljavaju. Koeficijent, znate... U primjeru
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
Također je nemoguće potencirati jednačinu. Na lijevoj strani nema usamljenog logaritma. Ima ih dvoje.
Ukratko, možete ukloniti logaritme ako jednadžba izgleda ovako i samo ovako:
log a (.....) = log a (.....)
U zagradama, tamo gdje je elipsa, može biti bilo kakvih izraza. Jednostavno, super složeno, sve vrste. Kako god. Bitno je da nam nakon eliminisanja logaritama ostaje jednostavnija jednačina. Pretpostavlja se, naravno, da već znate rješavati linearne, kvadratne, razlomke, eksponencijalne i druge jednadžbe bez logaritama.)
Sada možete lako riješiti drugi primjer:
log 7 (2x-3) = log 7 x
Zapravo, to se odlučuje u umu. Potenciramo, dobijamo:
Pa, je li jako teško?) Kao što vidite, logaritamski dio rješenja jednačine je samo u eliminisanju logaritama... A onda dolazi rješenje preostale jednačine bez njih. Trivijalna stvar.
Rešimo treći primjer:
log 7 (50x-1) = 2
Vidimo da je na lijevoj strani logaritam:
Podsjetimo da je ovaj logaritam broj na koji se baza mora podići (tj. sedam) da bi se dobio sublogaritamski izraz, tj. (50x-1).
Ali ovaj broj je dva! Prema jednadžbi To je:
To je u osnovi sve. Logaritam nestao, Ono što ostaje je bezopasna jednačina:
Ovu logaritamsku jednačinu riješili smo samo na osnovu značenja logaritma. Da li je još lakše eliminisati logaritme?) Slažem se. Usput, ako napravite logaritam od dva, ovaj primjer možete riješiti eliminacijom. Bilo koji broj se može pretvoriti u logaritam. Štaviše, onako kako nam je potrebno. Veoma koristan trik u rješavanju logaritamskih jednačina i (posebno!) nejednačina.
Ne znate kako napraviti logaritam od broja!? Uredu je. Odjeljak 555 detaljno opisuje ovu tehniku. Možete ga savladati i iskoristiti u potpunosti! To uvelike smanjuje broj grešaka.
Četvrta jednačina se rješava na potpuno sličan način (po definiciji):
To je to.
Hajde da rezimiramo ovu lekciju. Na primjerima smo pogledali rješenje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi. To je veoma važno. I ne samo zato što se takve jednadžbe pojavljuju u testovima i ispitima. Činjenica je da se čak i najzlobnije i najkomplikovanije jednadžbe nužno svode na najjednostavnije!
Zapravo, najjednostavnije jednačine su završni dio rješenja bilo koji jednačine. I ovaj završni dio mora se striktno razumjeti! I dalje. Obavezno pročitajte ovu stranicu do kraja. Tu je iznenađenje...)
Sada odlučujemo sami. Hajde da se popravimo, da tako kažem...)
Pronađite korijen (ili zbir korijena, ako ih ima nekoliko) jednadžbi:
ln(7x+2) = ln(5x+20)
log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0,5x-1,5) = 0,25
log 0,2 (3x-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
log 2 (14x) = log 2 7 + 2
Odgovori (naravno u neredu): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.
Šta, ne ide sve? Dešava se. Ne brini! Odjeljak 555 objašnjava rješenje za sve ove primjere na jasan i detaljan način. Tamo ćete sigurno shvatiti. Također ćete naučiti korisne praktične tehnike.
Sve je ispalo!? Svi primjeri "jedan lijevo"?) Čestitamo!
Vrijeme je da vam otkrijem gorku istinu. Uspješno rješavanje ovih primjera ne garantuje uspjeh u rješavanju svih ostalih logaritamskih jednačina. Čak i najjednostavniji poput ovih. Avaj.
Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednadžbe (čak i najelementarnije!) sastoji od dva jednaka dela. Rješavanje jednadžbe i rad sa ODZ-om. Savladali smo jedan dio - rješavanje same jednačine. Nije tako teško zar ne?
Za ovu lekciju posebno sam odabrao primjere u kojima DL ni na koji način ne utiče na odgovor. Ali nisu svi ljubazni kao ja, zar ne?...)
Stoga je imperativ ovladati drugim dijelom. ODZ. Ovo je glavni problem u rješavanju logaritamskih jednačina. I ne zato što je težak - ovaj dio je čak lakši od prvog. Ali zato što ljudi jednostavno zaborave na ODZ. Ili ne znaju. Ili oboje). I padaju iz vedra neba...
U sledećoj lekciji bavićemo se ovim problemom. Tada možete sa sigurnošću odlučiti bilo koji jednostavne logaritamske jednadžbe i pristupaju sasvim solidnim zadacima.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Kao što znate, kada se množe izrazi sa stepenom, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a b *a c = a b+c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim sabiranjem. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.
Definicija u matematici
Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) “b” na njegovu bazu “a” smatra se stepenom “c ” na koju se baza “a” mora podići da bi se na kraju dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takvu snagu da od 2 do tražene snage dobijete 8. Nakon nekih proračuna u glavi, dobijamo broj 3! I to je tačno, jer 2 na stepen od 3 daje odgovor kao 8.
Vrste logaritama
Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:
- Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
- Decimala a, gdje je osnova 10.
- Logaritam bilo kojeg broja b na osnovu a>1.
Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji prilikom njihovog rješavanja.
Pravila i neka ograničenja
U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i predstavljaju istinu. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti paran korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:
- Osnova “a” uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su “1” i “0” u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
- ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da “c” takođe mora biti veće od nule.
Kako riješiti logaritme?
Na primjer, daje se zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Ovo je vrlo lako, potrebno je odabrati stepen podizanjem broja deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.
Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se praktično konvergiraju da bi se pronašla potencija na koju je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio dati broj.
Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:
Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i poznavanje tablice množenja. Međutim, za veće vrijednosti trebat će vam stol za napajanje. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c na koji je broj a podignut. Na raskrsnici ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najistinskiji humanista razumjeti!
Jednačine i nejednačine
Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 se može napisati kao logaritam 81 na bazi 3 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne moći pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo to kao logaritam, dobijamo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.
Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jeste logaritamska nejednakost, pošto je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I u izrazu se upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja prema bazi dva je veći od broja tri.
Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je u tome što jednadžbe sa logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbe uzimaju i raspon prihvatljivih vrijednosti i tačke se određuju kršenjem ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.
Osnovne teoreme o logaritmima
Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi; hajde da prvo pogledamo svako svojstvo detaljnije.
- Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
- Logaritam proizvoda se može predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, obavezan uslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepeni ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
- Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.
Ova formula se naziva “svojstvo stepena logaritma”. Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer se sva matematika zasniva na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.
Neka log a b = t, ispada da je a t = b. Ako oba dijela podignemo na stepen m: a tn = b n ;
ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n, dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.
Primjeri problema i nejednakosti
Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednačina i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Za upis na fakultet ili polaganje prijemni ispiti u matematici morate znati kako pravilno rješavati takve probleme.
Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se može primijeniti na svaku matematičku nejednačinu ili logaritamsku jednačinu određena pravila. Prije svega, trebali biste saznati da li se izraz može pojednostaviti ili do njega dovesti opšti izgled. Pojednostavite duge logaritamski izrazi moguće ako pravilno koristite njihova svojstva. Hajde da ih brzo upoznamo.
Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi moramo odrediti koji tip logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.
Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da treba odrediti snagu kojoj će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Da biste riješili prirodne logaritme, morate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.
Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima
Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.
- Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširiti veliki značaj brojeve b u jednostavnije činioce. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Vi samo trebate faktorisati bazu, a zatim izvući vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.
Zadaci sa Jedinstvenog državnog ispita
Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva tačno i savršeno poznavanje teme „Prirodni logaritmi“.
Primjeri i rješenja problema preuzeti su od zvaničnika Opcije objedinjenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.
Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.
- Najbolje je sve logaritme svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
- Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod predznakom logaritma i kao njegova baza izvadi kao množitelj, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.
Danas ćemo naučiti kako riješiti najjednostavnije logaritamske jednadžbe, gdje nisu potrebne preliminarne transformacije ili odabir korijena. Ali ako naučite rješavati takve jednadžbe, onda će to biti mnogo lakše.
Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika log a f (x) = b, gdje su a, b brojevi (a > 0, a ≠ 1), f (x) je određena funkcija.
Karakteristična karakteristika svih logaritamskih jednačina je prisustvo varijable x pod znakom logaritma. Ako je ovo jednačina koja je prvobitno data u zadatku, naziva se najjednostavnija. Sve druge logaritamske jednadžbe se svode na najjednostavnije posebnim transformacijama (pogledajte “Osnovne osobine logaritama”). Međutim, brojne suptilnosti moraju se uzeti u obzir: mogu se pojaviti dodatni korijeni, pa će se složene logaritamske jednadžbe razmatrati zasebno.
Kako riješiti takve jednačine? Dovoljno je zamijeniti broj desno od znaka jednakosti logaritmom u istoj osnovi kao lijevo. Tada se možete riješiti predznaka logaritma. Dobijamo:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Dobili smo uobičajenu jednačinu. Njegovi korijeni su korijeni originalne jednadžbe.
Vađenje diploma
Često se logaritamske jednadžbe, koje spolja izgledaju složeno i prijeteće, rješavaju doslovno u nekoliko redaka bez uključivanja složene formule. Danas ćemo se osvrnuti na upravo takve probleme, gdje se od vas traži samo da pažljivo svedete formulu na kanonski oblik i da se ne zbunite u potrazi za domenom definicije logaritama.
Danas ćemo, kao što ste vjerojatno pogodili iz naslova, rješavati logaritamske jednadžbe koristeći formule za prijelaz u kanonski oblik. Glavni “trik” ove video lekcije bit će rad sa diplomama, odnosno deduciranje stepena iz osnove i argumenta. Pogledajmo pravilo:
Slično, možete izvesti stepen iz baze:
Kao što vidimo, ako kada uklonimo stepen iz argumenta logaritma jednostavno imamo dodatni faktor ispred, onda kada uklonimo stepen iz baze ne dobijamo samo faktor, već obrnuti faktor. Ovo treba zapamtiti.
Konačno, ono najzanimljivije. Ove formule se mogu kombinovati i onda dobijamo:
Naravno, prilikom ovih prijelaza postoje određene zamke povezane s mogućim proširenjem obima definicije ili, obrnuto, sužavanjem obima definicije. Procijenite sami:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Ako bi u prvom slučaju x mogao biti bilo koji broj osim 0, tj. zahtjev x ≠ 0, onda se u drugom slučaju zadovoljavamo samo sa x, koji ne samo da nije jednak, već je striktno veći od 0, jer je domen definicija logaritma je da argument bude striktno veći od 0. Stoga ću vas podsjetiti na jednu divnu formulu iz kursa algebre od 8. do 9. razreda:
Odnosno, našu formulu moramo napisati na sljedeći način:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Tada neće doći do sužavanja opsega definicije.
Međutim, u današnjem video tutorijalu neće biti kvadrata. Ako pogledate naše zadatke, vidjet ćete samo korijene. Stoga ovo pravilo nećemo primjenjivati, ali ga ipak morate imati na umu kako biste u pravom trenutku, kada vidite kvadratnu funkciju u argumentu ili osnovicu logaritma, zapamtili ovo pravilo i izvršili sve transformacije ispravno.
Dakle, prva jednačina je:
Da bih riješio ovaj problem, predlažem da pažljivo pogledamo svaki od pojmova prisutnih u formuli.
Zapišimo prvi član kao stepen s racionalnim eksponentom:
Gledamo drugi član: log 3 (1 − x). Ovdje ne treba ništa raditi, ovdje je sve već transformirano.
Konačno, 0, 5. Kao što sam rekao u prethodnim lekcijama, prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi i formula, toplo preporučujem prelazak sa decimalnih razlomaka na obične. Uradimo ovo:
0,5 = 5/10 = 1/2
Prepišimo našu originalnu formulu uzimajući u obzir rezultirajuće pojmove:
log 3 (1 − x ) = 1
Sada pređimo na kanonski oblik:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Riješimo se znaka logaritma izjednačavanjem argumenata:
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
To je to, riješili smo jednačinu. Međutim, hajde da ipak igramo na sigurno i pronađemo domen definicije. Da bismo to učinili, vratimo se na originalnu formulu i vidimo:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Naš korijen x = −2 zadovoljava ovaj zahtjev, stoga je x = −2 rješenje originalne jednačine. Sada smo dobili strogo, jasno opravdanje. To je to, problem rešen.
Pređimo na drugi zadatak:
Pogledajmo svaki pojam posebno.
Napišimo prvu:
Transformisali smo prvi mandat. Radimo sa drugim terminom:
Konačno, posljednji član, koji je desno od znaka jednakosti:
Zamjenjujemo rezultirajuće izraze umjesto pojmova u rezultirajućoj formuli:
log 3 x = 1
Pređimo na kanonski oblik:
log 3 x = log 3 3
Riješimo se znaka logaritma, izjednačavajući argumente, i dobijamo:
x = 3
Opet, samo da budemo sigurni, vratimo se originalnoj jednadžbi i pogledajmo. U originalnoj formuli, varijabla x je prisutna samo u argumentu, dakle,
x > 0
U drugom logaritmu, x je ispod korijena, ali opet u argumentu, dakle, korijen mora biti veći od 0, tj. radikalni izraz mora biti veći od 0. Gledamo naš korijen x = 3. Očigledno, to zadovoljava ovaj zahtjev. Dakle, x = 3 je rješenje originalne logaritamske jednadžbe. To je to, problem rešen.
Postoje dvije ključne tačke u današnjem video tutorijalu:
1) ne plašite se transformacije logaritma i, posebno, ne plašite se izuzimanja stepena iz predznaka logaritma, pritom zapamtite našu osnovnu formulu: kada se odstranjuje stepen iz argumenta, on se jednostavno vadi bez promena kao množitelj, a kada se snaga skida sa baze, ova snaga se invertuje.
2) druga tačka se odnosi na sam kanonski oblik. Prijelaz na kanonski oblik izvršili smo na samom kraju transformacije formule logaritamske jednačine. Dozvolite mi da vas podsjetim na sljedeću formulu:
a = log b b a
Naravno, pod izrazom „bilo koji broj b“ mislim na one brojeve koji zadovoljavaju zahtjeve postavljene na osnovu logaritma, tj.
1 ≠ b > 0
Za takav b, a pošto već znamo osnovu, ovaj zahtjev će biti automatski ispunjen. Ali za takve b - bilo koje koje zadovoljavaju ovaj zahtjev - ovaj prijelaz se može izvršiti, i dobićemo kanonski oblik u kojem se možemo riješiti predznaka logaritma.
Proširivanje domena definicije i dodatnih korijena
U procesu transformacije logaritamskih jednadžbi može doći do implicitnog proširenja domena definicije. Učenici to često i ne primjećuju, što dovodi do grešaka i netačnih odgovora.
Počnimo s najjednostavnijim dizajnom. Najjednostavnija logaritamska jednadžba je sljedeća:
log a f (x) = b
Imajte na umu da je x prisutan samo u jednom argumentu jednog logaritma. Kako rješavamo takve jednačine? Koristimo kanonski oblik. Da biste to učinili, zamislite broj b = log a a b, a naša jednačina će biti prepisana na sljedeći način:
log a f (x) = log a a b
Ovaj unos se zove kanonski oblik. Na to trebate svesti svaku logaritamsku jednadžbu s kojom ćete se susresti ne samo u današnjoj lekciji, već iu svakom samostalnom i probnom radu.
Kako doći do kanonske forme i koje tehnike koristiti je stvar prakse. Glavna stvar koju treba shvatiti je da čim dobijete takav zapis, problem možete smatrati riješenim. Zato što je sledeći korak da napišete:
f (x) = a b
Drugim riječima, riješimo se znaka logaritma i jednostavno izjednačimo argumente.
Čemu sva ova priča? Činjenica je da je kanonski oblik primjenjiv ne samo na najjednostavnije probleme, već i na sve druge. Posebno one o kojima ćemo odlučiti danas. Hajde da pogledamo.
Prvi zadatak:
Šta je problem sa ovom jednačinom? Činjenica je da je funkcija u dva logaritma odjednom. Problem se može svesti na najjednostavniji način jednostavnim oduzimanjem jednog logaritma od drugog. Ali problemi se javljaju s područjem definicije: mogu se pojaviti dodatni korijeni. Dakle, samo pomjerimo jedan od logaritama udesno:
Ovaj unos je mnogo sličniji kanonskom obliku. Ali postoji još jedna nijansa: u kanonskom obliku, argumenti moraju biti isti. I na lijevoj strani imamo logaritam u bazi 3, a na desnoj u bazi 1/3. On zna da ove baze treba dovesti u isti broj. Na primjer, prisjetimo se koje su negativne moći:
A onda ćemo koristiti eksponent "−1" izvan log kao množitelj:
Imajte na umu: stepen koji je bio u bazi se okreće i pretvara se u razlomak. Dobili smo skoro kanonsku notaciju tako što smo se riješili različitih baza, ali smo zauzvrat dobili faktor “−1” na desnoj strani. Uračunajmo ovaj faktor u argument pretvarajući ga u moć:
Naravno, primivši kanonski oblik, hrabro precrtavamo znak logaritma i izjednačavamo argumente. Ujedno, da vas podsjetim da kada se podigne na stepen "−1", razlomak se jednostavno preokrene - dobije se proporcija.
Iskoristimo osnovno svojstvo proporcije i pomnožimo ga unakrsno:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Ono što imamo pred nama je kvadratna jednačina, pa ga rješavamo pomoću Vietinih formula:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
To je sve. Mislite li da je jednačina riješena? Ne! Za takvo rješenje dobit ćemo 0 bodova, jer originalna jednadžba sadrži dva logaritma s promjenljivom x. Stoga je potrebno voditi računa o domenu definicije.
I tu počinje zabava. Većina učenika je zbunjena: koji je domen definicije logaritma? Naravno, svi argumenti (imamo dva) moraju biti veći od nule:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Svaka od ovih nejednakosti se mora riješiti, označiti na pravoj liniji, presjeći i tek onda vidjeti koji korijeni leže na raskrsnici.
Bit ću iskren: ova tehnika ima pravo na postojanje, pouzdana je i dobit ćete tačan odgovor, ali u njoj ima previše nepotrebnih koraka. Pa hajde da ponovo prođemo kroz naše rešenje i vidimo: gde tačno treba da primenimo opseg? Drugim riječima, morate jasno razumjeti kada se točno pojavljuju dodatni korijeni.
- U početku smo imali dva logaritma. Zatim smo jedan od njih pomjerili udesno, ali to nije utjecalo na područje definicije.
- Zatim uklanjamo potenciju iz baze, ali još uvijek postoje dva logaritma, a u svakom od njih postoji varijabla x.
- Konačno, precrtavamo znakove log i dobijamo klasičnu razlomku racionalnu jednačinu.
Tačno na poslednji korak Opseg definicije se širi! Čim smo prešli na frakciono-racionalnu jednačinu, oslobodivši se log znakova, zahtjevi za varijablu x su se dramatično promijenili!
Shodno tome, domen definicije se može razmatrati ne na samom početku rješenja, već samo na pomenutom koraku – prije direktnog izjednačavanja argumenata.
Tu se krije prilika za optimizaciju. S jedne strane, od nas se traži da oba argumenta budu veća od nule. S druge strane, mi dalje izjednačavamo ove argumente. Dakle, ako je barem jedan od njih pozitivan, onda će i drugi biti pozitivan!
Dakle, ispada da je zahtjev da se dvije nejednakosti ispune odjednom previše. Dovoljno je uzeti u obzir samo jedan od ovih razlomaka. Koji? Onaj koji je jednostavniji. Na primjer, pogledajmo desni razlomak:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Ovo je tipično frakciona racionalna nejednakost, rješavamo ga metodom intervala:
Kako postaviti znakove? Uzmimo broj koji je očito veći od svih naših korijena. Na primjer, 1 milijarda. I zamjenjujemo njegov dio. Dobijamo pozitivan broj, tj. desno od korijena x = 5 bit će znak plus.
Tada se znakovi izmjenjuju, jer nigdje nema korijena ravnomjernog mnoštva. Zanimaju nas intervali u kojima je funkcija pozitivna. Dakle, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Sada se prisjetimo odgovora: x = 8 i x = 2. Strogo govoreći, ovo još nisu odgovori, već samo kandidati za odgovor. Koji pripada navedenom skupu? Naravno, x = 8. Ali x = 2 nam ne odgovara u smislu svog domena definicije.
Ukupno, odgovor na prvu logaritamsku jednačinu će biti x = 8. Sada imamo kompetentno, dobro utemeljeno rješenje, uzimajući u obzir domen definicije.
Pređimo na drugu jednačinu:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Dozvolite mi da vas podsjetim da ako u jednadžbi postoji decimalni razlomak, onda biste ga se trebali riješiti. Drugim riječima, prepišimo 0,5 kao običan razlomak. Odmah primjećujemo da se logaritam koji sadrži ovu bazu lako izračunava:
Ovo je veoma važan trenutak! Kada imamo stepene iu bazi iu argumentu, možemo izvesti indikatore ovih stepeni koristeći formulu:
Vratimo se našoj originalnoj logaritamskoj jednadžbi i prepišimo je:
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Dobili smo dizajn prilično blizak kanonskom obliku. Međutim, zbunjeni smo terminima i znakom minus desno od znaka jednakosti. Hajde da predstavimo jedan kao logaritam bazi 5:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Oduzmite logaritme na desnoj strani (u ovom slučaju njihovi argumenti su podijeljeni):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Divno. Tako smo dobili kanonski oblik! Precrtavamo znakove dnevnika i izjednačavamo argumente:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Ovo je proporcija koja se lako može riješiti množenjem unakrsno:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Očigledno, imamo redukovanu kvadratnu jednačinu. Može se lako riješiti korištenjem Vietinih formula:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Imamo dva korena. Ali to nisu konačni odgovori, već samo kandidati, jer logaritamska jednačina zahtijeva i provjeru domena definicije.
Podsjećam vas: nema potrebe tražiti kada svaki argumenata će biti veći od nule. Dovoljno je zahtijevati da jedan argument — bilo x − 9 ili 5/(x − 5) — bude veći od nule. Razmotrite prvi argument:
x − 9 > 0
x > 9
Očigledno, samo x = 10 zadovoljava ovaj zahtjev.Ovo je konačni odgovor. Cijeli problem je riješen.
Još jednom, ključne misli današnje lekcije:
- Čim se varijabla x pojavi u nekoliko logaritama, jednačina prestaje biti elementarna i za nju će se morati izračunati domen definicije. Inače, lako možete napisati dodatne korijene u odgovoru.
- Rad sa samom domenom može se značajno pojednostaviti ako nejednakost ispišemo ne odmah, već tačno u trenutku kada se riješimo log znakova. Na kraju krajeva, kada su argumenti međusobno izjednačeni, dovoljno je zahtijevati da samo jedan od njih bude veći od nule.
Naravno, mi sami biramo koji ćemo argument koristiti za formiranje nejednakosti, pa je logično odabrati najjednostavniji. Na primjer, u drugoj jednačini odabrali smo argument (x − 9), linearnu funkciju, za razliku od razlomka racionalnog drugog argumenta. Slažem se, rješavanje nejednakosti x − 9 > 0 je mnogo lakše od 5/(x − 5) > 0. Iako je rezultat isti.
Ova napomena uvelike pojednostavljuje pretragu za ODZ, ali budite oprezni: možete koristiti jednu nejednakost umjesto dvije samo ako su argumenti tačni su jednake jedna drugoj!
Naravno, neko će se sada zapitati: šta se dešava drugačije? Da, ponekad. Na primjer, u samom koraku, kada pomnožimo dva argumenta koji sadrže varijablu, postoji opasnost od pojave nepotrebnih korijena.
Procijenite sami: prvo je potrebno da svaki od argumenata bude veći od nule, ali nakon množenja dovoljno je da njihov proizvod bude veći od nule. Kao rezultat, slučaj u kojem je svaki od ovih razlomaka negativan je propušten.
Stoga, ako tek počinjete da razumijevate složene logaritamske jednadžbe, ni u kojem slučaju ne množite logaritme koji sadrže varijablu x - to će prečesto dovesti do pojave nepotrebnih korijena. Bolje je napraviti još jedan korak, pomaknuti jedan pojam na drugu stranu i stvoriti kanonski oblik.
Pa, šta učiniti ako ne možete bez množenja takvih logaritama, razgovarat ćemo u sljedećoj video lekciji. :)
Još jednom o snagama u jednadžbi
Danas ćemo ispitati prilično klizavu temu koja se tiče logaritamskih jednačina, tačnije, uklanjanja potencija iz argumenata i baza logaritama.
Čak bih rekao da ćemo govoriti o uklanjanju parnih potencija, jer se kod rješavanja realnih logaritamskih jednačina javlja većina poteškoća.
Počnimo od kanonskog oblika. Recimo da imamo jednačinu oblika log a f (x) = b. U ovom slučaju prepisujemo broj b koristeći formulu b = log a a b . Ispada sledeće:
log a f (x) = log a a b
Zatim izjednačavamo argumente:
f (x) = a b
Pretposljednja formula se zove kanonski oblik. Na to pokušavaju svesti svaku logaritamsku jednadžbu, ma koliko ona na prvi pogled izgledala složena i zastrašujuća.
Pa hajde da probamo. Počnimo s prvim zadatkom:
Preliminarna napomena: kao što sam rekao, sve decimale u logaritamskoj jednadžbi bolje je pretvoriti u obične:
0,5 = 5/10 = 1/2
Prepišimo našu jednačinu uzimajući u obzir ovu činjenicu. Imajte na umu da su i 1/1000 i 100 potencije desetice, a onda hajde da izvadimo potencije gdje god da su: iz argumenata, pa čak i iz baze logaritama:
I ovdje mnogi studenti imaju pitanje: "Odakle je došao modul sa desne strane?" Zaista, zašto jednostavno ne napisati (x − 1)? Naravno, sada ćemo pisati (x − 1), ali uzimanje u obzir domena definicije daje nam pravo na takvu notaciju. Uostalom, drugi logaritam već sadrži (x − 1), a ovaj izraz mora biti veći od nule.
Ali kada uklonimo kvadrat iz baze logaritma, moramo ostaviti tačno modul u bazi. Dozvolite mi da objasnim zašto.
Činjenica je da je, sa matematičke tačke gledišta, sticanje diplome jednako uzimanju korijena. Konkretno, kada kvadriramo izraz (x − 1) 2, u suštini uzimamo drugi korijen. Ali kvadratni korijen nije ništa više od modula. Upravo modul, jer čak i ako je izraz x − 1 negativan, kada je na kvadrat, “minus” će i dalje izgorjeti. Daljnje vađenje korijena će nam dati pozitivan broj - bez ikakvih minusa.
Općenito, da biste izbjegli uvredljive greške, zapamtite jednom za svagda:
Korijen parnog stepena bilo koje funkcije koja je podignuta na isti stepen jednak je ne samoj funkciji, već njenom modulu:
Vratimo se našoj logaritamskoj jednadžbi. Govoreći o modulu, tvrdio sam da ga možemo ukloniti bezbolno. Istina je. Sada ću objasniti zašto. Strogo govoreći, morali smo razmotriti dvije opcije:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Svaka od ovih opcija bi trebala biti riješena. Ali postoji jedna kvaka: originalna formula već sadrži funkciju (x − 1) bez ikakvog modula. A slijedeći domenu definicije logaritama, imamo pravo odmah napisati da je x − 1 > 0.
Ovaj zahtjev mora biti zadovoljen bez obzira na sve module i druge transformacije koje izvodimo u procesu rješenja. Stoga, nema smisla razmatrati drugu opciju - ona se nikada neće pojaviti. Čak i ako dobijemo neke brojeve prilikom rješavanja ove grane nejednakosti, oni ipak neće biti uključeni u konačni odgovor.
Sada smo doslovno na korak od kanonskog oblika logaritamske jednadžbe. Predstavimo jedinicu na sljedeći način:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Osim toga, u argument uvodimo faktor −4, koji je desno:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Pred nama je kanonski oblik logaritamske jednadžbe. Riješimo se znaka logaritma:
10 −4 = x − 1
Ali pošto je baza bila funkcija (a ne prost broj), dodatno zahtijevamo da ova funkcija bude veća od nule, a ne jednaka jedinici. Rezultirajući sistem će biti:
Pošto je uslov x − 1 > 0 zadovoljen automatski (na kraju krajeva, x − 1 = 10 −4), jedna od nejednakosti se može izbrisati iz našeg sistema. Drugi uslov se takođe može precrtati, jer je x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Ovo je jedini korijen koji automatski zadovoljava sve zahtjeve domena definicije logaritma (međutim, svi zahtjevi su eliminisani kao očigledno ispunjeni u uslovima našeg problema).
Dakle, druga jednačina:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Po čemu se ova jednačina suštinski razlikuje od prethodne? Ako samo zato što baze logaritama - 3x i 9x - nisu prirodne snage jedna drugoj. Stoga prijelaz koji smo koristili u prethodnom rješenju nije moguć.
Oslobodimo se bar diploma. U našem slučaju, jedini stepen je u drugom argumentu:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Međutim, predznak modula se može ukloniti, jer je i varijabla x u osnovi, tj. x > 0 ⇒ |x| = x. Prepišimo našu logaritamsku jednačinu:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Dobili smo logaritme u kojima su argumenti isti, ali su baze različite. Šta dalje? Ovdje postoji mnogo opcija, ali ćemo razmotriti samo dvije od njih, koje su najlogičnije, i što je najvažnije, to su brze i razumljive tehnike za većinu učenika.
Već smo razmotrili prvu opciju: u bilo kojoj nejasna situacija pretvoriti logaritme iz varijabilna baza na neku trajnu osnovu. Na primjer, na dvojku. Formula tranzicije je jednostavna:
Naravno, uloga varijable c treba da bude normalan broj: 1 ≠ c > 0. Neka je u našem slučaju c = 2. Sada imamo pred sobom običnu frakcionu racionalnu jednačinu. Sakupljamo sve elemente na lijevoj strani:
Očigledno, bolje je ukloniti log 2 x faktor, jer je prisutan i u prvoj i u drugoj frakciji.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Svaki dnevnik razbijamo u dva pojma:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Prepišimo obje strane jednakosti uzimajući u obzir ove činjenice:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Sada ostaje samo da unesete dvojku pod znakom logaritma (pretvoriće se u stepen: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Pred nama je klasični kanonski oblik, riješimo se znaka logaritma i dobijemo:
Kao što se i očekivalo, pokazalo se da je ovaj korijen veći od nule. Ostaje provjeriti domen definicije. Pogledajmo razloge:
Ali korijen x = 9 zadovoljava ove zahtjeve. Dakle, to je konačna odluka.
Zaključak iz ovog rješenja je jednostavan: ne bojte se dugih proračuna! Samo što smo na samom početku nasumično odabrali novu bazu - i to je značajno zakomplikovalo proces.
Ali onda se postavlja pitanje: šta je osnova optimalno? O tome ću govoriti u drugoj metodi.
Vratimo se našoj prvobitnoj jednadžbi:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Sada razmislimo malo: koji bi broj ili funkcija bila optimalna osnova? Očigledno, najbolja opcija bi bila c = x - ono što je već u argumentima. U ovom slučaju, formula log a b = log c b /log c a će poprimiti oblik:
Drugim riječima, izraz je jednostavno obrnut. U ovom slučaju, argument i osnova mijenjaju mjesta.
Ova formula je vrlo korisna i vrlo se često koristi u rješavanju složenih logaritamskih jednadžbi. Međutim, postoji jedna vrlo ozbiljna zamka kada koristite ovu formulu. Ako zamijenimo varijablu x umjesto baze, tada se na nju nameću ograničenja koja prethodno nisu poštovana:
U originalnoj jednačini nije bilo takvog ograničenja. Stoga bismo trebali posebno provjeriti slučaj kada je x = 1. Zamijenite ovu vrijednost u našu jednačinu:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Dobijamo tačnu brojčanu jednakost. Stoga je x = 1 korijen. Pronašli smo potpuno isti korijen u prethodnoj metodi na samom početku rješenja.
Ali sada kada smo posebno razmotrili ovaj konkretni slučaj, sa sigurnošću pretpostavljamo da je x ≠ 1. Tada će naša logaritamska jednadžba biti prepisana u sljedećem obliku:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Proširujemo oba logaritma koristeći istu formulu kao i prije. Imajte na umu da je log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x)
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 log x 3 = 1
Tako smo došli do kanonskog oblika:
log x 9 = log x x 1
x=9
Dobili smo drugi korijen. Zadovoljava zahtjev x ≠ 1. Dakle, x = 9 zajedno sa x = 1 je konačni odgovor.
Kao što vidite, obim proračuna se neznatno smanjio. Ali kada se rješava realna logaritamska jednadžba, broj koraka će biti mnogo manji i zato što ne morate svaki korak opisati tako detaljno.
Ključno pravilo današnje lekcije je sljedeće: ako problem sadrži paran stepen, iz kojeg se izdvaja korijen istog stepena, onda će izlaz biti modul. Međutim, ovaj modul se može ukloniti ako obratite pažnju na domenu definicije logaritama.
Ali budite oprezni: nakon ove lekcije većina učenika misli da sve razumije. Ali kada se rješavaju stvarni problemi, oni ne mogu reproducirati cijeli logički lanac. Kao rezultat toga, jednadžba dobiva nepotrebne korijene, a odgovor se ispostavlja netačnim.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo i informišemo o tome jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
