Oprema:

• kompjuter,
• multimedijalni projektor,
• ekran,
• Aneks 1(slajd prezentacija u PowerPointu) “Metode za rješavanje eksponencijalnih jednačina”
• Aneks 2(Rješenje jednadžbe poput "Tri različite baze stupnjeva" u Wordu)
• Dodatak 3(dodaci u Wordu za praktičan rad).
• Dodatak 4(dodaci u Wordu za domaći zadatak).

Tokom nastave

1. Organizaciona faza

• poruka o temi lekcije (napisana na tabli),
• potreba za generaliziranom lekcijom u razredima 10-11:

Faza pripreme učenika za aktivno usvajanje znanja

Ponavljanje

Definicija.

Eksponencijalna jednačina je jednačina koja sadrži varijablu u eksponentu (učenik odgovara).

Napomena nastavnika. Eksponencijalne jednadžbe pripadaju klasi transcendentalnih jednačina. Ovo teško izgovorivo ime sugerira da se takve jednačine, općenito govoreći, ne mogu riješiti u obliku formula.

Oni se mogu riješiti samo približno numeričkim metodama na računarima. Ali šta je sa ispitnim pitanjima? Čitav trik je u tome da ispitivač sastavi problem na način da samo priznaje analitičko rješenje. Drugim riječima, možete (i trebali biste!) raditi takve identične transformacije koje datu eksponencijalnu jednačinu svode na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu. Ovo je najjednostavnija jednadžba i zove se: najjednostavnija eksponencijalna jednadžba. To je riješeno logaritam.

Situacija sa rješenjem eksponencijalne jednadžbe nalikuje putovanju kroz labirint, koji je posebno izmislio kompajler problema. Iz ovih vrlo općih razmatranja slijede sasvim konkretne preporuke.

Da biste uspješno riješili eksponencijalne jednadžbe, morate:

1. Ne samo da aktivno poznajete sve eksponencijalne identitete, već i pronađite skupove vrijednosti varijable na kojima su ti identiteti definirani, tako da se korištenjem ovih identiteta ne stječu nepotrebni korijeni, a još više, ne gubi se rješenja jednadžbe.

2. Aktivno poznavati sve eksponencijalne identitete.

3. Jasno, detaljno i bez grešaka, izvršiti matematičke transformacije jednačina (prebaciti članove iz jednog dijela jednačine u drugi, ne zaboravljajući promijeniti predznak, svesti razlomak na zajednički imenilac, itd.). To se zove matematička kultura. Istovremeno, sami proračuni treba da se rade automatski rukama, a glava treba razmišljati o općoj niti vodilja rješenja. Potrebno je izvršiti transformacije što je moguće pažljivije i detaljnije. Samo će to garantirati ispravno rješenje bez grešaka. I zapamtite: mala aritmetička greška može jednostavno stvoriti transcendentnu jednačinu koja se, u principu, ne može riješiti analitički. Ispostavilo se da ste izgubili put i naletjeli na zid lavirinta.

4. Poznavati metode rješavanja problema (tj. poznavati sve puteve kroz lavirint rješenja). Za ispravnu orijentaciju u svakoj fazi, morat ćete (svjesno ili intuitivno!):

• definisati tip jednadžbe;
• zapamtite odgovarajući tip metoda rješenja zadataka.

Faza generalizacije i sistematizacije proučenog materijala.

Nastavnik, zajedno sa učenicima, uz korišćenje računara, vrši pregledno ponavljanje svih vrsta eksponencijalnih jednačina i metoda za njihovo rešavanje i izrađuje opštu šemu. (Koristeći tutorijal kompjuterski program L.Ya. Borevsky "Kurs matematike - 2000", autor prezentacije u PowerPointu - T.N. Kupcov.)

Rice. 1. Na slici je prikazana opšta šema svih tipova eksponencijalnih jednačina.

Kao što se može vidjeti iz ovog dijagrama, strategija za rješavanje eksponencijalnih jednačina je da se ova eksponencijalna jednačina svede na jednačinu, prije svega, sa istim osnovama , a zatim - i sa istim eksponentima.

Nakon što ste dobili jednačinu sa istim bazama i eksponentima, ovaj stepen zamjenjujete novom promjenljivom i dobivate jednostavnu algebarsku jednačinu (obično razlomačku racionalnu ili kvadratnu) u odnosu na ovu novu varijablu.

Rješavanjem ove jednadžbe i inverznom zamjenom, na kraju ćete dobiti skup jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi koje se rješavaju u opšti pogled koristeći logaritme.

Jednačine se izdvajaju u kojima se javljaju samo proizvodi (privatnih) moći. Koristeći eksponencijalne identitete, moguće je ove jednačine odmah dovesti na jednu bazu, posebno na najjednostavniju eksponencijalnu jednačinu.

Razmotrimo kako eksponencijalna jednačina sa tri različite osnove stepeni.

(Ako nastavnik ima nastavni kompjuterski program L.Ya. Borevskog "Kurs matematike - 2000", onda naravno radimo sa diskom, ako ne, možete odštampati ovu vrstu jednačine za svaki sto iz njega, predstavljenu u nastavku .)

Rice. 2. Plan rješenja jednačine.

Rice. 3. Početak rješavanja jednačine

Rice. 4. Kraj rješenja jednačine.

Raditi praktičan rad

Odredite vrstu jednačine i riješite je.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Sumiranje lekcije

Ocjenjivanje lekcije.

kraj lekcije

Za nastavnika

Šema odgovora na praktični rad.

vježba: sa liste jednadžbi izaberite jednačine navedenog tipa (broj odgovora unesite u tabelu):

1. Tri različite baze
2. Dvije različite baze - različiti eksponenti
3. Osnove potencija - potencije jednog broja
4. Iste baze, različiti eksponenti
5. Iste baze eksponenta - isti eksponenti
6. Proizvod moći
7. Dvije različite baze stupnjeva - isti pokazatelji
8. Protozoa eksponencijalne jednačine

1. (proizvod moći)

2. (iste baze - različiti eksponenti)

primjeri:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Prilikom rješavanja bilo koje eksponencijalne jednadžbe nastojimo da je dovedemo u oblik \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), a zatim izvršimo prijelaz na jednakost indikatora, odnosno:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Na primjer:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Bitan! Iz iste logike slijede dva zahtjeva za takav prijelaz:
- broj u lijevo i desno trebaju biti iste;
- stepeni lijevo i desno moraju biti "čisti", odnosno ne bi trebalo da bude množenja, dijeljenja itd.

Na primjer:

Za dovođenje jednačine u oblik \(a^(f(x))=a^(g(x))\) koriste se i.

Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Rješenje:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Znamo da je \(27 = 3^3\). Imajući to na umu, transformiramo jednačinu.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Svojstvom korijena \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dobijamo da je \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Dalje, koristeći svojstvo stepena \((a^b)^c=a^(bc)\), dobijamo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Također znamo da je \(a^b a^c=a^(b+c)\). Primjenjujući ovo na lijevu stranu, dobijamo: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Sada zapamtite to: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ova formula se takođe može koristiti u poleđina: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tada je \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Primjenom svojstva \((a^b)^c=a^(bc)\) na desnu stranu, dobijamo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		I sada imamo jednake baze i nema interferentnih koeficijenata itd. Tako da možemo napraviti tranziciju.
		Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Rješenje: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Opet koristimo svojstvo stepena \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) u suprotnom smjeru. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Sada zapamtite da je \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Koristeći svojstva stepena, transformiramo: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Pažljivo posmatramo jednačinu i vidimo da se zamena \(t=2^x\) ovde nameće. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Međutim, pronašli smo vrijednosti \(t\), i treba nam \(x\). Vraćamo se na X, praveći obrnutu zamjenu. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Drugu jednačinu transformiramo koristeći svojstvo negativan stepen… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...i rješavaj do odgovora. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odgovori : \(-1; 1\). Ostaje pitanje - kako razumjeti kada primijeniti koju metodu? Dolazi sa iskustvom. U međuvremenu, niste to riješili, koristite opštu preporuku za rješavanje složenih problema – „ako ne znate šta da radite – uradite ono što možete“. Odnosno, potražite kako možete transformirati jednačinu u principu i pokušajte to učiniti - šta ako izađe? Glavna stvar je raditi samo matematički opravdane transformacije. eksponencijalne jednadžbe bez rješenja Pogledajmo još dvije situacije koje često zbunjuju učenike: - pozitivan broj na stepen jednak je nuli, na primjer, \(2^x=0\); - pozitivan broj na stepen je jednak negativnom broju, na primjer, \(2^x=-4\). Pokušajmo to riješiti grubom silom. Ako je x pozitivan broj, kako x raste, cijela snaga \(2^x\) samo će rasti: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Takođe prošlost. Postoje negativni x-ovi. Sjećajući se svojstva \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), provjeravamo: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Uprkos činjenici da se broj svakim korakom smanjuje, nikada neće dostići nulu. Dakle, ni negativan stepen nas nije spasio. Dolazimo do logičnog zaključka: Pozitivan broj na bilo koji stepen ostat će pozitivan broj. Dakle, obje gornje jednačine nemaju rješenja. eksponencijalne jednadžbe sa različitim bazama U praksi ponekad postoje eksponencijalne jednadžbe s različitim bazama koje nisu svodive jedna na drugu, a istovremeno s istim eksponentima. Oni izgledaju ovako: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdje su \(a\) i \(b\) pozitivni brojevi. Na primjer: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takve jednadžbe se lako mogu riješiti dijeljenjem s bilo kojim dijelom jednačine (obično dijeljenjem desnom stranom, odnosno sa \ (b ^ (f (x)) \). Možete podijeliti na ovaj način, jer a pozitivan broj je pozitivan u bilo kom stepenu (tj. ne delimo sa nulom.) Dobijamo: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Rješenje: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Ovdje ne možemo peticu pretvoriti u trojku, ili obrnuto (prema najmanje, bez upotrebe). Dakle, ne možemo doći do oblika \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Istovremeno, indikatori su isti. Podijelimo jednačinu desnom stranom, odnosno sa \(3^(x+7)\) (to možemo, jer znamo da trojka ni u jednom stepenu neće biti nula). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Sada zapamtite svojstvo \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i koristite ga s lijeve strane u suprotnom smjeru. S desne strane jednostavno smanjujemo razlomak. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Činilo se da nije bilo bolje. Ali zapamtite još jedno svojstvo stepena: \(a^0=1\), drugim riječima: "bilo koji broj na nulti stepen jednak je \(1\)". Isto tako vrijedi i obrnuto: "jedinica se može predstaviti kao bilo koji broj podignut na stepen nule." Ovo koristimo tako što napravimo bazu na desnoj strani kao i onu na lijevoj strani. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Riješimo se temelja. Pišemo odgovor. Odgovori : \(-7\). Ponekad "istost" eksponenata nije očigledna, ali vješto korištenje svojstava stepena rješava ovaj problem. Primjer . Riješite eksponencijalnu jednačinu \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Rješenje: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Jednačina izgleda prilično tužno... Ne samo da se baze ne mogu svesti na isti broj (sedam neće biti jednako \(\frac(1)(3)\)), već su i indikatori različiti... Međutim, upotrijebimo eksponent lijevog stupnja dvojke. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Imajući na umu svojstvo \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformirajte s lijeve strane: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sada, prisjećajući se negativnog svojstva snage \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformiramo desno: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Rezultati su isti! Postupajući prema shemi koja nam je već poznata, odlučujemo prije odgovora. Odgovori : \(2\).

Rješenje eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta se desilo eksponencijalna jednačina? Ovo je jednadžba u kojoj su nepoznanice (x) i izrazi s njima indikatori nekoliko stepeni. I samo tamo! Važno je.

Tu ste primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

3 x 2 x = 8 x + 3

Bilješka! U osnovama stepeni (ispod) - samo brojevi. IN indikatori stepeni (iznad) - širok izbor izraza sa x. Ako se odjednom pojavi x u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:

ovo će biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješenje eksponencijalnih jednačina u svom najčistijem obliku.

U stvari, čak ni čiste eksponencijalne jednačine nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalnih jednačina koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su tipovi koje ćemo gledati.

Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi.

Počnimo s nečim vrlo osnovnim. Na primjer:

Čak i bez ikakve teorije, jednostavnim odabirom jasno je da je x = 2. Ništa više, zar ne!? Nema drugih bacanja x vrijednosti. A sada pogledajmo rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Šta smo uradili? Mi smo, naime, samo izbacili iste dna (trojke). Potpuno izbačen. I, šta je drago, pogodite metu!

Zaista, ako su u eksponencijalnoj jednadžbi s lijeve i desne strane isto brojeva u bilo kom stepenu, ovi brojevi se mogu ukloniti i izjednačiti eksponente. Matematika dozvoljava. Ostaje riješiti mnogo jednostavniju jednačinu. Dobro je, zar ne?)

Međutim, prisjetimo se ironično: baze možete ukloniti samo kada su brojevi baza lijevo i desno u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih komšija i koeficijenata. Recimo u jednačinama:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , ili

Ne možete ukloniti duple!

Pa, savladali smo ono najvažnije. Kako se odmaknuti od zla eksponencijalni izrazi na jednostavnije jednačine.

"Evo tih vremena!" - ti kažeš. "Ko će dati takav primitiv na kontrole i ispite!?"

Primoran da pristanem. Niko neće. Ali sada znate kuda treba ići kada rješavate zbunjujuće primjere. Potrebno ga je sjetiti, kada je isti osnovni broj lijevo - desno. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo je klasika matematike. Uzimamo originalni primjer i pretvaramo ga u željeno nas um. Po pravilima matematike, naravno.

Razmotrite primjere koji zahtijevaju dodatni napor da ih dovedete do najjednostavnijeg. Pozovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.

Rješenje jednostavnih eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednačina, glavna pravila su akcije sa ovlastima. Bez znanja o ovim radnjama ništa neće raditi.

Radnjama sa stepenom mora se dodati lično zapažanje i domišljatost. Trebamo isti brojevi- osnova? Stoga ih tražimo u primjeru u eksplicitnom ili šifriranom obliku.

Da vidimo kako se to radi u praksi?

Hajde da nam damo primjer:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prvi pogled na osnove. Oni... Oni su drugačiji! Dva i osam. Ali prerano je za obeshrabrenje. Vreme je da se toga setimo

Dva i osam su rođaci po stepenu.) Sasvim je moguće zapisati:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ako se prisjetimo formule iz radnji s moćima:

(a n) m = a nm ,

generalno radi odlično:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Originalni primjer izgleda ovako:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Mi prenosimo 2 3 (x+1) desno (niko nije otkazao elementarne radnje matematike!), dobijamo:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To je praktično sve. Uklanjanje baza:

Riješimo ovo čudovište i dobijemo

Ovo je tačan odgovor.

U ovom primjeru, poznavanje moći dvojke nam je pomoglo. Mi identifikovan u osmici, šifrovana dvojka. Ova tehnika (kodiranje uobičajenih baza pod različitim brojevima) je vrlo popularan trik u eksponencijalnim jednačinama! Da, čak iu logaritmima. Čovek mora biti u stanju prepoznati potencije drugih brojeva u brojevima. Ovo je izuzetno važno za rješavanje eksponencijalnih jednačina.

Činjenica je da podizanje bilo kog broja na bilo koji stepen nije problem. Pomnožite, čak i na komadu papira, i to je sve. Na primjer, svako može podići 3 na peti stepen. 243 će se ispostaviti ako znate tablicu množenja.) Ali u eksponencijalnim jednačinama, mnogo češće je potrebno ne podići na stepen, već obrnuto ... koji broj u kojoj meri krije se iza broja 243, ili, recimo, 343... Tu vam nijedan kalkulator neće pomoći.

Morate znati moći nekih brojeva iz vida, da... Hoćemo li vježbati?

Odredi koje su snage i koji su brojevi brojevi:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odgovori (naravno u neredu!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ako bolje pogledate, možete vidjeti jednu čudnu činjenicu. Više je odgovora nego pitanja! Pa, dešava se... Na primjer, 2 6 , 4 3 , 8 2 je sve 64.

Pretpostavimo da ste primili k znanju informacije o upoznavanju brojeva.) Da vas podsjetim da za rješavanje eksponencijalnih jednačina primjenjujemo cjelina zaliha matematičkog znanja. Uključujući niže srednje klase. Nisi išao pravo u srednju školu, zar ne?

Na primjer, kod rješavanja eksponencijalnih jednačina, stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada vrlo često pomaže (pozdrav 7. ocjeni!). Pogledajmo primjer:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I opet, prvi pogled - na teren! Osnove stepeni su različite... Tri i devet. I želimo da budu isti. Pa, u ovom slučaju, želja je sasvim izvodljiva!) Jer:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Prema istim pravilima za radnje sa stepenom:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Odlično, možete napisati:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Naveli smo primjer iz istih razloga. Dakle, šta je sljedeće!? Trojke se ne mogu izbaciti... Slepa ulica?

Ne sve. Sjećanje na najuniverzalnije i najmoćnije pravilo odlučivanja sve matematički zadaci:

Ako ne znate šta da radite, uradite šta možete!

Vidite, sve je formirano).

Šta je u ovoj eksponencijalnoj jednačini Može učiniti? Da, lijeva strana direktno traži zagrade! Zajednički faktor 3 2x to jasno nagovještava. Hajde da probamo, pa cemo videti:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Primjer postaje sve bolji i bolji!

Podsjećamo, da bismo eliminirali baze, potreban nam je čisti stepen, bez ikakvih koeficijenata. Broj 70 nam smeta. Dakle, podijelimo obje strane jednačine sa 70, dobićemo:

Op-pa! Sve je bilo u redu!

Ovo je konačan odgovor.

Dešava se, međutim, da se dobije taksiranje po istom osnovu, ali ne i njihova likvidacija. Ovo se dešava u eksponencijalnim jednačinama drugog tipa. Uzmimo ovaj tip.

Promjena varijable u rješavanju eksponencijalnih jednačina. Primjeri.

Rešimo jednačinu:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Prvo - kao i obično. Pređimo na bazu. Za dvojku.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dobijamo jednačinu:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I ovdje ćemo se objesiti. Prethodni trikovi neće uspjeti, kako god okrenete. Morat ćemo dobiti iz arsenala još jedan moćan i svestran način. To se zove varijabilna zamjena.

Suština metode je iznenađujuće jednostavna. Umjesto jedne složene ikone (u našem slučaju 2 x), pišemo drugu, jednostavniju (na primjer, t). Takva naizgled besmislena zamjena dovodi do nevjerojatnih rezultata!) Sve postaje jasno i razumljivo!

Pa neka

Tada je 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Zamijenimo u našoj jednadžbi sve potencije sa x sa t:

Pa, svanulo je?) Još niste zaboravili kvadratne jednačine? Rešavamo kroz diskriminant, dobijamo:

Ovdje je glavna stvar ne stati, kako to biva... Ovo još nije odgovor, treba nam x, a ne t. Vraćamo se na Xs, tj. pravljenje zamene. Prvo za t 1:

To je,

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog, od t 2:

Hm... Lijevo 2 x, Desno 1... Zakačenje? Da, nikako! Dovoljno je zapamtiti (iz radnji sa stepenima, da...) da je jedinstvo bilo koji broj na nulu. Bilo koji. Šta god vam treba, mi ćemo to staviti. Treba nam dvojka. znači:

To je sve. Dobio 2 korijena:

Ovo je odgovor.

At rješavanje eksponencijalnih jednačina na kraju se ponekad dobije neki nespretan izraz. Vrsta:

Od sedam, dvojka do jednostavnog stepena ne funkcionira. Nisu rođaci... Kako mogu biti ovdje? Neko će se možda zbuniti... Ali osoba koja je pročitala na ovoj stranici temu "Šta je logaritam?" , samo se štedljivo nasmiješite i čvrstom rukom zapišite apsolutno tačan odgovor:

Takvog odgovora ne može biti u zadacima "B" na ispitu. Potreban je određeni broj. Ali u zadacima "C" - lako.

Ova lekcija daje primjere rješavanja najčešćih eksponencijalnih jednačina. Istaknimo glavnu.

Praktični savjeti:

1. Prije svega, pogledamo osnove stepeni. Da vidimo da li se ne mogu uraditi isto. Pokušajmo to učiniti aktivnim korištenjem akcije sa ovlastima. Ne zaboravite da se brojevi bez x također mogu pretvoriti u stupnjeve!

2. Pokušavamo eksponencijalnu jednačinu dovesti u formu kada su lijevo i desno isto brojevi u bilo kom stepenu. Koristimo akcije sa ovlastima I faktorizacija. Ono što se može izbrojati u brojevima – brojimo.

3. Ako drugi savjet nije uspio, pokušavamo primijeniti zamjenu varijable. Rezultat može biti jednačina koja se lako rješava. Najčešće - kvadrat. Ili frakcijski, koji se također svodi na kvadrat.

4. Za uspješno rješavanje eksponencijalnih jednačina potrebno je znati stupnjeve nekih brojeva "iz viđenja".

Kao i obično, na kraju lekcije pozvani ste da malo riješite.) Sami. Od jednostavnog do složenog.

Riješite eksponencijalne jednadžbe:

Teže:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Pronađite proizvod korijena:

2 3-x + 2 x = 9

Desilo se?

Dobro onda najtezi primjer(odlučeno, međutim, u mislima...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Šta je zanimljivije? Onda evo lošeg primjera za tebe. Prilično vuče na povećanu težinu. Nagovijestit ću da u ovom primjeru spašava domišljatost i najuniverzalnije pravilo za rješavanje svih matematičkih zadataka.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Primjer je jednostavniji, za opuštanje):

9 2 x - 4 3 x = 0

I za desert. Pronađite zbir korijena jednačine:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da da! Ovo je jednadžba mješovitog tipa! Što nismo razmatrali u ovoj lekciji. A što ih smatrati, treba ih riješiti!) Ova lekcija je sasvim dovoljna za rješavanje jednadžbe. Pa, potrebna je domišljatost... I da, sedmi razred će vam pomoći (ovo je nagoveštaj!).

Odgovori (u neredu, odvojeni tačkom i zarezom):

1; 2; 3; 4; nema rješenja; 2; -2; -5; 4; 0.

Je li sve uspješno? Odlično.

Postoji problem? Nema problema! U Posebnom odjeljku 555, sve ove eksponencijalne jednadžbe su riješene sa detaljna objašnjenja. Šta, zašto i zašto. I, naravno, postoje dodatne vrijedne informacije o radu sa svim vrstama eksponencijalnih jednačina. Ne samo sa ovim.)

Još jedno zabavno pitanje za razmatranje. U ovoj lekciji smo radili sa eksponencijalnim jednadžbama. Zašto ovdje nisam rekao ni riječi o ODZ-u? U jednadžbama je ovo vrlo važna stvar, inače...

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

U ovom članku ćete se upoznati sa svim vrstama eksponencijalne jednačine i algoritme za njihovo rješavanje, naučite prepoznati koji tip eksponencijalna jednačina, koji trebate riješiti, i primijeniti odgovarajuću metodu da ga riješite. Detaljno rješenje primjera eksponencijalne jednačine svaki tip možete vidjeti u odgovarajućim VIDEO TUTURIALIMA.

Eksponencijalna jednačina je jednačina u kojoj je nepoznato sadržano u eksponentu.

Prije nego počnete rješavati eksponencijalnu jednadžbu, korisno je učiniti nekoliko prethodna radnja , što može uvelike olakšati tok njegovog rješavanja. Ovo su akcije:

1. Faktorizujte sve baze potencija u proste faktore.

2. Predstavite korijene kao stepen.

3. Decimale predstavljaju u obliku običnog.

4. mešoviti brojevi zapisati kao nepravilne razlomke.

Uvidjet ćete prednosti ovih radnji u procesu rješavanja jednačina.

Razmotrite glavne vrste eksponencijalne jednačine i algoritme za njihovo rješavanje.

1. Tipska jednadžba

Ova jednačina je ekvivalentna jednačini

Pogledajte ovaj VIDEO da riješite jednačinu ovog tipa.

2. Tipska jednadžba

U jednadžbama ovog tipa:

b) koeficijenti za nepoznatu u eksponentu su jednaki.

Da biste riješili ovu jednačinu, morate staviti množitelj u zagrade na najmanji stepen.

Primjer rješavanja jednadžbe ovog tipa:

pogledajte VIDEO.

3. Tipska jednadžba

Ove vrste jednačina se razlikuju po tome

a) svi stepeni imaju istu osnovu

b) koeficijenti za nepoznatu u eksponentu su različiti.

Jednačine ovog tipa rješavaju se promjenom varijabli. Prije uvođenja zamjene, poželjno je da se riješite slobodnih termina u eksponentu. (, , itd.)

Rješenje ove vrste jednadžbe potražite u VIDEU:

4. Homogene jednadžbe vrsta

Prepoznatljive karakteristike homogenih jednačina:

a) svi monomi imaju isti stepen,

b) slobodni član je jednak nuli,

c) jednačina sadrži potencije sa dvije različite baze.

Homogene jednadžbe se rješavaju sličnim algoritmom.

Da biste riješili ovu vrstu jednadžbe, podijelite obje strane jednadžbe sa (može se podijeliti sa ili sa )

Pažnja! Kada dijelite desnu i lijevu stranu jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti da li su korijeni izraza kojim dijelimo oba dijela jednačine korijeni izvorne jednačine.

U našem slučaju, budući da izraz nije jednak nuli ni za jednu vrijednost nepoznate, možemo bez straha dijeliti s njim. Lijevu stranu jednačine dijelimo ovim izrazom pojam po član. Dobijamo:

Smanjite brojnik i nazivnik drugog i trećeg razlomka:

Hajde da predstavimo zamjenu:

I title="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Get kvadratna jednačina:

Riješite kvadratnu jednačinu, pronađite vrijednosti koje zadovoljavaju uslov title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Pogledajte u VIDEU detaljno rješenje homogena jednadžba:

5. Tipska jednadžba

Prilikom rješavanja ove jednačine polazit ćemo od činjenice da je title="f(x)>0">!}

Prvobitna jednakost vrijedi u dva slučaja:

1. Ako , budući da je 1 jednako 1 na bilo koji stepen,

2. Pod dva uslova:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Pogledajte VIDEO za detaljno rješenje jednačine

Na youtube kanal naše stranice stranice da budete upoznati sa svim novim video lekcijama.

Prvo, prisjetimo se osnovnih formula stupnjeva i njihovih svojstava.

Proizvod broja a dešava na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe- ovo su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

IN ovaj primjer broj 6 je baza, uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili mera.

Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?

Uzmimo jednostavnu jednačinu:

2 x = 2 3

Takav primjer se može riješiti čak i u mislima. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako treba donijeti ovu odluku:

2 x = 2 3
x = 3

Da bismo riješili ovu jednačinu, uklonili smo iste osnove(odnosno dvojke) i zapisao ono što je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.

Sada da sumiramo naše rješenje.

Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li su osnove jednadžbe na desnoj i na lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što su baze iste, izjednačiti stepena i riješiti rezultirajuću novu jednačinu.

Sada da riješimo neke primjere:

Počnimo jednostavno.

Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da možemo odbaciti bazu i izjednačiti njihove stupnjeve.

x+2=4 Pokazala se najjednostavnija jednačina.
x=4 - 2
x=2
Odgovor: x=2

U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite, to su 3 i 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Za početak prenosimo devetku na desnu stranu, dobijamo:

Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2 . Koristimo formulu snage (a n) m = a nm .

3 3x = (3 2) x + 8

Dobijamo 9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2 x + 16

3 3x = 3 2x + 16 sada je jasno da su baze na lijevoj i desnoj strani iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stupnjeve.

3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x-2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Pogledajmo sljedeći primjer:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Prije svega, gledamo baze, baze su različite dvije i četiri. I mi treba da budemo isti. Transformišemo četvorku prema formuli (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodajte u jednačinu:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate, možete vidjeti da na lijevoj strani ponavljamo 2 2x, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz u zagradama:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:

Zamislite 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze su iste, odbacite ih i izjednačite stupnjeve.
Pokazalo se da je 2x = 2 najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo jednačinu:

9 x - 12*3 x +27= 0

transformirajmo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primeru je jasno da prva trojka ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju možete odlučiti metoda zamjene. Broj s najmanjim stepenom zamjenjuje se sa:

Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Zamijenjujemo sve stupnjeve sa x-ovima u jednadžbi sa t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dobijamo kvadratnu jednačinu. Rešavamo kroz diskriminant, dobijamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Povratak na varijablu x.

Uzimamo t 1:
t 1 = 9 = 3 x

To je,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog, od t 2:
t 2 \u003d 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stranici možete u rubrici POMOĆI ODLUČITI postaviti pitanja koja vas zanimaju, mi ćemo vam svakako odgovoriti.

Pridružite se grupi