Pravougli trokut se u stvarnosti nalazi na gotovo svakom uglu. Poznavanje svojstava ove figure, kao i sposobnost izračunavanja njene površine, nesumnjivo će vam biti od koristi ne samo za rješavanje problema u geometriji, već iu životnim situacijama.

geometrija trougla

U elementarnoj geometriji, pravougli trokut je figura koja se sastoji od tri povezana segmenta koji tvore tri ugla (dva oštra i jedan pravi). Pravokutni trokut je originalna figura koju karakterizira niz važnih svojstava koja čine osnovu trigonometrije. Za razliku od običnog trokuta, stranice pravokutne figure imaju svoja imena:

• Hipotenuza je najduža stranica trougla koja leži nasuprot pravog ugla.
• Noge - segmenti koji formiraju pravi ugao. U zavisnosti od ugla koji se razmatra, krak može biti uz njega (tvoreći ovaj ugao sa hipotenuzom) ili nasuprot (ležeći nasuprot uglu). Ne postoje noge za nepravougaone trouglove.

To je omjer kateta i hipotenuze koji čini osnovu trigonometrije: sinusi, tangenti i sekanti definirani su kao omjer stranica pravougaonog trougla.

Pravougli trougao u stvarnosti

Ova cifra se široko koristi u stvarnosti. Trokuti se koriste u dizajnu i tehnologiji, tako da izračunavanje površine figure moraju obaviti inženjeri, arhitekti i dizajneri. Osnove tetraedara ili prizme imaju oblik trokuta - trodimenzionalne figure koje je lako sresti u svakodnevnom životu. Osim toga, kvadrat je najjednostavniji prikaz "ravnog" pravokutnog trokuta u stvarnosti. Kvadrat je bravarski, crtački, građevinski i stolarski alat kojim grade uglove i školarci i inženjeri.

Površina trougla

Površina geometrijske figure je kvantitativna procjena koliki je dio ravnine omeđen stranicama trokuta. Površina običnog trokuta može se pronaći na pet načina, koristeći Heronovu formulu ili operirajući u proračunima s takvim varijablama kao što su baza, stranica, kut i polumjer upisane ili opisane kružnice. Najviše jednostavna formula površina se izražava kao:

gdje je a stranica trougla, h njegova visina.

Formula za izračunavanje površine pravokutnog trokuta je još jednostavnija:

gdje su a i b noge.

Radeći s našim online kalkulatorom, možete izračunati površinu trokuta koristeći tri para parametara:

• dvije noge;
• noga i susedni ugao;
• nogu i suprotnog ugla.

U zadacima ili svakodnevnim situacijama dobit ćete različite kombinacije varijabli, pa vam ovaj oblik kalkulatora omogućava da izračunate površinu trokuta na nekoliko načina. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Keramička pločica

Recimo da želite zidove kuhinje obložiti keramičkim pločicama koje imaju oblik pravokutnog trokuta. Da biste odredili potrošnju pločica, morate saznati površinu jednog elementa obloge i ukupnu površinu površine koju treba tretirati. Neka vam treba obraditi 7 kvadratnih metara. Dužina nogu jednog elementa je 19 cm svaka, tada će površina pločice biti jednaka:

To znači da je površina jednog elementa 24,5 kvadratnih centimetara ili 0,01805 kvadratnih metara. Poznavajući ove parametre, možete izračunati da će vam za završetak 7 kvadratnih metara zida trebati 7 / 0,01805 = 387 obloženih pločica.

školski zadatak

Pretpostavimo da je u školskom zadatku geometrije potrebno pronaći površinu pravokutnog trokuta, znajući samo da je stranica jedne noge 5 cm, a vrijednost suprotnog ugla 30 stepeni. Naš online kalkulator prati ilustracija koja prikazuje stranice i uglove pravokutnog trokuta. Ako je stranica a = 5 cm, onda je njen suprotni ugao ugao alfa, jednak 30 stepeni. Unesite ove podatke u obrazac kalkulatora i dobijte rezultat:

Dakle, kalkulator ne samo da izračunava površinu datog trokuta, već i određuje dužinu susjednog kraka i hipotenuze, kao i vrijednost drugog ugla.

Zaključak

Pravougaoni trokuti se nalaze u našim životima bukvalno na svakom uglu. Određivanje površine takvih figura bit će vam korisno ne samo pri rješavanju školski zadaci geometrije, ali i svakodnevnih i profesionalnih aktivnosti.

Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan od uglova 90°. Njegova površina se može pronaći ako su poznate dvije noge. Možete, naravno, ići daleko - pronaći hipotenuzu i izračunati površinu iz , ali u većini slučajeva to će potrajati samo dodatno. Zato formula za površinu pravokutnog trokuta izgleda ovako:

Površina pravokutnog trokuta je polovina proizvoda kateta.

Primjer izračunavanja površine pravokutnog trokuta.
Dat je pravougli trougao sa katetama a= 8 cm, b= 6 cm.
Izračunavamo površinu:
Površina je: 24 cm 2

Takođe u pravouglom trouglu primenjuje se Pitagorina teorema. - zbir kvadrata dva kraka jednak je kvadratu hipotenuze.
Formula za površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta izračunava se na isti način kao i za pravilan pravokutni trokut.

Primjer izračunavanja površine jednakokračnog pravokutnog trokuta:
Dat je trougao sa nogama a= 4 cm, b\u003d 4 cm. Izračunajte površinu:
Izračunavamo površinu: \u003d 8 cm 2

Formula za površinu pravokutnog trokuta u odnosu na hipotenuzu može se koristiti ako je u uvjetu dat jedan krak. Iz Pitagorine teoreme nalazimo dužinu nepoznatog kraka. Na primjer, s obzirom na hipotenuzu c i nogu a, noga bće biti jednako:
Zatim izračunavamo površinu koristeći uobičajenu formulu. Primjer izračunavanja formule za površinu pravokutnog trokuta pomoću hipotenuze identičan je gore opisanom.

Razmotrimo zanimljiv zadatak koji će pomoći u konsolidaciji znanja o formulama za rješavanje trokuta.
Zadatak: Površina pravokutnog trokuta je 180 kvadratnih metara. vidi pronađi manji krak trougla ako je 31 cm manji od drugog.
Rješenje: označava noge a i b. Sada zamenimo podatke u formulu površine: takođe znamo da je jedna noga manja od druge a – b= 31 cm
Od prvog uslova dobijamo to
Zamena ovo stanje u drugu jednačinu:

Pošto smo pronašli stranice, uklanjamo znak minus.
Ispostavilo se da je noga a= 40 cm, i b= 9 cm.

Trougao je ravna geometrijska figura sa jednim uglom jednakim 90°. Istovremeno, u geometriji je često potrebno izračunati površinu takve figure. Kako to učiniti, reći ćemo dalje.

Najjednostavnija formula za određivanje površine pravokutnog trokuta

Početni podaci, gdje su: a i b stranice trougla koje izlaze iz pravog ugla.

Odnosno, površina je jednaka polovini proizvoda dviju stranica koje izlaze iz pravog ugla. Naravno, postoji Heronova formula koja se koristi za izračunavanje površine običnog trokuta, ali da biste odredili vrijednost, morate znati dužinu tri strane. U skladu s tim, morat ćete izračunati hipotenuzu, a ovo je dodatno vrijeme.

Nađite površinu pravokutnog trokuta koristeći Heronovu formulu

Ovo je dobro poznata i originalna formula, ali za to ćete morati izračunati hipotenuzu duž dva kraka koristeći Pitagorinu teoremu.

U ovoj formuli: a, b, c su stranice trougla, a p je poluperimetar.

Pronađite površinu pravokutnog trokuta date hipotenuzu i ugao

Ako nijedna od nogu nije poznata u vašem problemu, onda koristite najviše na jednostavan način ne možeš. Da biste odredili vrijednost, morate izračunati dužinu nogu. Ovo se radi jednostavno pomoću hipotenuze i kosinusa uključenog ugla.

b=c×cos(α)

Znajući dužinu jedne od nogu, koristeći Pitagorinu teoremu, možete izračunati drugu stranu koja izlazi iz pravog ugla.

b 2 \u003d c 2 -a 2

U ovoj formuli, c i a su hipotenuza i krak, respektivno. Sada možete izračunati površinu koristeći prvu formulu. Na isti način može se izračunati jedan od krakova, s obzirom na drugi i ugao. U ovom slučaju, jedna od željenih stranica bit će jednaka umnošku noge i tangente kuta. Postoje i drugi načini za izračunavanje površine, ali poznavajući osnovne teoreme i pravila, lako možete pronaći željenu vrijednost.

Ako nemate nijednu stranicu trokuta, već samo medijanu i jedan od uglova, tada možete izračunati dužinu stranica. Da biste to učinili, koristite svojstva medijane da podijelite pravokutni trokut sa dva. Prema tome, može djelovati kao hipotenuza ako izlazi iz oštrog ugla. Koristite Pitagorinu teoremu da pronađete dužinu stranica trougla koje izlaze iz pravog ugla.

Kao što vidite, poznavajući osnovne formule i Pitagorinu teoremu, možete izračunati površinu pravokutnog trokuta, koji ima samo jedan od uglova i dužinu jedne od stranica.

Na časovima geometrije srednja škola Svima nam je rečeno o trouglu. Međutim, unutar školski program dobijamo samo najbolje neophodno znanje i naučite najčešće i standardne načine računarstva. Postoje li neobični načini da se pronađe ova vrijednost?

Kao uvod, podsjetimo se koji se trokut smatra pravokutnim trouglom, a također označimo pojam površine.

Pravougli trougao je zatvoren geometrijska figura, čiji je jedan ugl jednak 90 0 . Integralni koncepti u definiciji su katete i hipotenuza. Noge su dvije strane koje formiraju pravi ugao na mjestu spajanja. Hipotenuza je suprotna strana pravi ugao. Pravokutni trokut može biti jednakokračan (dvije njegove stranice će biti iste veličine), ali nikada jednakostraničan (sve stranice su iste dužine). Definicije visine, medijane, vektora i drugih matematičkih pojmova neće se detaljno analizirati. Lako ih je pronaći u referentnim knjigama.

Površina pravouglog trougla. Za razliku od pravougaonika, pravilo o

proizvod stranaka u definiciji nije validan. Govoreći suvim jezikom pojmova, tada se površina trokuta shvata kao svojstvo ove figure da zauzima deo ravnine, izraženo brojem. Prilično je teško razumjeti, vidite. Nećemo pokušavati da ulazimo duboko u definiciju, naš cilj nije ovo. Pređimo na glavnu stvar - kako pronaći površinu pravokutnog trokuta? Nećemo vršiti same proračune, već ćemo navesti samo formule. Da bismo to učinili, definirajmo notaciju: A, B, C - stranice trougla, noge - AB, BC. Ugao ACB je ravan. S je površina trokuta, h n n je visina trokuta, gdje je nn strana na koju je spušten.

Metoda 1. Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta ako je poznata veličina njegovih kateta

Metoda 2. Pronađite površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta

Metoda 3. Izračunavanje površine kroz pravougaonik

Dopunjavamo pravokutni trokut do kvadrata (ako je trokut

jednakokraki) ili pravougaonik. Dobijamo jednostavan četverokut sastavljen od 2 identična pravokutna trougla. U ovom slučaju, vrijednost površine jednog od njih bit će jednaka polovini površine rezultirajuće figure. S pravokutnika se izračunava umnoškom stranica. Označavamo ovu vrijednost sa M. Željena vrijednost površine bit će jednaka polovini M.

Metoda 4. "Pitagorine pantalone." Čuvena Pitagorina teorema

Svi se sjećamo njene formulacije: "zbir kvadrata nogu...". Ali ne mogu svi

recimo, a ovde neke "pantalone". Činjenica je da je Pitagora u početku proučavao odnos izgrađen na stranicama pravokutnog trougla. Nakon što je identificirao obrasce u omjeru strana kvadrata, uspio je izvesti formulu poznatu svima nama. Može se koristiti kada je vrijednost jedne od strana nepoznata.

Metoda 5. Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta koristeći Heronovu formulu

To je takođe prilično jednostavna računica. Formula uključuje izraz površine trokuta u smislu brojčanih vrijednosti njegovih stranica. Za proračune morate znati veličinu svih strana trougla.

S = (p-AC)*(p-BC), gdje je p = (AB+BC+AC)*0,5

Osim gore navedenog, postoji mnogo drugih načina da se pronađe vrijednost takvih misteriozna figura kao trougao. Među njima: izračunavanje metodom upisane ili opisane kružnice, proračun pomoću koordinata vrhova, upotreba vektora, apsolutnih vrijednosti, sinusa, tangenta.

Kao što se možda sjećate iz školskog programa iz geometrije, trokut je figura formirana od tri segmenta povezana sa tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji. Trougao formira tri ugla, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trougao se može nazvati i poligonom sa tri ugla, odgovor će biti jednako tačan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini uglova na slikama. Dakle, razlikuju takve trokute kao što su jednakokračni, jednakostrani i razmjerni, kao i pravokutni, pod oštrim i tupokutnim.

Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. koju formulu koristiti, samo vi. Ali vrijedi napomenuti samo neke oznake koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. pa zapamti:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trougla,

h je visina trokuta,

R je poluprečnik opisane kružnice,

p je poluperimetar.

Ovdje su osnovne oznake koje mogu biti korisne ako ste potpuno zaboravili kurs geometrije. Najrazumljivije i najkompliciranije opcije za izračunavanje nepoznate i tajanstvene površine trokuta bit će navedene u nastavku. Nije teško i dobro će vam doći i za potrebe vašeg domaćinstva i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako izračunati površinu trokuta lako kao ljuštenje krušaka:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. = 2,75 sq. cm. Zapamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravougli trougao je trougao sa jednim uglom jednakim 90 stepeni (zbog toga se naziva pravougli trougao). Pravi ugao čine dvije okomite linije (u slučaju trougla, dva okomita segmenta). U pravouglom trouglu može postojati samo jedan pravi ugao, jer zbir svih uglova bilo kog trougla je 180 stepeni. Ispada da bi 2 druga ugla trebala podijeliti preostalih 90 stupnjeva između sebe, na primjer, 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjetili ste se glavne stvari, ostaje da naučite kako pronaći površinu pravokutnog trokuta. Zamislite da imamo takav pravougaoni trougao ispred sebe, a trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najlakši način za određivanje površine pravokutnog trokuta se izračunava pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U principu, više nije potrebno provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer u svakodnevnom životu dobro će doći i samo će ovaj pomoći. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre uglove.

2. Za druge metode izračunavanja, morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangenta. Procijenite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površina pravokutnog trougla koje još uvijek možete koristiti:

Odlučili smo da koristimo prvu formulu i sa malim mrljama (crtali smo u svesku i koristili stari lenjir i uglomer), ali smo dobili pravi proračun:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). Dobili smo takve rezultate 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelije, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokraki trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja formule jednakokračnog trokuta, onda je najlakši način da koristite glavnu i, kako se smatra klasičnom formulom za površinu trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo površinu jednakokračnog trokuta, saznat ćemo o kakvoj se figuri radi. Jednakokraki trougao je trougao čije su dve stranice iste dužine. Ove dvije strane se zovu stranice, a treća strana se zove baza. Ne brkajte jednakokraki trougao sa jednakostraničnim, tj. jednakostranični trougao sa sve tri strane jednake. U takvom trokutu nema posebnih sklonosti uglovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, uglovi u osnovi u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od ugla između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje da saznate koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate: