Kod rješavanja nekih geometrijskih zadataka koordinatnom metodom potrebno je pronaći koordinate tačke preseka pravih. Najčešće se moraju tražiti koordinate točke presjeka dviju pravih na ravni, međutim, ponekad je potrebno odrediti koordinate točke presjeka dviju pravih u prostoru. U ovom članku ćemo se pozabaviti pronalaženjem koordinata tačke u kojoj se dvije prave sijeku.

Navigacija po stranici.

Tačka preseka dve prave je definicija.

Hajde da prvo definišemo tačku preseka dve prave.

Dakle, da bi se pronašle koordinate tačke preseka dve prave definisane na ravni opštim jednačinama, potrebno je rešiti sistem sastavljen od jednačina datih pravih.

Razmotrimo primjer rješenja.

Primjer.

Naći tačku preseka dve prave definisane u pravougaonom koordinatnom sistemu u ravni jednačinama x-9y+14=0 i 5x-2y-16=0 .

Rješenje.

Date su nam dvije opšte jednadžbe linija, od njih ćemo sastaviti sistem: . Rješenja rezultujućeg sistema jednadžbi lako se nalaze ako se njegova prva jednačina riješi u odnosu na varijablu x i ovaj izraz zameni drugom jednačinom:

Pronađeno rešenje sistema jednačina daje nam željene koordinate tačke preseka dve prave.

odgovor:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 i 5x-2y-16=0 .

Dakle, pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave, definisane opštim jednačinama na ravni, svodi se na rešavanje sistema dve linearne jednačine sa dve nepoznate varijable. Ali šta ako prave linije na ravni nisu date opštim jednačinama, već jednadžbama drugačijeg tipa (pogledajte tipove jednačine prave na ravni)? U tim slučajevima možete najprije dovesti jednačine linija u opći oblik, a tek nakon toga pronaći koordinate točke presjeka.

Primjer.

i .

Rješenje.

Prije pronalaženja koordinata točke presjeka datih pravih, njihove jednačine svedemo na opšti pogled. Prijelaz sa parametarskih jednadžbi na pravu liniju opšta jednačina ove prave linije je sljedeća:

Sada ćemo izvršiti potrebne radnje s kanonskom jednadžbom linije:

Dakle, željene koordinate tačke preseka pravih su rešenje sistema jednačina oblika . Za rješavanje koristimo:

odgovor:

M 0 (-5, 1)

Postoji još jedan način da pronađete koordinate tačke preseka dve prave u ravni. Pogodno ga je koristiti kada je jedna od pravih data parametarskim jednadžbama oblika , a drugi - jednačina prave linije drugačijeg oblika. U ovom slučaju, u drugoj jednačini, umjesto varijabli x i y, možete zamijeniti izraze i , iz koje će biti moguće dobiti vrijednost koja odgovara tački presjeka datih linija. U ovom slučaju, tačka presjeka linija ima koordinate .

Nađimo koordinate tačke preseka pravih iz prethodnog primera na ovaj način.

Primjer.

Odredite koordinate tačke preseka pravih i .

Rješenje.

Zamjena u jednadžbi direktnog izraza:

Rješavajući rezultirajuću jednačinu, dobivamo . Ova vrijednost odgovara zajedničkoj tački linija i . Izračunavamo koordinate točke presjeka zamjenom prave linije u parametarske jednadžbe:
.

odgovor:

M 0 (-5, 1) .

Da bismo upotpunili sliku, trebalo bi razmotriti još jednu tačku.

Prije pronalaženja koordinata točke sjecišta dvije prave u ravni, korisno je provjeriti da li se date prave zaista sijeku. Ako se ispostavi da se originalne prave poklapaju ili da su paralelne, onda ne dolazi u obzir pronalaženje koordinata točke presjeka takvih pravaca.

Možete, naravno, bez takve provjere i odmah sastaviti sistem jednadžbi oblika i riješi to. Ako sistem jednačina ima jedina odluka, tada daje koordinate tačke u kojoj se sijeku originalne linije. Ako sistem jednačina nema rješenja, onda možemo zaključiti da su originalne prave paralelne (pošto ne postoji takav par realnih brojeva x i y koji bi istovremeno zadovoljio obje jednačine datih pravih). Iz prisustva beskonačnog skupa rješenja sistema jednačina slijedi da originalne prave imaju beskonačno mnogo zajedničkih tačaka, odnosno da se poklapaju.

Pogledajmo primjere koji odgovaraju ovim situacijama.

Primjer.

Saznajte da li se prave i sijeku, i ako se sijeku, onda pronađite koordinate točke presjeka.

Rješenje.

Date jednačine linija odgovaraju jednačinama i . Rešimo sistem sastavljen od ovih jednačina .

Očigledno je da se jednačine sistema linearno izražavaju jedna kroz drugu (druga jednačina sistema se dobija iz prve množenjem oba njena dela sa 4), dakle, sistem jednačina ima beskonačan broj rešenja. Dakle, jednačine i definišu istu pravu, a ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata tačke preseka ovih pravih.

odgovor:

Jednačine i određuju istu pravu liniju u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy, tako da se ne može govoriti o pronalaženju koordinata tačke preseka.

Primjer.

Pronađite koordinate tačke preseka pravih i , ako je moguće.

Rješenje.

Uslov zadatka priznaje da se prave možda ne sijeku. Hajde da sastavimo sistem ovih jednačina. Primjenjivo za njegovo rješenje, jer vam omogućava da utvrdite kompatibilnost ili nekonzistentnost sistema jednadžbi, a ako je kompatibilno, nađete rješenje:

Posljednja jednačina sistema nakon direktnog toka Gaussove metode pretvorila se u netačnu jednakost, pa sistem jednačina nema rješenja. Iz ovoga možemo zaključiti da su originalne prave paralelne i ne možemo govoriti o pronalaženju koordinata tačke preseka ovih pravih.

Drugo rješenje.

Hajde da saznamo da li se date prave sijeku.

- vektor normalne linije , i vektor je normalni vektor prave . Hajde da proverimo izvršenje i : jednakost je tačno, jer , Dakle, normalni vektori datih linija su kolinearni. Tada su ove prave paralelne ili se poklapaju. Dakle, ne možemo pronaći koordinate tačke preseka originalnih linija.

odgovor:

Nemoguće je pronaći koordinate tačke preseka datih pravih, jer su ove prave paralelne.

Primjer.

Naći koordinate tačke preseka pravih 2x-1=0 i ako se sijeku.

Rješenje.

Sastavljamo sistem jednačina koje su opšte jednačine datih linija: . Determinanta glavne matrice ovog sistema jednačina je različita od nule , pa sistem jednačina ima jedinstveno rješenje, koje označava presek datih pravih.

Da bismo pronašli koordinate tačke preseka pravih, moramo da rešimo sistem:

Rezultirajuće rješenje daje nam koordinate tačke preseka pravih, tj. 2x-1=0 i .

odgovor:

Pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave u prostoru.

Slično se nalaze koordinate tačke preseka dve prave u trodimenzionalnom prostoru.

Razmotrimo rješenja primjera.

Primjer.

Naći koordinate tačke preseka dve prave date u prostoru jednačinama i .

Rješenje.

Sastavljamo sistem jednačina od jednačina datih linija: . Rešenje ovog sistema će nam dati željene koordinate tačke preseka linija u prostoru. Nađimo rješenje pisanog sistema jednačina.

Glavna matrica sistema ima oblik , i prošireni .

Hajde da definišemo A i rang matrice T . Koristimo

1. Da biste pronašli koordinate presječne točke grafova funkcija, trebate izjednačiti obje funkcije jednu s drugom, premjestiti sve članove koji sadrže $ x $ na lijevu stranu, a ostatak na desnu stranu i pronaći korijene rezultirajućeg jednačina.
2. Drugi način je sastaviti sistem jednačina i riješiti ga zamjenom jedne funkcije drugom
3. Treća metoda uključuje grafičku konstrukciju funkcija i vizualnu definiciju točke presjeka.

Slučaj dvije linearne funkcije

Razmotrimo dvije linearne funkcije $ f(x) = k_1 x+m_1 $ i $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Ove funkcije se nazivaju direktne. Njihovo sastavljanje je dovoljno jednostavno, samo trebate uzeti bilo koje dvije vrijednosti $x_1$ i $x_2$ i pronaći $f(x_1)$ i $(x_2)$. Zatim ponovite isto sa funkcijom $ g(x) $. Zatim vizualno pronađite koordinate presječne točke grafova funkcija.

Treba znati da linearne funkcije imaju samo jednu točku presjeka i to samo kada je $ k_1 \neq k_2 $. Inače, u slučaju $ k_1=k_2 $, funkcije su paralelne jedna s drugom, pošto je $ k $ faktor nagiba. Ako je $ k_1 \neq k_2 $, ali $ m_1=m_2 $, tada će tačka preseka biti $ M(0;m) $. Ovo pravilo je poželjno zapamtiti za ubrzano rješavanje problema.

Primjer 1

Neka su $ f(x) = 2x-5 $ i $ g(x)=x+3 $. Pronađite koordinate presječne točke grafova funkcija.

Rješenje

Kako uraditi? Pošto su predstavljene dvije linearne funkcije, prvo što gledamo je koeficijent nagiba obje funkcije $ k_1 = 2 $ i $ k_2 = 1 $. Imajte na umu da $ k_1 \neq k_2 $, tako da postoji jedna tačka preseka. Nađimo ga pomoću jednačine $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Pomičemo pojmove sa $ x $ na lijevu stranu, a ostale na desnu: $$ 2x - x = 3+5 $$ Dobili smo $ x=8 $ apscisu presečne tačke grafova, a sada da nađemo ordinatu. Da bismo to učinili, zamjenjujemo $ x = 8 $ u bilo koju od jednačina u $ f(x) $ ili u $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Dakle, $ M (8;11) $ - je tačka preseka grafova dve linearne funkcije. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo obezbediti detaljno rješenje. Moći ćete se upoznati s napretkom izračunavanja i prikupiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete kredit od nastavnika!

Odgovori

$$ M (8;11) $$

Slučaj dvije nelinearne funkcije

Primjer 3

Pronađite koordinate presečne tačke grafova funkcija: $ f(x)=x^2-2x+1 $ i $ g(x)=x^2+1 $

Rješenje

Što je s dvije nelinearne funkcije? Algoritam je jednostavan: izjednačavamo jednadžbe jedne s drugima i pronalazimo korijene: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Raširimo članove sa $ x $ i bez njega na različite strane jednačine: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Apscisa željene tačke je pronađena, ali to nije dovoljno. Ordinata $ y $ još uvijek nedostaje. Zamijenite $ x = 0 $ u bilo koju od dvije jednačine iskaza problema. Na primjer: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - tačka preseka grafova funkcija

Odgovori

$$ M (0;1) $$

Za rješavanje geometrijskog problema koordinatnom metodom potrebna je točka presjeka čije se koordinate koriste u rješenju. Situacija nastaje kada je potrebno tražiti koordinate sjecišta dvije prave na ravni ili odrediti koordinate istih pravih u prostoru. Ovaj članak razmatra slučajeve pronalaženja koordinata tačaka u kojima se date prave sijeku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Potrebno je definisati tačke preseka dve prave.

Odjeljak o relativnom položaju pravih na ravni pokazuje da se one mogu poklapati, biti paralelne, sijeći u jednoj zajedničkoj tački ili seći. Dvije prave u prostoru nazivaju se ukrštanjem ako imaju jednu zajedničku tačku.

Definicija tačke presjeka linija zvuči ovako:

Definicija 1

Tačka u kojoj se dvije prave seku naziva se njihova tačka preseka. Drugim rečima, tačka preseka linija je tačka preseka.

Razmotrite sliku ispod.

Prije pronalaženja koordinata točke presjeka dviju pravih, potrebno je razmotriti primjer u nastavku.

Ako na ravni postoji koordinatni sistem O x y, tada su date dvije prave a i b. Prava a odgovara opštoj jednačini oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, za pravu b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada je M 0 (x 0 , y 0) neka tačka ravni, potrebno je saznati da li će tačka M 0 biti tačka preseka ovih pravih.

Da biste riješili problem, potrebno je pridržavati se definicije. Tada se prave moraju seći u tački čije su koordinate rješenje datih jednačina A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . To znači da se koordinate tačke preseka zamenjuju u sve date jednačine. Ako daju ispravan identitet prilikom zamjene, tada se M 0 (x 0 , y 0) smatra njihovom presječnom točkom.

Primjer 1

Date su dvije prave koje se sijeku 5 x - 2 y - 16 = 0 i 2 x - 5 y - 19 = 0 . Da li će tačka M 0 sa koordinatama (2, - 3) biti tačka preseka.

Rješenje

Da bi presek pravih bio realan, potrebno je da koordinate tačke M 0 zadovoljavaju jednačine pravih. To se potvrđuje njihovim zamjenom. Shvatili smo to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obe jednakosti su tačne, što znači da je M 0 (2, - 3) tačka preseka datih pravih.

Ovo rješenje prikazujemo na koordinatnoj liniji na donjoj slici.

odgovor:dati poen sa koordinatama (2, - 3) će biti tačka preseka datih linija.

Primjer 2

Hoće li se prave 5 x + 3 y - 1 = 0 i 7 x - 2 y + 11 = 0 sjeći u tački M 0 (2 , - 3) ?

Rješenje

Za rješavanje problema potrebno je zamijeniti koordinate tačke u svim jednačinama. Shvatili smo to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druga jednakost nije tačna, što znači da data tačka ne pripada pravoj 7 x - 2 y + 11 = 0 . Otuda imamo da tačka M 0 nije tačka preseka pravih.

Crtež jasno pokazuje da M 0 nije tačka preseka pravih. Imaju zajedničku tačku sa koordinatama (- 1, 2).

odgovor: tačka sa koordinatama (2, - 3) nije tačka preseka datih pravih.

Prelazimo na pronalaženje koordinata tačaka preseka dve prave koristeći date jednačine na ravni.

Dvije linije koje se sijeku a i b su date jednadžbama oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 koje se nalaze u O x y. Prilikom označavanja točke presjeka M 0, dobivamo da bismo trebali nastaviti potragu za koordinatama prema jednadžbama A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Iz definicije je očigledno da je M 0 zajednička tačka preseka pravih. U ovom slučaju, njegove koordinate moraju zadovoljiti jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Drugim riječima, ovo je rješenje rezultirajućeg sistema A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

To znači da je za pronalaženje koordinata tačke presjeka potrebno sistemu dodati sve jednačine i riješiti ga.

Primjer 3

Date su dvije prave x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0 na ravni. morate pronaći njihovu raskrsnicu.

Rješenje

Podaci o stanju jednadžbe moraju se prikupiti u sistem, nakon čega dobijamo x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Da bi se to riješilo, prva jednačina se rješava za x, a izraz se zamjenjuje u drugi:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Rezultirajući brojevi su koordinate koje je trebalo pronaći.

odgovor: M 0 (4 , 2) je presjek pravih x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Potraga za koordinatama svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ako je, prema uslovu, dat drugi oblik jednačine, onda je treba svesti na normalni oblik.

Primjer 4

Odrediti koordinate tačaka preseka pravih x - 5 = y - 4 - 3 i x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Rješenje

Za početak, potrebno je jednadžbe dovesti u opći oblik. Tada dobijamo da se x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R transformira na ovaj način:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Zatim uzimamo jednačinu kanonskog oblika x - 5 = y - 4 - 3 i transformiramo. Shvatili smo to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Dakle, imamo da su koordinate tačka preseka

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Primijenimo Cramerovu metodu da pronađemo koordinate:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 212 .

odgovor: M 0 (- 5 , 1) .

Postoji još jedan način da pronađete koordinate tačke preseka linija koje se nalaze na ravni. Primjenjivo je kada je jedna od linija data parametarskim jednačinama oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Tada se x = x 1 + a x λ i y = y 1 + a y λ zamjenjuju za x, gdje dobijamo λ = λ 0 koja odgovara tački presjeka koja ima koordinate x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Primjer 5

Odredite koordinate tačke preseka prave x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3 .

Rješenje

Potrebno je izvršiti zamjenu u x - 5 \u003d y - 4 - 3 izrazom x = 4 + 9 λ, y = 2 + λ, tada dobivamo:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Prilikom rješavanja dobijamo da je λ = - 1 . Ovo implicira da postoji tačka preseka između pravih x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3 . Za izračunavanje koordinata potrebno je u parametarsku jednačinu zamijeniti izraz λ = - 1. Tada dobijamo da je x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

odgovor: M 0 (- 5 , 1) .

Da biste u potpunosti razumjeli temu, morate znati neke od nijansi.

Prvo morate razumjeti lokaciju linija. Kada se ukrste, naći ćemo koordinate, u drugim slučajevima neće biti rješenja. Da bismo izbjegli ovu provjeru, možemo sastaviti sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ako postoji rješenje, zaključujemo da se prave seku. Ako nema rješenja, onda su paralelne. Kada sistem ima beskonačan broj rješenja, onda se kaže da su ista.

Primjer 6

Zadane linije x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 . Odredite da li imaju zajedničku tačku.

Rješenje

Pojednostavljujući date jednačine, dobijamo 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 i 4 3 x - y - 4 = 0 .

Potrebno je sakupiti jednačine u sistem za naknadno rješavanje:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Ovo pokazuje da su jednadžbe izražene jedna kroz drugu, tada dobijamo beskonačan broj rješenja. Tada jednačine x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 definiraju istu pravu liniju. Dakle, nema raskrsnica.

odgovor: date jednačine definišu istu pravu liniju.

Primjer 7

Pronađite koordinate tačke preseka pravih 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 i 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Rješenje

Pod uslovom, moguće je da se prave neće preseći. Napišite sistem jednačina i riješite ga. Za rješenje je potrebno koristiti Gaussovu metodu, jer je uz njenu pomoć moguće provjeriti kompatibilnost jednadžbe. Dobijamo sistem oblika:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dobili smo pogrešnu jednakost, tako da sistem nema rješenja. Zaključujemo da su prave paralelne. Ne postoje raskrsnice.

Drugo rješenje.

Prvo morate utvrditi prisutnost sjecišta linija.

n 1 → = (2 , 2 - 3) je vektor normale prave 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , tada je vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 vektor normale za pravu 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Potrebno je provjeriti kolinearnost vektora n 1 → = (2, 2 - 3) i n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Dobijamo jednakost oblika 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Tačno je jer je 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Iz toga slijedi da su vektori kolinearni. To znači da su prave paralelne i da nemaju tačaka preseka.

odgovor: nema tačaka preseka, prave su paralelne.

Primjer 8

Naći koordinate presjeka zadanih pravih 2 x - 1 = 0 i y = 5 4 x - 2 .

Rješenje

Za rješavanje sastavljamo sistem jednačina. Dobijamo

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Naći determinantu glavne matrice. Za ovo, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Pošto je različit od nule, sistem ima 1 rješenje. Iz toga slijedi da se prave sijeku. Rešimo sistem za pronalaženje koordinata tačaka preseka:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Dobili smo da tačka preseka datih pravih ima koordinate M 0 (1 2 , - 11 8) .

odgovor: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave u prostoru

Na isti način se pronalaze tačke preseka linija prostora.

Kada su linije a i b date u koordinatnoj ravni O x y z jednačinama ravnina koje se seku, onda postoji prava a, koja se može odrediti pomoću datog sistema A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 i prava linija b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 \u003d 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 \u003d 0.

Kada je tačka M 0 tačka preseka pravih, tada njene koordinate moraju biti rešenja obe jednačine. Get linearne jednačine u sistemu:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Razmotrimo takve zadatke s primjerima.

Primjer 9

Pronađite koordinate tačke preseka datih pravih x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Rješenje

Sastavljamo sistem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 i rješavamo ga. Da biste pronašli koordinate, potrebno je riješiti kroz matricu. Tada dobijamo glavnu matricu oblika   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 i proširenu matricu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Određujemo rang matrice prema Gaussu.

Shvatili smo to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Iz toga slijedi da je rang proširene matrice 3. Tada sistem jednačina x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 rezultira samo jednim rješenjem.

Bazni minor ima determinantu 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , tada posljednja jednačina ne odgovara. Dobijamo da je x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Sistemsko rješenje x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Dakle, imamo da tačka preseka x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ima koordinate (1 , - 3 , 0) .

odgovor: (1 , - 3 , 0) .

Sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ima samo jedno rješenje. Dakle, prave a i b se sijeku.

U drugim slučajevima jednačina nema rješenja, odnosno nema ni zajedničkih tačaka. Odnosno, nemoguće je pronaći tačku sa koordinatama, jer ona ne postoji.

Dakle, sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 rješava se Gaussovom metodom. Zbog svoje nekompatibilnosti, linije se ne sijeku. Ako postoji beskonačan broj rješenja, onda se ona poklapaju.

Možete donijeti odluku tako što ćete izračunati glavni i prošireni rang matrice, a zatim primijeniti Kronecker-Capelli teorem. Dobijamo jedno, mnogo ili potpuno odsustvo rješenja.

Primjer 10

Date su jednadžbe pravih x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 i x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Pronađite tačku raskrsnice.

Rješenje

Prvo, postavimo sistem jednačina. Dobijamo da je x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Rješavamo ga Gaussovom metodom:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Očigledno, sistem nema rješenja, što znači da se prave ne seku. Ne postoji raskrsnica.

odgovor: nema raskrsnice.

Ako su linije date kononičkim ili parametarskim jednadžbama, potrebno ih je dovesti u oblik jednadžbi ravnina koje se sijeku, a zatim pronaći koordinate.

Primjer 11

Date su dvije linije x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R i x 2 = y - 3 0 = z 5 u O x y z . Pronađite tačku raskrsnice.

Rješenje

Ravne linije postavljamo jednadžbama dvije ravnine koje se seku. Shvatili smo to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Nalazimo koordinate 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, za to izračunavamo rangove matrice. Rang matrice je ​​3, a osnovni minor je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, što znači da posljednja jednačina mora biti isključena iz sistema. Shvatili smo to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Rešimo sistem Cramerovom metodom. Dobijamo da je x = - 2 y = 3 z = - 5 . Odavde dobijamo da presek datih pravih daje tačku sa koordinatama (- 2 , 3 , - 5).

odgovor: (- 2 , 3 , - 5) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter