Trougao u geometriji predstavlja jednu od osnovnih figura. Iz prethodnih lekcija znate da je trokut poligonalna figura koja ima tri ugla i tri stranice.

Trougao se zove pravougaona, ako ima pravi ugao od 90 stepeni.
Pravokutni trokut ima dvije međusobno okomite stranice tzv noge ; zove se njegova treća strana hipotenuza . Hipotenuza je najveća stranica ovog trougla.

• Prema svojstvima okomite i kose, hipotenuza je duža od svake katete (ali manja od njihovog zbira).
• Zbir dva oštra ugla pravougaonog trougla jednak pravom uglu.
• Dvije visine pravouglog trougla poklapaju se s njegovim katetama. Dakle, jedna od četiri izuzetne tačke pada na vrhove pravi ugao trougao.
• Centar opisanog pravougla trougla leži u sredini hipotenuze.
• Medijan pravouglog trougla povučen iz vrha pravog ugla do hipotenuze je poluprečnik kružnice opisane oko ovog trougla.

Svojstva i karakteristike pravouglog trougla

I – e vlasništvo. U pravokutnom trokutu zbir njegovih oštrih uglova je 90°. Nasuprot veće stranice trokuta je veći ugao, a nasuprot većeg ugla je veća stranica. U pravokutnom trokutu najveći ugao je pravi ugao. Ako je najveći ugao u trouglu veći od 90°, onda takav trokut prestaje biti pravokutni, jer zbir svih uglova prelazi 180 stepeni. Iz svega ovoga slijedi da je hipotenuza najduža stranica trokuta.

II je vlasništvo. Krak pravouglog trougla, koji leži nasuprot ugla od 30 stepeni, jednak je polovini hipotenuze.

III – imovina. Ako je u pravokutnom trokutu kateta jednaka polovini hipotenuze, tada će ugao koji leži nasuprot ovoj kraci biti jednak 30 stepeni.

Za rješavanje geometrijskih problema potrebno je ogromno znanje. Jedna od osnovnih definicija ove nauke je pravougli trougao.

Ovaj koncept znači da se sastoji od tri ugla i

strane, sa jednim od uglova od 90 stepeni. Stranice koje čine pravi ugao nazivaju se kracima, a treća strana, koja je suprotna njoj, naziva se hipotenuza.

Ako su katete u takvoj figuri jednake, naziva se jednakokraki pravokutni trokut. U ovom slučaju postoji članstvo u dva, što znači da se posmatraju svojstva obe grupe. Podsjetimo da su uglovi u osnovi jednakokračnog trougla apsolutno uvijek jednaki, stoga će oštri uglovi takve figure uključivati ​​45 stepeni.

Prisustvo jednog od sljedećih svojstava nam omogućava da kažemo da je jedan pravougaoni trokut jednak drugom:

1. stranice dva trougla su jednake;
2. figure imaju istu hipotenuzu i jedan od krakova;
3. hipotenuza i bilo koji od oštrih uglova su jednaki;
4. ispunjen je uslov jednakosti kraka i oštrog ugla.

Površina pravokutnog trokuta lako se izračunava i pomoću standardnih formula i kao vrijednost jednaka polovini proizvoda njegovih nogu.

U pravokutnom trokutu se primjećuju sljedeće relacije:

1. katet nije ništa drugo do srednja vrijednost proporcionalna hipotenuzi i njenoj projekciji na nju;
2. ako opišete krug oko pravokutnog trokuta, njegovo središte će biti u sredini hipotenuze;
3. visina povučena iz pravog ugla je prosečna proporcionalna projekcijama krakova trougla na njegovu hipotenuzu.

Zanimljivo je da bez obzira koji je pravougao trougao, ova svojstva se uvijek poštuju.

Pitagorina teorema

Pored gore navedenih svojstava, pravokutni trokut karakterizira sljedeći uvjet:

Ova teorema je dobila ime po svom osnivaču - Pitagorinoj teoremi. On je ovu vezu otkrio kada je proučavao svojstva izgrađenih kvadrata

Da bismo dokazali teoremu, konstruiramo trougao ABC, čije krakove označavamo kao a i b, a hipotenuzu kao c. Zatim ćemo izgraditi dva kvadrata. Za jednu, strana će biti hipotenuza, za drugu, zbir dva kraka.

Tada se površina prvog kvadrata može naći na dva načina: kao zbir površina četiri trokuta ABC i drugog kvadrata, ili kao kvadrat stranice, prirodno, ovi omjeri će biti jednaki. To je:

sa 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2, transformiramo rezultirajući izraz:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

Kao rezultat, dobijamo: c 2 = a 2 + b 2

dakle, geometrijska figura pravougli trokut ne samo da odgovara svim svojstvima karakterističnim za trouglove. Prisutnost pravog ugla dovodi do činjenice da figura ima druge jedinstvene odnose. Njihovo proučavanje bit će korisno ne samo u nauci, već iu Svakodnevni život, budući da se takva figura kao što je pravokutni trokut nalazi posvuda.

Pravougli trougao je trougao čiji je jedan ugao pravi (jednak 90 0). Dakle, zbir druga dva ugla iznosi 90 0.

Stranice pravouglog trougla

Strana koja je nasuprot ugla od devedeset stepeni naziva se hipotenuza. Druge dvije strane se zovu noge. Hipotenuza je uvijek duža od kateta, ali kraća od njihovog zbira.

Pravokutni trokut. Svojstva trougla

Ako je krak nasuprot ugla od trideset stepeni, tada njegova dužina odgovara polovini dužine hipotenuze. Iz toga slijedi da je ugao nasuprot kateta, čija dužina odgovara polovini hipotenuze, jednak trideset stepeni. Katet je jednak prosjeku proporcionalne hipotenuze i projekcije koju krak daje hipotenuzi.

Pitagorina teorema

Bilo koji pravougli trougao poštuje Pitagorinu teoremu. Ova teorema kaže da je zbir kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze. Ako pretpostavimo da su katete jednake a i b, a hipotenuza c, onda pišemo: a 2 + b 2 = c 2. Pitagorina teorema se koristi za rješavanje svih geometrijskih problema koji uključuju pravokutne trokute. Također će vam pomoći da nacrtate pravi ugao u nedostatku potrebnih alata.

Visina i medijan

Pravougli trokut karakterizira činjenica da su njegove dvije visine poravnate s njegovim katetama. Da biste pronašli treću stranu, morate pronaći zbir projekcija kateta na hipotenuzu i podijeliti sa dva. Ako povučemo medijan iz vrha pravog ugla, ispostavit će se da je to polumjer kružnice koja je opisana oko trokuta. Središte ovog kruga će biti sredina hipotenuze.

Pravokutni trokut. Površina i njen proračun

Površina pravokutnih trokuta izračunava se pomoću bilo koje formule za pronalaženje površine trokuta. Osim toga, možete koristiti još jednu formulu: S = a * b / 2, koja kaže da za pronalaženje površine trebate podijeliti proizvod duljina nogu sa dva.

Kosinus, sinus i tangent pravougaonog trougla

Kosinus oštrog ugla je odnos kraka koji se nalazi pored ugla i hipotenuze. Uvek je manji od jedan. Sinus je omjer kraka koji leži nasuprot ugla prema hipotenuzi. Tangenta je omjer kraka koji je suprotan kutu i kraka koji je susjedan ovom kutu. Kotangens je omjer stranice koja je susjedna kutu i strane suprotne kutu. Kosinus, sinus, tangent i kotangens ne zavise od veličine trokuta. Na njihovu vrijednost utiče samo stepen mjere ugla.

Rješenje trougla

Da biste izračunali vrijednost kraka nasuprot kutu, trebate pomnožiti dužinu hipotenuze sa sinusom ovog kuta ili veličinu druge noge s tangentom kuta. Da bi se pronašao krak uz ugao, potrebno je izračunati proizvod hipotenuze i kosinusa ugla.

Jednakokraki pravougaoni trougao

Ako trokut ima pravi ugao i jednake stranice, onda se naziva jednakokraki pravokutni trokut. Oštri uglovi takvog trougla su takođe jednaki - svaki po 45 0. Medijan, simetrala i visina povučeni iz pravog ugla jednakokračnog pravouglog trougla su isti.

Prvi su segmenti koji se nalaze pored pravog ugla, a hipotenuza je najduži deo figure i nalazi se nasuprot ugla od 90 stepeni. Pitagorin trougao je onaj čije su stranice jednake prirodni brojevi; njihove dužine se u ovom slučaju nazivaju “pitagorina trojka”.

Egipatski trougao

Da bi sadašnja generacija prepoznala geometriju u onom obliku u kojem se sada uči u školi, ona se razvijala kroz nekoliko stoljeća. Osnovna tačka se smatra Pitagorinom teoremom. Stranice pravougaonika poznate su u cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo ljudi nije upoznato s frazom “Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima.” Međutim, u stvarnosti teorema zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) = a 2 + b 2 (zbir kvadrata kateta).

Među matematičarima, trougao sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m, itd.) naziva se "egipatski". Zanimljivo je da je ono što je upisano na slici jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. veka pre nove ere, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Prilikom izgradnje piramida, arhitekte i geodeti su koristili omjer 3:4:5. Ispostavile su se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za pogled i prostrane, a također su se rijetko srušile.

Kako bi izgradili pravi ugao, graditelji su koristili konopac sa 12 čvorova vezanih na njemu. U ovom slučaju, vjerovatnoća izgradnje pravouglog trougla je porasla na 95%.

Znakovi jednakosti figura

• Oštar ugao u pravokutnom trokutu i duga stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan su znak jednakosti figura. Uzimajući u obzir zbir uglova, lako je dokazati da su i drugi oštri uglovi jednaki. Dakle, trouglovi su identični prema drugom kriterijumu.
• Prilikom namještanja dvije figure jednu na drugu, rotiramo ih tako da, kada se spoje, postanu jedan jednakokraki trokut. Po svom svojstvu, stranice, odnosno hipotenuze su jednake, kao i uglovi u osnovi, što znači da su ove figure iste.

Na osnovu prvog znaka vrlo je lako dokazati da su trouglovi zaista jednaki, glavno je da su dvije manje stranice (tj. noge) jedna drugoj jednake.

Trokuti će biti identični prema drugom kriteriju, čija je suština jednakost kraka i oštrog ugla.

Svojstva trougla sa pravim uglom

Visina koja se spušta iz pravog ugla dijeli figuru na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegova medijana lako se mogu prepoznati po pravilu: medijana koja pada na hipotenuzu jednaka je njegovoj polovini. može se naći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednak polovini umnoška nogu.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva uglova od 30°, 45° i 60°.

• Uz ugao od 30°, treba imati na umu da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće strane.
• Ako je ugao 45°, onda je i drugi oštri ugao 45°. Ovo sugerira da je trokut jednakokračan i da su mu kraci isti.
• Svojstvo ugla od 60° je da treći ugao ima stepen mjere u 30 sati.

Područje se lako može pronaći pomoću jedne od tri formule:

1. kroz visinu i stranu na koju se spušta;
2. prema Heronovoj formuli;
3. na stranama i ugao između njih.

Stranice pravokutnog trougla, odnosno katete, konvergiraju se s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je razmotriti rezultirajući trokut, a zatim, koristeći Pitagorinu teoremu, izračunati potrebnu dužinu. Pored ove formule, postoji i odnos između dvostruke površine i dužine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje proračuna.

Teoreme koje se primjenjuju na pravokutni trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su:

Pravokutni trokut- ovo je trougao u kojem je jedan od uglova ravan, odnosno jednak 90 stepeni.

• Strana naspram pravog ugla naziva se hipotenuza (na slici označena kao c ili AB)
• Strana koja se nalazi uz pravi ugao naziva se noga. Svaki pravokutni trokut ima dvije krake (na slici su označene kao a i b ili AC i BC)

Formule i svojstva pravokutnog trougla

Oznake formula:

(vidi sliku iznad)

a, b- katete pravouglog trougla

c- hipotenuza

α, β - oštri uglovi trougla

S- kvadrat

h- visina spuštena od vrha pravog ugla do hipotenuze

m a a iz suprotnog ugla ( α )

m b- medijana povučena u stranu b iz suprotnog ugla ( β )

m c- medijana povučena u stranu c iz suprotnog ugla ( γ )

IN pravougaonog trougla bilo koji od kateta je manji od hipotenuze(Formule 1 i 2). Ovo svojstvo je posledica Pitagorine teoreme.

Kosinus bilo kojeg od oštrih uglova manje od jedan (Formule 3 i 4). Ovo svojstvo proizlazi iz prethodne. Budući da je bilo koji katet manji od hipotenuze, omjer kateta i hipotenuze je uvijek manji od jedan.

Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta (Pitagorina teorema). (Formula 5). Ovo svojstvo se stalno koristi prilikom rješavanja problema.

Površina pravouglog trougla jednako polovini umnožaka nogu (Formula 6)

Zbir medijana na kvadrat na katete jednako je pet kvadrata medijane hipotenuze i pet kvadrata hipotenuze podijeljeno sa četiri (Formula 7). Pored navedenog, postoji Još 5 formula, stoga se preporučuje da pročitate i lekciju “Medijan pravokutnog trougla” koja detaljnije opisuje svojstva medijane.

Visina pravokutnog trokuta jednak je umnošku kateta podijeljenih hipotenuzom (formula 8)

Kvadrati kateta su obrnuto proporcionalni kvadratu visine spuštene na hipotenuzu (Formula 9). Ovaj identitet je također jedna od posljedica Pitagorine teoreme.

Dužina hipotenuze jednak prečniku (dva poluprečnika) opisane kružnice (Formula 10). Hipotenuza pravouglog trougla je prečnik opisane kružnice. Ovo svojstvo se često koristi u rješavanju problema.

Upisani radijus V pravougaonog trougla krug može se naći kao polovina izraza uključujući zbir kateta ovog trokuta minus dužinu hipotenuze. Ili kao proizvod kateta podijeljen zbirom svih strana (perimetra) datog trokuta. (Formula 11)
Sinus ugla odnos prema suprotnom ovaj ugao krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ovo svojstvo se koristi prilikom rješavanja problema. Znajući veličine stranica, možete pronaći ugao koji oni formiraju.

Kosinus ugla A (α, alpha) u pravokutnom trokutu bit će jednak stav susjedni ovaj ugao krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 13)