Bună prieteni! În acest articol, vom lua în considerare sarcinile pentru primitiv. Aceste sarcini sunt incluse în examenul de matematică. În ciuda faptului că secțiunile în sine - diferențierea și integrarea sunt destul de încăpătoare în cursul algebrei și necesită o abordare responsabilă a înțelegerii, sarcinile în sine, care sunt incluse în banca deschisă de sarcini la matematică și vor fi la examen, sunt extrem de simple și sunt rezolvate în unul sau doi pași.
Este important să înțelegem esența antiderivatei și, în special, semnificația geometrică a integralei. Luați în considerare pe scurt fundamentele teoretice.
Sensul geometric al integralei
Pe scurt despre integrală, putem spune așa: integrala este aria.
Definiție: Fie pe planul de coordonate graficul funcției pozitive f dată pe interval. Un subgraf (sau un trapez curbiliniu) este o figură delimitată de graficul funcției f, liniile drepte x \u003d a și x \u003d b și axa x.
Definiție: Să fie dată o funcție pozitivă f definită pe un interval finit. Integrala unei funcții f pe un segment este aria subgrafului său.
După cum sa menționat deja, F (x) = f (x).Ce putem concluziona?
El este simplu. Trebuie să determinăm câte puncte sunt pe acest grafic la care F′(x) = 0. Știm că în acele puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa x. Să arătăm aceste puncte pe intervalul [–2;4]:
Acestea sunt punctele extreme ale funcției date F(x). Sunt zece.
Raspuns: 10
323078. Figura prezintă un grafic al unei funcții y = f (x) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind figura, calculați F(8) – F(2), unde F(x) este unul dintre funcții antiderivate f(x).
Să rescriem teorema Newton-Leibniz:Fie f funcţie dată, F este antiderivatul său arbitrar. Apoi
Și aceasta, așa cum am menționat deja, este zona subgrafului funcției.
Astfel, sarcina se reduce la găsirea zonei trapezului (interval de la 2 la 8):
Nu este dificil să-l calculezi pe celule. Obținem 7. Semnul este pozitiv, deoarece figura este situată deasupra axei x (sau în semiplanul pozitiv al axei y).
Chiar și în acest caz, s-ar putea spune acest lucru: diferența dintre valorile antiderivatelor la puncte este aria figurii.
Raspuns: 7
323079. Figura prezintă un grafic al unei funcții y = f (x). Funcția F (x) \u003d x 3 +30x 2 +302x–1,875 este una dintre antiderivatele funcției y \u003d f (x). Găsiți aria figurii umbrite.
După cum am menționat deja despre sens geometric integrală, aceasta este aria figurii delimitată de graficul funcției f (x), liniile drepte x \u003d a și x \u003d b și axa ox.
Teorema (Newton–Leibniz):
Astfel, problema se reduce la calcul integrala definita a acestei funcții pe intervalul de la -11 la -9, sau cu alte cuvinte, trebuie să găsim diferența dintre valorile antiderivatelor calculate la punctele indicate:
Raspuns: 6
323080. Figura prezintă un grafic al unei funcții y = f (x).
Funcția F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 este una dintre antiderivatele funcției f (x). Găsiți aria figurii umbrite.
Teorema (Newton–Leibniz):
Sarcina se reduce la calcularea integralei definite a acestei funcții pe intervalul de la –10 la –8:
Raspuns: 4 Puteți vizualiza .
Derivatele și regulile de diferențiere sunt încă în vigoare. Este necesar să le cunoaștem, nu numai pentru rezolvarea unor astfel de sarcini.
De asemenea, puteți vedea informații generale pe site și
Urmăriți un scurt videoclip, acesta este un extras din film " Partea invizibilă". Putem spune că acesta este un film despre studii, despre milă, despre importanța unor presupuse întâlniri „întâmplătoare” în viața noastră... Dar aceste cuvinte nu vor fi suficiente, recomand să vizionați filmul în sine, îl recomand cu căldură.
Vă doresc succes!
Cu stimă, Alexander Krutitskikh
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.
51. Figura prezintă un grafic y=f "(x)- funcţie derivată f(x), definit pe intervalul (− 4; 6). Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) este paralelă cu dreapta y=3x sau se potrivește cu el.
Raspuns: 5
52. Figura prezintă un grafic y=F(x) f(x) f(x) pozitiv?
Raspuns: 7
53. Figura prezintă un grafic y=F(x) unul dintre antiderivatele unei funcţii f(x) și opt puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8.În câte dintre aceste puncte funcţionează f(x) negativ?
Raspuns: 3
54. Figura prezintă un grafic y=F(x) unul dintre antiderivatele unei funcţii f(x) iar zece puncte de pe axa x sunt marcate: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. În câte dintre aceste puncte funcţionează f(x) pozitiv?
Raspuns: 6
55. Figura prezintă un grafic y=F(x f(x), definit pe intervalul (− 7; 5). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x)=0 pe intervalul [− 5; 2].
Raspuns: 3
56. Figura prezintă un grafic y=F(x) unul dintre antiderivatele unei funcții f (X), definit pe intervalul (− 8; 7). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x)= 0 pe intervalul [− 5; 5].
Raspuns: 4
57. Figura prezintă un grafic y=F(X) unul dintre antiderivatele unei funcţii f(X) definit pe intervalul (1;13). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f (X)=0 pe segmentul .
Raspuns: 4
58. Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x)(două grinzi cu un punct de plecare comun). Folosind cifra, calculați F(−1)−F(−8), Unde F(x) f(x).
Raspuns: 20
59. Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind cifra, calculați F(−1)−F(−9), Unde F(x)- unul dintre antiderivatele funcţiei f(x).
Raspuns: 24
60. Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x). Funcţie
-unul dintre antiderivatele funcţiei f(x). Găsiți aria figurii umbrite.
Raspuns: 6
61. Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x). Funcţie
Unul dintre antiderivatele funcției f(x). Găsiți aria figurii umbrite.
Răspuns: 14.5
paralelă cu tangenta la graficul funcției
Răspuns: 0,5
Găsiți abscisa punctului de contact.
Raspunsul 1
este tangentă la graficul funcției
Găsi c.
Raspuns: 20
este tangentă la graficul funcției
Găsi A.
Răspuns: 0,125
este tangentă la graficul funcției
Găsi b, având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mare decât 0.
Răspuns: -33
67. Un punct material se deplasează în linie dreaptă conform legii
Unde X t- timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza ei a fost egală cu 96 m/s?
Raspuns: 18
68. Un punct material se deplasează în linie dreaptă conform legii
Unde X- distanța de la punctul de referință în metri, t- timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza ei a fost egală cu 48 m/s?
Raspuns: 9
69. Un punct material se deplasează în linie dreaptă conform legii
Unde X t t=6 Cu.
Raspuns: 20
70. Un punct material se deplasează în linie dreaptă conform legii
Unde X- distanța de la punctul de referință în metri, t- timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. Găsiți viteza acesteia (în m/s) la momentul respectiv t=3 Cu.
Raspuns: 59
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg)\)
ConţinutElemente de conținut
Derivată, tangentă, antiderivată, grafice de funcții și derivate.
Derivat Fie definită funcția \(f(x)\) într-o vecinătate a punctului \(x_0\).
Derivata funcției \(f\) în punctul \(x_0\) numită limită
\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
dacă această limită există.
Derivata unei functii intr-un punct caracterizeaza rata de schimbare a acestei functii intr-un punct dat.
| Funcţie | Derivat |
| \(const\) | \(0\) |
| \(X\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tgx\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Reguli de diferențiere\(f\) și \(g\) sunt funcții în funcție de variabila \(x\); \(c\) este un număr.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivată a funcției complexe
Sensul geometric al derivatului Ecuația unei drepte- axa neparalelă \(Oy\) poate fi scrisă ca \(y=kx+b\). Coeficientul \(k\) din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egal cu tangenta unghi de înclinare această linie dreaptă.
Unghi drept- unghiul dintre direcția pozitivă a axei \(Ox\) și dreapta dată, numărat în direcția unghiurilor pozitive (adică în sensul de rotație minimă de la axa \(Ox\) la axa \(Oy\)).
Derivata funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\) este egală cu panta tangentei la graficul funcției în punctul dat: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)
Dacă \(f"(x_0)=0\), atunci tangenta la graficul funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\) este paralelă cu axa \(Ox\).
Ecuație tangentă
Ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Monotonitatea funcției Dacă derivata unei funcții este pozitivă în toate punctele dintr-un interval, atunci funcția crește pe acel interval.
Dacă derivata unei funcții este negativă în toate punctele dintr-un interval, atunci funcția este descrescătoare pe acel interval.
Puncte minime, maxime și de inflexiune pozitiv pe negativîn acest punct, atunci \(x_0\) este punctul maxim al funcției \(f\).
Dacă funcția \(f\) este continuă în punctul \(x_0\), iar valoarea derivatei acestei funcții \(f"\) se modifică din negativ pe pozitivîn acest punct, atunci \(x_0\) este punctul minim al funcției \(f\).
Sunt numite punctele în care derivata \(f"\) este egală cu zero sau nu există puncte critice funcțiile \(f\).
Punctele interne ale zonei de definire a funcției \(f(x)\), unde \(f"(x)=0\) pot fi puncte minime, maxime sau de inflexiune.
Sensul fizic al derivatului Dacă un punct material se mișcă în linie dreaptă și coordonatele sale se modifică în funcție de timp conform legii \(x=x(t)\), atunci viteza acestui punct este egală cu derivata în timp a coordonatei:
Accelerația unui punct material este egală cu derivata vitezei acestui punct în raport cu timpul:
\(a(t)=v"(t).\)
