Arii figurilor tridimensionale ale formulei. Aria unui triunghi

Zonele figurilor geometrice sunt valori numerice care le caracterizează dimensiunea în spațiu bidimensional. Această valoare poate fi măsurată în unități de sistem și non-sistem. Deci, de exemplu, o unitate de suprafață în afara sistemului este o sută, un hectar. Acesta este cazul dacă suprafața măsurată este o bucată de pământ. Unitatea de unitate de suprafață a sistemului este pătratul lungimii. În sistemul SI, se obișnuiește să se ia în considerare faptul că aria unitară a unei suprafețe plane este metru patrat. În CGS, unitatea de suprafață este exprimată în centimetri pătrați.

Formulele de geometrie și zone sunt indisolubil legate. Această legătură constă în faptul că calculul suprafețelor cifrelor plate se bazează tocmai pe aplicarea acestora. Pentru multe cifre, sunt derivate mai multe opțiuni, în funcție de care sunt calculate dimensiunile lor pătrate. Pe baza datelor din enunțul problemei, putem determina cel mai simplu mod de a o rezolva. Acest lucru facilitează calculul și reduce probabilitatea erorilor de calcul la minimum. Pentru a face acest lucru, luați în considerare zona principală a figurilor din geometrie.

Formulele pentru găsirea ariei oricărui triunghi sunt prezentate în mai multe moduri:

1) Aria unui triunghi se calculează de la baza a și înălțimea h. Baza este partea figurii pe care este coborâtă înălțimea. Atunci aria triunghiului este:

2) Zona triunghi dreptunghic se calculează în același mod, dacă ipotenuza este considerată bază. Dacă, totuși, piciorul este luat ca bază, atunci aria triunghiului dreptunghic va fi egală cu produsul picioarelor înjumătățite.

Formulele pentru calcularea ariei oricărui triunghi nu se termină aici. O altă expresie conține laturile a,bși funcția sinusoidală a unghiului γ dintre a și b. Valoarea sinusului se găsește în tabele. Poate fi găsit și folosind un calculator. Atunci aria triunghiului este:

În conformitate cu această egalitate, puteți, de asemenea, să vă asigurați că aria unui triunghi dreptunghic este determinată prin lungimile picioarelor. pentru că unghiul γ este un unghi drept, deci aria unui triunghi dreptunghic se calculează fără a se înmulți cu funcția sinus.

3) Luați în considerare un caz special - un triunghi regulat, în care latura a este cunoscută după condiție sau lungimea sa poate fi găsită la rezolvare. Nu se mai știe nimic despre figura din problema de geometrie. Atunci cum să găsești zona în această condiție? În acest caz, se aplică formula pentru aria unui triunghi obișnuit:

Dreptunghi

Cum să găsiți aria unui dreptunghi și să utilizați dimensiunile laturilor care au un vârf comun? Expresia pentru calcul este:

Dacă doriți să utilizați lungimile diagonalelor pentru a calcula aria unui dreptunghi, atunci aveți nevoie de funcția sinusoială a unghiului format atunci când se intersectează. Formula pentru aria unui dreptunghi este:

Pătrat

Aria unui pătrat este definită ca a doua putere a lungimii laturii:

Dovada rezultă din definiția că un dreptunghi se numește pătrat. Toate laturile care formează un pătrat au aceleași dimensiuni. Prin urmare, calculul ariei unui astfel de dreptunghi se reduce la înmulțirea unul cu celălalt, adică la a doua putere a laturii. Și formula pentru calcularea ariei unui pătrat va lua forma dorită.

Aria unui pătrat poate fi găsită într-un alt mod, de exemplu, dacă utilizați o diagonală:

Cum se calculează aria unei figuri care este formată dintr-o parte a unui plan delimitată de un cerc? Pentru a calcula suprafața, formulele sunt:

Paralelogram

Pentru un paralelogram, formula conține dimensiunile liniare ale laturii, înălțimii și operația matematică - înmulțire. Dacă înălțimea este necunoscută, atunci cum să găsiți aria paralelogramului? Există o altă modalitate de a calcula. Va lua o anumită valoare, care va lua functie trigonometrica unghiul format de laturile adiacente, precum și lungimea acestora.

Formulele pentru aria unui paralelogram sunt:

Romb

Cum să găsiți aria unui patrulater numit romb? Aria unui romb se determină folosind operații matematice simple cu diagonale. Dovada se bazează pe faptul că segmentele diagonale de la d1 și d2 se intersectează în unghi drept. Tabelul sinusurilor arată că pt unghi drept funcţie dată este egal cu unu. Prin urmare, aria unui romb se calculează după cum urmează:

Zona unui romb poate fi găsită și în alt mod. De asemenea, nu este greu să dovedești acest lucru, având în vedere că laturile sale au aceeași lungime. Apoi înlocuiți produsul lor într-o expresie similară pentru un paralelogram. La urma urmei, un caz special al acestei figuri este un romb. Aici γ este unghiul interior al rombului. Aria unui romb se determină după cum urmează:

Trapez

Cum să găsiți aria unui trapez prin baze (a și b), dacă lungimile lor sunt indicate în problemă? Aici fără valoare cunoscută lungimea înălțimii h, nu va fi posibil să se calculeze aria unui astfel de trapez. pentru că această valoare conține expresia pentru calcul:

Dimensiunea pătrată a unui trapez dreptunghiular poate fi, de asemenea, calculată în același mod. În același timp, se ține cont de faptul că într-un trapez dreptunghiular, conceptele de înălțime și latură sunt combinate. Prin urmare, pentru un trapez dreptunghiular, trebuie să specificați lungimea laturii în loc de înălțime.

Cilindru și paralelipiped

Luați în considerare ceea ce este necesar pentru a calcula suprafața întregului cilindru. Aria acestei figuri este o pereche de cercuri numite baze și suprafata laterala. Cercurile care formează cercuri au raza de lungime egală cu r. Pentru aria unui cilindru, are loc următorul calcul:

Cum să găsiți aria unui paralelipiped care constă din trei perechi de fețe? Măsurătorile sale sunt în concordanță cu o anumită pereche. Fețele care sunt opuse au aceiași parametri. Mai întâi găsiți S(1), S(2), S(3) - dimensiunile pătrate ale fețelor inegale. Apoi aria suprafeței paralelipipedului:

Inel

Două cercuri cu un centru comun formează un inel. De asemenea, limitează zona inelului. În acest caz, ambele formule de calcul iau în considerare dimensiunile fiecărui cerc. Primul, care calculează aria inelului, conține raze R mai mari și r mai mici. Mai des sunt numite externe și interne. În a doua expresie, aria inelului este calculată folosind diametrele D mai mari și d mai mici. Astfel, aria inelului conform razelor cunoscute se calculează după cum urmează:

Aria inelului, folosind lungimile diametrelor, se determină după cum urmează:

Poligon

Cum să găsiți aria unui poligon a cărui formă nu este corectă? Nu există o formulă generală pentru aria unor astfel de cifre. Dar dacă este reprezentat pe un plan de coordonate, de exemplu, poate fi hârtie în carouri, atunci cum să găsiți suprafața în acest caz? Aici folosesc o metodă care nu necesită măsurarea aproximativă a cifrei. Ei fac asta: dacă găsesc puncte care cad în colțul celulei sau au coordonate întregi, atunci doar ele sunt luate în considerare. Pentru a afla apoi care este zona, folosește formula dovedită de Pick. Este necesar să adăugați numărul de puncte situate în interiorul poliliniei cu jumătate din punctele aflate pe ea și să scădeți unul, adică se calculează în acest fel:

unde C, D - numărul de puncte situate în interiorul și, respectiv, pe întreaga polilinie.

Pătrat figură geometrică - o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței delimitată de un contur închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

Formula ariei triunghiulare pentru latură și înălțime
Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza cercului circumscris
Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc înscris
Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.

Formule de suprafață pătrată

Formula pentru aria unui pătrat dată fiind lungimea unei laturi
suprafata patrata este egal cu pătratul lungimii laturii sale.
Formula pentru aria unui pătrat având în vedere lungimea diagonalei
suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
S= 1 2
2

Formula zonei dreptunghiulare

Zona dreptunghiulară

Formule pentru aria unui paralelogram

Formula ariei de paralelogram pentru lungimea și înălțimea laturii
Zona paralelogramului
Formula pentru aria unui paralelogram dat două laturi și unghiul dintre ele
Zona paralelogramului este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
a b sinα

Formule pentru aria unui romb

Formula ariei romb datând lungimea și înălțimea laturii
Zona rombului este egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
Formula pentru aria unui romb având în vedere lungimea laturii și unghiul
Zona rombului este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
Formula pentru aria unui romb din lungimile diagonalelor sale
Zona rombului este egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.

Formulele zonei trapezului

Formula lui Heron pentru un trapez
Unde S este aria trapezului,
- lungimea bazelor trapezului,
- lungimea laturilor trapezului,

Dacă intenționați să faceți singur reparații, atunci va trebui să faceți o estimare pentru materialele de construcție și finisare. Pentru a face acest lucru, va trebui să calculați suprafața camerei în care intenționați să efectuați reparații. Asistentul principal în aceasta este o formulă special concepută. Zona camerei, și anume calculul acesteia, vă va permite să economisiți mulți bani pe materiale de construcțiiși direcționează resursele financiare eliberate într-o direcție mai adecvată.

Forma geometrică a camerei

Formula pentru calcularea suprafeței unei camere depinde direct de forma acesteia. Cele mai tipice pentru structurile casnice sunt camerele dreptunghiulare și pătrate. Cu toate acestea, în timpul reamenajării, formularul standard poate fi distorsionat. Camerele sunt:

Dreptunghiular.
Pătrat.
Configurație complexă (de exemplu, rotundă).
Cu nișe și pervazuri.

Fiecare dintre ele are propriile caracteristici de calcul, dar, de regulă, se folosește aceeași formulă. Suprafața unei camere de orice formă și dimensiune, într-un fel sau altul, poate fi calculată.

Cameră dreptunghiulară sau pătrată

Pentru a calcula suprafața unei camere dreptunghiulare sau pătrate, este suficient să vă amintiți lecțiile de geometrie ale școlii. Prin urmare, nu ar trebui să fie dificil pentru dvs. să determinați zona camerei. Formula de calcul arată astfel:

S camere=A*B, unde

A este lungimea camerei.

B este lățimea camerei.

Pentru a măsura aceste valori, veți avea nevoie de o bandă de măsură obișnuită. Pentru a obține cele mai precise calcule, merită măsurat peretele pe ambele părți. Dacă valorile nu converg, luați ca bază media datelor rezultate. Dar rețineți că orice calcul are propriile erori, așa că materialul trebuie achiziționat cu o marjă.

O cameră cu o configurație complexă

Dacă camera dvs. nu se încadrează în definiția de „tipic”, adică are forma unui cerc, triunghi, poligon, atunci este posibil să aveți nevoie de o formulă diferită pentru calcule. Puteți încerca să împărțiți condiționat zona camerei cu o astfel de caracteristică în elemente dreptunghiulare și să faceți calcule în mod standard. Dacă acest lucru nu este posibil pentru dvs., atunci utilizați următoarele metode:

Formula pentru găsirea ariei unui cerc:

S cameră \u003d π * R 2, unde

R este raza camerei.

Formula pentru a afla aria unui triunghi este:

S cameră = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), unde

P este semiperimetrul triunghiului.

A, B, C sunt lungimile laturilor sale.

Prin urmare, P \u003d A + B + C / 2

Dacă în procesul de calcul aveți dificultăți, atunci este mai bine să nu vă torturați și să apelați la profesioniști.

Zona camerei cu pervazuri si nise

Adesea, pereții sunt decorați cu elemente decorative sub formă de diferite nișe sau pervazuri. De asemenea, prezenta lor se poate datora nevoii de a ascunde unele elemente inestetice ale camerei tale. Prezența pervazurilor sau nișelor pe peretele dvs. înseamnă că calculul trebuie efectuat în etape. Acestea. mai întâi, se găsește zona unei secțiuni plate a peretelui, apoi se adaugă la ea zona unei nișe sau margine.

Zona peretelui se găsește după formula:

S pereți \u003d P x C, unde

P - perimetrul

C - înălțime

De asemenea, trebuie să luați în considerare prezența ferestrelor și ușilor. Aria lor trebuie scăzută din valoarea rezultată.

Cameră cu tavan pe mai multe niveluri

Un plafon cu mai multe niveluri nu complică calculele atât de mult pe cât pare la prima vedere. Dacă are un design simplu, atunci calculele pot fi făcute pe principiul găsirii zonei pereților complicate de nișe și margini.

Cu toate acestea, dacă designul tavanului dvs. are elemente arcuite și ondulate, atunci este mai potrivit să determinați suprafața acestuia folosind suprafața podelei. Pentru asta ai nevoie de:

Găsiți dimensiunile tuturor secțiunilor drepte ale pereților.
Găsiți suprafața podelei.
Înmulțiți lungimea și înălțimea secțiunilor verticale.
Însumați valoarea rezultată cu suprafața podelei.

Instrucțiuni pas cu pas pentru determinarea totalului

suprafata pardoseala

Eliberați camera de lucruri inutile. În procesul de măsurare, veți avea nevoie de acces liber în toate zonele camerei dvs., așa că trebuie să scăpați de tot ceea ce poate interfera cu acest lucru.
Împărțiți vizual camera în secțiuni ale corecte și formă neregulată. Dacă camera ta are o formă strict pătrată sau dreptunghiulară, atunci acest pas poate fi omis.
Faceți un aspect arbitrar al camerei. Acest desen este necesar pentru ca toate datele să fie întotdeauna la îndemână. De asemenea, nu vă va oferi posibilitatea de a vă încurca în numeroase măsurători.
Măsurătorile trebuie făcute de mai multe ori. aceasta regula importanta pentru a evita erorile de calcul. De asemenea, dacă utilizați, asigurați-vă că fasciculul este plat pe suprafața peretelui.
Găsiți suprafața totală a camerei. Formula pentru suprafața totală a unei camere este de a găsi suma tuturor suprafețelor secțiunilor individuale ale camerei. Acestea. S total = S pereți + S podele + S tavane

Pentru a rezolva probleme de geometrie, trebuie să cunoașteți formule - cum ar fi aria unui triunghi sau aria unui paralelogram - precum și trucuri simple, despre care vom vorbi.

Mai întâi, să învățăm formulele pentru zonele figurilor. Le-am adunat special într-o masă convenabilă. Printează, învață și aplică!

Desigur, nu toate formulele de geometrie sunt în tabelul nostru. De exemplu, pentru a rezolva probleme de geometrie și stereometrie în partea a doua examen de profilîn matematică, se folosesc și alte formule pentru aria unui triunghi. Cu siguranță vă vom spune despre ele.

Dar dacă trebuie să găsiți nu aria unui trapez sau a unui triunghi, ci aria unei figuri complexe? Există căi universale! Le vom arăta folosind exemple din banca de activități FIPI.

1. Cum să găsiți aria unei figuri nestandard? De exemplu, un patrulater arbitrar? O tehnică simplă - să împărțim această cifră în cele despre care știm cu toții și să îi găsim aria - ca suma suprafețelor acestor cifre.

Împărțiți acest patrulater printr-o linie orizontală în două triunghiuri cu o bază comună egală cu . Înălțimile acestor triunghiuri sunt egale cu și . Atunci aria patrulaterului este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri: .

Răspuns: .

2. În unele cazuri, aria figurii poate fi reprezentată ca diferența oricăror zone.

Nu este atât de ușor să calculezi cu ce sunt egale baza și înălțimea din acest triunghi! Dar putem spune că aria sa este egală cu diferența dintre ariile unui pătrat cu o latură și trei triunghiuri dreptunghiulare. Le vezi in poza? Primim: .

Răspuns: .

3. Uneori, într-o sarcină, este necesar să găsiți zona nu a întregii figuri, ci a părții sale. De obicei, vorbim despre aria unui sector - o parte a unui cerc.Găsiți aria unui sector al unui cerc cu raza , a cărui lungime a arcului este egală cu .

În această imagine vedem o parte dintr-un cerc. Aria întregului cerc este egală cu , deoarece . Rămâne să aflăm ce parte a cercului este reprezentată. Deoarece lungimea întregului cerc este (deoarece), iar lungimea arcului acestui sector este egală, prin urmare, lungimea arcului este de câteva ori mai mică decât lungimea întregului cerc. Unghiul pe care se sprijină acest arc este, de asemenea, de ori mai mic decât un cerc complet (adică grade). Aceasta înseamnă că aria sectorului va fi de câteva ori mai mică decât aria întregului cerc.

Mai mult de 10 formule pentru calcularea ariei unui triunghi pot fi găsite pe Internet. Multe dintre ele sunt folosite în probleme cu partide cunoscuteși colțurile triunghiului. Cu toate acestea, există un număr exemple dificile unde, în funcție de condiția atribuirii, se cunosc doar o latură și unghiuri ale triunghiului sau raza cercului circumscris sau înscris și încă o caracteristică. În astfel de cazuri o formulă simplă nu poate fi aplicat.

Formulele de mai jos vor rezolva 95 la sută din problemele în care trebuie să găsiți aria unui triunghi.
Să trecem la luarea în considerare a formulelor zonelor comune.
Luați în considerare triunghiul prezentat în figura de mai jos

În figură și mai departe în formule sunt introduse denumirile clasice ale tuturor caracteristicilor sale
a,b,c sunt laturile triunghiului,
R este raza cercului circumscris,
r este raza cercului înscris,
h[b],h[a],h[c] - înălțimi trasate în conformitate cu laturile a,b,c.
alpha, beta,hamma - colțuri în apropierea vârfurilor.

Formule de bază pentru aria unui triunghi

1. Aria este egală cu jumătate din produsul dintre latura triunghiului și înălțimea coborâtă pe această latură. În limbajul formulei, această definiție poate fi scrisă ca

Astfel, dacă se cunosc latura și înălțimea, atunci fiecare elev va găsi zona.
Apropo, o relație utilă între înălțimi poate fi derivată din această formulă

2. Dacă ținem cont că înălțimea triunghiului prin latura adiacentă se exprimă prin dependență

Apoi de la prima formulă a zonei urmează același tip de a doua

Priviți cu atenție formulele - sunt ușor de reținut, deoarece lucrarea prezintă două laturi și un unghi între ele. Dacă desemnăm corect laturile și unghiurile triunghiului (ca în figura de mai sus), atunci obținem două laturi a, b iar unghiul este legat de al treilea C (hamma).

3. Pentru unghiurile unui triunghi, relația

Dependența vă permite să aplicați următoarele formule pentru aria unui triunghi în calcule

Exemplele de această dependență sunt extrem de rare, dar trebuie să vă amintiți că există o astfel de formulă.

4. Dacă latura și două unghiuri adiacente sunt cunoscute, atunci aria se află prin formula

5. Formula pentru aria în termeni de latură și cotangenta unghiurilor adiacente este următoarea

Prin rearanjarea indecșilor, puteți obține dependențe pentru celelalte părți.

6. Formula ariei de mai jos este folosită în sarcini când vârfurile unui triunghi sunt date pe planul cu coordonate. În acest caz, aria este egală cu jumătate din determinantul modulo.

7. Formula lui Heron folosit în exemple cu laturile cunoscute ale unui triunghi.
Mai întâi găsiți semiperimetrul triunghiului

Și apoi determină aria prin formulă

sau

Este adesea folosit în codul programelor de calculator.

8. Dacă toate înălțimile triunghiului sunt cunoscute, atunci aria este determinată de formula

Este greu de calculat la calculator, însă, în pachetele MathCad, Mathematica, Maple, zona este „unu doi”.

9. Următoarele formule folosesc razele cunoscute ale cercurilor înscrise și circumscrise.

În special, dacă raza și laturile unui triunghi sau perimetrul acestuia sunt cunoscute, atunci aria se calculează conform formulei

10. În exemplele în care sunt date laturile și raza sau diametrul cercului circumscris, aria se află prin formula

11. Următoarea formulă determină aria unui triunghi în ceea ce privește latura și unghiurile triunghiului.

Și în sfârșit - cazuri speciale:
Aria unui triunghi dreptunghic cu catetele a și b este egal cu jumătate din produsul lor

Formula pentru aria unui triunghi echilateral (regulat).=

\u003d un sfert din produsul pătratului laturii și rădăcina celor trei.