Definiție.

Dreptunghi Este un patrulater cu două laturi opuse egale și toate cele patru unghiuri egale.

Dreptunghiurile diferă unul de celălalt doar în raportul dintre latura lungă și cea scurtă, dar toate cele patru colțuri sunt drepte, adică 90 de grade fiecare.

Latura lungă a unui dreptunghi se numește lungime dreptunghi, iar scurtul lățimea dreptunghiului.

Laturile unui dreptunghi sunt, de asemenea, înălțimile acestuia.

Proprietățile de bază ale unui dreptunghi

Un dreptunghi poate fi un paralelogram, un pătrat sau un romb.

1. Laturile opuse ale unui dreptunghi au aceeași lungime, adică sunt egale:

AB=CD, BC=AD

2. Laturile opuse ale dreptunghiului sunt paralele:

3. Laturile adiacente ale unui dreptunghi sunt întotdeauna perpendiculare:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Toate cele patru colțuri ale dreptunghiului sunt drepte:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Suma unghiurilor unui dreptunghi este de 360 ​​de grade:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Diagonalele unui dreptunghi au aceeași lungime:

7. Suma pătratelor diagonalei unui dreptunghi este egală cu suma pătratelor laturilor:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Fiecare diagonală a unui dreptunghi împarte dreptunghiul în două figuri identice și anume triunghiuri dreptunghiulare.

9. Diagonalele dreptunghiului se intersectează și se împart la jumătate în punctul de intersecție:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Punctul de intersecție al diagonalelor se numește centrul dreptunghiului și este și centrul cercului circumscris

11. Diagonala unui dreptunghi este diametrul cercului circumscris

12. Un cerc poate fi descris întotdeauna în jurul unui dreptunghi, deoarece suma unghiurilor opuse este de 180 de grade:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Un cerc nu poate fi înscris într-un dreptunghi a cărui lungime nu este egală cu lățimea sa, deoarece sumele laturilor opuse nu sunt egale între ele (un cerc poate fi înscris doar într-un caz special de dreptunghi - un pătrat).

Laturile unui dreptunghi

Definiție.

Lungime dreptunghi numiți lungimea perechii mai lungi a laturilor sale. Lățimea dreptunghiului numiți lungimea perechii mai scurte de laturi ale acesteia.

Formule pentru determinarea lungimilor laturilor unui dreptunghi

1. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) în termeni de diagonală și cealaltă parte:

a = √ d2-b2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula pentru latura unui dreptunghi (lungimea și lățimea dreptunghiului) în ceea ce privește suprafața și cealaltă parte:

b = dcos	β
	2

dreptunghi diagonală

Definiție.

Dreptunghi diagonal Se numește orice segment care leagă două vârfuri ale colțurilor opuse ale unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea lungimii diagonalei unui dreptunghi

1. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în termeni a două laturi ale dreptunghiului (prin teorema lui Pitagora):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în termeni de suprafață și orice latură:

4. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de raza cercului circumscris:

d=2R

5. Formula pentru diagonala unui dreptunghi în funcție de diametrul cercului circumscris:

d = D o

6. Formula diagonalei unui dreptunghi în termeni de sinus al unghiului adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:

8. Formula diagonalei unui dreptunghi în funcție de sinusul unui unghi ascuțit dintre diagonale și aria dreptunghiului

d = √2S: sinβ

Perimetrul unui dreptunghi

Definiție.

Perimetrul unui dreptunghi este suma lungimilor tuturor laturilor dreptunghiului.

Formule pentru determinarea lungimii perimetrului unui dreptunghi

1. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de două laturi ale dreptunghiului:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de suprafață și orice latură:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	A		b

3. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de diagonală și orice latură:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d2-b2)

4. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în termeni de rază a cercului circumscris și orice latură:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formula pentru perimetrul unui dreptunghi în funcție de diametrul cercului circumscris și orice latură:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Zona dreptunghiulară

Definiție.

Zona dreptunghiulară numit spațiu mărginit de laturile dreptunghiului, adică în perimetrul dreptunghiului.

Formule pentru determinarea ariei unui dreptunghi

1. Formula pentru aria unui dreptunghi în termeni de două laturi:

S = a b

2. Formula pentru aria unui dreptunghi prin perimetru și orice latură:

5. Formula pentru aria unui dreptunghi în termeni de rază a cercului circumscris și orice latură:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Formula pentru aria unui dreptunghi în ceea ce privește diametrul cercului circumscris și orice latură:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Cerc circumscris în jurul unui dreptunghi

Definiție.

Un cerc circumscris în jurul unui dreptunghi Se numește un cerc care trece prin patru vârfuri ale unui dreptunghi, al cărui centru se află la intersecția diagonalelor dreptunghiului.

Formule pentru determinarea razei unui cerc circumscris unui dreptunghi

1. Formula pentru raza unui cerc circumscris unui dreptunghi prin două laturi:

La rezolvare, este necesar să se țină cont de faptul că rezolvarea problemei de a găsi aria unui dreptunghi numai din lungimea laturilor sale este interzis.

Acest lucru este ușor de verificat. Fie perimetrul dreptunghiului de 20 cm.Acest lucru va fi adevărat dacă laturile lui sunt 1 și 9, 2 și 8, 3 și 7 cm.Toate aceste trei dreptunghiuri vor avea același perimetru, egal cu douăzeci de centimetri. (1 + 9) * 2 = 20 la fel ca (2 + 8) * 2 = 20 cm.
După cum puteți vedea, putem alege un număr infinit de opțiuni dimensiunile laturilor dreptunghiului, al căror perimetru va fi egal cu valoarea dată.

Aria dreptunghiurilor cu un perimetru dat de 20 cm, dar cu laturi diferite va fi diferită. Pentru exemplul dat - 9, 16 și, respectiv, 21 de centimetri pătrați.
S 1 \u003d 1 * 9 \u003d 9 cm 2
S 2 \u003d 2 * 8 \u003d 16 cm 2
S 3 \u003d 3 * 7 \u003d 21 cm 2
După cum puteți vedea, există un număr infinit de opțiuni pentru zona unei figuri cu un perimetru dat.

Notă pentru curioși. În cazul unui dreptunghi cu un perimetru dat, pătratul va avea aria maximă.

Astfel, pentru a calcula aria unui dreptunghi din perimetrul său, este necesar să cunoașteți fie raportul laturilor sale, fie lungimea uneia dintre ele. Singura figură care are o dependență clară a ariei sale de perimetru este un cerc. Doar pentru cerc si eventual o solutie.

În această lecție:

• Sarcina 4. Schimbați lungimea laturilor menținând aria dreptunghiului

Sarcina 1. Găsiți laturile unui dreptunghi din zonă

Perimetrul unui dreptunghi este de 32 de centimetri, iar suma ariilor pătratelor construite pe fiecare dintre laturile sale este de 260 de centimetri pătrați. Găsiți laturile dreptunghiului.
Soluţie.

2(x+y)=32
În funcție de starea problemei, suma ariilor pătratelor construite pe fiecare dintre laturile sale (pătrate, respectiv patru) va fi egală cu
2x2+2y2=260
x+y=16
x=16-y
2(16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x1=9
x2=7
Acum să luăm în considerare că pe baza faptului că x+y=16 (vezi mai sus) la x=9, atunci y=7 și invers, dacă x=7, atunci y=9
Răspuns: Laturile unui dreptunghi au 7 și 9 centimetri

Sarcina 2. Găsiți laturile unui dreptunghi din perimetru

Perimetrul unui dreptunghi este de 26 cm, iar suma ariilor pătratelor construite pe cele două laturi adiacente ale acestuia este de 89 de metri pătrați. consultați Găsiți laturile dreptunghiului.
Soluţie.
Să notăm laturile dreptunghiului ca x și y.
Atunci perimetrul dreptunghiului este:
2(x+y)=26
Suma ariilor pătratelor construite pe fiecare dintre laturile sale (sunt două pătrate, respectiv, iar acestea sunt pătratele lățimii și înălțimii, deoarece laturile sunt adiacente) va fi egală cu
x2+y2=89
Rezolvăm sistemul de ecuații rezultat. Din prima ecuație deducem că
x+y=13
y=13-y
Acum efectuăm o înlocuire în a doua ecuație, înlocuind x cu echivalentul său.
(al 13-lea) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y2 -26y+80=0
Rezolvăm cele primite ecuație pătratică.
D=676-640=36
x1=5
x2=8
Acum să luăm în considerare că pe baza faptului că x+y=13 (vezi mai sus) la x=5, atunci y=8 și invers, dacă x=8, atunci y=5
Raspuns: 5 si 8 cm

Sarcina 3. Găsiți aria unui dreptunghi din proporția laturilor sale

Aflați aria unui dreptunghi dacă perimetrul acestuia este de 26 cm și laturile sunt proporționale cu 2 la 3.

Soluţie.
Să notăm laturile dreptunghiului cu coeficientul de proporționalitate x.
De unde lungimea unei laturi va fi egală cu 2x, cealaltă - 3x.

Apoi:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Acum, pe baza datelor obținute, determinăm aria dreptunghiului:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2

Sarcina 4. Schimbarea lungimii laturilor menținând aria unui dreptunghi

Lungimea dreptunghiului a crescut cu 25%. Cu ce ​​procent ar trebui redusă lățimea pentru ca aria ei să nu se modifice?

Soluţie.
Aria dreptunghiului este
S=ab

În cazul nostru, unul dintre factori a crescut cu 25%, ceea ce înseamnă un 2 = 1,25a. Deci noua zonă a dreptunghiului ar trebui să fie
S 2 \u003d 1.25ab

Astfel, pentru a readuce aria dreptunghiului la valoarea sa inițială, atunci
S2 = S/1,25
S 2 \u003d 1.25ab / 1.25

Din moment ce noua dimensiune a nu poate fi schimbată, atunci
S 2 \u003d (1.25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
Astfel, valoarea celei de-a doua părți trebuie redusă cu (1 - 0,8) * 100% = 20%

Răspuns: Lățimea trebuie redusă cu 20%.

4. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă despre un dreptunghi prin diagonala unui pătrat:

5. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă dreptunghi prin diametrul cercului (circumscris):

6. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin sinusul unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii opuse acestui unghi:

7. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă despre un dreptunghi în termeni de cosinus al unghiului care este adiacent diagonalei și lungimea laturii la acest unghi:

8. Formula pentru raza unui cerc, care este descrisă lângă un dreptunghi prin sinusul unui unghi ascuțit dintre diagonale și aria dreptunghiului:

Unghiul dintre o latură și o diagonală a unui dreptunghi.

Formule pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin diagonală și latură:

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre latura și diagonala unui dreptunghi prin unghiul dintre diagonale:

Unghiul dintre diagonalele dreptunghiului.

Formule pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi:

1. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin unghiul dintre latură și diagonală:

β = 2α

2. Formula pentru determinarea unghiului dintre diagonalele unui dreptunghi prin zonă și diagonală.

Deci, pentru început, luați în considerare formulele pentru găsirea ariei și a perimetrului:

1) S = a * b = 56 cm2;

2) P \u003d 2a + 2b \u003d 30 cm.

La urma urmei, știm că un dreptunghi are două laturi identice.

Astfel, trebuie să rezolvăm un sistem de două ecuații:

De aici rezultă că o parte este 7 și cealaltă 8.

Cunoscând formulele pentru perimetrul unui dreptunghi și aria acestuia, laturile sunt căutate sub forma unei soluții la un sistem de două ecuații. În primul rând, exprimăm valoarea unei laturi prin cealaltă și, de exemplu, aria. Arată astfel A \u003d S / B \u003d 56 / B

Apoi înlocuim această expresie cu litera A din ecuația pentru perimetru:

P \u003d 2 (56 / B + B) \u003d 30

Obținem că 56/B+B=15

În această ecuație, nici nu trebuie să o rezolvi - oricine familiarizat cu tabla înmulțirii poate vedea imediat că 56 este produsul lui 7 și 8 și, deoarece suma acestor numere este doar 15, acestea sunt valorile \u200b\u200laturilor dreptunghiului de care avem nevoie.

Puteți încerca să rezolvați această problemă prin compilarea unui sistem de ecuații.

Perimetrul dreptunghiului este: p=2a+2b;

Aria dreptunghiului este: s=a*b;

Deoarece cunoaștem perimetrul și aria, înlocuim imediat numerele:

Exprimați b prin a în a doua ecuație:

Și înlocuiți 56/a cu b în prima ecuație:

Înmulțim ambele părți cu a:

Obținem o ecuație pătratică:

Găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

(15(15-4*1*56))/2*1 = (15(225-224))/2 = (151)/2 = (151)/2

S-a dovedit că rădăcinile acestei ecuații:

a1=(15+1)/2=16/2=8;

a2=(15-1)/2=14/2=7;

Rezultă că avem 2 variante posibile de dreptunghiuri.

Amintim că am exprimat: b=56/a;

De aici găsim posibil b:

b1=56/a1=56/8=7;

b2=56/a2=56/7=8;

După cum sa dovedit, aceste două dreptunghiuri diferite sunt aceleași, puteți ajunge pur și simplu la un perimetru de 30 cu o zonă de 56:

Dacă a=7 și b=8.

Sau invers: a=8 și b=7.

Adică, în esență, avem același dreptunghi, doar într-o variantă latura verticală este mai mare decât cea orizontală, iar în cealaltă, dimpotrivă, latura orizontală este mai mare decât cea verticală.

Răspuns: o parte are 7 centimetri, iar cealaltă este de 8 centimetri.

• Amintind geometria școlii:

  Perimetrul unui dreptunghi este suma lungimilor tuturor laturilor, iar aria unui dreptunghi este produsul celor două laturi adiacente ale acestuia (lungimea ori lățimea).

  În acest caz, cunoaștem atât Aria, cât și Perimetrul dreptunghiului. Ele sunt egale cu 56 cm ^ 2 și, respectiv, 30 cm.

  Deci solutia este:

  S - aria = a x b;

  P - perimetru \u003d a + b + a + b \u003d 2a + 2b;

  30 = 2 (a + b);

  Facem o înlocuire:

  56 = (15 - b) x b;

  56 \u003d 15 b - b ^ 2;

  b^2 - 15b + 56 = 0.

  Am obținut o ecuație pătratică, rezolvând care obținem: b1 = 8, b2 = 7.

  Găsiți cealaltă parte a dreptunghiului:

  a1 = 15 - 8 = 7;

  a2 = 15 - 7 = 8.

  Răspuns: Laturile unui dreptunghi au 8 și 7 cm sau 7 și 8 cm.

  Dacă perimetrul dreptunghiului P = 30 cm și aria lui S = 56 cm, atunci laturile sale vor fi egale:

  a este o parte, b este cealaltă parte a dreptunghiului.

  După ce am rezolvat acest sistem, ajungem la faptul că latura a va fi egală cu 7 cm, iar latura b va fi egală cu 8 cm.

  a = 7 cm b = 8 cm.

• Dat: S = 56 cm

  R = 30 cm

  laturi=?

  Soluţie:

  Fie laturile dreptunghiului a și b.

  Apoi: zona S \u003d a * b, perimetrul P \u003d 2 * (a + b),

  Obținem un sistem de ecuații:

  (a*b=56? (ab=56

  (2(a+b)=30, (a+b=15 ), exprimând b în termeni de a obținem o ecuație pătratică:

  b=15-a, a^2 -15a +56 =0 , rezolvând care, obținem:

  b1=8, b2=7. Adică laturile dreptunghiului: a=7,b=8 , sau invers: a=8,b=7.

Pentru a rezolva problema, trebuie să scrieți un sistem de ecuații și să-l rezolvați

obținem o ecuație pătratică, care se rezolvă cu ușurință dacă înlocuim valorile perimetrului și aria în ea

Discriminantul este 1 și ecuația are două rădăcini 7 și 8, deci una dintre laturi egal cu 7 cm, celelalte 8 cm sau invers.

Am scris în mod special discriminantul aici, deoarece este foarte bine să navighezi după el

dacă în condiția problemei găsirii laturilor unui dreptunghi, valoarea perimetrului și a ariei sunt stabilite astfel încât acest discriminant mai mare decât zero, atunci noi avem dreptunghi;

dacă discriminantul zero- atunci noi avem pătrat(P=30, S=56,25, 7,5 pătrat);

dacă discriminantul mai putin de zero, atunci așa dreptunghi nu există(P=20, S=56 - fără soluție)

Perimetrul 30, aria 56. Să numim laturile dreptunghiului a și c. Apoi putem scrie următoarele ecuații:

Să etichetăm o parte ca X și cealaltă parte ca Y.

Aria unui dreptunghi se calculează înmulțind lungimile laturilor, astfel încât să putem scrie prima ecuație:

Perimetrul este suma lungimilor laturilor, deci a doua ecuație este:

Obținem un sistem de două ecuații.

Conform primei ecuații, selectăm X: X \u003d 56: Y, înlocuim aceasta în a doua ecuație:

2*56:Y+2Y=30 De aici este deja ușor de găsit valoarea lui Y: Y=7, apoi X=8.

Am gasit o alta solutie

Se știe că perimetrul unui dreptunghi este 30 și aria este 56, mai departe:

perimetru = 2*(lungime + latime) sau 2L + 2W

zonă=lungime*lățime sau L*L

2L + 2W = 30 (împărțiți ambele părți la 2)

L * (15 - L) = 56

Sincer să fiu, nu prea am înțeles soluția, dar cred că cei care nu au uitat complet matematica o vor înțelege.

Latura A=7, latura B=8

Aria unui dreptunghi nu va suna înfățișat, dar este un concept important. LA Viata de zi cu zi ne confruntăm constant cu ea. Aflați dimensiunea câmpurilor, grădinilor de legume, calculați cantitatea de vopsea necesară pentru văruirea tavanului, cât de mult tapet este necesar pentru lipirea co.

mentă și multe altele.

Figura geometrică

Mai întâi, să vorbim despre dreptunghi. Aceasta este o figură pe un plan care are patru unghiuri drepte, iar laturile sale opuse sunt egale. Laturile sale sunt folosite pentru a fi numite lungime și lățime. Ele sunt măsurate în milimetri, centimetri, decimetri, metri etc. Acum să răspundem la întrebarea: „Cum să găsim aria unui dreptunghi?” Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți lungimea cu lățimea.

Aria=lungime*latime

Dar încă o avertizare: lungimea și lățimea trebuie exprimate în aceleași unități de măsură, adică metru și metru, nu metru și centimetru. Zona este scrisă cu litera latină S. Pentru comoditate, notăm lungimea cu litera latină b, iar lățimea cu litera latină a, așa cum se arată în figură. Din aceasta concluzionăm că unitatea de suprafață este mm 2, cm 2, m 2 etc.

Luați în considerare exemplu concret cum să găsiți aria unui dreptunghi. Lungimea b=10 unități Latime a=6 unitati Rezolvare: S=a*b, S=10 unități*6 unități, S=60 unități 2 . O sarcină. Cum să găsiți aria unui dreptunghi dacă lungimea este de 2 ori lățimea și este de 18 m? Rezolvare: dacă b=18 m, atunci a=b/2, a=9 m. Cum să găsiți aria unui dreptunghi dacă ambele laturi sunt cunoscute? Așa este, conectează-l în formulă. S=a*b, S=18*9, S=162 m2. Raspuns: 162 m 2. O sarcină. Câte role de tapet trebuie să cumpărați pentru o cameră dacă dimensiunile acesteia sunt: ​​lungime 5,5 m, lățime 3,5 și înălțime 3 m? Dimensiuni rola tapet: lungime 10 m, lățime 50 cm Soluție: desenați un desen al camerei.

Suprafețele laturilor opuse sunt egale. Calculați aria peretelui cu dimensiunile de 5,5 m și 3 m. S perete 1 = 5,5 * 3,

S perete 1 \u003d 16,5 m 2. Prin urmare, peretele opus are o suprafață de 16,5 m2. Găsiți aria următorilor doi pereți. Laturile lor, respectiv, sunt de 3,5 m, respectiv 3 m. S pereți 2 \u003d 3,5 * 3, S pereți 2 \u003d 10,5 m 2. Prin urmare, partea opusă este egală cu 10,5 m 2. Să adunăm toate rezultatele. 16,5 + 16,5 + 10,5 + 10,5 \u003d 54 m 2. Cum se calculează aria unui dreptunghi dacă laturile sunt exprimate în unități diferite. Anterior, am calculat aria în m 2, apoi în acest caz vom folosi contoare. Apoi, lățimea rolei de tapet va fi de 0,5 m. S roll \u003d 10 * 0,5, S roll \u003d 5 m 2. Acum vom afla de câte role sunt necesare pentru lipirea unei camere. 54:5=10,8 (rulouri). Deoarece sunt măsurate în numere întregi, trebuie să cumpărați 11 role de tapet. Răspuns: 11 role de tapet. O sarcină. Cum se calculează aria unui dreptunghi dacă știi că lățimea este cu 3 cm mai mică decât lungimea, iar suma laturilor dreptunghiului este de 14 cm? Soluție: fie lungimea x cm, apoi lățimea (x-3) cm. x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm - lungime dreptunghi, 5-3 \u003d 2 cm - lățimea dreptunghiului, S \u003d 5 * 2, S \u003d 10 cm 2 Răspuns: 10 cm 2.

rezumat

După ce am luat în considerare exemplele, sper că a devenit clar cum să găsiți aria unui dreptunghi. Permiteți-mi să vă reamintesc că unitățile de măsură pentru lungime și lățime trebuie să se potrivească, altfel veți obține un rezultat incorect, pentru a evita greșelile, citiți cu atenție sarcina. Uneori, o parte poate fi exprimată prin cealaltă parte, nu vă fie teamă. Consultați problemele noastre rezolvate, este foarte posibil să vă ajute. Dar cel puțin o dată în viață ne confruntăm cu găsirea ariei unui dreptunghi.